1

4. Typy przetworników energii o ruchu obrotowym

4.1. Typowe kształty obwodu magnetycznego

W poprzednim rozdziale przedstawiono równania przetworników energii o ruchu obrotowych, z których wynika, Ŝe przetwarzanie energii mechanicznej i elektrycznej przy pomocy pola magnetycznego moŜe zachodzić, gdy koenergia (i energia) układu cewek zaleŜy od kąta obrotu, a ogólniej; gdy koenergia pola magnetycznego zaleŜy od współrzędnej mechanicznej. W przypadku zbioru cewek umieszczonych w obwodzie magnetycznym o liniowej charakterystyce magnesowania warunek ten jest spełniony, jeŜeli przynajmniej niektóre indukcyjności własne lub wzajemne zaleŜą od kąta obrotu. Indukcyjności własne i wzajemne cewek odzwierciedlają właściwości geometryczne obwodu magnetycznego oraz budowę cewek przetwornika. W tym rozdziale omówiono najbardziej charakterystyczne typy obwodów magnetycznych oraz sposoby tworzenie cewek przetworników o ruchu obrotowym.

Istnieją cztery podstawowe typy obwodu magnetycznego przetworników:

- cylindryczny,

- wydatno-biegunowy po stronie obrotowej,

- wydatno-biegunowy po stronie stałej,

- obustronnie wydatno-biegunowy.

Obwód magnetyczny przetwornika o cylindrycznym obwodzie magnetycznym charakteryzuje się równomierną szczeliną powietrzną na obwodzie. Cewki w takim przetworniku są umieszczane w specjalnie ukształtowanych rowkach, tzw. Ŝłobkach, rozłoŜonych równomiernie na wewnętrznej powierzchni części stałej oraz zewnętrznej powierzchni części obrotowej. Mimo istnienia tych Ŝłobków taki obwód magnetyczny jest uznawany za cylindryczny. Obwód magnetyczny przetwornika

moŜe posiadać wydatne bieguny na jednej z jego części stałej lub obrotowej, lecz równieŜ moŜe posiadać wydatne bieguny na obydwóch częściach. Na tych wydatnych biegunach są przewaŜnie umieszczane cewki. Na Rys. 4.1. przedstawiono schematycznie te cztery typy obwodu

magnetycznego.

Typ ’B’

Rys. 4.1. Typy obwodu magnetycznego przetworników o ruchu obrotowym:

cylindryczny (A), wydatno- biegunowy po stronie obrotowej (B),

wydatno-biegunowy po stronie stałej (C), obustronnie wydatno-biegunowy (D).

2

4.2. Typy cewek

Kształt obwodu magnetycznego narzuca sposób tworzenia cewek przetwornika. Jak juŜ

wspomniano powyŜej, cewki po stronie nie posiadającej wydatnych biegunów są umieszczane w Ŝłobkach. Tworzy się je łącząc elementarne cewki, których zwoje są połoŜone w tych samych Ŝłobkach. Takie cewki nazywa się cewkami rozłoŜonymi. Cewka rozłoŜona powstaje z szeregowego

połączenia cewek elementarnych, co zapewnia, Ŝe jedynie jeden prąd określa jej stan energetyczny.

Ilustruje to Rys. 4.2., na którym zaznaczono trzy elementarne cewki, umieszczone w trzech kolejnych Ŝłobkach. Ich połączenie szeregowe tworzy cewkę rozłoŜoną. W toku dalszych wykładów zostaną wyjaśnione cele i zasady tworzenia cewek rozłoŜonych.

Rys. 4.2. Schematyczne przedstawienie cewki rozłoŜonej i schematu połączenia cewek elementarnych Cewki umieszczone na wydatnych biegunach noszą nazwę cewek skupionych. Na Rys. 4.3.

przedstawiono schematycznie ułoŜenie zwojów cewki skupionej na wydatnym biegunie.

Rys. 4.3. Schematyczne przedstawienie cewki skupionej umieszczonej na wydatnym biegunie.

3

4.3. Przetworniki z cewkami o stałej konfiguracji

Przetworniki takie zawierają cewki, w których zwoje, niezaleŜnie od ich ułoŜenia, są trwale połączone. Aby przedstawić róŜnice wynikające z róŜnej budowy obwodu magnetycznego dla takich

przetworników zostaną zapisane równania przetwornika dla wszystkich czterech typów obwodu magnetycznego z Rys.3.1. Dla prostoty zapisu wybrano przetworniki od dwóch cewkach: pierwszej na części stałej oraz drugiej na części obrotowej. Funkcja Lagrange’a przetwornika o dwóch cewkach, niezaleŜnie od typu obwodu magnetycznego ma postać

1

L

L

  i  1

L = E

= i i ⋅ 

 ⋅   +

J ω

(4.1)

ko

[1 2] ,11 1,2 1

2

2

L

L

 2,1

2,2   i 

2

2

a jego równania zapisuje się mnemotechnicznie w następujący sposób

 

d

L

L

  i   R

0   i 

 u 



,

1 1

1,2

1





 ⋅   +  1

 ⋅  1  =  1 





(4.2a)

d t  L

L

2,1

2,2   i

0

R

i

u

2  



2 

 2   2 

 ∂L

L

,

1 1

∂



2



,

1 2 

d ϕ

dϕ

i

J

+ D

=

1

m

i

i

(4.2b)

2

z +

[1 2]

 

⋅  ϕ

∂

ϕ

∂  ⋅ 1

d t

d t

2

 ∂L

L

2,1

∂ 2,2   i 2







ϕ

∂

ϕ

∂ 

Aby jednoznacznie przedstawić sprzęŜenie zjawisk elektromagnetycznych oraz mechanicznych równania cewek (4.2a) moŜna zapisać w postaci

 ∂L

L

,

1 1

∂





,

1 2 

L

L  d  i  d

i

R

0

i

u

,

1 1

1,2

1

ϕ

  

  

 



 ⋅

  +

⋅  ϕ

∂

ϕ

∂  ⋅ 1 +  1

 ⋅  1  =  1 

L

L

t i

L

L

d

d t

i

0

R

i

u

2,1

2,2 

 2 

∂ 2,1

∂ 2,2   2 

2 

 2 

 2 





 ϕ

∂

ϕ

∂ 

Pierwszy człon w tych równaniach określa napięcia pojawiające się w cewkach w wyniku ruchu obrotowego, natomiast w równaniu mechanicznym widoczny jest człon, który stanowi moment elektromagnetyczny przetwornika, pojawiający się w wyniku przepływu prądów.

Równania dla poszczególnych typów obwodu magnetycznego róŜnią się jedynie właściwościami indukcyjności własnych i wzajemnych. Równania przetwornika o dwóch cewkach i cylindrycznym obwodzie magnetycznym (typu ‘A’) zapisano juŜ w rozdziale 3. Uzasadniono tam, Ŝe dla takiego przetwornika indukcyjności własne nie zaleŜą od połoŜenia części obrotowej, natomiast indukcyjność wzajemna zaleŜy od tego kąta.

L

= const = L ,

L

= const = L ,

L

= L = M ( )

ϕ

(4.3a)

,

1 1

1

2,2

2

,

1 2

2,1

Dla przetwornika o wydatno-biegunowej części obrotowej (typu ‘B’) proste rozwaŜanie fizykalne pozwala stwierdzić, Ŝe jedynie indukcyjność cewki drugiej nie będzie zaleŜna od kąta ϕ

L

= L (ϕ) , L = const = L ,

L

= L = M( )

ϕ

(4.3b)

,

1 1

1

2,2

2

,

1 2

2,1

4

Dla przetwornika o wydatno-biegunowej części stałej (typu ‘C’) jedynie indukcyjność cewki pierwszej nie będzie zaleŜna od kąta ϕ

L

= const = L ,

L

= L ( )

ϕ , L = L = M( )

ϕ

(4.3c)

,

1 1

1

2,2

2

,

1 2

2,1

Dla przetwornika o obustronnie wydatno-biegunowym obwodzie magnetycznym (typu ‘D’) wszystkie

indukcyjności, zarówno własne jak i wzajemna, będą funkcjami kąta ϕ

L

= L ( )

ϕ , L = L ( )

ϕ , L = L = M( )

ϕ

(4.3d)

,

1 1

1

2,2

2

,

1 2

2,1

KaŜdy z tych przetworników moŜe przetwarzać wzajemnie energie elektryczną i mechaniczną, gdyŜ

koenergia (oraz energia) pola magnetycznego jest zaleŜna od kąta ϕ , czyli współrzędnej mechanicznej.

Nietrudno zauwaŜyć, Ŝe energia moŜe być przetwarzane takŜe przez przetworniki o jednej cewce.

Przetwornik o wydatno-biegunowej części obrotowej będzie mógł przetwarzać energię, jeŜeli ta jedyna cewka będzie usytuowana na części nieruchomej. Równania takiego przetwornika mają postać dϕ

L

∂ ( )

ϕ

d i

1

1

⋅

⋅ i + L (ϕ )⋅

+ R ⋅ i = u

1

1

1

1

1

d t

ϕ

∂

d t

d2ϕ

dϕ

J

+ D

= m

i

z + 1 ⋅ ( 1 )2

∂L (

1 ϕ

⋅

)

d 2

t

d t

2

ϕ

∂

z których jednoznacznie wynika sprzęŜenie zjawisk elektrycznych i mechanicznych. Człon dϕ

L

∂ ( )

ϕ

1

⋅

⋅ i reprezentuje napięcie indukowane w cewce na skutek ruchu mechanicznego, a człon

1

d t

ϕ

∂

1 ⋅( i

reprezentuje moment elektromagnetyczny wytworzony przez prąd cewki.

1 )2

∂L (

1 ϕ

⋅

)

2

ϕ

∂

Analogiczny efekt uzyskuje się gdy obwód magnetyczny jest wydatno-biegunowy po stronie nieruchomej, a cewka znajduje się po stronie przeciwnej, czyli na części obrotowej. W obwodzie typu

‘D’ ta jedna cewka moŜe być umieszczona po dowolnej stronie, aby następowało przetwarzanie energii.

Uogólniając moŜna stwierdzić, Ŝe forma tych równań pozostanie niezmienna, jeŜeli w

przetworniku jest więcej cewek po kaŜdej ze stron (stałej i obrotowej). NaleŜy wówczas uznać, Ŝe poszczególne elementy równań są odpowiednio wektorami lub macierzami.

4.4. Przetworniki z cewkami o stałej konfiguracji z magnesami trwałymi w obwodzie

magnetycznym

Pewną odmianę opisanej poprzednio klasy przetworników, które znajdują coraz szersze

zastosowania stanowią przetworniki wykorzystujące magnesy trwałe. Istnienie magnesów trwałych w obwodzie magnetycznym przetwornika wywołuje pole magnetyczne, które wytwarza strumienie skojarzone z cewkami nawet, gdy w cewkach nie płyną prądy. Charakterystykę cewki umieszczonej w takim obwodzie magnetycznym przedstawia Rys. 4.4, na którym zaznaczono strumień skojarzony cewki w stanie bezprądowym – ψ .

0

5

ψ

(ψ, i)

E k

E ko

ψ0

Rys. 4.4. Charakterystyka cewki umieszczonej w obwodzie magnetycznym z magnesem trwałym

Zmiana charakterystyki cewki musi zostać uwzględniona w definicji jej energii oraz koenergii cewki, które teraz wyraŜają się wzorami

ψ

i

E

i

E

=

d

i

∫ψ

(4.4)

k = ∫ d

ψ

ko

ψ

o

0

Aby zauwaŜyć róŜnicę w stosunku do definicji koenergii cewki w obwodzie magnetycznym bez magnesów trwałych, rozpatrzony zostanie przypadek liniowego obwodu magnetycznego. Wówczas charakterystykę cewki opisuje zaleŜność

ψ =

L ⋅ i + ψ

(4.5)

0

a jej koenergia wynosi

1

E

= L ⋅ i 2 ψ

(4.6)

ko

+ 0 ⋅ i

2

Koenergię zbioru N cewek umieszczonego w obwodzie magnetycznym, w którym znajduje się magnes trwały, określa wzór

N

N

N

1

E

L

( )

ψ

( )

ko =

∑∑ , ϕ ⋅ i ⋅ i + ∑ 0, ϕ i⋅

n k

n

k

n

n

2 n=1 k=1

n=1

W ogólnym przypadku zarówno indukcyjności własne i wzajemne jak i wartości strumieni skojarzonych pochodzących od magnesów trwałych w stanie bezprądowym mogą być funkcjami kąta

obrotu ϕ . Aby określić koenergię całego przetwornika naleŜy dodać jeszcze koenergię zgromadzoną w obwodzie magnetycznym przetwornika w stanie bezprądowym

mag

E

( )

ϕ , która takŜe moŜe być

ko

zaleŜna od kąta obrotu.

1 N N

N

E

= ∑∑L ( )

(4.7)

n k ϕ ⋅ in ⋅ ik + ∑ ψ

( )

mag

n ϕ ⋅ in + E

( )

ϕ

ko

,

0,

ko

2 n 1

= k 1

=

n 1

=

Jak przykład rozpatrzono przetwornik przedstawiony schematycznie na Rys. 4.5, który posiada jedną cewkę na części obrotowej, a część stała ma wydatne bieguny z umieszczonymi na nich magnesami trwałymi o zaznaczonej biegunowości.

6

Rys.4.5. Przekrój poprzeczny przetwornika o jednej cewce umieszczonej w obwodzie magnetycznym z magnesem trwałym Funkcja Lagrange’a takiego przetwornika ma postać

1

2

mag

1

2

L =

L( )

ϕ ⋅ i + ψ ( )

ϕ ⋅ i + E

+ J ⋅ω

0

ko

2

2

wskazano w niej które elementy zaleŜą od kąta obrotu zwory z magnesami trwałymi. Indukcyjność cewki L(ϕ) umieszczonej na cylindrycznej części stałej zaleŜy od kata obrotu ze względu na wydatno-biegunowy charakter części obrotowej. TakŜe strumień skojarzony tej cewki w stanie bezprądowym ψ (ϕ) jest zaleŜny od kata obrotu zwory. Natomiast koenergia obwodu magnetycznego 0

w stanie bezprądowym nie zaleŜy od połoŜenia zwory ze względu na cylindryczny kształt stałej części przetwornika. Równania tego przetwornika po wykonaniu operacji matematycznych zgodnie z ogólnymi równaniami Lgrange’a oraz uporządkowaniu, przyjmują postać

d (L ϕ

( ) ⋅ i + ψ (

0 ϕ)) + R ⋅

i = u

d t

d2ϕ

dϕ

1 ∂L(ϕ)

2

ψ

∂ (

0 ϕ

J

+ D

=

)

m

z +

⋅ i +

⋅ i

d t 2

d t

2

ϕ

∂

ϕ

∂

Równanie cewki moŜna zapisać w postaci

dϕ ∂L(ϕ)

i

d

dϕ

ψ

∂ (

0 ϕ

⋅

⋅

)

i + L(ϕ ⋅

)

+

⋅

+ R ⋅ i = u

t

d

ϕ

∂

d t

d t

ϕ

∂

W równaniu tym uwidoczniono człon reprezentujący napięcie indukowane w cewce w wyniku obecności magnesu trwałego.

Równania przetworników z magnesami trwałymi o wielu cewkach tworzy się w analogiczny sposób jak dla przetworników bez magnesu trwałego w obwodzie magnetycznym.

7

4.5. Przetworniki z komutatorem

Istnieje klasa przetworników, w których cewki są tworzone w bardzo specyficzny sposób. Jest on

nieco bardziej skomplikowany i wymaga dokładniejszego objaśnienia. Cewki takie są tworzone w zasadzie na częściach obrotowych przetworników o cylindrycznym kształcie. Idea tworzenia takiej cewki zostanie przedstawiona na najprostszym przykładzie. We wszystkich równomiernie

rozłoŜonych Ŝłobkach umieszcza się elementarne cewki łącząc je w szereg, tj. koniec jednej cewki z początkiem następnej. Powoduje to powstanie zamkniętej pętli utworzonej ze wszystkich cewek elementarnych. Połączenie kaŜdej z dwóch cewek elementarnych łączy się z wycinkiem pierścienia umieszczonego na części obrotowej. Wycinki te są wzajemnie izolowane, a ich liczba jest równa liczbie cewek elementarnych. Ten pierścień, złoŜony z izolowanych segmentów nosi nazwą komutatora. Do tego komutatora przykłada się nieruchome elementy kontaktowe, tzw. szczotki, które łączą obracające się cewki elementarne z nieruchomym zewnętrznym obwodem elektrycznym. Gdy liczba cewek elementarnych jest wystarczająco duŜa, utworzona zostaje cewka, której oś magnetyczna, czyli kierunek magnesowania obwodu magnetycznego przetwornika, jest zaleŜna jedynie od kąta połoŜenia szczotek. PołoŜenie kątowe osi magnetycznej tej zastępczej cewki nie zmienia się przy obrocie cewek elementarnych. Jest to bardzo waŜna właściwość utworzonej w ten sposób cewki. Rys. 4.6a przedstawia rozmieszczenie cewek elementarnych na części obrotowej, a Rys.

4.6b ilustruje sposób połączenia cewek elementarnych z komutatorem.

η

i 1

8

4'

7

3'

1

5'

2'

6

6' 2

1'

7'

5

8'

3

4

i 1

Rys. 4.6a. Schematyczne przedstawienie rozmieszczenia cewek elementarnych w przetworniku z komutatorem 7'

8

7

8'

6'

1

i

6

2

1'

2

5'

i 2

5

2'

4'

3

4

3'

Rys. 4.6b. Ilustracja sposobu łączenia cewek elementarnych z komutatorem

8

Sposób tworzenia równań przetwornika z tak utworzoną cewką na części obrotowej przedstawiono na przykładzie przetwornika o dwóch cewkach umieszczonych w obwodzie magnetycznym o wydatno-biegunowej części nieruchomej, przedstawionego schematycznie na Rys. 4.6a. Pierwsza z cewek ‘1’

umieszczona jest na wydatnych nieruchomych biegunach, cewka druga ‘2’ – utworzona w sposób opisany powyŜej – znajduje się na części obrotowej. Funkcja koenergii przetwornika ma postać analogiczną jak dla normalnego przetwornika

1

L

L

  i  1

E

= i i ⋅ 

 ⋅   +

J ω

(4.8)

ko

[1 2]

,

1 1

1,2

1

2

2

L

L

 2,1

2,2   i 

2

2

Indukcyjności własne i wzajemna takiego układu cewek zaleŜą od kąta połoŜenia elementów kontaktowych – szczotek, oznaczonego na Rys. 4.6a przez η . W rozpatrywanym przypadku moŜna zauwaŜyć, Ŝe indukcyjność własna cewki połoŜonej na wydatnym biegunie nie będzie zaleŜna od tego kąta natomiast zarówno indukcyjność wzajemna jak i indukcyjność własna cewki zastępczej na części obrotowej będą zaleŜeć od tego kąta połoŜenia szczotek

L

= const = L ,

L

= L ( )

η ,

L

= L = M( )

η

(4.9)

,

1 1

1

2,2

2

,

1 2

2,1

Równania takiego układu cewek mają nieco bardziej złoŜoną postać, gdyŜ muszą uwzględniać fakt, Ŝe cewka ‘2’ na części obrotowej jest cewką zastępczą, nieruchomą względem cewki ‘1’ na części stałej, podczas gdy, w rzeczywistości jest ona utworzona z cewek obracających się względem cewki ‘1’.

Równanie dla cewki ‘1’ ma niezmienioną postać

d

E

∂ ko = u − R ⋅ i

1

1

1

d t

i

∂ 1

Natomiast równanie dla cewki ‘2’ zawiera dodatkowy człon, który uwzględnia fakt utworzenia

„stałej” cewki ‘2’ z obracających się cewek elementarnych.

d

E

∂

dϕ

E

∂

1

ko

ko

+

⋅

⋅ = u − R ⋅ i

2

2

2

d t

i

∂

d t

η

∂

i

2

2

W równaniu ruchu obrotowego wystąpi pochodna koenergii względem kąta połoŜenia szczotek

2

d ϕ

dϕ

∂ E

J

+ D

= m +

ko

(4.10)

z

2

d t

d t

η

∂

Po uporządkowaniu otrzymuje się



0

0



 L

M( )

d i

d

i

R

0

i

u

1

η 

 

1

ϕ

  

  

 





 ⋅

  +

⋅ ∂M(η) 1 ∂L (η) ⋅  1

2

 +  1

 ⋅  1  =  1  (4.10a)

M(η) L ( )

d t i

d t

i

0

R

i

u

2 η 

 2 



  2  

2 

 2 

 2 



η

∂

2

η

∂





∂M(η) 

0

2

d ϕ

dϕ

i

J

+ D

=

1

m

i

i

(4.10b)

2

z +

[1 2] 

  

η

∂

⋅ 

 ⋅  1 

d t

d t

2

∂M(η)

∂L ( )

2 η   i 2 



η

∂

η

∂







Gdyby

zmienność

indukcyjności

aproksymować

funkcjami

M(η) ≈ M ⋅ cos η

oraz

L (

, wynikającymi z najprostszej interpretacji fizykalnej, to dla kąta η = 0

2 η) ≈ L0 + L 2 ⋅ cos

η

2

otrzymuje się równania

9

L

M

 d  i  R

0   i 

 u 

 1

 ⋅

 1  +  1

 ⋅  1  =  1 

M L

L

d t i

0

R

i

u

0 +

2 

 2 



2 

 2   2 

2

d ϕ

dϕ

J

+ D

= m

z

2

d t

d t

z których wynika, Ŝe przy takim ustawieniu szczotek przetwornik nie będzie przetwarzał energii. Dla kąta η = π/2 równania przyjmują postać

d i 1

L ⋅

+ R ⋅ i = u

1

1

1

1

d t

d i 1

(L − L

) ⋅

− ω⋅ M ⋅ i + R ⋅ i = u

0

2

1

2

2

2

d t

dω

J

+ Dω = m − M ⋅ i ⋅ i

z

1

2

d t

z których wynika, Ŝe w tym połoŜeniu przetwarzanie energii jest najbardziej efektywne.

↓*****************************************************************↓

Gdyby na części stałej znajdowało się N cewek, a na komutatorze zostało rozlokowanych K par szczotek połoŜonych pod róŜnymi kątami η ,η ,...,η , to równania przetwornika przyjmą postać:

1

2

K

- dla cewek na części stałej

d

E

∂ ko = u −R ⋅ i dla n = ,1 ,2...,N

n

n

n

d t

i

∂ n

- dla cewek utworzonych przez poszczególne pary szczotek

d ∂ E

d

E

1

ko

ϕ ∂

K

+

⋅

ko ⋅

= u

i

dla k = ,

1 ,

2 ..., K

k − ∑ R k,l ⋅

l

d t ∂ i

d t

i

k

∂η k k

l=1

- dla ruchu obrotowego

2

d ϕ

dϕ

K

E

J

+ D

= m

∑ ∂

+

ko

z

2

d t

d t

l=

η

∂

1

k

Funkcja koenergii dla takiego przetwornika ma postać analogiczną jak dla przetwornika bez komutatora

N

N

1

E

L

i i

ko =

∑∑ n,k ⋅ n ⋅

2

k

n=1 k =1

W celu utworzenia równań naleŜy określić zaleŜności indukcyjności własnych oraz wzajemnych od kątów połoŜenia szczotek η ,η ,...,η .

1

2

K

↑*****************************************************************↑

10

Przykłady

P. 4.1/. Dla wydatno biegunowego przetwornika elektromechanicznego o ruchu obrotowym określić jakościowo zaleŜności indukcyjności od kąta obrotu ϕ zakładając, Ŝe cewki na części

nieruchomej (stojanie) posiadają taką samą liczbę zwojów, a następnie zapisać funkcję oraz równania Lagrange’a.

W przetworniku z wydatno biegunowym wirnikiem indukcyjności własne oraz wzajemne uzwojeń stojana będą funkcjami kąta obrotu ϕ ze względu na zmiany geometrii obwodu magnetycznego.

Indukcyjności wzajemne pomiędzy uzwojeniami stojana i wirnika będą równieŜ funkcjami kąta obrotu ϕ podobnie jak dla przetwornika cylindrycznego, natomiast indukcyjność własna uzwojenia wirnika będzie stała, gdyŜ drogi linii sił pola magnetycznego wytworzonego przez to uzwojenie nie zmieniają się wskutek obrotu. Charakterystyczną cechą indukcyjności uzwojeń stojana dla przetwornika z wydatno biegunowym wirnikiem jest to, Ŝe zaleŜności te są funkcjami podwójnego kąta ( 2ϕ ).

L ( )

ϕ = L − L

∆ ⋅cos(2 )

ϕ

L ( )

ϕ = L + L

∆ ⋅cos(2 )

ϕ

2,2

0

1,1

0

L

L0

0

L ( )

ϕ = L

∆ ⋅ sin(2 )

ϕ

1,2

L

(ϕ) = M ⋅ cos( ϕ)

L

(ϕ) = M ⋅ sin( ϕ)

1,3

2,3

Forma kwadratowa ko-energii uzwojeń moŜe, zatem być zapisana następująco

11

L ( ) L ( ) L ( )

i

,

1 1 ϕ

,

1 2 ϕ

,

1 3 ϕ 

 

1

1

E

i

i

i

L

( )

L

( )

L

( )

i

ko =

[1 2 3] 

  

⋅  2,1 ϕ

2,2 ϕ

2,3 ϕ  ⋅  2 

2



  

L ( ) L ( )

L

i

3,1 ϕ

3,2 ϕ

,

3 3

  3 

Równania napięciowe przetwornika zgodnie z przedstawionymi wcześniej wyprowadzeniami

przybierają formę

 L ( ) L ( ) L ( )

i

u

R

i

,

1 1 ϕ

,

1 2 ϕ

,

1 3 ϕ 

  

  

  



1



d



  

 1   1

  1 

 L ( ) L ( ) L ( ) i

u

R

i

2,1 ϕ

2,2 ϕ

2,3 ϕ  ⋅



2

= 2 −

2

⋅

 

  

  2 

dt 

      

  

 L ( ) L ( )

L

i

u

R

i

3,1 ϕ

3,2 ϕ

,

3 3

  3    3  

3 

 3 

natomiast równanie mechaniczne wygląda następująco

dω

J

= m

m

em +

z −

ω

D

d t

gdzie

L ( ) L ( ) L ( )

i

,

1 1 ϕ

,

1 2 ϕ

,

1 3 ϕ 

 

∂

1

m

= E

1

ko

i

i

i

(

L

( )

L

( )

L

( ) )

i

em

= [1 2 3] ∂ 

  

⋅

 2,1 ϕ

2,2 ϕ

2,3 ϕ  ⋅  2 

ϕ

∂

2

ϕ

∂ 

  

L ( ) L ( )

L

i

3,1 ϕ

3,2 ϕ

,

3 3

  3 

WyraŜenie przedstawiające moment elektromagnetyczny po wykonaniu formalnych przekształceń matematycznych moŜna przekształcić następująco

L

∂

( )

ϕ

L

∂

( )

ϕ

L

∂

( )

ϕ

L

∂

( )

ϕ

L

∂

( )

ϕ

,

1 1

1

m

=

( i )2

2,2

1

+

( i )2

,

1 2

,

1 3

2,3

+

i i +

i i +

i i =

em

2

1

2

2

1

2

1

3

2

3

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

ϕ

∂

= (

− i )2 L

∆ sin 2

(

)

ϕ + ( i )2 L

∆ sin 2

(

)

ϕ + 2 i i L

∆ cos 2

(

)

ϕ − i i Msin( )

ϕ + i i Mcos( )

ϕ

1

2

1

2

1

3

2

3

P. 4.2/. Dla przetwornika elektromechanicznego o ruchu obrotowym z magnesami trwałymi określić jakościowo zaleŜności strumieni skojarzonych z uzwojeniami od kąta obrotu ϕ zakładając, Ŝe

cewki na części nieruchomej (stojanie) posiadają taką samą liczbę zwojów, a następnie wyznaczyć funkcję ko-energię i zapisać równania Lagrange’a.

W przetworniku o cylindrycznym wirnikiem z powierzchniowo umieszczonymi magnesami trwałymi,

indukcyjności własne oraz wzajemne uzwojeń stojana będą stałe, natomiast funkcjami kąta obrotu ϕ

będą strumienie wzbudzane magnesami trwałymi skojarzone z tymi uzwojeniami. Jest to sytuacja podobna do przetwornika z przykładu P. 3.1. w, którym wzbudzenie było elektromagnetyczne

12

ψ (ϕ) = ψ ⋅ cos(ϕ)

ψ (ϕ) = ψ ⋅ sin(ϕ)

0,1

m

0,2

m

Funkcja ko-energii układu elektromagnetycznego przetwornika moŜe być zapisana wg wcześniejszych wyprowadzeń w zmodyfikowanej formie w następującej postaci

1

L

L

  i 

 i 

E

= i i 

   + ψ ( )

ϕ ψ ( )

ϕ   + E

ko

[1 2] ,11

,

1 2

1

[ 01,

0,2

] 1

mag

ko

2

L

L

 2,1

2,2

i

  

i

2

 2 

PoniewaŜ stojan przetwornika jest gładki, dlatego ko-energia samego magnesu

mag

E ko nie będzie

zaleŜeć od kąta obrotu ϕ . Równania opisujące przetwornik moŜna, więc zapisać następująco

L

L

 d  i   u 



d

ψ

( )

1

,

1

,

1 2

R

0

i

1

1

0 1

,

ϕ  

  



 ⋅

  =   −

⋅ 

 −  1

 ⋅  1 

L

L

d t i

u

d t

ψ

( )

2 1

,

2,2 



0

R

i

2 

 2 

 0,2 ϕ  

2 

 2 

dω

J

= m

m

em +

z − Dω

d t

gdzie

 ψ

∂

( )

ϕ

ψ

∂

( )

ϕ   i 

ψ

∂

( )

ϕ

ψ

∂

( )

ϕ

0 1

,

0,2

1

0 1

,

0,2

m

= 

 ⋅   =

i +

i =

em

1

2



ϕ

∂

ϕ

∂

 i

 

ϕ

∂

ϕ

∂

2

= −ψ sin( )

ϕ i + ψ cos( )

ϕ i

m

1

m

2

P. 4.3/. Zapisać równania oraz określić wyraŜenie na moment elektromagnetyczny dla przetwornika z komutatorami przy zasilaniu napięciem stałym. Dla jakich wartości kąta ustawienia

szczotek, wytwarzany moment elektromagnetyczny osiąga wartości maksymalne?

Dla przedstawionego przetwornika, zastępcza indukcyjność własna uzwojenia związanego z

komutatorem jest funkcją kata ustawienia szczotek η .

13

L( )

η = L + L

∆ ⋅cos(2 )

η

0

L0

Funkcje ko-energii dla takiego uzwojenia ma postać

1

2

E

= L( )

η ⋅ i

ko

2

k

Równanie elektryczne przetwornika przyjmuje, zatem postać

d

E

∂

E

ko

∂

+ ω⋅

ko ⋅ 1 = u − R ⋅ i

k

k

d t

i

∂

η

∂

i

k

k

którą po wykonaniu róŜniczkowań moŜna zapisać następująco

d

∂L η

(L η

( )

( ) i ) + 1 ω⋅

⋅ i = u − R ⋅ i

k

2

k

k

k

d t

η

∂

Zakładając zasilanie napięciem stałym u = U równanie elektryczne moŜna uprościć do postaci k

U = (R + ω ∆ L sin )

η i

k

Równanie mechaniczne posiada standardową formę dla przetworników o ruchu obrotowym

dω

J

= m

m

em +

z − Dω

d t

z tym, Ŝe moment elektromagnetyczny jest pochodną funkcji ko-energii po kącie ustawienia szczotek η

∂ E

∂ L( )

η

ko

2

2

1

m

=

=

⋅ i

i

k = − k ∆L sin(2

)

η

em

2

η

∂

η

∂

Z zaleŜności na moment widać, Ŝe dla kątów ustawienia szczotek η będących wielokrotnościami kata π / 4 moment ten przyjmuje wartości maksymalne. Podkreślenia wymagają przypadki, gdy

η = k ⋅ π / 4 gdzie k = ,

1

3

,

2 ... to

2

m

= − i

k ∆L

em

η = − k ⋅ π / 4 gdzie k = ,

1

3

,

2 ... to

2

m

= i

k ∆L

em

Wynika z tego, Ŝe poprzez zmianę ustawienia szczotek moŜemy zmienić znak momentu

elektromagnetycznego a tym samym kierunek obrotów wirnika

14

P. 4.4/. Zapisać równania oraz określić wyraŜenie na moment elektromagnetyczny dla przetwornika z komutatorami wzbudzanego magnesami trwałymi z ziem rzadkich przy zasilaniu napięciem

stałym.

Dla

jakich

wartości

kąta

ustawienia

szczotek,

wytwarzany

moment

elektromagnetyczny osiąga wartości maksymalne?

Dla przetwornika z komutatorem o wzbudzeniu za pomocą magnesów trwałych moŜna załoŜyć, Ŝe indukcyjność uzwojenia związanego z komutatorem nie będzie zaleŜna od kata ustawienia szczotek η , gdyŜ magnes trwały umieszczony w szczelinie moŜna traktować jak materiał o przenikalności magnetycznej zbliŜonej do powietrza. NaleŜy natomiast określić zaleŜność strumienia pochodzącego od magnesów skojarzonego z tym uzwojeniem od kata ustawienia szczotek η . Zgodnie z przyjętym

na rysunku strzałkowaniem, strumień ten moŜna aproksymować zaleŜnością

ψ ( )

η = ψ

−

⋅cos( )

η

0

m

Funkcja ko-energii wymaga równieŜ w tym przypadku modyfikacji, co moŜna przedstawić

następująco

1

2

mag

E

= L ⋅ i

i

k + ψ (

)

η ⋅ k + E

ko

0

ko

2

Równanie elektryczne przetwornika przyjmuje, więc postać

d

E

∂

E

ko

∂

+ ω⋅

ko ⋅ 1 = u − R ⋅ i

k

k

d t

i

∂

η

∂

i

k

k

Po przekształceniach moŜna to zapisać następująco

d

ψ

∂ (

0 η)

( i

L ) + ω ⋅

= u − R ⋅ i

k

k

k

d t

η

∂

Zakładając zasilanie napięciem stałym u = U równanie elektryczne upraszcza się do postaci k

15

U = R ⋅ i

k + ω ⋅ ψ

sin( )

η

m

Równanie mechaniczne posiada standardową formę charakterystyczną dla przetworników o ruchu obrotowym

dω

J

= m

m

em +

z − Dω

d t

gdzie moment elektromagnetyczny

∂ E ko

ψ

∂ (

0 η

m

i

i

em =

=

) ⋅ k = k ψ sin

m

η

η

∂

η

∂

Z zaleŜności na moment wynika, Ŝe dla kąta ustawienia szczotek η = π / 2 moment ten przyjmuje wartości maksymalne i jest to tzw. połoŜenie szczotek w strefie neutralnej.

Zadania

Zad. 4.1/. Dla przetworników z poniŜszych rysunków zapisać funkcje Lagrange’a i równania Lagrange’a oraz określić jakościowo zaleŜności indukcyjności od kąta połoŜenia części

ruchomej - ϕ.

a/. b/.

Zad. 4.2/. Dla przetworników z magnesami trwałymi z poniŜszych rysunków, zapisać funkcje Lagrange’a i równania Lagrange’a oraz określić jakościowo zaleŜności strumieni

skojarzonych uzwojeń oraz indukcyjności od kąta połoŜenia części ruchomej - ϕ.

N

S

J

2'

1'

N

S

a/. b/.

16

Zad. 4.3/. Zapisać równania Lagrange’a dla przetworników elektromechanicznych z komutatorem z poniŜszych rysunków.

a/. b/.