. Ćwiczenie nr. 5 Wahadło matematyczne
M. Bielewski, E. Rulikowska
. Krótki opis fizyki ćwiczenia:
Wahadło proste (matematyczne) jest to wyidealizowane ciało o masie punk-
towej m, zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici. Takie wahadło,
wyprowadzone z położenia równowagi, wykonuje ruch drgający w płaszczyz
nie
pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy o okresie T . Na
rysunku 5.1 przedstawiono wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu
o kÄ…t ¸. Na masÄ™ m dziaÅ‚a siÅ‚a ciężkoÅ›ci mg i naprężenie nici N. Jako osie
współrzędnych przyjmujemy styczną do łuku (oś x) i przedłużenie promienia
nici (oÅ› y). SiÅ‚Ä™ ciężkoÅ›ci mg rozkÅ‚adamy na współrzÄ™dnÄ… radialnÄ… mg cos ¸ i
współrzÄ™dnÄ… stycznÄ… mg sin ¸. WspółrzÄ™dna styczna siÅ‚y ciężkoÅ›ci wynosi
Rysunek 5.1: Wahadło matematyczne.
F = -mg sin ¸.
SiÅ‚a F nie jest wiÄ™c proporcjonalna do przemieszczenia kÄ…towego ¸, ale do sin ¸.
Dla maÅ‚ych kÄ…tów ¸ mamy sin ¸ H" ¸1, przemieszczenie masy m wzdÅ‚uż Å‚uku wy-
nosi x = l¸ i (znowu dla maÅ‚ych kÄ…tów ¸) ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy,
1
¸[ć%] ¸[rad] sin ¸ różnica w %
2ć% 0, 03491 rad 0, 03490 0, 03
5ć% 0, 08727 rad 0, 08716 0, 24
10ć% 0, 17453 rad 0, 17356 0, 50
a siłę w nim działająca możemy zapisać jako
x mg
F = -mg¸ = -mg = - x.
l l
Dla małych przemieszczeń siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze
znakiem przeciwnym, czyli masa m wykonuje drgania harmoniczne proste. Sta-
ła mg/l jest odpowiednikiem stałej k w równaniu F = -kx, opisującym siłę
harmoniczną. Z teorii ruchu harmonicznego prostego, wiemy że okres takiego
ruchu wynosi






m m l

T = 2Ä„ = 2Ä„ = 2Ä„ . (5.1)
k mg/l g
Okres drgań wahadła prostego zależy więc jedynie od długości wahadła l oraz
od g (nie zależy od masy m wahadła). Można pokazać , że dla wahań o większej
amplitudzie wzór na okres ma postać

îÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2


l 1 1 · 3 1 · 3 · 5
T = 2Ä„ ðÅ‚1 + sin2 ¸m + sin4 ¸m + sin6 ¸m + . . .ûÅ‚
g 2 2 · 4 2 · 4 · 6
(5.2)
W powyższym wzorze ¸m jest maksymalnym przemieszczeniem kÄ…towym (zwy-
kle wychyleniem poczÄ…tkowym), a kolejne wyrazy wewnÄ…trz nawiasu sÄ… coraz
mniejsze. Wzór (5.1) dostajemy z powyższego wzoru przy zaniedbaniu wszyst-
kich wyrazów w nawiasie za wyjątkiem jedności.