Granice funkcji WILiÅš, Budownictwo, sem.I, 2013/2014
dr L.Kujawski
Zad.1 Obliczyć granice funkcji:
2x-4
x2 - 25 x4 - 3x + 2
1- x
1.1 lim 10 1.2 lim 1.3 lim
x -5
x2 x1
x2 + 8x +15
x5 - 4x + 3
x2 - 2x - 8 27 - x3 x -1
1.4 lim 1.5 lim 1.6 lim
x1
x4 x3 - 3
x
x2 - 9x + 20 1- 2 - x
sin 9x
2x + 9 - 3 ëÅ‚ 3 2 öÅ‚
1.7 lim 1.8 lim - ÷Å‚
1.9 lim
ìÅ‚
x0
x0 x1
4x
1- x3 1- x2
1- 1- 3x íÅ‚ Å‚Å‚
sin 5x tg6x
1.10 lim 1.11 lim 1.12 lim ctg8x Å" 3x
x0 x0 x0
sin 7x 2x
sin3 2x 6x 7x + sin 3x
1.13 lim 1.14 lim 1.15 lim
x0
x0 x0
sin 5x + sin x sin 5x - 4x
4x3
x + 4 - 2 5x2 x2 - x - 20
1.16 lim 1.17 lim 1.18 lim
x5
x0 x0
sin 3x 1- cos x sin(5 - x)
x2 - 5x + 4
1.19 lim(x8 - x7 - x5) 1.20 lim (x3 + 5x2 - 8x + 6) 1.21 lim
x" x-" x"
3x +1
2x2 + 4x - 6 x2 + 2x - 6 x2 + 2x - 6
1.22 lim 1.23 lim 1.24 lim
x-" x+" - 3x 2
x-" - 3x
1- 7x 2
x2 +2x+3
10 3x+2 + 4x
1.25 lim [ (x + 2)(x + 8) - x] 1.26 lim 1.27 lim
x+" x+" x2 +1 x+"
6x - 3x
10
x+2 2x -1 -x
x
ëÅ‚ -1 x + 2 2
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚
1.28 lim 1.29 lim 1.30 lim +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x+" x+" - 3 3x
x+"
x + 3 x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4 - x x
1.31 lim cos(arcctgx) 1.32 lim arccos 1.33 lim ln .
x+" x-" x+"
4 + x x4 + 3
Zad.2 Rozwiązać nierówności:
ëÅ‚ sin tx 4t öÅ‚ (a3 - 2)x2 + 3ax -1
2.1 lim - ÷Å‚
> 3 2.2 lim e" a - 2 .
ìÅ‚
t 0 x+"
t sin tx
(a +1)x2 + 2x - 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad.3 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, uzasadnić poniższe równości:
2
1 5 + cos x
3.1 lim x3arctg = 0 3.2 lim = 0 3.3 lim 10x+sin x = 0 .
x0 x" x-"
x
x2
Zad.4 Obliczyć granice jednostronne funkcji w podanym punkcie:
-6 x - 2 -5
4.1 f (x) = , x = 1 4.2 f (x) = , x = -2 4.3 f (x) = , x = 5
x -1
x2 - 4 (5 - x)2
2
4
4x - 7
4.4 f (x) = , x = -3 4.5 f (x) = 44-x , x = 4 4.6 f (x) = 2( x-2)2 , x = 2
9 - x2
-3
ëÅ‚ öÅ‚
sin 3x
x-3
4.7 f (x) = e , x = 3 4.8 f (x) = arcctgìÅ‚ ÷Å‚, x = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
sin 2x sin 3x
4.9 f (x) = arccosìÅ‚ ÷Å‚ , x = 0 4.10 f (x) = arcsinìÅ‚ ÷Å‚ , x = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2x 2x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3 16 - x2 -3
4.11 f (x) = log2 , x = 0+ 4.12 f (x) = , x = -4 4.13 f (x) = arctg , x = 2 .
x2 x + 4 2 - x