Mechanika Płynów
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

Pokój 110, tel. [phone], (24 54)
E-mail: [e-mail]
Literatura
" Zbyszko Kazimierski,  Podstawy mechaniki płynów i metod
komputerowej symulacji przepływów , A
ódz
, 2004.
" Zbyszko Kazimierski, Zdzisław Orzechowski,  Laboratorium
z mechaniki płynów , A
ódz
, 2001.
" Zdzisław Orzechowski, Paweł Wewiórski,  Ćwiczenia
" Zdzisław Orzechowski, Paweł Wewiórski,  Ćwiczenia
audytoryjne z mechaniki płynów , A
ódz
, 1999.
" Zbyszko Kazimierski, Zdzisław Orzechowski,  Mechanika
płynów , A
ódz
, 1986.
PÅ‚yny
Płyny  ciała posiadające zdolność do zmiany swych kształtów
pod działaniem dowolnie małych sił zewnętrznych, jeśli działają
one dostatecznie długo.
Płyny - różnią się od ciał stałych tym, że nie posiadają tzw.
Płyny - różnią się od ciał stałych tym, że nie posiadają tzw.
sztywności postaciowej. Wynika to z ich struktury cząsteczkowej
i małych wewnętrznych sił spójności w porównaniu z ciałami
stałymi.
PÅ‚yny dzielimy na ciecze i gazy.
PÅ‚yny  ciecze i gazy
Ciecze - płyny, które zmieniają nieznacznie swoją objętość pod
działaniem sił zewnętrznych (nawet bardzo dużych) - ciecze są
nieściśliwe.
Wypełniają część zbiorników, równą objętości wprowadzonej
cieczy, tworzÄ… powierzchnie swobodne, oraz krople w wyniku
działania napięcia powierzchniowego.
działania napięcia powierzchniowego.
Gazy - płyny, które zmieniają łatwo swą objętość pod działaniem
zewnętrznych sił  duża ściśliwość.
Wypełniają całe objętości naczyń, w których się znajdują.
Procesy sprężania i rozprężania gazów podlegają znanym
przemianom termodynamicznym.
Mechanika Płynów
" Zjawiska występujące podczas ruchu i spoczynku płynów wraz
z oddziaływaniem płynów na ścianki ciał stałych zanurzonych
w płynie.
" Poznanie praw rządzących ruchem płynów (szczególnie
przepływów turbulentnych).
przepływów turbulentnych).
Mechanika Płynów
Statyka Kinematyka Dynamika
PÅ‚yn nieruchomy
Ruch Ruch "! siły
względem naczynia
Ośrodek ciągły. Element płynu.
Ośrodek ciągły - płyn wypełnia przestrzeń w sposób ciągły,
bez pustych obszarów typowych dla struktury molekularnej
i zwiÄ…zanych z tym zjawisk mikroskopowych.
Sformułowane zostaną prawa makro-mechaniki w odniesieniu
do tzw. elementu płynu. Element płynu dV jest to bardzo
mała ilość płynu, której wymiary liniowe są dużo mniejsze
mała ilość płynu, której wymiary liniowe są dużo mniejsze
od wymiarów opływanych ciał lub kanałów, a jednocześnie
o wymiarach dużo większych od średniej drogi swobodnej
molekuł lub ich temperaturowej amplitudy drgań.
Elementy płynu zawierają ogromną liczbę molekuł.
(1 µm3 powietrza zawiera w warunkach normalnych okoÅ‚o 27mln molekuÅ‚)
Zasady zachowania
Model ośrodka ciągłego pozwala na określenie
makroskopowych własności płynu jako funkcji przestrzeni
oraz czasu i potraktowanie ich jako pól, co stwarza
możliwości zastosowania ogólnych twierdzeń teorii pola
w mechanice płynów.
Prawa rządzące zachowaniem się płynów zostaną
sformułowane w oparciu o podstawowe zasady fizyki tj.:
" zasadÄ™ zachowania masy,
" zasadę zachowania pędu i momentu pędu (krętu),
" zasadÄ™ zachowania energii.
Parametry termodynamiczne
i kinematyczne
Podstawowymi parametrami termodynamicznymi sÄ…:
Á,
" gęstość
" ciśnienie p,
" temperatura bezwzględna T,
" energia wewnętrzna u,
" energia wewnętrzna u,
" entalpia h.
dla cieczy Á = const.
dla gazów idealnych: p = ÁRT, u = cvT, h = cpT
r
v
Podstawowy parametr kinematyczny: prędkość
Własności dyssypatywne płynów
Podczas ruchu płynów w układach adiabatycznych, energia
mechaniczna płynu zmniejsza się przechodząc w energię
cieplną (w sposób nieodwracalny).
Proces taki nazywamy dyssypacjÄ… (rozpraszaniem) energii
mechanicznej.
mechanicznej.
Procesy dyssypacji sÄ… zwiÄ…zane z takimi makroskopowymi
własnościami płynu jak:
" lepkość, która powoduje zjawiska tarcia (naprężenia
styczne),
" przewodnością cieplną, która powoduje przepływ energii
z obszarów o wyższej temperaturze do obszarów
o temperaturze niższej.
Statyka cieczy
Statyka cieczy
Statyka cieczy zajmuje się zagadnieniami równowagi cieczy,
a także obliczaniem sił wywieranych przez nieruchomą ciecz na
ściany zbiorników oraz na ciała nieruchome w niej zanurzone.
Równowaga ta może mieć charakter bezwzględny lub względny.
W obu przypadkach elementy cieczy nie zmieniajÄ… swego
położenia względem siebie i ścian naczynia, lecz w przypadku
równowagi bezwzględnej ciecz jest nieruchoma względem
ziemi, a w przypadku równowagi względnej ciecz wraz
z naczyniem znajduje siÄ™ w ruchu.
Równanie równowagi
Element płynu będący w spoczynku musi znajdować się pod
działaniem całkowicie równoważących się sił.
Równowaga musi zaistnieć między siłami powierzchniowymi
i siłami masowymi.
dV = dx dy dz
r
r
r
r
j
j
j
j
Y
Y
Y
Y
dx
Xr
Xr
r
r
Rozważamy składową X
k i
k i
Z
Z
dy
r
Siły powierzchniowe
Fx
p = f (x)
p
"p
p + dx
"p
"x
p(x + dx) = p + dx
dz
"x
Równanie równowagi
Siła masowa  siła, której wartość jest proporcjonalna do
masy ciała na które działa:
Fx = X dm = XÁ dV = XÁ dx dy dz
r
r
Fx = i Fx
r
r
r
r
j
j
j
j
Y
Y
Y
Y
dV = dx dy dz
dx
Xr
Xr
r
r
k i
k i
Z
Z
dm = Á dV
dy
r
Fx
p
"p
p + dx
"x
dz
Równanie równowagi
"p
ëÅ‚
p dy dz - p + dxöÅ‚dy dz + Á X dx dy dz = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
"x
íÅ‚ Å‚Å‚
"p
ëÅ‚ öÅ‚
- + Á X dx dy dz = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
"x
íÅ‚ Å‚Å‚
r r
"p "p
Á X = Ò! i Á X = i
Á X = Ò! i Á X = i
Fx = XÁ dx dy dz
Fx = XÁ dx dy dz
r
r
r
r
j
j
j
j
"x "x
"x "x
Y
Y
Y
Y
dx
Xr
Xr
r
r
k i
k i
r
df r
r r
Z
Z
"p "p "p
dy
i + j + k = "p
r "x "y "z
Fx
r
r
r r
p
"p
Fm = i X + j Y + k Z
p + dx
"x
r
dz
Á Fm = "p
Równanie równowagi
r r
"p = Á Fm
r
r r
r r r
r r
"p "p "p
"p = i + j + k
Fm = i X + j Y + k Z
"x "y "z
"p "p "p
"p "p "p
= Á X , = Á Y, = Á Z
= Á X , = Á Y, = Á Z
"x "y "z
"p "p "p
dx + dy + dz = Á(Xdx + Ydy + Zdz)
"x "y "z
dp = Á (X dx + Y dy + Z dz)
Różniczka ciśnienia
Równanie manometryczne
"p "p "p
dx + dy + dz = Á(Xdx + Ydy + Zdz)
"x "y "z
Najczęściej spotykanym polem sił masowych w zagadnieniach równowagi cieczy jest pole
grawitacji ziemskiej.
X
X
X = 0, Y = 0, Z = g
Y
Y
r
pa
a
g
g
Z
Z
Z
Z
p
p
"p "p dp
"p "p dp
p
pa
= = = Á
= = 0, = Á g
"x "y dz
p = Á g z + C
dla z = 0, p = pa Ò! C = pa
H
pa + Á g H p = pa + Á g z
z
z
Równowaga względna cieczy
Gdy w poruszajÄ…cym siÄ™ naczyniu z cieczÄ… elementy cieczy sÄ…
nieruchome względem siebie i ścianek naczynia możemy
stosować równania równowagi cieczy uzupełniając siły masowe
o nowy rodzaj tych sił związany z ruchem naczynia.
Wykorzystamy to w dwóch przypadkach:
" postępowego, jednostajnie przyspieszonego ruchu
naczynia,
" ruchu obrotowego.
Postępowy ruch naczynia
Wyznaczenie wartości
dp = Á (X dx + Y dy + Z dz)
ciśnienia
X = -a, Y = 0, Z = -g
Z
Z
Y
Y dp = -Á (a dx + g dz)
z
r
X
X
g
r
r
p
pa
a
a
p = -Á (a x + g z) + C
p = -Á (a x + g z) + C
r
- a
dla x = 0, z = z1, p = pa
z1
r
C = pa + Á g z1
g
x
p = pa + Á [g (z1 - z)- ax]
Postępowy ruch naczynia
Wyznaczenie równania
dp = Á (X dx + Y dy + Z dz)
powierzchni swobodnej
powierzchnia swobodna Ò!
dp = 0
X dx + Y dy + Z dz = 0
Z
Z
Y
Y
X = -a, Y = 0, Z = -g
z
r
X
X
g
r
r
p
pa
a
a
a dx + g dz = 0
a dx + g dz = 0
Ä…
r
ax + gz = C
- a
z1
r
g
dla x = 0, z = z1 Ò! C = gz1
x
Ä…
a
a
z = z1 - x
tgÄ… =
g
g
Ruch obrotowy naczynia  wirówki
Wyznaczenie ciśnienia
p
dp = Á (X dr + Z dz)
pa
2
z
X = rÉ , Z = -g
r
2
dp = Á (É r dr - g dz)
z1
2 2
za
pa
ëÅ‚ öÅ‚
É r
ìÅ‚ ÷Å‚
p = Á - g z + C
ìÅ‚ ÷Å‚
a 2
íÅ‚ Å‚Å‚
dla r = 0, z = za, p = pa Ò!
0
Ò! C = pa + Ágza
r p
F
m
-g
2 2
îÅ‚
r É
p = pa + Á + g (za - z)Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
Ruch obrotowy naczynia  wirówki
Wyznaczenie równania powierzchni swobodnej
pa
z 2
dp = Á (É r dr - g dz)= 0
r
z1
2
r É dr - g dz = 0
za
2 2
2 2
r É
r É
a
- g z = C
2
dla r = 0, z = za Ò! C = -Ágza
0
r
2 2
F
m
-g r É
z = za +
2g
Ruch obrotowy naczynia  wirówki
Wyznaczenie równania powierzchni swobodnej
2 2
r É
z
z = za +
pa
2g
zR
Objętość pod paraboloidą obrotową jest o połowę mniejsza od
z1
objętości walca cylindrycznego, w który ta paraboloida jest wpisana
za
za
1
1
( ) ( )
Ä„ R2 (zR - za ) = Ä„ R2 (z1 - za )
2
1
(zR + za ) = z1
2
2
0
za = z1 - R2 É 4g
r
R
2
ëÅ‚ öÅ‚
É R2
2
ìÅ‚ -
÷Å‚
z = z1 +
ìÅ‚r ÷Å‚
2g 2
íÅ‚ Å‚Å‚