Rozkład prędkości cząsteczek gazu rozkład Maxwella 3 2 # ś# # ś# m mv2 ś# ź# ś# P(v)d v = 4Ąś# ź# v2 expś#- ź# ź#dv 2ĄkBT 2kBT # # # # 2kBT 8kBT 3kBT vP = vśr = vśr.kw = m Ąm m Rozkład Maxwella P(v)dv Rozkład energii kinetycznej T=300 K cząsteczek gazu v [m/s] Rozkład prędkości cząsteczek o różnej masie molowej: MO = 32 g/mol MH = 2 g/mol 2 2 1 Rozkład Boltzmanna Opis klasyczny - cząstki rozróżnialne np. cząsteczki gazu w naczyniu Układ 6 rozróżnialnych cząstek ma całkowitą energię 9"E. Cząstka może być w jednym z 10 stanów o energiach En=n"E (n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Mikrostan układu - określony jest stan każdej z cząstek. Rozkład Fermiego-Diraca - cząstki nierozróżnialne - cząstki o spinie połówkowym (obowiązuje zakaz Pauliego) Układ 6 nierozróżnialnych cząstek o spinie ma całkowitą energię 9"E. W każdym z 10 stanów o energiach En=n"E (n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) mogą być najwyżej 2 cząstki o przeciwnych spinach. Mikrostan układu: podana jest liczba cząstek w każdym ze stanów. 2 Rozkład Fermiego-Diraca Energia Fermiego EF (lub potencjał chemiczny) - prawdopodobieństwo obsadzenia stanu o energii E=EF jest f(EF)=1/2 Rozkład Bosego-Einsteina - cząstki nierozróżnialne - bozony - cząstki o spinie całkowitym Układ 6 nierozróżnialnych cząstek o Fotony są bozonami. Ze statystyki spinie 1 ma całkowitą energię 9"E. Bosego-Einsteina można wyprowadzić W każdym z 10 stanów o energiach prawo Plancka promieniowania ciała En=n"E (n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) doskonale czarnego. może być dowolna liczba cząstek. Mikrostan układu: podana jest liczba cząstek w każdym ze stanów. 3 Kondensacja Bosego-Einsteina - nadciekły hel Hel skroplony w temperaturze 4,2 K wrze pod obniżonym ciśnieniem i ochładza się. Poniżej temperatury 2,18 K wrzenie ustaje - hel przechodzi w stan nadciekły. Hel wypływa przez mikro-pory w dnie wiszącego naczynka. T=1,6 K nadciekły hel pełza po ściankach naczynia Kondensacja Bosego-Einsteina Pojemność cieplna ciekłego helu wykazuje ostre maksimum w temperaturze 2,18 K przejścia w stan nadciekły - tzw. punkt . Doświadczenie Wiemana i Cornella nagroda Nobla 2001 Dwuwymiarowe rozkłady prędkości 10 milionów atomów rubidu schłodzonych w pułapce magnetycznej do temperatury 10-7 K. - rozkład po lewej pojawia się nadmiar atomów o zerowej prędkości, - rozkład środkowy wyrazne maksimum przy v=0 odpowiada kondensatowi a szerszy rozkład prędkości nieskondensowanym atomom, - rozkład po prawej cała próbka uległa kondensacji Bosego-Einsteina. 4 Porównanie funkcji rozkładu przy założeniu potencjału chemicznego =0. Model elektronów swobodnych w metalu Nieskończenie głęboka studnia potencjału sześcienne pudło o boku L 3 2 2 # ś# (x, y, z)= sin(kxx)sin(ky y)sin(kz z) ś# ź# L # # Ą Ą Ą kx = nx , ky = ny , kz = nz , nx,ny,nz =1,2,3,.... L L L 2 h2 2 2 2 h2k E = (kx + ky + kz )= 2m 2m 5 Stany elektronu w nieskończenie głębokiej trójwymiarowej studni potencjału - dozwolone wartości wektora falowego k Gęstość stanów elektronu na jednostkę objętości kryształu 3 2 (2m) g(E)d E = E1 2 d E 2 2Ą h3 Liczba elektronów walencyjnych na jednostkę objętości jest równa liczbie stanów o energii od 0 do energii Fermiego EF EF 3 2 (2m) 3 n = g(E)d E = EF 2 +" 2 3Ą h3 0 Fale stojące - warunki brzegowe: W temperaturze zera bezwględnego znikanie funkcji falowej na brzegach sześciennej kostki o objętości L3. T=0 K energia Fermiego (potencjał W przestrzeni wektora falowego k chemiczny elektronów) jest reprezentowane są przez punkty, h2 2 2 3 których współrzędne kx, ky, kz są EF = (3Ą n) 2m dodatnią wielokrotnością Ą/L. Elektrony swobodne w metalu temperaturze T=0 K Obsadzone są stany o energii mniejszej od energii Fermiego EF Prawdopodobieństwo W przestrzeni wektora Koncentracja elektronów n obsadzenia stanów falowego k kula Fermiego jest równa polu pod zawiera stany obsadzone krzywą gęstości stanów przez elektrony dla Ew temperaturze T=0 K. 6 Parametry gazu elektronów swobodnych w wybranych metalach Koncentracja elektronów swobodnych n, promień kuli o objętości przypadającej na jeden elektron rs wyrażony przez promień Bohra a0, promień kuli Fermiego kF, prędkość Fermiego vF, energia Fermiego EF, temperatura Fermiego TF. 4Ąrs3/3=1/(na03) Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach 1 fFD(E)= # - EF ź# ś# E ś# expś# ź# +1 kBT # # Styczna do krzywej w punkcie f(EF)=0,5 przecina oś energii i prostą f(E)=1 w punktach odległych o 2kBT od EF 7