Przestrzenie unormowane c.d. Przestrzenie metryczne.
1. Zaczynamy od uzasadnienia, »e funkcja k(xn)k = (P∞ |x p
n=1
n|p)1/p jest norm¡ na lp dla
p > 1 (dla p = 1 dowód jest ªatwy).
Twierdzenie 1 (Nierówno±¢ Höldera). Niech liczby p, q > 1 speªniaj¡ 1 + 1 = 1. Wtedy p
q
1. dla dowolnych ci¡gów (xn) ∈ lp i (yn) ∈ lq ci¡g (xnyn) nale»y do l1 i zachodzi nierówno±¢
∞
∞
!1/p ∞
!1/q
X
X
X
|xnyn| ≤
|xn|p
|yn|q
n=1
n=1
n=1
2. dla dowolnych funkcji f ∈ Lp(µ) i g ∈ Lq(µ), gdzie (X, µ) jest ustalon¡ przestrzeni¡
miarow¡, funkcja fg nale»y do L1(µ) i zachodzi Z
Z
1/p Z
1/q
|f g| dµ ≤
|f |p dµ
|g|q dµ
.
Proof. Udowodnimy pierwsze sformuªowanie.
Najpierw uzasadnimy, »e dla dowolnych a, b > 0 prawdziwa jest nierówno±¢
1
1
ab ≤
ap +
bq.
p
q
Rzeczywi±cie, funkcja
1
ex jest wypukªa, wi¦c e x+ 1 y
p
q
≤ 1 ex + 1 ey. Bior¡c x = p ln a, p
q
y = q ln b otrzymujemy powy»sz¡ nierówno±¢.
Je±li która± z sum P∞ |x
|y
n=1
n|p lub P∞
n=1
n|q jest równa zero, to wszystkie xn lub wszystkie yn s¡ zerowe, wi¦c zachodzi równo±¢. A je±li nie, to P∞
∞
|x
|x
|y
i=1
iyi|
X
i|
i|
=
(P∞
|x
|y
(P∞
|x
(P∞
|y
n=1
n|p)1/p (P∞
n=1
n|q )1/q
i=1
n=1
n|p)1/p
n=1
n|q )1/q
∞
∞
1 X
|x
1 X
|y
≤
i|p
i|q
+
= 1.
p
P∞
|x
P∞
n|p
q
|yn|q
i=1
n=1
i=1
n=1
Poni»sze twierdzenie daja nierówno±¢ trójk¡ta, a pozostaªe aksjomaty normy s¡ proste.
Twierdzenie 2 (Nierówno±¢ Minkowskiego). Je±li p > 1, to dla dowolnych (xn), (yn) ∈ lp zachodzi
∞
!1/p
∞
!1/p
∞
!1/p
X
X
X
|xn + yn|p
≤
|xn|p
+
|yn|p
.
n=1
n=1
n=1
1
∞
∞
∞
X
X
X
|xn + yn|p ≤
|xn + yn|p−1|xn| +
|xn + yn|p−1|yn|
n=1
n=1
n=1
∞
!1/p ∞
!1/q
∞
!1/p ∞
!1/q
X
X
X
X
≤
|xn|p
|xn + yn|(p−1)q
+
|yn|p
|xn + yn|(p−1)q
n=1
n=1
n=1
n=1
=p
1/q
∞
!1/p
∞
!1/p
∞
z
}|
{
X
X
X
=
|x
+
|y
(p − 1)q
|x
,
n|p
n|p
n + yn|
n=1
n=1
n=1
co ko«czy dowód nierówno±ci Minkowskiego.
2. Przestrzenie metryczne
Mamy ju» poj¦cie dªugo±ci wektora, ale wygodnie mie¢ te» poj¦cie odlegªo±ci. Jest to nieco ogólniejsze ±rodowisko, bo nie wymaga struktury liniowej.
Denicja 1. Metryk¡ na zbiorze X nazywamy funkcj¦ dwóch zmiennych d: X×X → [0, ∞) speªniaj¡c¡ warunki
1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) dla dowolnych x, y, z ∈ X (nierówno±¢ trójk¡ta).
Par¦ (X, d) nazywamy przestrzeni¡ metryczn¡.
Je±li (V, k·k) jest przestrzeni¡ unormowan¡, to norma zadaje metryk¦ wzorem d(¯
v, ¯w) = k¯v − ¯wk .
Ale nie ka»da metryka pochodzi od normy, nawet w przestrzeniach maj¡cych struktur¦
liniow¡. Np. metryka dyskretna w R, tzn. d(x, y) = 1 dla x 6= y, d(x, x) = 0, albo metryka mur d(x, y) = |x − y|, gdy x i y s¡ tego samego znaku, d(x, y) = |x, y| + 1 w przeciwnym razie. Zatem rozwa»ania dotycz¡ce przestrzeni metrycznych s¡ ogólniejsze ni»
dotycz¡ce przestrzeni unormowanych, a poj¦cia i twierdzenia prawdziwe w przestrzeniach metrycznych nadaj¡ si¦ do u»ycia w przestrzeniach unormowanych.
Podstawowe poj¦cia w przestrzeni metrycznej (X, d): Denicja 2. Kula otwarta o ±rodku w x0 i promieniu r to zbiór: Kr(x0) = {x ∈ X : d(x, x0) < r} .
Kula domkni¦ta to zbiór:
¯
Kr(x0) = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ r} .
Wiele dalszych poj¦¢ b¦dzie bazowa¢ na poj¦ciu kuli.
2
1. Metryki w n
R
pochodz¡ce od norm: taksówkowa d1, euklidesowa d2 i maksimum d∞.
Jak wygl¡daj¡ kule w tych metrykach w 2
R ?
2. Metryka w C([0, 1]): d∞(f, g) = kf − gk
|
∞ = supx∈[0,1] f (x) − g(x)|. Jak wygl¡da kula?
3. Metryka pochodz¡ca od normy L1 na tej samej przestrzeni: d1(f, g) = R |f − g|d λ.
Kule s¡ znacz¡co inne ni» w poprzedniej metryce!
3