Ciągi
Maria Małycha
Zadania na plusy
Ciągi
Maria Małycha
Zadania na plusy
Zadanie 1
a = n , b = 3n − 5, c = n − n2?
n
2
n
n
Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu, którego
Zadanie 7
wyraz ogólny wyraża się wzorem:
Oblicz wyrazy a3, a6, a9 i a12 ciągu a = n(n+1) .
n
(n+2)
2
a) a = n +2n+1 ,
Zadanie 8
n
n
b) b = 1 − 1 ,
Oblicz wyrazy a4 i a8 ciągu o wyrazie ogólnym:
n
10n
a) a = 2n! − 3
c) c = (−1)n · 3
n
−n ,
n
n
b) a = 3n! − 3(n − 1)!
n
2
d) c = n .
c) a = (2n)!
n
n+2
n
(n+3)!
Zadanie 2
Zadanie 9
Pierwsze trzy wyrazy ciągu (a ) to 2, 3, 5. Podaj wy-n
Oblicz wyrazy a1, a2, a3 i a8 ciągu a = n(n+1)(n+2) .
n
3
razy a4, a5, a6, jeśli:
Uzasadnij, że każdy wyraz tego ciągu jest liczbą na-a) wzór ogólny tego ciągu to a = 1 n2 − n + 4 , turalną.
n
2
Zadanie 10
b) wzór ogólny tego ciągu to a = 2n−1 + 1,
n
Oblicz wyrazy a5 i a6 ciągu o wyrazie ogólnym:
c) jest to ciąg kolejnych liczb pierwszych,
a) a = n! − 1
n
d) w ciągu tym każdy wyraz a dla n > 3 jest sumą b) a = n! − (n − 1)!
n
n
dwóch poprzednich wyrazów.
c) a = (2n)!
n
(n+3)!
Zadanie 3
Zadanie 11
Które wyrazy ciągu (a ) są ujemne?
a) Wykaż, że jeśli (x ) jest ciągiem rosnącym, c > 0
n
n
a) a = 2n2 − 21n + 10
i d ∈ R, to ciąg określony wzorem ogólnym
n
b) a = 3n2 − 10n + 8
y = c · x + d jest rosnący.
n
n
n
c) a = −2n3 + n2
b) Wykaż, że jeśli (x ) jest ciągiem malejącym, n
n
Zadanie 4
c < 0 i d ∈ R, to ciąg określony wzorem ogólnym
Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu (a ) .
y = c · x + d jest rosnący.
n
n
n
Zadanie 12
a
a)
1 = 1
Wykaż, że suma ciągów:
a
− 1, n > 1
n+1 = nan
a) rosnących jest ciągiem rosnącym,
a
b)
1 = 32, a2 = 64
b) malejących jest ciągiem malejącym.
a
+an+1 , n > 1
n+2 = an
2
Zadanie 13
a
a) Dla jakich wartości parametru p ciąg o wzorze c)
1 = 1, a2 = 1
a
− a
ogólnym a = p·n jest rosnący?
n
n+2 = (−1)nan
n+1 , n > 1
n+1
b) Dla jakich wartości parametru α ∈ h0, πi ciąg
a
d)
1 = a2 = a3 = 1
określony wzorem ogólnym a = ntgα + 1 jest male-
n
a
, n > 1
n+3 = an+2 + an+1 + an
jący?
Zadanie 5
Zadanie 14
Które wyrazy ciągu (a ) są równe zero?
n
Zbadaj, które z określonych niżej ciągów są ciągami a) a = n2 − 5n − 6
n
arytmetycznymi. Jaki jest pierwszy wyraz, a jaka
2
b) a = n −30n+200
n
2
n +n
różnica?
−1
c) a = n2 − n − 20
n
a) a = 3n−1 ,
Zadanie 6
n
2
Które wyrazy ciągu (a ) , (b ) i (c ) są równe liczbie: b) a = n2 + 1,
n
n
n
n
1, −2, 0, jeśli:
c) a = 2n ,
n
n+1
Ciągi
Maria Małycha
Zadania na plusy
d) a = 5n + 3,
d) a = 4n − 5,
n
√
n
e) a =
3 − 1 n,
e) a = n ,
n
3
n
n−1
f ) a = −n + 1.
n
f ) a = −2n + 1.
n
Zadanie 15
Zadanie 21
Wyznacz ciąg arytmetyczny (a ) mając dane:
n
Wyznacz ciąg geometryczny (a ) mając dane:
n
a) a5 = 19 i a9 = 35,
a) a1 = −3 i q = 0, 5
b) a4 = 11 i a10 = 29,
b) a1 = 2 i q = −0.3
c) a3 = 15 i a7 = 31
c) a1 = 0, 7 i q = 2
d) a6 = 4 i a16 = 10
d) a3 = −4 i a4 = 0, 25
e) a4 = −13b i a10 = −43b, gdzie b ∈ R.
e) a2 = 9, 1 i a3 = 2, 6
Zadanie 16
f ) a
i a
Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 0. Ob-
6 = 5
3
8 = 5
48
licz S
Zadanie 22
5.
Zadanie 17
Oblicz a1 i q, jeśli wiadomo, że a1 + a3 + a5 = 21 i Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego a3 − a1 = 3.
(a ) spełniającego podane warunki:
Zadanie 23
n
√
√
Wykaż, że liczby a = 3
2, b = 10
2,
a
− 2
− 7
√
a)
2 + a4 = 22
c = 34
2 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
a
− 24
1
= 21
a5
geometrycznego.
a2
b)
2 + a2
4 = 16
Zadanie 24
a3 + a5 = 8
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (a ) , je-
n
a
śli:
c)
2 · a7 = −1
a5 = −1
a1 = −1
a1
a)
Zadanie 18
a4 = − 1
64
a) Dana jest funkcja kwadratowa f (x) = x2 − 2x + 3.
a
b)
1 · a5 = 1
Wykaż, że ciąg (x ) określony wzorem
a2 = 5
n
a3
x = f (n + 1) − f(n) jest arytmetyczny.
n
a
b) Wykaż, że dla dowolnej funkcji kwadratowej c) 2 · a4 = 1
a2
f (x) = ax2 + bx + c ciąg (x ) określony wzorem
2 + a2
3 = 5
n
x = f (n + 1) − f(n) jest arytmetyczny.
Zadanie 25
n
Zadanie 19
Liczby a, b, c, d są kolejnymi wyrazami malejącego
a) Ciąg arytmetyczny składa się z 20 wyrazów. Suma ciągu geometrycznego.
Suma dwóch liczb środko-
wyrazów o numerach parzystych jest równa 250, a
wych jest równa 24, a suma dwóch liczb skrajnych
suma wyrazów o numerach nieparzystych 220.
jest równa 36. Znajdź te liczby.
Oblicz dwa środkowe wyrazy ciągu.
Zadanie 26
b) Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 11, a Krótsza przyprostokątna trójkata prostokątnego ma
suma piętnastu pierwszych wyrazów jest równa 210.
długość 1. Jakie są długości pozostałych boków, jeśli Który wyraz ciągu jest równy 26?
długości wszystkich boków tworzą ciąg:
c) Szósty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 0.
a) arytmetyczny,
Oblicz sumę jedenastu początkowych wyrazów tego
b) geometryczny.
ciągu.
Zadanie 27
d) Oblicz sumę jedenastu początkowych wyrazów a) Trzy liczby, których suma jest równa 21, tworzą ciągu arytmetycznego o numerach nieparzystych, je-ciąg arytmetyczny. Jeśli od drugiej z nich odejmiemy żeli jedenasty wyraz tego ciągu jest równy 20.
1 a do trzeciej dodamy 6, to otrzymamy ciąg geome-
Zadanie 20
tryczny. Jakie to liczby?
Zbadaj, które z określonych niżej ciągów są ciągami b) Liczby a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznymi. Oblicz pierwszy wyraz oraz iloraz?
arytmetycznego, a liczby a + 1, b + 2, c + 6 - trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdź
a) a = 2n,
n
liczby a, b, c, wiedząc, że ich suma jest równa 12.
b) a = n2,
n
Zadanie 28
c) a = 3 ,
a) Między liczby 5 i 30 wstaw dwie takie liczby, aby n
4n
Ciągi
Maria Małycha
Zadania na plusy
trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy
ostatnie ciąg arytmetyczny.
b) Między liczby −4 i 32 wstaw dwie takie liczby, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny.
Zadanie 29
Mając dane liczby −4 i 50, wyznacz takie liczby
x, y, aby liczby −4, x, y były trzema początkowymi
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetyczngo, zaś liczby: x, y, 50 były trzema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Zadanie 30
Liczby a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego, zaś liczby a + 1, b + 4, c + 19 trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Suma
liczb a, b, c jest równa 15. Znajdź je.