ZADANIA Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA

1. Wśród 100 śrub jest 30 wadliwych. Wybrano losowo 3 sztuki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że (a) jedna śruba jest wadliwa

b) nie ma żadnej śruby wadliwej wśród trzech wybranych.

2. Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje się na dziesięciu piętrach. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żadnych dwóch pasażerów nie opuści windy na tym samym piętrze.

3. Grupa studencka składa się z 30 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żadnych dwóch studentów nie obchodzi urodzin tego samego dnia (przyjmujemy, że liczba dni w roku jest równa 365).

4. Cyfry 1,2,3,4,5 zapisane są na pięciu kartkach. Wybieramy losowo jedną; po drugiej trzy kartki i zapisujemy umieszczone na nich cyfry w kolejności losowania. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że otrzymana w ten sposób trzycyfrowa liczba będzie parzysta.

5. W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyrobów jest dobrych. Na 100 dobrych wyrobów średnio 75 jest pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pewna sztuka wyprodukowana w tym przedsiębiorstwie jest pierwszego gatunku.

6. Obliczyć niezawodność układu złożonego z trzech połączonych (a) równolegle

(b) szeregowo przekaźników przy założeniu, ze przekaźniki działają niezależnie i niezawodność każdego z nich jest p .

7. Prawdopodobieństwo zestrzelenia kaczki przy jednym strzale jest równe 1/3. Pięciu myśliwych strzela niezależnie do jednej kaczki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zestrzelą kaczkę.

8. W partii 200 lamp elektronowych jest 8 sztuk wadliwych. Losujemy 3 sztuki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie 3 lampy są wadliwe.

9. Na stu mężczyzn pięciu, a na tysiąc kobiet dwie nie rozróżniają kolorów (są daltonistami). Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest to mężczyzna.

10. Trzy fabryki produkują seryjnie ten sam towar. Pierwsza zaopatruje rynek w 40%, druga w 30%. Średni procent braków w produkcji pierwszej fabryki wynosi 2%, drugiej fabryki 4%, a trzeciej 5%. Kupiono sztuka towaru, która okazała się brakiem. Z której fabryki jest najbardziej prawdopodobny zakup braku? Podąć odpowiadające jej prawdopodobieństwo.

11. Dwie przyjaciółki postanowiły spotkać się w kawiarni. w godzinach między 1600 a 1700. Obie przyjaciółki przyjęły , że będą oczekiwać na siebie nie dłużej niż 15 min od przybycia lub do końca wspomnianej godziny.

Niech A oznacza zdarzenie, że się spotkają. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeśli założyć , że każda z przyjaciółek może przybyć do kawiarni w każdym momencie czasowym między 1600 i 1700?

.12. Służba sanitarna rozporządza trzema samochodami sanitarnymi. Prawdopodobieństwo tego, ze w czasie od 8.00 do 9.00 dany samochód będzie w bazie jest dla każdego samochodu jednakowe i wynosi p = 0,2 .

(a)

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w danym czasie dwa samochody będzie w bazie (b)

Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden samochód będzie w bazie 13. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem :



1

 0

,

− ∞ < x < −

π



2

 1

1

1

f ( x ) = 

cos x

, −

π ≤ x ≤

π

 2

2

2



1

 0

,

π < x < ∞



2

Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej, obliczyć P(π/6<X<π/4), E(X), Me(X).

14.Zmienna losowa ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem

0 ,− ∞ < x < 1



f ( x) = ln x

1

, ≤ x ≤ a

0

, a < x < ∞

Wyznaczyć stałą a, dystrybuantę tej zmiennej losowej , obliczyć P(2<x<e) , E(X).

15. Zmienna losowa X podlega rozkładowi określonemu tabelką :

x(i)

-5

-2

0

1

3

8

p(i)

0,1

0,2

0,1

0,2

c

0,1

Wyznaczyć stałą c , znaleźć dystrybuantę ,wykonać wykres rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty .

Obliczyć E(X) , VAR(X), Me(x), oraz P(X<2), P(-2 ≤ X <3) .

16. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem : Wyznaczyć stałą c. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej, obliczyć P(π/6<X<π/4), E(X), Me(X),Var(x).

0 ,

− ∞ < x < 0



π

f ( x ) =  c cos x

, 0 ≤ x ≤



2



π

 0

< x < ∞



2

17. Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie określonej wzorem

 0

,

− ∞ < x < 0



F ( x ) =  x 2

,0 ≤ x ≤ 1

1

1 < x < ∞

Znaleźć gęstość tej zmiennej losowej, obliczyć P(-2<X<4), E(X), Me(X),Var(x).

18. Zmienna losowa X ma rozkład N( 4 , 2) . Obliczyć P ( | X – 2 | < 3).

19. Zmienna losowa X ma rozkład N( 2,4). Obliczyć P( | X – 1 | > 2).

20. Pewien towar ma wadliwość 8%. Zakupiono 500 sztuk tego towaru . Obliczyć prawdopodobieństwo tego , że ilość znalezionych w tej partii sztuk wadliwych będzie się zawierać w granicach 7% – 9%.