Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Wykład 33

33. Model atomu Bohra

33.1

Wstę p

Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że

atomy zawierają elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).

Ponieważ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one

mieć ładunek dodatni równy ujemnemu.

Ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet

atomów oznaczało ponadto, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.

Tego typu rozważania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich i

ujemnych w atomie.

J. J. Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie nałado-

wane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły

ładunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”). Ładunek dodatni tworzył kulę o promie-

niu rzędu 10-10 m. W tej kuli ładunki ujemne byłyby roz-

łożone równomiernie (w wyniku sił odpychania).

W atomie znajdującym się w stanie o najniższej energii

elektrony były nieruchome. Natomiast w atomach o wyż-

szej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wyso-

kiej temperaturze) elektrony wykonywałyby drgania wo-

kół położeń równowagi.

Uwaga: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej

każ de naładowane ciało poruszają ce się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne. Dowód wykracza poza ramy tego wykładu ale przypomnijmy

sobie jeszcze raz antenę dipolową. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje drga-

nia ładunku (prąd zmienny) i antena emituje falę elektromagnetyczną.

Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona

wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.

Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano.

Ostateczny dowód nieadekwatności modelu Thomsona otrzymał w 1911 r. jego uczeń

E. Rutherford analizując wyniki rozpraszania cząstek α na atomach.

Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, że ładunek dodatni nie jest roz-

łożony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym ją drem

(o rozmiarze 10-14 m) leżącym w środku atomu.

Model jądrowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalazł potwierdzenie w sze-

regu doświadczeń.

Zgodnie z tym modelem:

• W środku atomu znajduje się jądro o masie w przybliżeniu równej masie całego

atomu,

• Ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i ładunku e,

• Wokół jądra znajduje się Z elektronów, tak że cały atom jest obojętny.

33-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Ważnym problemem pozostaje wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu.

Elektrony nie mogą być nieruchome bo w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zo-

stałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. Jeżeli do-

puścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planety wokół Słońca w układzie sło-

necznym) to też natrafiamy na trudność interpretacyjną. Krążący elektron doznaje stale

przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyła energię

kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, że poruszałby się po spirali osta-

tecznie spadając na jądro (model Thomsona).

Problem stabilności atomów doprowadził do powstania nowego modelu zaproponowa-

nego przez N. Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, że umożliwiał przewidy-

wanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy.

Najpierw omówimy więc podstawowe cechy tych widm.

33.2

Widma atomowe

Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych.

Źródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wy-

ładowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą a na-

stępnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozkłada promieniowanie na

składowe o różnych długościach fal.

Na kliszy fotograficznej uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm.

W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrza-

nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawie-

ra tylko pewną liczbę długości fal. Każda z takich składowych długości fal nazywana

jest linią (bo taki jest obraz szczeliny).

Na rysunku na następnej stronie pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.

To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego mo-

delu atomu. Model ten chociaż posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w spo-

sób prosty matematycznie.

33-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

360

400

440

480

520

560

600

640

680

λ (nm)

33.3

Model Bohra atomu wodoru

Jak już mówiliśmy fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie bę-

dzie wypromieniowywał energię, tak że częstość elektronu a za tym także częstość wy-

syłanego promieniowania będzie się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwuje-

my bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).

Bohr uniknął tej trudności zakładając, że podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo

atom wodoru może znajdować się w ściśle określonych stanach energetycznych, w któ-

rych nie wypromieniowuje energii. Emisja następuje tylko wtedy gdy atom przechodzi

z jednego stanu o energii Ek do stanu o niższej energii Ej. Ujmując to w postaci równa-

nia

Ek – Ej = hv

(33.1)

gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przejścia

wypromieniowany przez atom.

Teraz konieczna jest znajomość energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczając możli-

we różnice energii będziemy mogli przewidzieć wygląd widma promieniowania emito-

wanego przez atom.

Założenia:

• elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w miejscu ją-

dra,

• jądro (pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem

protonu.

Korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy

F = ma

albo

1

e 2

2

v

= m

4πε

(33.2)

r 2

r

0

Uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujem-

nym elektronem zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. Czy słusznie?

33-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Przykład 1

Obliczyć stosunek sił przyciągania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i

elektronu w atomie wodoru. Masa elektronu me = 9.1·10-31 kg, masa protonu mp =

1.7·10-27 kg, ładunek elementarny e = 1.6·10-19 C stała grawitacyjna G = 6.67·10-11

Nm2/kg2, a stała w prawie Coulomba 1/4πε0 = 8.99·109 Nm2/C2.

2

F

Gm m

πε

p

e 4

r

m m

G

0

p

e

−39

=

= 4πε G

≈ 5⋅10

2

2

0

2

F

r

e

e

E

Siła grawitacyjna jest całkowicie do zaniedbania.

Wzór (33.2) pozwala obliczyć energię kinetyczną

1

2

e 2

E =

mv =

(33.3)

k

2

8πε r

0

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem

e 2

E = −

(33.4)

p

4πε r

0

Całkowita energia układu wynosi

e 2

E = E + E = −

(33.5)

k

p

8πε r

0

Ponieważ, promień orbity może przyjmować dowolną wartość więc i energia też może

być dowolna. Ze wzoru (33.3) możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu

e 2

v =

4πε mr

0

a następnie częstotliwość

2

e

v = v =

0

3

3

2π r

16π ε mr

0

Pęd dany jest równaniem

me 2

p = mv =

4πε r

0

a moment pędu

33-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

2

me r

L = pr =

(33.6)

4πε 0

Tak więc, jeżeli jest dane r, to znane są również parametry orbitalne: Ek, Ep, E, v, v 0, p, oraz L.

Jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwan-

towane.

Na tym etapie Bohr nie miał żadnych zasad, którymi mógłby się posłużyć.

W związku z tym wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parame-

trów orbity i zastosował ją do momentu pędu L.

Postulaty Bohra były następujące:

1. Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania ku-

lombowskiego pomiędzy elektronem i jądrem i ruch ten podlega prawom mechaniki

klasycznej.

2. Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-

sycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których momemt

pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2π.

h

L = n

n = ,

1

,

2

,

3 .....

2π

(33.7)

gdzie stała n oznacza liczbę kwantową. (Zwróćmy uwagę, że ponownie tak jak przy

opisie ciała doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, pojawia

się stała Plancka h.)

3. Pomimo, że elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po takiej orbicie), to

jednak nie wypromieniowuje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała.

4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszający

się po orbicie o całkowitej energii Ej zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza się

następnie po orbicie o energii Ek. Częstotliwość emitowanego promieniowania jest

równa

E − E

j

v

k

=

(33.8)

h

Uwaga: To jest postulat Einsteina głoszący, że częstotliwość fotonu promieniowania

elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.

Drugi postulat opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale jak już mówiliśmy jeżeli ja-

kakolwiek z wielkości: Ek, Ep, E, v, v 0, p, i L jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Łącząc równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy

2

h ε

2

0

2

r = n

= n r

n = ,

1 ,

2

,.........

3

(33.9)

2

1

π me

33-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Widzimy jak skwantowane jest r. Podstawienie tego równanie do wyrażenia na energię

całkowitą (33.5) daje

4

me

E

1

E = −

=

n = ,

1 ,

2

,

3 .......

8 2 2 2

2

ε

(33.10)

h n

n

0

Z tego równania otrzymujemy wartoś ci energii dozwolonych stanów stacjonarych.

Stan n = ∞ odpowiada stanowi E = 0, w którym elektron jest całkowicie usunięty poza

atom.

Na rysunku poniżej są pokazane wybrane przeskoki między różnymi stanami stacjonar-

nymi. Długość każdej ze strzałek jest równa różnicy energii między dwoma stanami sta-

cjonarnymi czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Częstotliwość emito-

wanego promieniowania można obliczyć korzystając z postulatu Bohra dotyczącego

częstotliwości promieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energię

(33.7)

n

∞

i

6

ir

iir

5

es

e

4

s

a

c

a

3

i

ci seria Paschena

na

n

r

a

g

rg

2

seria Balmera

iires acinarg

1

seria Lymana

4

me

 1

1 

v =

2

3 



−

2

2 



8ε

(33.11)

h

j

k

0





gdzie j, k są liczbami kwantowymi opisującymi niższy i wyższy stan stacjonarny.

33-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Na gruncie modelu Bohra można łatwo zrozumieć własności widm emisyjnych atomów

jednoelektronowych. Można również zrozumieć widma absorpcyjne. Ponieważ elektron

musi mieć w atomie energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stanu sta-

cjonarnego) więc z padającego promieniowania może on absorbować tylko określone

porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów hv musi być równa różnicy

pomiędzy energiami dozwolonych stanów tak więc linie widma absorpcyjnego mają te

same częstotliwości (długości fal) co linie widma emisyjnego.

Na początku atom jest w stanie podstawowym n = 1 więc procesy absorpcji odpowiada-

ją serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach atomy będą już w stanie n = 2

i możemy obserwować linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).

33-7