Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Wykład 33

33. Model atomu Bohra

33.1

Wstę p

Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, Ŝe

atomy zawierają elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).

PoniewaŜ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one

mieć ładunek dodatni równy ujemnemu.

PoniewaŜ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlŜejszych nawet

atomów oznaczało ponadto, Ŝe ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.

Tego typu rozwaŜania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich i

ujemnych w atomie.

J. J. Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie nałado-

wane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły

ładunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”). Ładunek dodatni tworzył kulę o promie-

niu rzędu 10-10 m. W tej kuli ładunki ujemne byłyby roz-

łoŜone równomiernie (w wyniku sił odpychania).

W atomie znajdującym się w stanie o najniŜszej energii

elektrony były nieruchome. Natomiast w atomach o wyŜ-

szej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wyso-

kiej temperaturze) elektrony wykonywałyby drgania wo-

kół połoŜeń równowagi.

Uwaga: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej

kaŜ de naładowane ciało poruszają ce się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne. Dowód wykracza poza ramy tego wykładu ale przypomnijmy

sobie jeszcze raz antenę dipolową. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje drga-

nia ładunku (prąd zmienny) i antena emituje falę elektromagnetyczną.

Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona

wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.

Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano.

Ostateczny dowód nieadekwatności modelu Thomsona otrzymał w 1911 r. jego uczeń

E. Rutherford analizując wyniki rozpraszania cząstek α na atomach.

Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, Ŝe ładunek dodatni nie jest roz-

łoŜony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym ją drem

(o rozmiarze 10-14 m) leŜącym w środku atomu.

Model jądrowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalazł potwierdzenie w sze-

regu doświadczeń.

Zgodnie z tym modelem:

• W środku atomu znajduje się jądro o masie w przybliŜeniu równej masie całego

atomu,

• Ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i ładunku e,

• Wokół jądra znajduje się Z elektronów, tak Ŝe cały atom jest obojętny.

33-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

WaŜnym problemem pozostaje wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu.

Elektrony nie mogą być nieruchome bo w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zo-

stałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. JeŜeli do-

puścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planety wokół Słońca w układzie sło-

necznym) to teŜ natrafiamy na trudność interpretacyjną. KrąŜący elektron doznaje stale

przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyła energię

kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, Ŝe poruszałby się po spirali osta-

tecznie spadając na jądro (model Thomsona).

Problem stabilności atomów doprowadził do powstania nowego modelu zaproponowa-

nego przez N. Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, Ŝe umoŜliwiał przewidy-

wanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy.

Najpierw omówimy więc podstawowe cechy tych widm.

33.2

Widma atomowe

Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych.

Źródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wy-

ładowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą a na-

stępnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozkłada promieniowanie na

składowe o róŜnych długościach fal.

Na kliszy fotograficznej uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm.

W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrza-

nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawie-

ra tylko pewną liczbę długości fal. KaŜda z takich składowych długości fal nazywana

jest linią (bo taki jest obraz szczeliny).

Na rysunku na następnej stronie pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.

To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego mo-

delu atomu. Model ten chociaŜ posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w spo-

sób prosty matematycznie.

33-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

360

400

440

480

520

560

600

640

680

λ (nm)

33.3

Model Bohra atomu wodoru

Jak juŜ mówiliśmy fizyka klasyczna przewidywała, Ŝe atom krąŜący po orbicie bę-

dzie wypromieniowywał energię, tak Ŝe częstość elektronu a za tym takŜe częstość wy-

syłanego promieniowania będzie się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwuje-

my bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).

Bohr uniknął tej trudności zakładając, Ŝe podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo

atom wodoru moŜe znajdować się w ściśle określonych stanach energetycznych, w któ-

rych nie wypromieniowuje energii. Emisja następuje tylko wtedy gdy atom przechodzi

z jednego stanu o energii Ek do stanu o niŜszej energii Ej. Ujmując to w postaci równa-

nia

Ek – Ej = hv

(33.1)

gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przejścia

wypromieniowany przez atom.

Teraz konieczna jest znajomość energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczając moŜli-

we róŜnice energii będziemy mogli przewidzieć wygląd widma promieniowania emito-

wanego przez atom.

ZałoŜenia:

• elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w miejscu ją-

dra,

• jądro (pojedynczy proton) jest tak cięŜkie, Ŝe środek masy pokrywa się ze środkiem

protonu.

Korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy

F = ma

albo

1

e 2

2

v

= m

4πε

(33.2)

r 2

r

0

Uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujem-

nym elektronem zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. Czy słusznie?

33-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Przykład 1

Obliczyć stosunek sił przyciągania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i

elektronu w atomie wodoru. Masa elektronu me = 9.1·10-31 kg, masa protonu mp =

1.7·10-27 kg, ładunek elementarny e = 1.6·10-19 C stała grawitacyjna G = 6.67·10-11

Nm2/kg2, a stała w prawie Coulomba 1/4πε0 = 8.99·109 Nm2/C2.

2

F

Gm m

πε

p

e 4

r

m m

G

0

p

e

−39

=

= 4πε G

≈ 5⋅10

2

2

0

2

F

r

e

e

E

Siła grawitacyjna jest całkowicie do zaniedbania.

Wzór (33.2) pozwala obliczyć energię kinetyczną

1

2

e 2

E =

mv =

(33.3)

k

2

8πε r

0

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem

e 2

E = −

(33.4)

p

4πε r

0

Całkowita energia układu wynosi

e 2

E = E + E = −

(33.5)

k

p

8πε r

0

PoniewaŜ, promień orbity moŜe przyjmować dowolną wartość więc i energia teŜ moŜe

być dowolna. Ze wzoru (33.3) moŜemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu

e 2

v =

4πε mr

0

a następnie częstotliwość

2

e

v = v =

0

3

3

2π r

16π ε mr

0

Pęd dany jest równaniem

me 2

p = mv =

4πε r

0

a moment pędu

33-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

2

me r

L = pr =

(33.6)

4πε 0

Tak więc, jeŜeli jest dane r, to znane są równieŜ parametry orbitalne: Ek, Ep, E, v, v 0, p, oraz L.

JeŜeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwan-

towane.

Na tym etapie Bohr nie miał Ŝadnych zasad, którymi mógłby się posłuŜyć.

W związku z tym wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parame-

trów orbity i zastosował ją do momentu pędu L.

Postulaty Bohra były następujące:

1. Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania ku-

lombowskiego pomiędzy elektronem i jądrem i ruch ten podlega prawom mechaniki

klasycznej.

2. Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-

sycznej, elektron moŜe poruszać się tylko po takich orbitach, dla których momemt

pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2π.

h

L = n

n = ,

1

,

2

,

3 .....

2π

(33.7)

gdzie stała n oznacza liczbę kwantową. (Zwróćmy uwagę, Ŝe ponownie tak jak przy

opisie ciała doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, pojawia

się stała Plancka h.)

3. Pomimo, Ŝe elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po takiej orbicie), to

jednak nie wypromieniowuje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała.

4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszający

się po orbicie o całkowitej energii Ej zmienia swój ruch skokowo, tak Ŝe porusza się

następnie po orbicie o energii Ek. Częstotliwość emitowanego promieniowania jest

równa

E − E

j

v

k

=

(33.8)

h

Uwaga: To jest postulat Einsteina głoszący, Ŝe częstotliwość fotonu promieniowania

elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.

Drugi postulat opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale jak juŜ mówiliśmy jeŜeli ja-

kakolwiek z wielkości: Ek, Ep, E, v, v 0, p, i L jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Łącząc równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy

2

h ε

2

0

2

r = n

= n r

n = ,

1 ,

2

,.........

3

(33.9)

2

1

π me

33-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Widzimy jak skwantowane jest r. Podstawienie tego równanie do wyraŜenia na energię

całkowitą (33.5) daje

4

me

E

1

E = −

=

n = ,

1 ,

2

,

3 .......

8 2 2 2

2

ε

(33.10)

h n

n

0

Z tego równania otrzymujemy wartoś ci energii dozwolonych stanów stacjonarych.

Stan n = ∞ odpowiada stanowi E = 0, w którym elektron jest całkowicie usunięty poza

atom.

Na rysunku poniŜej są pokazane wybrane przeskoki między róŜnymi stanami stacjonar-

nymi. Długość kaŜdej ze strzałek jest równa róŜnicy energii między dwoma stanami sta-

cjonarnymi czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Częstotliwość emito-

wanego promieniowania moŜna obliczyć korzystając z postulatu Bohra dotyczącego

częstotliwości promieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energię

(33.7)

n

∞

i

6

ir

iir

5

es

e

4

s

a

c

a

3

i

ci seria Paschena

na

n

r

a

g

rg

2

seria Balmera

iires acinarg

1

seria Lymana

4

me

 1

1 

v =

2

3 



−

2

2 



8ε

(33.11)

h

j

k

0





gdzie j, k są liczbami kwantowymi opisującymi niŜszy i wyŜszy stan stacjonarny.

33-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Na gruncie modelu Bohra moŜna łatwo zrozumieć własności widm emisyjnych atomów

jednoelektronowych. MoŜna równieŜ zrozumieć widma absorpcyjne. PoniewaŜ elektron

musi mieć w atomie energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stanu sta-

cjonarnego) więc z padającego promieniowania moŜe on absorbować tylko określone

porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów hv musi być równa róŜnicy

pomiędzy energiami dozwolonych stanów tak więc linie widma absorpcyjnego mają te

same częstotliwości (długości fal) co linie widma emisyjnego.

Na początku atom jest w stanie podstawowym n = 1 więc procesy absorpcji odpowiada-

ją serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach atomy będą juŜ w stanie n = 2

i moŜemy obserwować linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).

33-7