LABORATORIUM Z PRZEDMIOTU:
Komputerowe wspomaganie w technice.
Ćwiczenie 3
Metoda eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równao
liniowych.
Wstęp teoretyczny
Rozwiązywanie układu równao liniowych metodą eliminacji Gaussa przebiega w dwóch etapach:
pierwszy etap jest nazywany etapem postępowania prostego (etapem eliminacji niewiadomych), drugi etapem
postępowania odwrotnego. Na etapie postępowania prostego wyjściowy układ równao zostaje przekształcony
do postaci równoważnej (tzn. takiej, która posiada dokładnie takie same rozwiązania co układ wyjściowy) z
trójkatną górną macierzą główną układu. Przekształcenie to jest realizowane w n krokach.
Krok 1 (eliminacja niewiadomej z równao 2, 3, ... , n ).
x1
Zakładamy, że w układzie wyjściowym, który zapiszemy jako
(0) (0) (0) (0)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn a10
(0 (0 ( (0
a21) x1 a22) x2 ... a20) xn a20)
n
, (2.6)
................................................
( ( (0 (
an0) x1 an0) x2 ... ann) xn an0)
1 2 0
(0) (0)
element a11 0 . Pierwsze równanie układu (2.6) dzielimy przez a11 otrzymując
(1 ( (1
x1 a12) x2 ... a11) xn a10) , (2.7)
n
gdzie
(
a10)
j
(
a11) (0) dla j 1, 2, ..., n, 0 .
j
a11
Następnie od i tego (i 2, 3, ... , n) równania układu (2.6) odejmujemy równanie (2.7) pomnożone przez
ai1 otrzymując
(1 ( (1
a22) x2 ... a21) xn a20)
n
........................................ , (2.8)
( (1 (
an1) x2 ... ann) xn an1)
2 0
gdzie
( (
aij1) aij ai1 a11) dla i 2, 3, ... , n; j 1, 2, ..., n, 0 .
j
Krok 2 (eliminacja niewiadomej z równao 3, 4, ... , n ).
x2
Schemat obliczeo kroku 1 powtarzamy w odniesieniu do układu równao (2.8). A więc zakładamy, że
(1 (1
a22) 0 . Pierwsze równanie układu (2.8) dzielimy przez a22) otrzymując
(2 ( (2
x2 a23) x3 ... a22) xn a20) (2.9)
n
(
a21j)
(
gdzie a22j) (1 dla j 2, 3, ..., n, 0 .
a22)
Następnie od i tego (i 3, 4, ... , n) równania układu (2.8) odejmujemy równanie (2.9) pomnożone przez
1
ai(2) otrzymując
(2 ( (2
a33) x3 ... a32) xn a30)
n
........................................ , (2.10)
( (2 (
an2) x3 ... ann) xn an2)
3 0
( ( 1 (
gdzie aij2) aij1) ai(2) a22j) dla i 3, 4, ... , n; j 2, 3, ..., n, 0 .
Kroki 3, 4, ... , n 1 .
Algorytm obliczeo w kolejnych krokach jest analogiczny do tych z kroków 1 i 2. Po wykonaniu obliczeo w
n 1 kroku otrzymujemy dwa równania
( 1) ( 1)
xn 1 ann 1,nxn ann 1,0 (2.11)
(
ann1,2j)
( 1)
gdzie ann1, j ( dla j n, 0
ann1,2) 1
n
(n (
oraz ann 1) xn ann 1) . (2.12)
0
Krok n .
(n (n
Zakładamy, że ann 1) 0 . Równanie układu (2.12) dzielimy przez ann 1) otrzymując
(
xn ann) . (2.13)
0
Przykładowy algorytm eliminacji  w przód (tzw postępowanie proste):
1 for k : 1 to n
2 do begin
3 for j : k to n
(k
akj 1)
(k)
4 do akj :
(k
akk 1)
(k
ak0 1)
(k
5 ak0) :
(k
akk 1)
6 for i : k 1 to n
7 do begin
8 for j : k to n
( (k (k (k)
9 do aijk) : aij 1) aik 1)akj
(k) (k (k (k
10 ai0 : ai0 1) aik 1)ak0)
11 end
12 end
Na etapie postępowania odwrotnego rozpatrujemy układ składający się z równao (2.7), (2.9), ... , (2.11),
(2.13), tj.
(1 ( (1
x1 a12) x2 ... a11) xn a10)
n
( (2
x2 ... a22) xn a20)
n
................................................ . (2.14)
( 1) ( 1)
xn 1 ann1,n xn ann1,0
(
xn ann)
0
Algorytm rozwiązania tego układu jest oczywisty. Z ostatniego równania układu (2.14) otrzymujemy wartośd
niewiadomej xn . Wartośd tę podstawiamy do równao n 1, n 2, ... , 1. Teraz z równania n 1 możemy
wyznaczyd wartośd xn 1, itd. Poniżej przykład algorytmu postępowania odwrotnego (podstawianie wsteczne):
(
1 xn : ann)
0
2 for i : n 1 downto 1
n
i (
3 do xi : ai(0) aiji) x
j
j i 1
ZADANIE DO REALIZACJI:
Napisad procedurę rozwiązania układu równao liniowych metodą eliminacji Gaussa
działającą, co najmniej dla układu 6 równao z 6 niewiadomymi.
Podjąd dyskusję błędu.
PRZEBIEG DWICZENIA
1. Podział na grupy.
2. Test wiadomości.
3. Wybór oprogramowania (Excel, MathCAD, MatLab, Scilab Octave& )
4. Adaptacja algorytmów postępowania do platformy programowej.
5. Wykonanie próbnych obliczeo na zadaniach testowych.
10x2 7x3 7
1)
6x1 2.099x2 3x3 3.901
5x1 x2 5x3 6
2) dowolnie wybrany układ co najmniej 3x3
6. Dyskusja błędu z uwzględnieniem błędu numerycznego.