Elektrotechnika
dr in\
. Dagmara M. Dołęga
dr in\
. Dagmara M. Dołęga
Wykład 5 1
Klasyfikacja wielkości zmiennych
Sygnały elektryczne
zmienne stałe
f(t)
1
1
2
nieokresowe okresowe
(aperiodyczne) (periodyczne)
3
t
przemienne
tętniące
(np. sinusoidalne)
Wykład 5 2
Klasyfikacja wielkości zmiennych
Sygnał jednokierunkowy
jego zwrot nie ulega zmianie w funkcji czasu
f(t)
4
Sygnał zmienny
w funkcji czasu ulega zmianie:
wartość liczbowa przy niezmiennym zwrocie
t
f(t)
zwrot przy niezmiennej wartości liczbowej
5
zwrot, jak i wartość liczbowa
Sygnał okresowy
t
powtarza się w równych odstępach czasu
f(t)
6
Okres T [s]
najmniejszy przedział czasu, po którym sygnał
okresowy powtarza siÄ™
t
f(t)
7
Częstotliwość f [Hz]
1
t
f =
T
T
f (t + T)= f (t)
Warunek okresowości sygnału:
Wykład 5 3
Klasyfikacja wielkości zmiennych
Sygnał okresowy przemienny
pole powierzchni ograniczonej przebiegiem sygnału w ciągu okresu T jest równe zeru
T
f ( t ) dt = 0
+"
0
f(t) f(t) f(t) 3
1
2
t t t
T T T
Sygnały odkształcone (niesinusoidalne)
Sygnały okresowe niesinusoidalne (m.in. tętniące)
Wykład 5 4
Wielkości charakteryzujące
sygnały okresowe
Wartość maksymalna Wartość chwilowa
(np.: Im , Um) (np.: i(t), u(t), i, u)
największa wartość chwilowa wartość jaką sygnał przyjmuje w danej chwili
i(t)
pole wykreślonego prostokąta
wyobra\
a Å‚adunek jaki
Iśr
przepłynął w czasie T/2 przez
przekrój poprzeczny przewodnika
t
T/2
Wykład 5 5
Wielkości charakteryzujące
sygnały okresowe
Wartość średnia całookresowa
średnia arytmetyczna tego sygnału
obliczona dla jednego okresu T
T
i(t)
1
Fśr ,c = f (t)dt
+"
T
0
0
Iśr
Wartość średnia półokresowa
t
T/2
średnia arytmetyczna tego sygnału
obliczona dla połowy okresu
T
2
2
Fśr = f (t)dt
+"
T
0
Wykład 5 6
Wielkości charakteryzujące
sygnały okresowe
Wartość skuteczna (np.: Isk, |I|)
RMS  Root Mean Square
pierwiastek kwadratowy z wartości
średniej kwadratu sygnału
obliczonej dla jednego okresu T
Interpretacja fizyczna
T
wartości skutecznej prądu okresowego
1
1
2
2
F = f (t)dt
Fsk = f (t)dt
+"
+"
T
T
0
RIsk 2T = Ri2dt
+"
0
i(t)
jest to taka wartość prądu stałego,
który przepływając przez niezmienną
rezystancjÄ™ R w czasie okresu T,
Iśr
spowoduje wydzielenie na tej
t
rezystancji takiej samej ilości ciepła,
T/2
co prÄ…d okresowo zmienny
w tym samym czasie.
Wykład 5 7
Wielkości charakteryzujące
sygnały okresowe
sygnały zmienne mo\
na scharakteryzować za pomocą
współczynnika kształtu i współczynnika szczytu
Współczynnik kształtu Współczynnik szczytu
Współczynnik kształtu Współczynnik szczytu
Fm Fsk
ka = kk =
Fsk Fśr
Wykład 5 8
Sygnał sinusoidalny
u(t)
u = Um sin(Ét +Õ)
Um
Ä„ 2Ä„
0
Õ Ét; t
T
ÉT = 2Ä„
Wartość średnia napięcia sinusoidalnego
T 2
2 2
U =
śr m m m
+"U sin É tdt = Ä„ U = 0,637 U
T
0
Wartość średnia prądu sinusoidalnego
T 2
2 2
I = I sin É td t = I = 0 ,637 I
śr m m m
+"
T Ä„
0
Wykład 5 9
Sygnał sinusoidalny
u(t)
u = Um sin(Ét +Õ)
Um
Ä„ 2Ä„
0
Õ Ét; t
T
ÉT = 2Ä„
Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego
T
1
2 2
U =
m
+"U sin Étdt
T
0
Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego
T
1
2 2
I = Im sin Étdt
+"
T
0
Wykład 5 10
Sygnał sinusoidalny
u(t)
u = Um sin(Ét +Õ)
Um
Ä„ 2Ä„
0
Õ Ét; t
T
ÉT = 2Ä„
Współczynnik kształtu
Współczynnik szczytu
Ä„
kk = H" 1,11
ka = 2
2 2
Wykład 5 11
Sygnał wykładniczy
w praktyce ka\
dy sygnał
mo\
e być wyra\
ony jako
suma funkcji wykładniczych
Im
I ejÉt É
ImejÉt É
Ét
t = 0
I = Imest
0
Re
s = Ã + jÉ
- " < t < "
Wykład 5 12
Sygnał wykładniczy
Im
dla s =Ã czyli É = 0
ImejÉt É
st
I = I e
m
Ét
t = 0
0
Re
PrÄ…d ma charakter
monotonicznie rosnÄ…cy (Ã > 0)
lub monotonicznie malejÄ…cy (Ã < 0)
lub monotonicznie malejÄ…cy (Ã < 0)
dla s = jÉ czyli à = 0
dla s =0 czyli à = 0, É = 0
j É t
I = I e
m
I = Ime0t = Im
PrÄ…d mo\
e być interpretowany
Prąd jest stały w czasie na płaszczyz
nie zespolonej
przy pomocy wektora wirujÄ…cego
obracajÄ…cego siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É
Wykład 5 13
Sygnał wykładniczy
Im
ImejÉt É
wzór Eulera
Ét
t = 0
jÉt
0
e = cos Ét + jsin Ét Re
I(t ) = I cos É t + jI sin É t
m m
U (t ) = U cos É t + jU sin É t
m m
Wykład 5 14
Związki między wektorem wirującym
a sygnałem sinusoidalnym
Im
u2
u1
Ét1 t = 0
Um
Um Um
Ét2
Õ
Ét2
0
Ét1
0
Re Ét
U
Um
Õ
u3
ÉT
jÉ t
jÕ
U t = U e
( ) U = U e
m
m m
operator operator
czasowy fazowy
Wykład 5 15
Związki między wektorem wirującym
a sygnałem sinusoidalnym
Im
u2
u1
Ét1 t = 0
Um
Um Um
Ét2
Õ
Ét2
0
Ét1
0
Re Ét
Um
Õ
Õ
u3
ÉT
Amplituda zespolona Um
liczba zespolona niezale\
na od czasu
o module i argumencie równym odpowiednio
amplitudzie, i fazie poczÄ…tkowej zadanej funkcji sinusoidalnej
jÕ
îÅ‚
u = Um sin Ét +Õ = Im
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
ðÅ‚Ume ejÉt Å‚Å‚ = Im îÅ‚ mejÉt Å‚Å‚ = Im îÅ‚U t Å‚Å‚
ûÅ‚ ðÅ‚U ûÅ‚
Um =Um cosÕ + jUm sinÕ
Wykład 5 16
Przesunięcie fazowe
u
Przesunięcie fazowe
Õ = Õ2 -Õ1
u2
ró\
nica faz poczÄ…tkowych
dwóch badanych u1
sygnałów sinusoidalnych
Ét
0
Õ1
Õ2
Sygnał o większej fazie początkowej
sygnał u2 wyprzedza sygnał u1
wyprzedza
( u1 opóz
nia siÄ™ w fazie za u2 )
sygnał o mniejszej fazie początkowej.
Je\
eli fazy początkowe są równe,
wówczas sygnały są w fazie.
Wykład 5 17
Obwód prądu zmiennego z rezystancją
i(t)
u(t)
i(t)
uR(t)
u(t)
R
i(t)
2Ä„
Ä„
0
Ét
u(t)
II prawo Kirchhoffa:
u(t) = uR(t)
Prąd płynący przez rezystor
Dla zerowych warunków początkowych:
i napięcie na rezystorze
sÄ… ze sobÄ… w fazie.
u = Ri
Wykład 5 18
Obwód prądu zmiennego z cewką
i(t)
u(t)
i(t)
L uL(t)
u(t)
i(t)
2Ä„
Ä„
0
Ét
u(t)
II prawo Kirchhoffa:
u(t) = uL(t)
napięcie na cewce
Dla zerowych warunków początkowych:
wyprzedza
prąd płynący przez cewkę
d i
u = L
o kÄ…t Ä„/2
d t
Wykład 5 19
Obwód prądu zmiennego z kondensatorem
i(t)
u(t)
i(t)
C
uC(t)
u(t)
i(t)
2Ä„
Ä„
0
Ét
u(t)
II prawo Kirchhoffa:
u(t) = uC(t)
prąd płynący przez kondensator
Dla zerowych warunków początkowych:
wyprzedza
t
napięcie na kondensatorze
1
o kÄ…t Ä„/2
u = id t
+"
C
0
Wykład 5 20
Obwód szeregowy RLC
u(t)
i(t)
uR(t)
uR(t)
uC(t)
i(t)
R
uL(t)
L uL(t)
u(t)
2Ä„
0
Ét
Ä„
C
uC(t)
Dla zerowych warunków początkowych:
II prawo Kirchhoffa:
t
d i 1
u = Ri + L + i d t
u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)
+"
d t C
0
Wykład 5 21
Obwód szeregowy RLC
Rozwiązanie równania względem prądu składa się ze:
składowej wymuszonej (ustalonej)
składowej swobodnej (przejściowej)
Stan pracy obwodu
Stan pracy obwodu
po zaniknięciu składowej przejściowej
to stan ustalony.
Stan pracy obwodu
przy występowaniu obu składowych
to stan nieustalony.
Wykład 5 22
Obwód szeregowy RLC
Odpowiedz
obwodu na wymuszenie sinusoidalne
w stanie ustalonym jest sinusoidalna.
Dlatego mo\
emy zapisać:
jÉt
I(t) = I ejÉt
U (t) = U e
m
m
t
dI (t) 1
U (t) = RI (t) + L + I (t)dt
+"
dt C
0
1
jÉ t jÉ t jÉ t jÉ t
U e = R I e + L jÉ I e + I e =
m m m m
C jÉ
ëÅ‚ öÅ‚
1
jÉ t
ìÅ‚
= R + jÉ L + ÷Å‚ I e
m
ìÅ‚ ÷Å‚
jÉ C
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykład 5 23
Obwód szeregowy RLC
Przechodząc od wektorów wirujących do wektorów ustalonych (t=0):
îÅ‚ 1 Å‚Å‚
öÅ‚
U = + jëÅ‚ÉL - I
÷łśł m
m
ïÅ‚R ìÅ‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ 1 Å‚Å‚
öÅ‚
U = + jëÅ‚ÉL - ÷łśł
ïÅ‚R ìÅ‚ ÉC Å‚Å‚ I
íÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Impedancja zespolona Z:
1 1
öÅ‚
Z = R + jÉL - j = R + jëÅ‚ÉL -
ìÅ‚ ÷Å‚
ÉC ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykład 5 24
Obwód szeregowy RLC
Impedancja zespolona:
Argument impedancji:
1
öÅ‚
Z = R + jëÅ‚ÉL - ÷Å‚ X X - X
= R + jX
ìÅ‚
L C
ÉC Õ = arctg = arctg
íÅ‚ Å‚Å‚
R R
Z = ZejÕ
Moduł impedancji zespolonej:
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
Z = R + ÉL - ÷Å‚
= R + (X - X )2
ìÅ‚
L C
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykład 5 25
Trójkąt impedancji
charakter obciÄ…\
enia
czynno - indukcyjny czynno - pojemnościowy
0 > Õ > - Ä„/2
Ä„/2 > Õ > 0
Ä„/2 > Õ > 0
R
Õ
jX -jX
Õ
Im (Z)
R
Re (Z)
X  reaktancja, [&!]
Wykład 5 26
Trójkąt impedancji dla idealnych elementów R, L i C
charakter obciÄ…\
enia
czynny indukcyjny pojemnościowy
Õ = 0 Õ = Ä„/2
Õ = - Ä„/2
Õ = - Ä„/2
Z=R
Z=-jXC
Z=jXL
Im (Z)
Re (Z)
Wykład 5 27
Obwód szeregowy RLC
uR(t)
Prawo Ohma
dla wartości skutecznych zespolonych:
i(t)
R
U=ZI
L uL(t)
u(t)
C
II-gie prawo Kirchhoffa w postaci zespolonej:
uC(t)
U =UR +UL +UC
Napięcie skuteczne zespolone przyło\
one
do dwójnika szeregowego RLC
jest równe sumie napięć skutecznych zespolonych
na poszczególnych elementach.
Wykład 5 28
Obwód szeregowy RLC
napięcie na rezystancji
uR(t) jest w fazie z prÄ…dem:
UR =RI
i(t)
R
L uL(t)
u(t)
napięcie na cewce
wyprzedza prÄ…d o kÄ…t fazowy Ä„/2:
wyprzedza prÄ…d o kÄ…t fazowy Ä„/2:
C
C
Ä„
j
2
U = jÉL I = ÉL Ie
L
uC(t)
napięcie na kondensatorze
reaktancja
jest opóz
nione za prÄ…dem o kÄ…t fazowy Ä„/2:
X = ÉL
L
indukcyjna
Ä„
- j
1 1 1
2
U = I = - j I = Ie
C
jÉC ÉC ÉC
1
reaktancja
X =
C
pojemnościowa
ÉC
Wykład 5 29
Obwód szeregowy RLC
R
W zale\
ności od wartości parametrów L i C oraz częstotliwości
reaktancja mo\
e być:
J
UR
X > 0 dla XL > XC gdzie Ć > 0 czyli napięcie wyprzedza prąd
L UL
U
X < 0 dla XC > XL gdzie Ć < 0 czyli prąd wyprzedza napięcie
UC
X = 0 dla XL = XC gdzie Ć = 0 czyli napięcie jest w fazie z prądem
C
C
UC
UC
UL UL
UL UC
UR
U = UR
U
Õ
Õ
UR
J
U
J J
Wykład 5 30
Zjawisko rezonansu w obwodach elektrycznych
Obwody rezonansowe (drgajÄ…ce)
obwody, w których występuje zjawisko rezonansu elektrycznego.
Rezonans elektryczny
stan pracy obwodu elektrycznego pasywnego,
w którym reaktancja wypadkowa obwodu
w którym reaktancja wypadkowa obwodu
lub susceptancja wypadkowa jest równa zeru.
rezonans szeregowy rezonans równoległy
tzw. rezonans napięć tzw. rezonans prądów
Wykład 5 31
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
W stanie rezonansu:
napięcie i prąd na zaciskach rozpatrywanego obwodu są w fazie
argument impedancji zespolonej obwodu jest równy zeru
argument impedancji zespolonej obwodu jest równy zeru
obwód nie pobiera \
adnej mocy biernej
(zjawisko kompensacji mocy)
Wykład 5 32
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
R
J
UL UC
UR
L UL
U
UC U = UR
J
J
C
U = R + j(XL - XC ) I = Z I
[ ]
U = U +U +U
R L C
W stanie rezonansu napięć słuszne są zale\
ności:
Warunek rezonansu:
Ć = 0
Z = R
X = 0
U = UR
XL = XC UL = - UC
Wykład 5 33
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
Częstotliwość rezonansowa
częstotliwość, przy której reaktancja wypadkowa obwodu
jest równa zeru
X = XL -XC = 0
1
1
1
ÉL=
É =
o
ÉC
LC
pulsacja rezonansowa
1
2 Ä„ fL =
2 Ä„ fC
1
f =
o
2 Ä„ LC
Wykład 5 34
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
Obwód jest dostrojony do rezonansu, gdy É = É0
É É
É É
É É
Je\
eli É `" É0 mówimy, \
e obwód jest odstrojony od rezonansu
É É
É É
É É
Impedancja falowa
reaktancja indukcyjna lub reaktancja pojemnościowa obwodu
przy częstotliwości rezonansowej:
1 L
Á = É0 L = =
É0C C
Wykład 5 35
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
Dobroć obwodu rezonansowego
stosunek napięcia na elemencie reaktancyjnym
do napięcia na elemencie rezystancyjnym:
UL UC É0L 1
UL UC É0L 1
Q = = = =
Q = = = =
UR UR R É0RC
uwzględniając zale\
ność na Á, otrzymamy:
Á
Q =
R
Wykład 5 36
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
Dobroć Q obwodu:
wskazuje ile razy napięcie na indukcyjności lub pojemności
jest większe od napięcia doprowadzonego do obwodu.
Jest miarą przepięcia w obwodzie w stanie rezonansu;
wyra\
a siÄ™ pomno\
onym przez 2Ä„ stosunkiem
największej energii pola magnetycznego lub elektrycznego
największej energii pola magnetycznego lub elektrycznego
do energii wydzielonej w postaci ciepła
na elemencie rezystancyjnym w ciÄ…gu czasu T:
1 1
2 2
Im L LIm
Wt max
2
Q = É0 2 = 2Ä„ = 2Ä„
1 1
2 2 WR (T )
Im R RTIm
2 2
Wykład 5 37
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
W stanie rezonansu napięć:
impedancja obwodu jest równa rezystancji
napięcie przyło\
one do obwodu jest równe napięciu na rezystancji
suma geometryczna napięć na indukcyjności i na pojemności jest równa zeru
napięcie na indukcyjności jest równe co do modułu napięciu na pojemności
wobec X = 0 prÄ…d w obwodzie mo\
e osiągnąć bardzo du\
ą wartość,
a w przypadku bardzo małej rezystancji z
ródło napięcia pracuje
niemal w warunkach zwarcia (!).
Wykład 5 38
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
Rozstrojenie bezwzględne
- stosunek reaktancji wypadkowej do rezystancji:
X
¾ = = tgÕ
R
R
Õ = arctg¾
W stanie rezonansu: ¾ = 0 Z = R = Z0
Wykład 5 39
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
Ć
Ä„ / 2
charakter
pojemnościowy
¾
¾
0
charakter
indukcyjny
- Ä„ / 2
Zale\
ność kąta fazowego obwodu szeregowego RLC
w funkcji rozstrojenia bezwzględnego.
Wykład 5 40
Rezonans szeregowy (rezonans napięć)
Wyra\
ając indukcyjność i pojemność poprzez impedancję falową otrzymamy:
ëÅ‚ öÅ‚
1 É É
0
X = É L - = - Á
ìÅ‚ ÷Å‚
É C É É
íÅ‚ 0 Å‚Å‚
Rozstrojenie względne
- stosunek reaktancji wypadkowej do impedancji falowej:
X É É f f0
0
´ = = - = -
Á É É f0 f
0
Rozstrojenie bezwzględne
¾ = Q´
Wykład 5 41
Rezonans szeregowy (zale\
ności energetyczne)
Zakładając fazę początkową Ć = 0 otrzymujemy:
i = Im sinÉ0t
uc = -UCm cosÉ0t
Energia pola magnetycznego cewki:
1 1
2 2
WL t = Li2 = LIm sin É0t
( )
2 2
Energia pola elektrycznego kondensatora:
1 1
2 2
WC t = CuC = CU cos2 É0t
( )
Cm
2 2
Wykład 5 42
Rezonans szeregowy (zale\
ności energetyczne)
W stanie rezonansu:
U = U = É L I
C m L m 0 m
Energia pola elektrycznego kondensatora:
Energia pola elektrycznego kondensatora:
1
2 2
WC t = CÉ0 L2 Im cos2 É0t
( )
2
2
É0 LC = 1
Uwzględniając, \
e , otrzymamy:
1
2
WC t = LIm cos2 É0t
( )
2
Wykład 5 43
Rezonans szeregowy (zale\
ności energetyczne)
Całkowita energia nagromadzona w układzie:
Wukl = WL(t)+ WC(t)
1 1
Wukl = LI2 sin2Éot + LI2 cos2Éot
m m
2 2
1
Wukl = LI2
m
2
Całkowita energia układu nie zmienia się w funkcji czasu
i jest równa maksymalnej wartości pola magnetycznego cewki
lub maksymalnej energii pola elektrycznego kondensatora.
Wykład 5 44
WYKA
ADY S
DOST
PNE NA STRONIE: http://metet.polsl.pl/~ddolega/dydaktyka.htm
Wykład 5 45