Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 1

Zadanie

1. Stosując wzór sumacyjny Simpsona dla przedziału całkowania podzielonego na k = 3 podprzedziały obliczyć całke: Z 3

I =

( x 3 + 2 x) dx

− 3

Odpowiedź:

Całkę można policzyć dwoma sposobami:

• I. Korzystamy z ogólnego wzoru Simpsona:

Z b

h

f ( x) dx ≈

[ f 0 + fn + 2 ( f 2 + f 4 + · · · + fn− 2) + 4 ( f 1 + f 3 + · · · + fn− 1)] .

a

6

Mamy zatem:

I = h [ f (

6

− 3) + f(3) + 2( f( − 1) + f(1)) + 4( f( − 2) + f(0) + f(2))] =

= 2 [

6 − 33 + 33 + 2 · ( − 3 + 3) + 4 · ( − 12 + 0 + 12)] = 0

• II. Korzystamy ze wzoru Simpsona obliczając sumę trzech całek: Z

Z

Z

− 1

1

3

I =

( x 3 + 2 x) dx +

( x 3 + 2 x) dx +

( x 3 + 2 x) dx.

− 3

− 1

1

Stąd: I = 2 [

[

[3 + 4

6 − 33 + 4 · ( − 12) − 3] + 2

6 − 3 + 4 · 0 + 3] + 2

6

· 12 + 33] = 0

Uwaga: h = xi+2 − xi ,

gdzie i = 0 , 2 , 4.

Zadanie

2. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały): Z 3

I =

x 2 − 3 x + 5 dx , 1

a) metodą prostokątów środkowych, b) metodą trapezów, c) metodą Simpsona.

Zadanie

3. Stosując wzory Newtona–Cotesa przy interpolacji wielomianem 3-go stopnia, obliczyć całkę:

Z 2

I =

( − 8 x 3 + 4 x 2 + 20 x + 8) dx

− 1

Odpowiedź:

Dla stopnia n = 3:

h = 2 −( − 1) = 1 , 3

x 0 = − 1 ,

x 1 = 0 ,

x 2 = 1 ,

x 3 = 2 ,

f 0 = 8 + 4 − 20 + 8 = 0 , f 1 = 8 ,

f 2 = − 8 + 4 + 20 + 8 = 24 , f 3 = − 64 + 16 + 40 + 8 = 0 .

Korzystając ze wzoru Newtona–Cotesa dla n = 3 otrzymujemy:

1

3

3

1

I = 3 · 1 ·

· 0 +

· 8 +

· 24 +

· 0 = 36

8

8

8

8

Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 2

Zadanie

4. Obliczyć metodą prostokątów lewych, prawych, środkowych oraz trapezów cał-

ki ( n – liczba podprzedziałów):

Z 3

Z

dx

2

, n = 4 ,

x 3 dx, n = 4 ,

1

x

0

Z 3 p

Z 1

x 1 + x 2 dx, n = 6 , sin πx dx, n = 6 ,

0

0

Z 2 π

Z 1

x sin x dx, n = 8 ,

x 2 ex dx, n = 8 .

0

0

Dodatkowo obliczyć powyższe całki stosując metodę Simpsona oraz wzory Newtona–Cotesa (stopnia 3, 4, 5) dla n = 1.

Zadanie

5. Stosując trzypunktową kwadraturę Gaussa znaleźć wartość całki Z √ √

5+ 3

I =

(4 x 4 − 2 x 2) dx

√

√

−

5+ 3

Czy otrzymany wynik jest dokładny? Dla trzypunktowej kwadratury Gaussa węzły i wagi są następujące:

q

q

ξ

3

3

0 = −

, ξ

w

, w

, w

5

1 = 0, ξ 2 =

5

0 = 5

9

1 = 8

9

2 = 5

9

Odpowiedź:

Stosując podstawienie

√

√

√

√

5 +

3 +

5 − 3

√

x = mξ + n

gdzie m =

=

5

2

√

√

√

√

5 +

3 − 5 + 3

√

n =

=

3

2

√

√ √

√

sprowadzamy całkę w przedziale − 5 + 3; 5 + 3 do całki w przedziale h− 1; 1 i Po zasto-sowaniu trzypunktowej kawadratury Gaussa do otrzymanej całki ostateczny rezultat wynosi

√

√ 5

8

5

1000 5

I =

5( · 0 +

· 30 +

· 522) =

.

9

9

9

3

Otrzymany wynik jest dokładny ponieważ trzypunktową kwadraturą Gaussa można całkować ściśle wielomiany do stopnia 5-go włącznie.

R √ 3+1

Zadanie

6. Obliczyć przybliżoną wartość całki :

√

ex/ 2 (sin x − 1) dx dwupunktową

−

3+1

√

kwadraturą Gaussa. Wagi wi = 1 . 0, współrzędne węzłów xii = + − 1 / 3.

Zadanie

7. Obliczyć kwadraturą Gaussa całki, przyjmując n = 2 i n = 3: Z 3

Z

Z

dx

2

3

p

,

x 3 dx,

x 1 + x 2 dx,

1

x

0

0

Z 1

Z 2 π

Z 1

sin πx dx,

x sin x dx,

x 2 ex dx.

0

0

0

Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 3

Zadanie

8. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały): Z 9

I =

x 2 − 12 x + 36 dx , 3

a) metodą Simpsona,

b) metodą dwupunktową Gaussa.

c) Wyznacz błąd bezwzględny dla każdego z przypadków wiedząc, że dokładne wartości całek wynoszą: I = 18 . 0 .

Odpowiedź:

a) Metoda Simpsona:

Z 9

Z 9

9 − 3

x 2 − 12 x + 36 dx =

( x − 6)2 dx =

(3 − 6)2 + 4 · (6 − 6)2 + (9 − 6)2 = 18

3

3

6

b) Metoda Gaussa:

w 1 = w 2 = 1 . 0

√

12

9 − 3

3

√

x 1 =

−

·

= 6 − 3

2

2

3

√

12

9 − 3

3

√

x 2 =

+

·

= 6 +

3

2

2

3

√

2

f 1 =

6 − 3 − 6

= 3

√

2

f 2 =

6 +

3 − 6

= 3

Z 9

9 − 3

( x − 6)2 dx =

(1 · 3 + 1 · 3) = 18

3

2

c) Błąd bezwzględny dla obu metod wynosi:

∆ I = | e

I − I |= 0