POCHODNA FUNKCJI . ZASTOSOWANIE POCHODNYCH.
3 2
e4x 2sin x
4
1. Obliczyć pochodne funkcji: a) f (x) = (1+ x + 4 ) �" tg x b) f (x) = c) f (x) =
2
arcsin x
3cos x
tg3 x
d) f (x) = e) f (x) = x - 1- x2 �" arcsin x f) f (x) = cos x �" 1+ sin2 x g) f (x) = sin(x2 ) �"ln2x
ecos 2x
a
2 3
h) f (x) = x2 - a - aarccos i) f (x) = sin x �" cos2 x j) f (x) = arc tg ctg 3x
x
ax
x
�# ś# cos2 x
k) f (x) = sin(x2 ) �" ln2 x l) f (x) = m) f (x) = xarcsin x n) f (x) = (ln x) .
ś# ź#
a
�# #
2. Sprawdzić, że podana niżej funkcja y = f (x) spełnia dane obok równanie różniczkowe:
2 2 2 2 2 2
a) y = x2 + (x -1)ex ; x y = y + x2ex b) y = ex sin x ; y - 2y + 2y = 0
x - 5
2 2 2 2 2 2
c) y = ; 2(y )2 = (y -1)y d) y = arcsin x ; (1- x2 )y = xy .
x + 2
3. Znalez
ć wzór funkcyjny n-tej pochodnej funkcji:
1
x
a) f (x) = a b) f (x) = loga x c) f (x) = d) f (x) = xex .
ax + b
4. Stosując regułę de L`Hospitala, obliczyć granice:
2
x2 ln(x +1) ln cos x
a) lim b) lim c) lim d) lim (x2 �" e-x ) e) lim[lnx ln(1- x)]
x+" x0 x0 x+"
x1-
ln x x
x
1 1
x 1 1 1
ś# ś#.
x x
f) lim (x �" e ) g) lim [x(arcctg x - Ą) h) lim[x �" (e -1)] i) lim�# - ź# ś#
j) lim�# - ź#
ś#
x-" x" x1 x0
x0+
x -1 ln x x ex -1
�# # �# #
5. Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
2
x3 ln3 x x2
a) f (x) = b) f (x) = xe-x c) f (x) = d) f (x) = x2 �" ln2 x e) f (x) = - 3ln(x - 2) .
x2 -1 x 2
6. Napisać wzór Taylora funkcji f (x) w punkcie xo dla podanego n ( reszta jest n-tego rzędu):
x Ą
a) f (x) = ex , x0 = -1, n = 5 b) f (x) = , x0 = 2, n = 4 , c) f (x) = sin x, x0 = 2, n = 5 .
x -1 4
7. Napisać wzór Maclaurina funkcji f (x) = ex dla n = 5. Na podstawie tego wzoru obliczyć przybliżoną
1
wartość liczby i oszacować błąd przybliżenia.
4
e
8. Napisać wzór Maclaurina funkcji f (x) = 1+ x dla n = 4 . Na podstawie tego wzoru obliczyć
przybliżoną wartość liczby 1,5 i oszacować błąd przybliżenia.
9. Napisać wzór Maclaurina funkcji f (x) = ln(x +1) dla n = 6 . Wykorzystując ten wzór, obliczyć
5
przybliżoną wartość liczby ln�# ś# , a następnie oszacować błąd przybliżenia.
ś# ź#
4
�# #
10. Napisać wzór Maclaurina funkcji f (x) = cos x dla n = 5. Na podstawie tego wzoru obliczyć
przybliżoną wartość liczby cos10o .