SiMR W9 fizyka statystyczna


Rozkład prędkości cząsteczek gazu  rozkład Maxwella
3 2
# ś# # ś#
m mv2
ś# ź# ś#
P(v)d v = 4Ąś# ź# v2 expś#- ź#
ź#dv
2ĄkBT 2kBT
# # # #
2kBT 8kBT 3kBT
vP = vśr = vśr.kw =
m Ąm m
Rozkład Maxwella
P(v)dv
Rozkład energii kinetycznej
T=300 K
cząsteczek gazu
v [m/s]
Rozkład prędkości cząsteczek o różnej
masie molowej:
MO = 32 g/mol MH = 2 g/mol
2 2
1
Rozkład Boltzmanna
Opis klasyczny - cząstki rozróżnialne
np. cząsteczki gazu w naczyniu
Układ 6 rozróżnialnych
cząstek ma całkowitą
energię 9"E.
Cząstka może być w
jednym z 10 stanów o
energiach En=n"E
(n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Mikrostan układu -
określony jest stan
każdej z cząstek.
Rozkład Fermiego-Diraca
- cząstki nierozróżnialne
- cząstki o spinie połówkowym
(obowiązuje zakaz Pauliego)
Układ 6 nierozróżnialnych cząstek o spinie
ma całkowitą energię 9"E.
W każdym z 10 stanów o energiach En=n"E
(n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
mogą być najwyżej 2 cząstki o przeciwnych
spinach. Mikrostan układu: podana jest
liczba cząstek w każdym ze stanów.
2
Rozkład Fermiego-Diraca
Energia Fermiego EF
(lub potencjał chemiczny) -
prawdopodobieństwo
obsadzenia stanu o energii
E=EF jest f(EF)=1/2
Rozkład Bosego-Einsteina
- cząstki nierozróżnialne
- bozony - cząstki o spinie całkowitym
Układ 6 nierozróżnialnych cząstek o
Fotony są bozonami. Ze statystyki
spinie 1 ma całkowitą energię 9"E.
Bosego-Einsteina można wyprowadzić
W każdym z 10 stanów o energiach
prawo Plancka promieniowania ciała
En=n"E (n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
doskonale czarnego.
może być dowolna liczba cząstek.
Mikrostan układu: podana jest liczba
cząstek w każdym ze stanów.
3
Kondensacja Bosego-Einsteina - nadciekły hel
Hel skroplony w temperaturze
4,2 K wrze pod obniżonym
ciśnieniem i ochładza się.
Poniżej temperatury 2,18 K
wrzenie ustaje - hel
przechodzi w stan nadciekły.
Hel wypływa przez mikro-pory
w dnie wiszącego naczynka.
T=1,6 K nadciekły hel pełza po ściankach naczynia
Kondensacja Bosego-Einsteina
Pojemność cieplna ciekłego helu
wykazuje ostre maksimum w
temperaturze 2,18 K przejścia w
stan nadciekły - tzw. punkt .
Doświadczenie Wiemana i Cornella
 nagroda Nobla 2001
Dwuwymiarowe rozkłady prędkości 10 milionów
atomów rubidu schłodzonych w pułapce
magnetycznej do temperatury 10-7 K.
- rozkład po lewej  pojawia się nadmiar atomów o
zerowej prędkości,
- rozkład środkowy  wyrazne maksimum przy v=0
odpowiada kondensatowi a szerszy rozkład
prędkości nieskondensowanym atomom,
- rozkład po prawej  cała próbka uległa
kondensacji Bosego-Einsteina.
4
Porównanie funkcji rozkładu przy założeniu potencjału chemicznego =0.
Model elektronów  swobodnych w metalu
Nieskończenie głęboka studnia potencjału  sześcienne pudło o boku L
3 2
2
# ś#
(x, y, z)= sin(kxx)sin(ky y)sin(kz z)
ś# ź#
L
# #
Ą Ą Ą
kx = nx , ky = ny , kz = nz , nx,ny,nz =1,2,3,....
L L L
2
h2 2 2 2 h2k
E = (kx + ky + kz )=
2m 2m
5
Stany elektronu w nieskończenie głębokiej trójwymiarowej studni
potencjału - dozwolone wartości wektora falowego k
Gęstość stanów elektronu na
jednostkę objętości kryształu
3 2
(2m)
g(E)d E = E1 2 d E
2
2Ą h3
Liczba elektronów walencyjnych
na jednostkę objętości jest
równa liczbie stanów o energii
od 0 do energii Fermiego EF
EF
3 2
(2m)
3
n = g(E)d E = EF 2
+" 2
3Ą h3
0
Fale stojące - warunki brzegowe:
W temperaturze zera bezwględnego
znikanie funkcji falowej na brzegach
sześciennej kostki o objętości L3.
T=0 K energia Fermiego (potencjał
W przestrzeni wektora falowego k
chemiczny elektronów) jest
reprezentowane są przez punkty,
h2 2 2 3
których współrzędne kx, ky, kz są EF = (3Ą n)
2m
dodatnią wielokrotnością Ą/L.
Elektrony swobodne w metalu temperaturze T=0 K
Obsadzone są stany o energii mniejszej od energii Fermiego EF
Prawdopodobieństwo
W przestrzeni wektora
Koncentracja elektronów n
obsadzenia stanów
falowego k kula Fermiego
jest równa polu pod
zawiera stany obsadzone
krzywą gęstości stanów
przez elektrony
dla Ew temperaturze T=0 K.
6
Parametry gazu elektronów swobodnych w wybranych metalach
Koncentracja elektronów swobodnych n, promień kuli o objętości
przypadającej na jeden elektron rs wyrażony przez promień Bohra a0,
promień kuli Fermiego kF, prędkość Fermiego vF, energia Fermiego EF,
temperatura Fermiego TF.
4Ąrs3/3=1/(na03)
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach
1
fFD(E)=
# - EF ź#
ś#
E
ś#
expś# ź# +1
kBT
# #
Styczna do krzywej w punkcie f(EF)=0,5 przecina oś energii i prostą
f(E)=1 w punktach odległych o 2kBT od EF
7


Wyszukiwarka