Wyklad 5
Krzysztof Makarski
18. Technologia
Zaczynamy zajmować sie strona podażowa gospodarki. Zaczynamy od najbardziej podsta-
wowego pojecia - technologii.
Technologia opisywana jest za pomoca funkcji produkcji. Jest to spos b na opisanie
ograniczeń jakie napotyka przedsiebiorca.
Nak ady i wyniki.
Zar wno naklady (czynniki produkcji) jak i wynik produkcji (produkt) sa strumieniami.
Opisywanie ograniczeń technicznych.
Zbi r produkcyjny - zbi r takich kombinacji naklad w i wynik w, kt re obejmuja technicznie
wykonalne sposoby produkcji.
Rysunek 18.1
Funkcja produkcji - brzeg zbioru produkcyjnego (mierzy maksymalny, możliwy produkt przy
danych nakladach).
W przypadku dwu czynnik w produkcji wygodnym sposobem opisywania funkcji produkcji
sa izokwanty. Izokwanty - takie kombinacje naklad w kt re daja ten sam poziom produktu.
Izokwanty sa podobne do krzywych obojetności. Pamietaj jednak że poziom produkcji (np.
5 par but w) w odr żnieniu od poziomu użyteczności (np. 5 utyli) ma interpretacje eko-
nomiczna (zatem nie można stosować monotonicznych transformacji w odniesieniu do funkcji
produkcji).
Przyk ady technologii.
" stale proporcje - jeden czlowiek, jedna lopata y = min{x1, x2}.
Rysunek 18.2
" substytuty doskonale - czerwony i czarny ol wek
Rysunek 18.3
" Cobb-Douglas - y = Axaxb
1 2
W asności technologii.
Przyjmujemy poniższe zalożenia
1
" Monotoniczne - wiecej naklad w nie wyprodukuje mniej produktu (lub inaczej wlasność
swobodnego dysponowania). M wimy, że funkcja produkcji f(x) jest monotoniczna,
jeżeli dla każdego x1 = (x1, x1, ..., x1) i x2 = (x2, x2, ..., x2), x1 e" x2, w wczas f(x1) e"
1 2 n 1 2 n
f(x2).
" Wypukle - średnie produkuja wiecej niż ekstrema (dla dowolnych dw ch metod wyt-
warzania wytwarzajacych taki sam produkt, ich kombinacja nie wyprodukuje mniej).
M wimy, że funkcja produkcji f(x) jest wypukla, jeżeli dla każdego x1 = (x1, x1, ..., x1)
1 2 n
i x2 = (x2, x2, ..., x2), f(x1) = f(x2), w wczas dla każdego  " [0, 1], f(x1 + (1 -
1 2 n
)x2) e" f(x1).
" M wimy, że funkcja produkcji f(x) jest ściśle wypukla, jeżeli dla każdego x1 = (x1, x1, ..., x1)
1 2 n
i x2 = (x2, x2, ..., x2), f(x1) = f(x2), w wczas dla każdego  " (0, 1), f(x1 + (1 -
1 2 n
)x2) > f(x1).
Rysunek 18.4
Produkt krańcowy.
Niech f(x1, x2) bedzie funkcja produkcji, MP1 m wi ile dodatkowych jednostek produktu
zostanie wyprodukowanych po zwiekszeniu nakladu czynnika 1 o jednostke (przy niezmienionym
nakladzie czynnika 2).
MP1 = f1(x1, x2)
MP2 = f2(x1, x2)
Techniczna stopa substytucji.
Techniczna stopa substytucji
" odpowiednik krańcowej stopy substytucji
" formula
MP1
T RS = -
MP2
Prawo malejacej krańcowej produkcyjności.
Zwiekszanie nakladu czynnika zwieksza produkt, ale te przyrosty sa malejace.
Rysunek 18.5
Nazywamy to prawem malejacego krańcowego produktu.
D ugi i kr tki okres.
" Wszystkie czynniki zmienne - dlugi okres.
2
" Niekt re czynniki stale - kr tki okres.
Korzyści skali.
M wimy, że funkcja produkcji spelnia
" stale korzyści skali, jeżeli dla każdego  > 0, f(x1, x2) = 1f(x1, x2)
" rosnace korzyści skali, jeżeli dla każdego  > 0, f(x1, x2) = af(x1, x2) i a > 1.
" rosnace korzyści skali, jeżeli dla każdego  > 0, f(x1, x2) = af(x1, x2) i a < 1.
Lektura.
Varian, rozdzial 18, bez 18.8.
19. Maksymalizacja zysku.
W ekonomii przyjmuje sie, że celem firmy jest to co ich wlaściciele chcieliby żeby firma robila.
Przy bardzo og lnych warunkach sprowadza sie to do maksymalizacji wartości firmy. Przy
troche mocniejszych warunkach, sprowadza sie to do maksymalizacji zysku.
Zyski.
Zyski sa zdefiniowane jako przychody minus koszty.
n m
Ą = piyi - wixi
i=1 i=1
" Wszystkie czynniki produkcji powinny być uwzglednione wedlug ich cen rynkowych
(nawet jeżeli nie jest kupowane na rynku)
" Dlaczego? Bo może być sprzedane na rynku, zatem wykorzystywanie w produkcji a
nie gdzieś indziej jest kosztem utraconych możliwości. (np. wklad pracy wlaściciela
firmy).
" Skladniki zysku (koszty i przychody) sa mierzone strumieniami.
Organizacja przedsiebiorstw.
Mamy:
" Przedsiebiorstwa indywidualne - jeden wlaściciel.
" Sp lka - kilku wlaścicieli.
" Korporacja - wielu wlaścicieli.
3
Zyski i wartość rynkowa akcji.
Wartość rynkowa firmy.
" Maksymalizowanie wartości rynkowej firmy jest dobrze zdefiniowanym obiektem przy
bardzo slabych zalożeniach. Oznacza to, że jest to bardzo og lny rezultat. Ponadto
maksymalizacja wartości firmy jest zgodne z interesem wlaścicieli firmy.
" W świecie bez niepewności, wartości firmy jest r wna dzisiejszej wartości przyszlych
zysk w, co powoduje, że maksymalizacja wartości firmy jest r wnoważne maksymal-
izacji wartości dzisiejszej zysk w.
" Problemy pojawiaja sie w świecie z niepewnościa.
" Mimo to ograniczymy nasze analizy do prostszego problemu maksymalizacji zysku.
Czynniki sta e i zmienne.
Rozr żniamy.
" czynniki stale - wielkość zatrudnienia czynnika nie może być zmieniona (np. fabryka
lub sprzet)
" quasi-stale czynniki - można je wyeliminować tylko jeżeli produkuje sie zero (reklama,
elektryczność, ogrzewanie, itp.).
" czynniki zmienne - można dowolnie wybierać ich wielkość.
Kr tkookresowa maksymalizacja zysku.
Analitycznie można zapisać
max pf(x1, x2) - w1x1 - w2x2
Ż Ż
x1
pf (x1, x2) = w1
Ż
pMP1(x", x2) = w1
Ż
1
warunek optymalności: wartościowy produkt krańcowy r wna sie wynagrodzeniu czyn-
nika.
Maksymalizacja zysku w d ugim okresie.
Analitycznie można zapisać
max pf(x1, x2) - w1x1 - w2x2
(x1,x2)
4
warunki optymalności
pf1(x", x") = w1
1 2
pf2(x", x") = w2
1 2
lub
pMP1(x", x") = w1
1 2
pMP2(x", x") = w2
1 2
Maksymalizacja zysku i korzyści skali.
Stale korzyści implikuja, że dlugoterminowe zyski wynosza zero. Gdyby byly dodatnie w w-
czas firmy wybierajac nieskończona produkcje osiagnelyby niekończone zyski. Niemniej fakt,
że zyski wynosza zero nie oznacza, że czynniki produkcji nie sa wynagradzane (w tym kapi-
tal).
Rosnace korzyści skali i model doskonale konkurencyjny nie daja sie pogodzić.
Minimalizacja koszt w.
Aby rozwiazać problem maksymalizacji zysku, z wielu wzgled w, wygodne jest podzie-
lenie problemu na dwa etapy. W pierwszym etapie rozwiazujemy problem minimalizacji
koszt w, co pozwala znalez
ć funkcje koszt w c(y). Natomiast w etapie drugim rozwiazujemy
(uproszczony, bo uwzgledniajacy funkcje koszt w c(y) wyprowadzona w problemie minimal-
izacji koszt w) problem maksymalizacji zysku.
Lektura.
Varian, rozdzial 19, bez 19.6, 19.8 i 19.10.
20. Minimalizacja koszt w
Naszym celem ostatecznym jest rozwiazanie problemu maksymalizacji zysku, przypomnij
sobie, że problem maksymalizacji zysku postanowiliśmy rozwiazać w dw ch krokach. Krok
pierwszy to minimalizacja koszt w i wyprowadzenie funkcji koszt w c(y), a krok drugi to
maksymalizacja zysku przy danej funkcji koszt w (już otrzymanej).
Minimalizacja koszt w.
Celem problemu minimalizacji koszt w jest otrzymanie funkcji koszt w c(y) opisujacej ile
bedzie kosztować wyprodukowanie y jednostek produktu w natańczy możliwy spos b.
5
Problem minimalizacji koszt w ma postać:
c(y) = min w1x1 + w2x2
(x1,x2)
p.w. f(x1, x2) = y
Warunek na minimalizacje koszt w
MP1(x", x") w1
1 2
- = T RS(x", x") = - (20.1)
1 2
MP2(x", x") w2
1 2
Wyprowadzenie tego warunku na ćwiczeniach.
Przyklady dla funkcji produkcji f(x1; x2) = min{x1, x2}, w wczas c(w1, w2, y) = (w1 +
w2)y.
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa na ćwiczeniach.
Korzyści skali i funkcja koszt w.
Mamy nastepujaca zależność:
" rosnace korzyści skali generuja malejace koszty przecietne (AC)
" stale korzyści skali generuja stale koszty przecietne (AC)
" malejace korzyści skali generuja rosnace koszty przecietne (AC)
Koszty d ugookresowe i kr tkookresowe.
Przypomnijmy sobie:
" dlugi okres: wszystkie naklady zmienne
" dlugi okres: niekt re naklady stale
Koszty sta e i quasi-sta e.
Rozr żniamy:
" koszty stale: zwiazane ze stalymi czynnikami - zawsze musza być zaplacone, bez
wzgledu na wielkość produkcji.
" koszty quasi-stale: zwiazane z quasi-stalymi czynnikami - musza być zaplacone, gdy
produkcja jest dodatnia.
Koszty utopione.
Koszy utopione - koszty kt re już zostaly poniesione i nie moga być odzyskane.
Lektura.
Varian, rozdzial 20, bez 20.2.
6