Praca wykonana przez siłę zmienną
Przykład: Zmienna siła F(x) (równoległa do przemieszczenia)
´Wi = Fi"xi
x2
"
W = "xi = F(x) d x
"Fi
lim +"
"x0
i=1
x1
Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola
powierzchni pod krzywÄ… F(x) w zadanym przedziale
Energia potencjalna
Gdy działają siły zachowawcze, można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej Ep.
Energię potencjalną można traktować jako zgromadzoną w polu sił zachowawczych
pracę, która może być w przyszłości całkowicie odzyskana lub zamieniona na inną
użyteczną formę energii.
EnergiÄ™ potencjalnÄ… nazywa siÄ™
energią (funkcją) stanu. Dla siły
zachowawczej Fz równoważonej
przez siłę zewnętrzną Fzew :
"Ep = WFzew = -WFz
r r
"Ep = Fzew(r)d r = - F(r)d r
+" +"
r0 r0
r
Ep (r) = Ep (r0) + "Ep = Ep (r0) - F(r)d r
+"
r0
Punkt r0 nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak,
żeby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia Ep(r0) była równa zeru.
1
Przykłady
Energia potencjalna w pobliżu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y0 = 0)
h
Ep ( y) = Ep (0) - d y = mgh
+"(-mg)
0
dla: Ep(0) = 0
Energia potencjalna idealnej nieważkiej sprężyny (punkt odniesienia x0 = 0)
x
1
Ep (x) = Ep (0) - x = kx2
+"(-kx)d 2
0
dla: Ep(0) = 0
Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r ").
dla: Ep(") = 0
r r
Mm
ëÅ‚ öÅ‚d
Ep (r) = Ep (") - Fd r = - -G r =
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"íÅ‚ r2 Å‚Å‚
Mm
" "
Ep (r) = -G
r
r
Mm Mm
-G = -G
r r
"
2
Przykład
F > Tmax
Tmax = fsN = fsmg cos¸
mg sin ¸ > fsmg cos¸
tg¸ > fs
mv2
"Ek =
2
h
"Ep = -WF = -smg sin¸ = - mg sin¸ = -mgh
sin¸
h
"U = -WT = -(-s fkmg cos¸ ) = fkmg cos¸ = mgh fkctg¸
sin¸
mv2
"Ek + "Ep + "U = 0
+ mgh fk ctg¸ - mgh = 0 v = 2gh(1- fk ctg¸ )
2
ZASADY ZACHOWANIA DLA UKA
ADU
ODOSOBNIONEGO (nie działają siły zewnętrzne)
d pcał
Zasada zachowania pędu :
= 0 Ò! pcaÅ‚ = const.
d t
d Lcał
Zasada zachowania momentu pędu :
= 0 Ò! LcaÅ‚ = const.
d t
dEcał
Zasada zachowania energii :
= 0 Ò! EcaÅ‚ = Ek + Ep + U = const.
dt
3
-doskonale niesprężyste
Zderzenia:
-doskonale sprężyste
-inne
doskonale niesprężyste:
-zas. zach. energii mechanicznej 
-niespełniona
- zas. zach. pędu - spełniona
p1+p2=p
m1v1x
Å„Å‚v '= - m2v2x
x
ôÅ‚
m1 + m2
m1v1x
Å„Å‚ - m2v2x = (m1 + m2)vx '
ôÅ‚
òÅ‚
òÅ‚- m2v2 = (m1 + m2)vy '
y
ół ôÅ‚vy '= - m2v2 y
ôÅ‚
m1 + m2
ół
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki  + i  -
dla przykładu pokazanego na rysunku
doskonale sprężyste:
- zas. zach. energii mechanicznej - spełniona
- zas. zach. pędu - spełniona
Ek1+Ek2=Ek1 + Ek2
p1+p2=p1 + p2
przykład zderzenia niecentralnego:
m1v1 = m1v1'cos¸1 + m2v2'cos¸2
Å„Å‚
zas. zach. pędu
òÅ‚
ół0 = m1v1'sin¸1 - m2v2'sin¸2
1 1 1
(v1')2 + (v2')2
zas. zach. energii
m v2 = m m
1 1 1 2
2 2 2
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki  + i  - przed i po zderzeniu dla przykładu pokazanego na
rysunku
4
przykÅ‚ad zderzenia centralnego ( ¸1= ¸2=0 )
m1v1 = m1v1'+m2v2'
Å„Å‚
zas. zach. pędu
ôÅ‚
òÅ‚1 1 1
1
ôÅ‚2 m1v2 = 2 m1(v1')2 + 2 m2 (v2 ')2 zas. zach. energii
ół
Å„Å‚m1(v1 -v1') = m2(v1 +v1')
m1(v1
Å„Å‚ -v1') = m2v2'
v1'`"v1 òÅ‚ 1 +v1') =v2'
ół(v
òÅ‚
1 2
ółm (v1 - v1')(v1 +v1') = m (v2')2
m1
Å„Å‚v '= - m2
v
1
ôÅ‚
m2 + m1 1
ôÅ‚
m1(v1
Å„Å‚ -v1') = m2v2'
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚v2 '= 2m1 v1
1
ół(v +v1') =v2'
ôÅ‚
m2 + m1
ół
przypadek szczególny gdy m1=m2=m:
przypadek szczególny gdy m1<v1'= 0
Å„Å‚
v1 ' H"
Å„Å‚ -v1
òÅ‚v '=v1
òÅ‚
' 0
ół 2
ółv2
M v
Å„Å‚ - mv = mv1 '+ Mv2 '
ôÅ‚
òÅ‚1 1 1 1
ôÅ‚2 Mv2 + 2 mv2 = 2 m (v1 ')2 + 2 M (v2 ')2
ół
M
Å„Å‚v ' = - m 2M
+
v v
1
ôÅ‚
M + m M + m
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚v2 ' = 2M v - M - m2v
ôÅ‚
M + m m2 + m1
ół
Å„Å‚v1 ' H"v + 2v = 3v
dla M >> m
òÅ‚
' H"v
ółv2
mniejsza piłeczka (m) odbije się na wysokość prawie dziewięciokrotnie
wyższą niż wieksza (M).
5