Kolokwium - grupa 1
1. Dla macierzy A
îÅ‚ Å‚Å‚
4 2 4 2
ïÅ‚ śł
2 5 4 5
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 4 4 14 4 ûÅ‚
2 5 4 6
wyznacz metodą Choleskiego macierze L i L" takie, że A = LL", a następnie rozwiąż układ równań
Ax = b dla wektora b = [12, 16, 26, 27]T .
2. Dla danych wartości funkcji
xv -2 -1 0 1 2
yv -8 -1 0 1 8
wyznacz metodą najmniejszych kwadratów najlepszą aproksymację postaci g(x) = ą0 + ą1x + ą2x2.
3. Rozważmy kwadraturę
K(f) = A0f(1) + A1f(2)

3
przybliżającą całkę f(x)dx. Dobierz A0 i A1 tak, by była to kwadratura interpolacyjna.
0
4. Przy pomocy wzoru złożonego trapezów i wzoru złożonego Simpsona oblicz przybliżoną wartość całki

4
Ä„
(sin x - 1)dx dla h = 1. Podać oszacowania błędów dla wzoru trapezów..
0 2
5. Podaj macierz P przekształcenia Householdera, przeprowadzającego wektor a = [2 - 2i, 2, 1, 2, 0] na
wektor b = [2 - 2i, ", 0, 0, 0]T .
                                   

b
1 1 (b - a)f (¾) b - a
f(x)dx = h f0 + f1 + · · · + fm-1 + fm - h2, h = .
2 2 12 m
a

b
h (b - a)f(4)(¾)
f(x)dx = [f0 + 4(f1 + f3 + · · · + fm-1) + 2(f2 + f4 + · · · + fm-2) + fm] - h4.
3 180
a
Kolokwium - grupa 2
1. Dla macierzy A
îÅ‚ Å‚Å‚
4 2 2 -2
ïÅ‚ śł
2 10 7 2
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 7 9 3 ûÅ‚
-2 2 3 7
wyznacz metodą Choleskiego macierze L i L" takie, że A = LL", a następnie rozwiąż układ równań
Ax = b dla wektora b = [6, 21, 21, 10]T .
2. Dla danych wartości funkcji
xv -3 -1 0 1 3
yv 4 1 0 -1 -4
wyznacz metodą najmniejszych kwadratów najlepszą aproksymację postaci g(x) = ą0 + ą1x + ą2x2.
3. Rozważmy kwadraturę
K(f) = A0f(1) + A1f(4).

5
przybliżającą całkę f(x)dx. Dobierz A0 i A1 tak, by była to kwadratura interpolacyjna.
0
4. Przy pomocy wzoru złożonego trapezów i wzoru złożonego Simpsona oblicz przybliżoną wartość całki

4
Ä„
(cos x + 1)dx dla h = 1. Podać oszacowania błędów dla wzoru trapezów.
0 2
5. Podaj macierz P przekształcenia Householdera, przeprowadzającego wektor a = [2 + 2i, -2, 1, 0, 2]
na wektor b = [2 + 2i, ", 0, 0, 0]T .
                              

b
1 1 (b - a)f (¾) b - a
f(x)dx = h f0 + f1 + · · · + fm-1 + fm - h2, h = .
2 2 12 m
a

b
h (b - a)f(4)(¾)
f(x)dx = [f0 + 4(f1 + f3 + · · · + fm-1) + 2(f2 + f4 + · · · + fm-2) + fm] - h4.
3 180
a