Niech będzie dana funkcja f: A ∋ x→ y = f(x) ∈ R, A ⊂ R.
_____________________________________________
Definicja 1.
Mówimy, Ŝe funkcja f jest ciągła w punkcie x ∈
o
A wtedy i tylko wtedy,
gdy jednocześnie spełnione są warunki:
1) istnieje w punkcie xo granica (skończona) l i
m f (
x
)
= g
∈
R ,
x→ xo
2) funkcja f ma w punkcie xo wartość f(xo),
3)
li
m f
(
x )
=
g
= f (
x
o
) (tzn. granica funkcji w punkcie xo równa się
x→ xo
wartości funkcji f(xo)).
_____________________________________________
Uwaga.
• JeŜeli nie jest spełniony w punkcie xo którykolwiek z warunków od
1 do 3, to mówimy, Ŝe funkcja f nie jest ciągła w punkcie xo, a punkt
xo nazywamy punktem nieciągłości funkcji f.
Przykład 1.
RozwaŜmy funkcję f: R → x → y = f(x) = 3x2 ∈ R oraz punkt xo = -1 ∈ R.
Wtedy:
1)
l
i
m
f
(
x )
= l i
m
3
x 2
= 3 • (
−
1 ) 2
= 3 ,
x→ - 1
x→ - 1
2) f(-1) = 3• (-1)2 = 3• 1 = 3,
3) l
i
m f (
x
)
= f ( -
1
)
= ,
3
x → - 1
a więc funkcja f jest ciągła w punkcie xo = -1
34
Niech będzie dana funkcja f: R→ x → y = f(x) ∈ R, gdzie
y
y = -x +3
x dla x ≤ 1,
y = x
3
f(x) =
2
-x + 3 dla x > 1.
1
x
1
Rys. 1
Weźmy pod uwagę punkt xo = 1 ∈ R.
Wtedy:
lim f(x) = lim x = 1
,
lim f(x) = lim (-x + 3 ) = 2
x→ -
1
x→ -
1
x
1
→ +
x
1
→ +
a więc nie istnieje l
i
m
f
(
x .
) Zatem funkcja f nie jest ciągła w punkcie
x
1
→
xo = 1, bo nie jest spełniony warunek 1.
35
Mówimy Ŝe funkcja f: A ∋ x → y = f(x) ∈ R jest ciągła lewostronnie w punkcie xo (jest ciągłą prawostronnie w punkcie xo) wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈
o
A i spełnione są następujące warunki:
1) istnieje granica lewostronna l i
m f
(
x )
=
g
x→ x-
(istnieje granica prawostronna l i
m f
(
x )
= )
g ,
x→ x+
2) funkcja f ma wartość w punkcie xo równą f(xo),
3) g = f(xo).
Przykład 3.
Funkcja z Przykładu 2 jest lewostronnie ciągła w punkcie xo = 1, ale nie jest prawostronnie ciągła w punkcie xo = 1 (bo granica prawostronna tej
funkcji w punkcie xo = 1 jest róŜna od wartości funkcji f(1) = 1).
Definicja 3.
Mówimy Ŝe funkcja f: A → x → y = f(x) ∈ R jest ciągła w zbiorze A, gdy
jest ciągła w kaŜdym x∈ A tego zbioru.
Definicja 4.
Mówimy, Ŝe funkcja f: [a, b] ∋ x → y = f(x) ∈ R jest ciągła w przedziale w przedziale domkniętym [a, b], jeŜeli jest ciągła w przedziale otwartym (a, b) i jest lewostronnie ciągła w punkcie a oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie b.
36
Ćwiczenie 1. Wskazać zbiory ciągłości funkcji
1
1) x → y = f(x) = x2 ; 2) x → y = g(x) = ,
x
x
3) x → y = h(x) = x
−
3 ; 4) x → y = k(x) = .
x − 4
Ćwiczenie 2. Zaproponować definicję ciągłości funkcji f w przedziale 1) (a, b]; 2) [a, b).
Ćwiczenie 3.
Koszt stały K(x) produkcji przedsiębiorstwa wytwarzającego jeden rodzaj
produktu kształtuje się w sposób następujący (x ilości produkcji)
K(x) = 1000 dla 0 < x ≤ 50,
K(x) = 1200 dla 50 < x ≤ 200,
K(x) = 1600 dla 200 < x ≤ 400.
Wskazać punkty nieciągłości funkcji x → K(x). Wyznaczyć przedziały, w
których funkcja K(x) jest ciągła.
Twierdzenie 1.
JeŜeli funkcja f: [a, b] → R jest ciągła w przedziale [a, b], to jest w tym przedziale ograniczona, tzn. istnieją liczby m ∈ R i M ∈ R takie, Ŝe
∀
m ≤ f(x) ≤ M).
x ∈ [a,b]
Uwaga.
Twierdzenie to moŜna wypowiedzieć w sposób następujący:
Funkcją ciągła w przedziale domkniętym jest w tym przedziale
ograniczona.
37
Dana jest funkcja x → y = f(x), gdzie
1) f(x) = 2x - 1;
2) f(x) = x2 + 3;
3) f(x) = x -1.
Wyznaczyć (wskazać) liczby m oraz M dla tej funkcji, gdy
1) x ∈ [-3, 2];
2) x ∈ [-2, 1];
3) x ∈ [-4, -1].
Twierdzenie 2.
JeŜeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], przy czym f(a) ≠ f(b) (tzn. f(a) < f(b) albo f(a) > f(b) oraz yo ∈ [f(a), f(b)] albo
[f(b),f(a)], to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, Ŝe f(c) = yo
y
f(b)
y
f(a)
f(b)
x
yo
yo
a
f(b)
f(b)
0
c
c h
0
a
c
b
x
f(a)
Rys. 2
Rys. 3
Ćwiczenie 4.
Dana jest funkcja x → y = f(x) oraz liczba yo. Wskazać liczbę c, gdy:
1) f(x) = x + 3
dla x ∈ [-1, 4] i yo = 5,
1
1
2) f(x) =
dla x ∈ [2, 6] i yo = ,
x
3
3) f(x) = x2
dla x ∈ [-2, 2] i yo = 1.
38
JeŜeli funkcja f jest monotoniczna i ciągła w przedziale domkniętym
[a, b], a ponadto f(a) · f(b) < 0 (tzn. na końcach przedziału wartości funkcji są róŜnych znaków: f(a) < 0 i f(b) > 0 albo f(a) > 0 i f(b) > 0 ), to istnieje dokładnie jeden punkt c ∈ (a, b), Ŝe f(c) = 0.
y
y
f(b)
f(a)
b
a
c
a
0
c
0
b
x
x
f(a)
f(b)
Rys. 4.
Rys. 5.
Ćwiczenie 5.
Dana jest funkcja x → y = f(x). Zastosować Twierdzenie 3 do funkcji 1) f(x) = 2x - 1
dla x ∈ [-3, 2],
1
2) f(x) =
dla x ∈[-4, -0,5].
x
Twierdzenie 4.
Niech będą dane funkcje:
f: A ∋ x → y = f(x) ∈ R, A ∈ R; g: B ∋ x → y = g(x) ∈ R, B ⊂ R.
JeŜeli funkcje f i g są ciagłe w punkcie xo ∈ X = A ∩ B ≠ ø, to suma f + g, róŜnica f – g i iloczyn f • g tych funkcji są funkcjami ciągłymi w punkcie xo.
JeŜeli ponadto g(xo) ≠ 0, to iloraz f : g tych funkcji jest funkcją ciągłą w punkcie xo ∈ X - {x ∈ b; g(x) = 0}.
39
JeŜeli funkcja f: A ∋ x → y = f(x) ∈ y (A ⊂ R i Y ⊂ R) jest ciągła w punkcie xo ∈ A i funkcja g: Y ∋ y → z = g(y) ∈ R jest ciągła w punkcie yo =
f(xo), to złoŜenie tych funkcji g f : A
°
∋ x → y = g(f(x)) ∈ R jest funkcją
ciagłą w punkcie xo.
Ćwiczenie 7.
Dane są funkcje :
1) x → y = f(x) = x + 1,
x → y = g(x) = x2 ;
−1
2) x → y = f(x) = 3 - x,
x → y = g(x) = .
x
Wyznaczyć dziedziny I zbiory wartości funkcji f i g oraz f + g, f - g, f • g, f : g, f
° g, g ° f.
Wyznaczyć ciągłości funkcji f i g oraz funkcji f + g, f - g, f • g, f : g, f g,
°
g f.
°
40