Liga zadaniowa SPRAWIEDLIWY PODZIAA I Zadanie 1 W ka\dy piątkowy wieczór lodziarnia U Maćka sprzedaje zestawy lodów składające się z 12 gałek dowolnego smaku. Kupujący nie mają \adnego wpływu na to jaki rodzaj (smak) lodów (gałek) otrzymują a porcja kosztuje 6$. Ala, Beata i Celina zdecydowały się kupić wspólnie taki zestaw. Ala dała 3$ (nale\y jej się połowa zestawu) a Beata i Celina po1,5$ i ustaliły, \e lody podzielą metodą jeden dzieli. Opisz jak to zrobić i rozwa\ wszystkie mo\liwe sytuacje. Zadanie 2 Bartek, Cezary, Darek i Grzegorz dzielą nagrodę (podzielną w dowolny sposób) o wartości 1 miliona między siebie u\ywając metody: jeden dzieli. Darek podzielił nagrodę na cztery części s1, s2, s3, s4. Tabela pokazuje wycenę części dokonaną przez kolejne osoby: s1 s2 s3 s4 Darek 250000 250000 250000 250000 Bartek 400000 200000 200000 200000 Cezary 280000 320000 200000 200000 Grzegorz 320000 280000 280000 120000 a) Zakładając, \e gracze podali uczciwie wszystkie części, które ich satysfakcjonują, opisz sprawiedliwy podział. b) Przypuśćmy, \e Bartek i Cezary wycenili i podali informacje o satysfakcjonujących ich częściach uczciwie ale Grzegorz postanowił grać nieuczciwie i walczyć jedynie o pierwszą część umieszczając tylko ją na swojej liście roszczeń . Istnieje scenariusz podziału, w którym Grzegorz otrzymuje część wartą jedynie 220000. Opisz ten scenariusz. Zadanie 3 Trzech graczy (P1,P2,P3) decydują się na podzielenie parceli budowlanej metodą kolejny gracz zmniejsza wartość. Grają w kolejności P1, P2, P3. Pierwszy gracz odcina fragment zaznaczony na rysunku: 70m 100m 90m 300m Wiemy, \e system wartości graczy P2 i P3 jest taki sam i ich wycena gruntu jest proporcjonalna do powierzchni działki, poza lewym górnym rogiem działki o wymiarach 20mx20m, gdzie znajdują się podziemne zniszczone zbiorniki stacji benzynowej, których usuniecie jest dwukrotnie dro\sze ni\ cena gruntu na którym one się znajdują. Jak będzie wyglądał przypuszczalny końcowy sprawiedliwy podział działki, je\eli władze miasta wydadzą zgodę na podział działki tylko w przypadku, je\eli drugie cięcie będzie równoległe do krótszego boku działki? Zadanie 4 Przypuśćmy, \e dwóch graczy kupiło ciasto czekoladowo truskawkowe za 10$. Gracz A zapłacił 7$ a gracz B 3$. Ustalili, \e podział będzie sprawiedliwy, je\eli gracz A otrzyma co najmniej 70% wartości ciasta (w opinii gracza A) a gracz B otrzyma 30% wartości ciasta (w opinii gracza B). Opisz wariant metody jeden dzieli, która mo\e być zastosowana w tym przypadku. Zadanie 5 Rozwa\ podobny problem sprawiedliwego podziału (jak w zadaniu 4) w przypadku trzech graczy składających się na ciasto o wartości 10$. Gracz A płaci 2,50$, gracz B płaci 3,50$ a gracz C płaci 4$. Zadanie 6 Podział nazywamy niezazdrosnym, gdy ka\dy z graczy biorących udział w danej grze otrzymuje część łupu, która jest w ich opinii tyle samo lub więcej warta ni\ pozostałe części zbioru łupów. a) Uzasadnij, \e metoda jeden dzieli a drugi wybiera jest metodą niezazdrosną. b) Podaj przykład sprawiedliwego podziału z wykorzystaniem metody jeden dzieli dla 3 graczy, który nie jest podziałem niezazdrosnym. c) Podaj przykład sprawiedliwego podziału z wykorzystaniem metody jeden wybiera dla 3 graczy, który nie jest podziałem niezazdrosnym. Zadanie 7 Opisz metodę jeden dzieli dla 4 graczy. Zadanie 8 (wykraczające poza ostatnie zajęcia) Udowodnij twierdzenie: Ka\de dwa naleśniki dowolnie płasko poło\one na blacie stołu mo\na podzielić jednym cięciem wzdłu\ linii prostej na dwie równe części (o równych polach). Zadanie 9 (rozgrzewka przed kolejnymi zajęciami) Babcia zostawiła w spadku 4 wnukom: zabytkową rezydencję, wspaniały obraz oraz zabytkowy cenny samochód. Babcia była bardzo przywiązana do tych dóbr i w testamencie umieściła notę mówiącą, \e wnuki mają między siebie (w sposób sprawiedliwy) podzielić te dobra nie sprzedając ich. Jak zadośćuczynić woli babci? Powodzenia