3. WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ W PŁASKICH
SPRĘŻYSTYCH UKŁADACH PRĘTOWYCH
3.1 WIĘZI SPRĘŻYSTE
niektórych konstrukcjach sposób podparcia lub zamocowania, a także sposób połączenia Welementów w schemacie statycznym modelujemy więziami sprężystymi. Rozróżniamy więzi translacyjne przenoszące tylko siły podłużne i rotacyjne, przenoszące tylko momenty zginające.
Charakterystyką więzi sprężystej jest jej sztywność k. Sztywność jest równa sile (momentowi), która powoduje jednostkowe odkształcenie więzi.
Więź translacyjna :
Oznaczenie
∆ = 1 m
k
[k] = kN/m
Więź obrotowa :
Oznaczenie
k
ϕ = 1
k
k
Rys. 3.1
PRZYKŁADY :
a)
k
L
EA
Sztywność sprężyny k wyznaczamy rozpatrując rozciągany pręt o długości l i sztywności EA.
Nl
kl
EA
l
∆ =
gdy
l
∆ =
to
1
N = k
=1→ k =
EA
EA
l
17
1
2
k
A
B
k
B
A
Rys. 3.2
Na rysunku 3.2 b przedstawiono przypadek modelowania sprężystego węzła „1” w ramie i przykład sprężystego zamocowania na obrót belki.
Określmy dla więzi sprężystych wartości całek występujących w sformułowaniach zasady prac wirtualnych. Oznaczmy przez „i” stan wirtualny, a przez „j” stan rzeczywisty. Wówczas mamy : Więź translacyjna :
S
S
S
S
j
i
∆ dS
i
=
dS
∆
=
i
j
k
j
k
k
k
Stąd mamy :
S S
i
j
∫ N
(3.1)
i ∆ dS j = ∫ N j ∆ dSi = k Więź rotacyjna :
k
S
S
∆
k
d
i
ϕ =
d
j
∆ ϕ =
i
k
j
k
S
S
i
j
Stąd
S S
i
j
∫ M
ϕ
ϕ
(3.2)
i ∆ d
j = ∫ M j ∆ d i = k Jeżeli - jak wspomniano wcześniej - stany „i” obciążenia i przemieszczeń traktujemy jako wirtualne, a stany „j” jako rzeczywiste, to pierwszą i druga zasadę prac wirtualnych z uwzględnieniem więzi sprężystych możemy przedstawić następująco :
18
S S
sj
si
∑ P
R
M
dϕ
N
dS
T
dh
(3.3)
kj ∆ ki + ∑ rj ∆ ri = ∫
j ∆
i + ∫
j ∆
i + ∫ j ∆ i + ∑ k k
r
s
s
Zasada II :
S S
si
sj
∑ P
R
M
dϕ
N
dS
T dh
(3.4)
ni ∆ nj + ∑ ri ∆ rj = ∫
i ∆
j + ∫ i ∆
j + ∫ i ∆
j + ∑
k
n
r
s
s
We wzorach (3.3) i (3.4) indeks „s” oznacza sumowanie po więziach sprężystych.
3.2 PRZEMIESZCZENIA WYWOŁANE DZIAŁANIEM SIŁ
Niech na układ prętowy działają siły P, które wywołują siły przekrojowe M
oraz odkształcenia
p , Np , Tp
M
N
T
κ
d
p
∆ ϕ =
ds , ds
p
∆
=
ds , dh
p
∆
=
ds . Chcemy wyznaczyć przemieszczenie w p
EI
p
EA
p
GA
miejscu i na kierunku „i”. Oznaczmy to przemieszczenie symbolem ∆ . Chcąc otrzymać to ip
przemieszczenie w miejscu i kierunku „i” przykładamy jednostkowe obciążenie wirtualne P = 1 , i
i
któremu odpowiadają wirtualne siły przekrojowe M , N , T . Biorąc pracę wirtualną układu P = 1
i
i
i
i
i
i sił przekrojowych M , N , T na rzeczywistych przemieszczeniach ∆ i odkształceniach d
∆ ϕ ,
i
i
i
ip
p
ds
∆
i dh
∆
z drugiej zasady prac wirtualnych (wzór (3.4), P = 1 , symbol „j” zastąpić symbolem p
p
ni
i
„p”, pomijamy osiadanie podpór ∆
) otrzymuje się :
rp = 0
S S
1
M
dϕ
N
ds
T dh
i ∆ ip = ∫
i ∆
p + ∫ i∆ p + ∫ i ∆
p + ∑ si sp =
k
s
s
. (3.5)
M M
N N
T
κ T
S S
=
∫ i p ds +
EI
∫ i p ds +
EA
∫ i p ds + ∑ si sp
GA
k
s
s
W przypadku belek i ram z reguły wpływ sił osiowych i sił tnących na przemieszczenia jest na tyle mały, że go pomijamy i wzór (3.5) ma postać :
M M
S S
i
p
si
sp
∆
ds
. (3.5’) ip = ∫
+ ∑
EI
k
s
s
19
Całki we wzorach (3.5) i (3.5’) rozciągają się na cały ustrój prętowy. Aby wyznaczyć przemieszczenia należy sporządzić wykresy sił przekrojowych i wyznaczyć reakcje w więziach sprężystych, a następnie obliczyć odpowiednie całki i sumy.
W przypadku, gdy wyznaczamy przemieszczenia w kratownicach wzór (3.5) ulega modyfikacji, gdyż występują tylko siły osiowe i są one stałe na całej długości pręta. Stąd zamiast wzoru (3.5) mamy : N N l
S S
ki
kp k
si
sp
∆
. (3.6) ip = ∑
+ ∑
( EA)
k
k
k
s
s
We wzorze (3.6) wskaźnik „k” określa numer pręta, natomiast l odpowiednio długość i
k i (EA)k
sztywność osiową - na rozciąganie (ściskanie) pręta „k”.
PRZYKŁADY
a) Wyznaczmy przemieszczenie w środku belki, której schemat statyczny pokazano na rysunku 3.3.
q
EJ
k=24EJ/L 3
ql
ql
V
=
V
=
V
Ap
Bp
A
V
2
2
B
L
ql
q
qx
2
M ( x) =
x −
x =
( l − x)
p
2
2
2
M
M
=M(L/2)=ql 2/8
P
max
Rys.3.3
Stan jednostkowy
1
1
V
VBi =
Ai =
1
2
2
i
q
l
1
1/2
1/2
0
dla
≤ x ≤ M = x
i
L/2
L/2
2
2
l
l
x
dla
≤ x ≤ l M = −
i
M
2
2
2
L/4
i
Rys.3.4
l
1 /2 q
l
1
1
∆ =
x −
+
− − +
=
ip
( l x)
q
xdx
x( l x) l
x
V V
dx
Bp
Bi
∫
∫
EI
2
2
EI
2
2
2
k
0
l / 2
q
l / 2
l
2
2
5 4
4
9 4
=
x
( l − x) dx + x( l − x) ql
ql
ql
ql
dx
∫
∫
+
=
+
=
4 EI
4 k
384 EI
96 EI
384 EI
0
l / 2
20
b) W podanej kratownicy wyznaczyć pionowe przemieszczenie węzła 3.
P
1
2
(EA)k = EA = const
60o
A
3
B
∆ = ?
3
2a
2a
1
2
A
3
B
1i
Rys.3.5
N N l
kp
ki k
PRĘT (k)
Nkp
Nki
(EA)k
lk
EAk
3 P
−
− 3
Pa
A1
2 3
3
EA
2a
EA
P
−
− 3
1 Pa
12
2 3
3
EA
2a
3 EA
3 P
3
1 Pa
A3
4 3
6
EA
2a
4 EA
P
−
3
1 Pa
−
13
2 3
3
EA
2a
3 EA
P
3
1 Pa
32
2 3
3
EA
2a
3 EA
P
−
− 3
1 Pa
2B
2 3
3
EA
2a
3 EA
P
3
1 Pa
3B
4 3
6
EA
2a
12 EA
Pa
∑ =
2 EA
21
c) Rozpatrzmy problem wyznaczenia przemieszczenia w belce statycznie niewyznaczalnej. W belce równomiernie obciążonej chcemy wyznaczyć przemieszczenia pionowe w punkcie „c”.
q
C
v = ?
c
L
Rys.3.6
Chcąc wyznaczyć przemieszczenia w punkcie „c” przykładamy jednostkowe obciążenie w tym punkcie.
1i
C
Rys.3.7
Zachodzi w tym przypadku rozwiązanie belki statycznie niewyznaczalnej od siły jednostkowej 1i.
Przypomnijmy sobie jednak, że - jak wynika z II zasady prac wirtualnych - obciążenie jednostkowe jest obciążeniem wirtualnym, a więc wystarczy aby spełniało warunki równowagi. Wynika stąd, że jako stan jednostkowy wystarczy przyjąć schemat statycznie wyznaczalny (rys.3.8), w którym wszystkie wielkości zaznaczymy kreseczką.
1i
A
B
C
V
VB
A
Rys.3.8
Możliwość przyjęcia stanu jednostkowego przedstawionego na rysunku 3.8 zamiast przyjęcia schematu statycznego jak na rys.3.7 jest treścią twierdzenia redukcyjnego. Problem ten bardziej szczegółowo zostanie omówiony, gdy przejdziemy do wyznaczania przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych.
22