Granice ciągów

nk

1. Dla jakich wartości k ciąg o wyrazach an =

będzie rozbieżny do +∞ ?

2 + 4 + · · · + 2n

2. Podać przykład ciągu niemonotonicznego, którego granicą jest liczba 2.

3. Wykazać, że jeżeli ciąg (an) jest ograniczony i lim bn = 0, to lim an · bn = 0.

n→∞

n→∞

4. Obliczyć następujące granice 1 + 2 + · · · + n

(n + 1)20 + (n + 2)20 + (n + 3)20

a) lim

b) lim

n→∞

n2

n→∞

2n20 + 1

7 + 2n

1

1

1

1

c) lim

d) lim (1 −

+

−

+ · · · + (−1)n

)

n→∞ 3n + 4n

n→∞

21

22

23

2n

√

n

n2 + 1

e) lim √

f) lim

2

n

3

→∞

8n3 + 2n + 1

n→∞ 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) np1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) (n + 2)! + n!

g) lim

h) lim

n→∞

2n2 + n + 1

n→∞ (n + 2)! − (n + 1)!

(n + 2)!

i) lim

j) lim [ log(10n2 + 1) − 2 log n ]

n→∞

n2 · n!

n→∞

p

p

p

k) lim ( 4n2 + 2n − 4n2 + 2)

l) lim ( n2 + 1 − n) cos n!.

n→∞

n→∞

1

a

b

5. Wyznaczyć liczby a i b takie, że

=

+

dla x ∈ R − {0, 1}. Następnie obliczyć (x − 1)x

x − 1

x

1

1

1

1

lim

+

+

+ . . . +

.

n→∞

1 · 2

2 · 3

3 · 4

(n − 1)n

2n + 3n

6. Niech Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu an =

. Obliczyć lim Sn.

6n

n→∞

1 n

7. Dla jakich parametrów k ciąg an = 1 +

jest rozbieżny?

k



2n



dla n ¬ 100

8. Obliczyć lim a

1+n2

n, gdy an =

, n ∈ N+.

n→∞

1−n



dla n > 100

1+n

9. Dany jest ciąg o wyrazach

nk

(n!)2

a) an =

.

b) an =

.

kn

(2n)!

an

Obliczyć lim

+1 .

n→∞

an

10. Podać i uzasadnić twierdzenie o trzech ciągach 11. Korzystając z tw. o trzech ciągach wykazać, że

√

√

a) lim n a = 1 dla dowolnego a > 0, b) lim n n = 1

n→∞

n→∞

12. Wyznaczyć granice ciągów

√

√

a) an = n 2 · 3n + 4 · 7n

b) bn = n 3n + sin n

s (−1)n

1

2

n

c) cn = n

+ 2n

d) dn =

+

+ . . . +

n

n2 + 1

n2 + 2

n2 + n

13. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym pokazać, że ciąg n

1

X

an =

n + k

k=1

jest zbieżny.

KursPG.W G.