Przykład 2. Zaprojektować dach o konstrukcji jętkowej wg rys.3-11 Sprawdzić
nośność krokwi i jętki przyjmując lokalizację budynku w Katowicach. Przyjąć
pokrycie dachówką karpiówką (podwójnie). Całkowita wysokość budynku jest
równa 12m i jest on położony w terenie o wysokości zabudowy do 10m.
Obciążenie ciężarem własnym. Dla pokrycia dachówką karpiówką
(podwójnie) wartość charakterystyczna ciężaru pokrycia wg Tab. 2-7. wynosi
gk = 0,900 kN/m2. Z Tab. 2-2 łf = 1,2. Wartość obliczeniowa ciężaru pokrycia:
g = gk Å" Å‚ = 0,900 kN/m2 Å"1,2 = 1,080 kN/m2
f
Obciążenie śniegiem. Na podstawie rys.2-1 - Katowice znajdują się
w I strefie obciążenia śniegiem, wartość charakterystycznego obciążenia
śniegiem gruntu wynosi Qk = 0,7 kN/m2 (Tab. 2-11). Współczynnik kształtu
dachu C (rys.2-2) jest równy:
C = C2 = 1,2 Å" (60 -Ä…) / 30 = 1,2 Å" (60 - 45) / 30 = 0,6
3000
Ä… = 45°
8400
Rysunek 3-11. Przekrój poprzeczny dachu o konstrukcji jętkowej.
Wartość charakterystyczna obciążenia śniegiem wg wzoru (3):
Sk = Qk Å" C = 0,7 kN/m2 Å" 0,6 = 0,42 kN/m2
Wartość obliczeniową obciążenia śniegiem wyznaczamy ze wzoru (4):
S = Sk Å"Å‚ = 0,42 kN/m2 Å" 1,4 = 0,588 kN/m2 (UWAGA Å‚f = 1,5)
Å‚
Å‚
Å‚
f
Obciążenie wiatrem. Na podstawie rys.2-4  Katowice znajdują się
w I strefie obciążenia wiatrem, wartość charakterystycznego ciśnienia prędkości
wiatru qk= 0,250 kN/m2 (Tab. 2-12). Dla budynku o wysokości do 12m
położonym w terenie B (zabudowa do 10m) wartość współczynnika ekspozycji
Ce = 0,8 (Tab. 2-13). Współczynnik aerodynamiczny C wyznaczamy korzystając
z rys.2-7. Dla parcia jest on równy:
1
2
1
2
9
1
8
3
C = Cz = 0,015 Å"Ä… - 0,2 = 0,015 Å" 45 - 0,2 = 0,475
Współczynnik dziaÅ‚ania porywów wiatru ² =1,8. Wartość
charakterystyczna obciążenia wiatrem wg wzoru (5):
pk = qk Å" Ce Å" C Å" ² = 0,250 kN/m2 Å" 0,8 Å" 0,475 Å"1,8 = 0,171 kN/m2
Obliczeniowe obciążenie parciem wiatru wyznaczamy wg wzoru (6):
p = pk Å"Å‚ = 0,171 kN/m2 Å" 1,3 = 0,222 kN/m2
f
Rozkład obciążeń na składowe prostopadłe i równoległe do połaci
dachowej:
gkII = gk Å" sin Ä… = 0,900 kN/m2 Å" sin45° = 0,636 kN/m2
gk Ä„" = gk Å" cos Ä… = 0,900 kN/m2 Å" cos45° = 0,636 kN/m2
gII = g Å" sin Ä… = 1,080 kN/m2 Å" sin45° = 0,764 kN/m2
gÄ„" = g Å" cos Ä… = 1,080 kN/m2 Å" cos45° = 0,764 kN/m2
SkII = Sk Å"sinÄ… Å" cosÄ… = 0,420 kN/m2 Å" 0,707 Å" 0,707 = 0,210 kN/m2
Sk Ä„" = Sk Å" cos2 Ä… = 0,420 kN/m2 Å" (0,707)2 = 0,210 kN/m2
SII = S Å" sinÄ… Å" cosÄ… = 0,588 kN/m2 Å" 0,707 Å" 0,707 = 0,294 kN/m2
SÄ„" = S Å" cos2 Ä… = 0,588 kN/m2 Å" (0,707)2 = 0,294 kN/m2
Zestawienie obciążeń działających na połać dachu:
Wartość
Wartość obliczeniowa
charakterystyczna
Obciążenie
qk, II qk, Ä„" ¨0 qII qÄ„"
kN/m2 kN/m2 - kN/m2 kN/m2
Obciążenie stałe 0,636 0,636 - 0,764 0,764
Obciążenie śniegiem 0,210 0,210 1,0 0,294 0,294
Obciążenie wiatrem - 0,171 0,9 - 0,200
Suma obciążeń dla
0,846 1,017 - 1,058 1,258
kombinacji podstawowej
Przyjęto rozstaw krokwi a = 900mm. Obciążenie liniowe krokwi jest
iloczynem obciążenia powierzchniowego połaci dachu i rozstawu krokwi.
Zestawienie obciążeń działających na krokiew:
Wartość
Wartość obliczeniowa
charakterystyczna
Obciążenie
qk, II qk ,Ä„" q II q Ä„"
kN/m kN/m kN/m kN/m
Suma obciążeń dla
0,761 0,915 0,952 1,132
kombinacji podstawowej
Materiał. Elementy więz
by zaprojektowano z drewna sosnowego klasy
C24. Korzystając z Tab. 3-2 odczytujemy charakterystyczne wartości
materiałowe.
fmk ft,0,k ft,90,k fc,0,k fc,90,k fv,k E0,mean E90,mean E0,05 Gmean
MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa
24 14 0,4 21 5,3 2,5 11000 370 7400 690
Wartość obliczeniową Xd właściwości materiału określa się wg wzoru
(9), łM = 1,3 wg Tab. 3-3, klasa użytkowania 1, kmod = 0,90 wg Tab. 3-4 oraz
Tab. 3-5.
Obliczeniowe wartości materiałowe:
fmd ft,0,d ft,90,d fc,0,d fc,90,d fv,d
Mpa MPa MPa MPa MPa MPa
16,62 9,69 0,28 14,54 3,67 1,73
Krokiew - stan graniczny nośności. Nośność krokwi jako elementów
zginanych i ściskanych należy obliczać wg wzorów (28) i (29). Wymiary
przekroju poprzecznego krokwi: 60mm x 150mm. Obliczamy wartości
wskaz
ników wytrzymałości względem osi y i z.
b Å" h2 60 mm Å" (150 mm)2
Wy = = = 225000 mm3 = 225,0 cm3
6 6
h Å" b2 150 mm Å" (60 mm)2
Wz = = = 90000 mm3 = 90,0 cm3
6 6
W przypadku wiązarów jętkowych i płatwiowo-kleszczowych krokiew
liczymy jako belkę ciągłą dwuprzęsłową (rys.3-12). Dla obciążenia
równomiernego maksymalna wartość momentu zginającego tą krokiew jest
równa:
2 2
qÄ„" Å" (ld - ld Å" lg + lg )
M =
y
8
w którym:
ld, lg - długości dolnego i górnego przęsła krokwi,
 My - jest to wartość momentu podporowego (decydująca o nośności
krokwi) na środkowej podporze, którą stanowi jętka (lub płatew w wiązarze
płatwiowo-kleszczowym).
1,132 kN/m Å" ((3,819m)2 - 3,819 m Å" 2,121 m + (2,121m)2 )
M =
y
8
M = 1,554 kNm = 155,4 kNcm
y
M = 0
z
Można również wymiarować krokiew jako jednoprzęsłową belkę
swobodnie podpartą przyjmując do obliczeń długość dolnego (dłuższego)
przęsła (tak obliczona wartość momentu przęsłowego jest większa od
rzeczywistej). Naprężenia zginające są równe:
M
155,4 kNcm kN
y
Ãm,y ,d = = = 0,691
Wy 225,0 cm3 cm2
M
z
à = = 0
m,z,d
Wz
q = 1,132 kN/m
A B C
RA RB RC
l = 3819 l = 2121
d g
Rysunek 3-12. Schemat statyczny krokwi dachu jętkowego.
Wartości reakcji podporowych (rys3-12) od obciążeń prostopadłych do
krokwi są równe:
qĄ" 2
2
(36)
RA = Å" (3ld + ld Å" lg - lg )
8 Å" ld
qĄ" 3 2
2 3
RB = Å" (ld + 4ld Å" lg + 4ld Å" lg + lg ) (37)
8 Å" ld Å" lg
qĄ" 2
2
RC = Å" (3lg + ld Å" lg - ld ) (38)
8 Å" lg
1,132 kN/m
RA = Å" (3Å" (3,819 m)2 + 3,819 m Å" 2,121 m - (2,121 m)2 ) =
8 Å" 3,819 m
= 1,754 kN
1,132 kN/m
RB = Å" ((3,819 m)3 + 4 Å" (3,819 m)2 Å" 2,121 m + 4 Å"
8 Å" 3,819 m Å" 2,121 m
Å" 3,819 m Å" (2,121 m)2 + (2,121 m)3 ) = 4,501 kN
1,132 kN/m
RC = Å" (3Å" (2,121 m)2 + 3,819 m Å" 2,121 m - (3,819 m)2 ) =
8 Å" 2,121 m
= 0,467 kN
Wartość maksymalnej siły ściskającej krokiew wyznacza się wg wzoru:
= qII Å" (lg + ld ) + (RB + RC ) Å" ctgÄ…
(39)
którym:
ą - jest kątem nachylenia krokwi do płaszczyzny poziomej.
= 0,952 kN/m Å" (3,819 m + 2,121 m) + (4,501 kN + 0,467 kN) Å" ctg 45° =
= 10,623 kN
10,623 kN kN
Ãc ,0,d = = = 0,118
Ad 6,0 cm Å"15,0 cm cm2
km = 0,7  dla przekrojów prostokątnych.
Warunki nośności dla krokwi wg wzorów (28) i (29):
2
ëÅ‚ Ãc,0,d öÅ‚ Ãm,y ,d
Ãm,z ,d
ìÅ‚ ÷Å‚
+ km Å" + < 1,0
ìÅ‚ ÷Å‚
fc,0,d fm,y ,d fm,z ,d
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
0,118 kN/cm2 0,691 kN/cm2
ìÅ‚
+ 0 = 0,298 < 1,0
2 ÷Å‚
ìÅ‚1,454 kN/cm ÷Å‚ + 0,7 Å"
1,662 kN/cm2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ Ãc,0,d öÅ‚ Ãm,y ,d
Ãm,z ,d
ìÅ‚ ÷Å‚
+ + km Å" < 1,0
ìÅ‚ ÷Å‚
fc,0,d fm,y ,d fm,z ,d
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
0,118 kN/cm2 0,691 kN/cm2
ìÅ‚
+ 0,7 Å" 0 = 0,422 < 1,0
2 ÷Å‚
ìÅ‚1,454 kN/cm ÷Å‚ +
1,662 kN/cm2
íÅ‚ Å‚Å‚
W stani e granicznym nośności krokwie powinny również spełnić
warunek (30). Wartość rel,m dla przekroju prostokątnego obliczamy ze wzoru
(32). Wartość długości obliczeniowej wg Tab. 3-7 (l  jest długością
najdłuższego przęsła):
Ld = l + 2h = 3819mm + 30mm =3849mm
ld Å" h Å" fm,d E0,mean
rel ,m = Å"
Ä„ Å" b2 Å" E0,05 Gmean
384,9cm Å"15,0cm Å"1,662 kN/cm2 1100 kN/cm2
rel ,m = = 0,677
3,1415 Å" (6,0cm)2 Å" 740 kN/cm2 69 kN/cm2
kcrit = 1,0
kN kN kN
Ãm,d = 0,691 d" kcrit Å" fm,d = 1,0 Å"1,662 = 1,662
cm2 cm2 cm2
Stan graniczny użytkowalności. W przypadku, gdy nie są prowadzone
dokładne obliczenia, ugięcia krokwi oblicza się korzystając ze wzorów (33) lub
(34).
l 3819 mm
= = 25,46 > 20
h 150 mm
b Å" h3 60 mm Å" (150 mm)3
I = = = 146875000 mm4 = 1687,5 cm4
y
12 12
4
qk ,Ä„" Å" l
5 5 0,00915 kN/cm Å" (381,9 cm)4
u = Å" = Å" = 1,365 cm
384 E0,mean Å" I 384 1100 kN/cm2 Å"1687,5 cm4
y
l 381,9 cm
unet,fin = = = 1,910 cm
200 200
u = 1,365cm < unet,fin =1,910cm - warunek SGU jest spełniony.
Jętka  stan graniczny nośności. Jętki wymiarujemy jako elementy
ściskane wg warunku (10). Wartość siły ściskającej jest równa:
RB (40)
=
sinÄ…
w którym:
RB - reakcja na środkową podporę krokwi wg równania (37),
ą - jest kątem nachylenia połaci dachowej do płaszczyzny poziomej.
4,501 kN
= = 6,365 kN
sin 45°
Współczynnik wyboczeniowy kc = min (kcy, kcz) wyznacza się z równań
(11) i (12). Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci wyboczeniowej µ = 1,0 (wg rys.3-8).
Wartość długości wyboczeniowej wg równań (20) i (21):
lc, y = lc,z = l Å" µ = 3000 mm Å"1,0 = 3000 mm
Przyjęto przekrój poprzeczny jętki o wymiarach 80mm x 120mm.
Charakterystyki geometryczne przekroju:
Abr = b Å" h = 80 mm Å"120 mm = 9600 mm2 = 96 cm2
b Å" h3 80 mm Å" (120 mm)3
I = = = 11520000 mm4 = 1152 cm4
y
12 12
h Å" b3 120 mm Å" (80 mm)3
I = = = 5120000 mm4 = 512 cm4
z
12 12
Smukłość jętki na podstawie równania (19):
lc,y 300,0 cm
y = = = 96,60 < 150
I
1152 cm4
y
Abr 96 cm2
lc,z
300,0 cm
z = = = 129,90 < 150
I
512 cm4
z
Abr 96 cm2
Naprężenia krytyczne przy ściskaniu wg równań (17) i (18):
(3,1415)2 Å" 740 kN/cm2
Ãc,crit, y = Ä„2 Å" E0,05 / 2 = = 0,783 kN/cm2
y
(96,60)2
(3,1415)2 Å" 740 kN/cm2
Ãc,crit,z = Ä„2 Å" E0,05 / 2 = = 0,433 kN/cm2
z
(129,90)2
Smukłość sprowadzona przy ściskaniu wg (13) i (14):
fc,0,d 1,454 kN/cm2
rel, y = = = 1,363
à 0,783 kN/cm2
c,crit, y
fc,0,d 1,454 kN/cm2
rel,z = = = 1,832
à 0,433 kN/cm2
c,crit,z
Współczynniki ky i kz na podstawie równań (15) i (16):
2
k = 0,5 [1+ ²c ( - 0,5) +  ]
y rel,y rel,y
k = 0,5 Å"[1 + 0,2 Å" (1,363 - 0,5) + (1,363)2 ] = 1,515
y
2
kz = 0,5 [1+ ²c ( - 0,5) +  ]
rel,z rel,z
kz = 0,5Å"[1+ 0,2Å"(1,832 - 0,5) + (1,832)2 ] = 2,311
Współczynniki wyboczeniowe kc,y i kc,z wg (11) i (12):
1 1
kc,y = = = 0,459
2 2
k + k - rel,y 1,515 + (1,515)2 - (1,363)2
y y
1 1
kc,z = = = 0,269
2
kz + kz - 2 2,311+ (2,311)2 - (1,832)2
rel,z
kc = min (kc, y ;kc,z ) = 0,269
Warunek nośności dla jętki:
6,365 kN kN kN
= = 0,246 < fc,0,d = 1,454
kc Å" Ad 0,269 Å" 96,0 cm2 cm2 cm2
- warunek spełniony.
Przykład 3. Zaprojektować dach o konstrukcji płatwiowo-kleszczowej. Wymiary
geometryczne wg rys.3-13. Lokalizacja obiektu  Białystok. Sprawdzić nośność
elementów konstrukcyjnych dachu przyjmując, że budynek jest położony w
terenie zalesionym, a jego calkowita wysokość nad poziom terenu nie przekracza
20m.
Obciążenie ciężarem własnym. Przyjęto pokrycie gontem (podwójnie).
Wartość charakterystyczna ciężaru pokrycia wynosi gk = 0,400 kN/m2 (wg
Tab. 2-7.). Na podstawie Tab. 2-2 łf = 1,2. Wartość obliczeniowa ciężaru
pokrycia jest równa:
g = gk Å" Å‚ = 0,400 kN/m2 Å"1,2 = 0,480 kN/m2
f
Obciążenie śniegiem. Na podstawie rys.2-1 - Białystok znajduje się
w III strefie obciążenia śniegiem, wartość charakterystycznego obciążenia
śniegiem gruntu wynosi Qk = 1,1 kN/m2 (Tab. 2-11). Współczynnik kształtu
dachu C (rys.2-2) jest równy:
C = C2 = 1,2 Å" (60 -Ä…) / 30 = 1,2 Å" (60 - 45) / 30 = 0,6
3450
9600
Rysunek 3-13. Przekrój dachu o konstrukcji płatwiowo-kleszczowej.
Wartość charakterystyczna obciążenia śniegiem wg wzoru (3):
Sk = Qk Å" C = 1,1 kN/m2 Å" 0,6 = 0,66 kN/m2
Wartość obliczeniową obciążenia śniegiem wyznaczamy ze wzoru (4):
Å‚
S = Sk Å" Å‚ = 0,66 kN/m2 Å" 1,4 = 0,924 kN/m2 (UWAGA Å‚f = 1,5)
Å‚
Å‚
f
8
8
3
2
=
g
l
0
0
4
4
=
d
l
4
5
°
Obciążenie wiatrem. Na podstawie rys.2-4  Białystok znajduje się
w I strefie obciążenia wiatrem, wartość charakterystycznego ciśnienia prędkości
wiatru qk= 0,250 kN/m2 (Tab. 2-12). Dla budynku o wysokości do 20m
położonym w terenie B (teren zalesiony) wartość współczynnika ekspozycji
Ce = 0,8 (Tab. 2-13). Współczynnik aerodynamiczny C wyznaczamy korzystając
z rys.2-7. Dla parcia jest on równy:
C = Cz = 0,015 Å"Ä… - 0,2 = 0,015 Å" 45 - 0,2 = 0,475
Współczynnik dziaÅ‚ania porywów wiatru ² = 1,8. Charakterystyczna
wartość obciążenia wiatrem wg wzoru (5):
pk = qk Å" Ce Å" C Å" ² = 0,250 kN/m2 Å" 0,8 Å" 0,475Å"1,8 = 0,171 kN/m2
Obliczeniowe obciążenie parciem wiatru wyznaczamy wg wzoru (6):
p = pk Å"Å‚ = 0,171 kN/m2 Å" 1,3 = 0,222 kN/m2
f
Rozkład obciążeń na składowe prostopadłe i równoległe do połaci
dachowej:
gkII = gk Å" sin Ä… = 0,400 kN/m2 Å" sin45° = 0,283 kN/m2
gk Ä„" = gk Å" cos Ä… = 0,400 kN/m2 Å" cos45° = 0,283 kN/m2
g = g Å" sin Ä… = 0,480 kN/m2 Å" sin45° = 0,339 kN/m2
II
gÄ„" = g Å" cos Ä… = 0,480 kN/m2 Å" cos45° = 0,339 kN/m2
SkII = Sk Å" sin Ä… Å" cos Ä… = 0,660 kN/m2 Å" 0,707 Å" 0,707 = 0,330 kN/m2
Sk Ä„" = Sk Å" cos2 Ä… = 0,660 kN/m2 Å" (0,707)2 = 0,330 kN/m2
SII = S Å" sin Ä… Å" cos Ä… = 0,924 kN/m2 Å" 0,707 Å" 0,707 = 0,462 kN/m2
SÄ„" = S Å" cos2 Ä… = 0,924 kN/m2 Å" (0,707)2 = 0,462 kN/m2
Przyjęto rozstaw krokwi a = 1100mm. Obciążenie liniowe krokwi jest
iloczynem obciążenia powierzchniowego połaci dachu i rozstawu krokwi.
Zestawienie obciążeń działających na połać dachu:
Wartość
Wartość obliczeniowa
charakterystyczna
Obciążenie
qk, II qk,Ä„" ¨0 qII qÄ„"
kN/m2 kN/m2 - kN/m2 kN/m2
Obciążenie stałe 0,283 0,283 - 0,339 0,339
Obciążenie śniegiem 0,330 0,330 1,0 0,462 0,462
Obciążenie wiatrem - 0,171 0,9 - 0,200
Suma obciążeń dla
0,613 0,784 - 0,801 1,001
kombinacji podstawowej
Zestawienie obciążeń działających na krokiew:
Wartość
Wartość obliczeniowa
charakterystyczna
Obciążenie
qk, II qk ,Ą" qII qĄ"
kN/m kN/m kN/m kN/m
Suma obciążeń dla
0,674 0,862 0,881 1,101
kombinacji podstawowej
Materiał. Elementy więz
by zaprojektowano z drewna sosnowego klasy
C24. Korzystając z Tab. 3-2 odczytujemy charakterystyczne wartości
materiałowe.
fmk ft,0,k ft,90,k fc,0,k fc,90,k fv,k E0,mean E90,mean E0,05 Gmean
MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa
24 14 0,4 21 5,3 2,5 11000 370 7400 690
Wartość obliczeniową Xd właściwości materiału wg wzoru (9), łM = 1,3
wg Tab. 3-3, klasa użytkowania 1, kmod = 0,90 wg Tab. 3-4 i Tab. 3-5.
Obliczeniowe wartości materiałowe:
fmd ft,0,d ft,90,d fc,0,d fc,90,d fv,d
MPa MPa MPa MPa MPa MPa
16,62 9,69 0,28 14,54 3,67 1,73
Krokiew - stan graniczny nośności. Nośność krokwi oblicza się wg
warunków (28) i (29). Wymiary przekroju poprzecznego krokwi: 50mm
x 180mm. Obliczamy wartości wskaz
ników wytrzymałości względem osi y i z.
b Å" h2 50 mm Å" (180 mm)2
Wy = = = 270000 mm3 = 270,0 cm3
6 6
h Å" b2 180 mm Å" (50 mm)2
Wz = = = 75000 mm3 = 75,0 cm3
6 6
W przypadku wiązarów płatwiowo-kleszczowych krokiew liczymy jako
belkę ciągłą dwuprzęsłową (rys.3-14).
q = 1,101 kN/m
A B C
l = 4400 l = 2388
d g
Rysunek 3-14. Schemat statyczny krokwi dachu płatwiowo-kleszczowego.
 Maksymalna wartość momentu zginającego tą krokiew jest równa:
2 2
qÄ„" Å" (ld - ld Å" lg + lg )
M =
y
8
Jest to wartość momentu podporowego na środkowej podporze, którą
stanowi płatew w wiązarze płatwiowo-kleszczowym.
1,101 kN/m Å" ((4,400m)2 - 4,400m Å" 2,388m + (2,388m)2 )
M =
y
8
M = 2,003 kNm = 200,3 kNcm
y
M = 0
z
Naprężenia zginające są równe:
M
200,3 kNcm kN
y
Ãm,y ,d = = = 0,742
Wy 270,0 cm3 cm2
M
z
à = = 0
m,z,d
Wz
Wartości reakcji podporowych od obciążeń prostopadłych oblicza się
wg wzorów (36),(37) i (38):
1,101 kN/m
RA = Å" (3 Å" (4,400 m)2 + 4,400 m Å" 2,388 m - (2,388 m)2 ) =
8 Å" 4,400 m
= 2,324 kN
1,101 kN/m
RB = Å" ((4,400 m)3 + 4 Å" (4,400 m)2 Å" 2,388 m + 4 Å"
8 Å" 3,819 m Å" 2,121 m
Å" 4,400 m Å" (2,388 m)2 + (2,388 m)3 ) = 5,031 kN
1,101 kN/m
RC = Å" (3 Å" (2,388 m)2 + 4,400 m Å" 2,388 m - (4,400 m)2 ) =
8 Å" 2,388 m
= 0,476 kN
Wartość siły ściskającej krokiew wyznacza się wg wzoru (39):
= 0,881 kN/m Å" (4,400 m + 2,388 m) + (5,031 kN + 0,476 kN) Å" ctg 45° =
= 11,487 kN
11,487 kN kN
Ãc ,0,d = = = 0,128
Ad 5,0 cm Å"18,0 cm cm2
km = 0,7  dla przekrojów prostokątnych.
Warunki nośności dla krokwi wg warunków (28) i (29):
2
ëÅ‚ Ãc,0,d öÅ‚ Ãm,y ,d
Ãm,z ,d
ìÅ‚ ÷Å‚
+ km Å" + < 1,0
ìÅ‚ ÷Å‚
fc,0,d fm,y ,d fm,z ,d
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
0,128 kN/cm2 ÷Å‚ 0,742 kN/cm2
ìÅ‚
+ 0,7 Å" + 0 = 0,320 <1,0
ìÅ‚1,454 kN/cm2 ÷Å‚
1,662 kN/cm2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ Ãc,0,d öÅ‚ Ãm,y ,d
Ãm,z ,d
ìÅ‚ ÷Å‚
+ + km Å" < 1,0
ìÅ‚ ÷Å‚
fc,0,d fm,y ,d fm,z ,d
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
0,128 kN/cm2 ÷Å‚ 0,742 kN/cm2
ìÅ‚ + + 0,7 Å" 0 = 0,454 <1,0
ìÅ‚1,454 kN/cm2 ÷Å‚
1,662 kN/cm2
íÅ‚ Å‚Å‚
W stanie granicznym nośności krokwie powinny również spełnić
warunek (30). Wartość rel,m dla przekroju prostokątnego obliczamy ze wzoru
(32). Wartość długości obliczeniowej wg Tab. 3-7 (l  jest długością
najdłuższego przęsła)
ld = l + 2h = 4400mm + 36mm = 4436mm
ld Å" h Å" fm,d E0,mean
rel ,m = Å"
Ä„ Å" b2 Å" E0,05 Gmean
443,6cm Å"18,0cm Å"1,662 kN/cm2 1100 kN/cm2
rel ,m = = 0,955
3,1415 Å" ( 5,0cm )2 Å" 740 kN/cm2 69 kN/cm2
kcrit = 1,56 - 0,75 Å" 0,955 = 0,844
kN kN kN
Ãm,d = 0,618 d" kcrit Å" fm,d = 0,844 Å"1,662 = 1,403
cm2 cm2 cm2
Stan graniczny użytkowalności. Ugięcia krokwi oblicza się korzystając
ze wzorów (33) lub (34).
l 4400 mm
= = 24,44 > 20
h 180 mm
b Å" h3 50 mm Å" (180 mm)3
I = = = 24300000 mm4 = 2430 cm4
y
12 12
4
qk ,Ä„" Å" l
5 5 0,00862 kN/cm Å" (440,0 cm)4
u = uM = Å" = Å"
384 E0,mean Å" I 384 1100 kN/cm2 Å" 2430 cm4
y
u =1,574 cm
l 440,0 cm
unet,fin = = = 2,200 cm
200 200
u = 1,574cm < unet,fin =2,200cm - warunek SGU jest spełniony.
Płatew - stan graniczny nośności. Nośność płatwi sprawdza się wg
warunków (24) i (25). Wymiary przekroju poprzecznego płatwi: 120mm x
160mm. Obliczamy wartości wskaz
ników wytrzymałości względem osi y i z.
b Å" h2 120 mm Å" (160 mm)2
Wy = = = 512000 mm3 = 512,0 cm3
6 6
h Å" b2 160 mm Å" (120 mm)2
Wz = = = 384000 mm3 = 384,0 cm3
6 6
Ciężar własny płatwi.
g = Å‚k Å" b Å" h = 6,0 kN/m3 Å" 0,120 m Å" 0,160 m = 0,115 kN/m
p,k
g = g Å" Å‚ = 0,115 kN/m Å"1,1 = 0,127 kN/m
p p,k f
Obciążenia działające na płatew.
qyk = ( gk + Sk Å" cos Ä… + pk cos Ä… )Å"( lg + 0,5ld ) + g
p,k
qyk = (0,400 kN/m2 + 0,660 kN/m2 Å" 0,707 + 0,171 kN/m2 Å" 0,707) Å"
Å" (2,388 m + 0,5Å" 4,400 m) + 0,115 kN/m2 = 4,646 kN/m
qy = (g + SÅ" cosÄ… + p Å" cosÄ…oÅ" (lg + 0,5ld ) + g
p
qy = (0,480 kN/m2 + 0,924 kN/m2 Å" 0,707 + 0,222 kN/m2 Å" 0,707) Å"
Å" (2,388 m + 0,5Å" 4,400 m) + 0,127 kN/m2 = 6,047 kN/m
qzk = pk Å" sin Ä… Å"( lg + 0,5ld )
qzk = 0,171 kN/m2 Å" 0,707 Å" (2,388 m + 0,5Å" 4,400 m) = 0,555 kN/m
qz = p Å" sinÄ… Å"( lg + 0,5ld )
qz = 0,222 kN/m2 Å" 0,707 Å" (2,388 m + 0,5 Å" 4,400 m) = 0,720 kN/m
Długości obliczeniowe płatwi wg rys.3-15.
l = 2200
y
płatew
miecz
krokiew
słup
l = 4400
z
Rysunek 3-15. Przekrój podłużny projektowanej więz
by.
Wartości obliczeniowe momentów zginających płatew:
2
qy Å" ly 6,047 kN/m Å" (2,200 m)2
M = = = 3,658 kNm = 365,8 kNcm
y
8 8
2
qz Å" lz 0,720 kN/m Å" (4,400 m)2
M = = = 1,742 kNm = 174,2 kNcm
z
8 8
Naprężenia zginające są równe:
M
365,8 kNcm kN
y
Ãm,y ,d = = = 0,714
Wy 512,0 cm3 cm2
M 174,2 kNcm kN
z
Ãm,z ,d = = = 0,454
Wz 384,0 cm3 cm2
km = 0,7  dla przekrojów prostokątnych.
Warunki nośności dla płatwi wg warunków (24) i (25):
Ãm,y ,d ,d
Ãm,z
0,714 kN/cm2 0,454 kN/cm2
km Å" + = 0,7 Å" + = 0,574 < 1,0
fm,y ,d fm,z ,d 1,662 kN/cm2 1,662 kN/cm2
Ãm,y ,d
Ãm,z ,d
0,714 kN/cm2 0,454 kN/cm2
+ km Å" = + 0,7 Å" = 0,621 < 1,0
fm,y ,d fm,z ,d 1,662 kN/cm2 1,662 kN/cm2
- warunki SG spełnione
Stan graniczny użytkowalności. Ugięcia płatwi oblicza się korzystając
ze wzorów (33), (34) i (35).
ly 2200mm
= = 13,75 < 20
h 160mm
l
s
= 3111
4
5
6
°
5
5
1
=
m
l
b Å" h3 120 mm Å" (160 mm)3
I = = = 40960000 mm4 = 4096 cm4
y
12 12
2 2
4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ qyk Å" ly ëÅ‚ öÅ‚
5
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚1+19,2 h śł ïÅ‚1+19,2 Å" h śł
u = uM Å" = Å" Å"
fin,y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ ly 384 E0,mean Å" I ïÅ‚ ly śł
śł
y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
Å‚Å‚
5 0,04646 kN/cm Å" (220,0 cm)4 îÅ‚ 16,0 cm
ëÅ‚ öÅ‚
u = Å" Å" 1 + 19,2 Å" =
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
fin,y
384 1100 kN/cm2 Å" 4096 cm4 ïÅ‚ 220,0 cm
íÅ‚ Å‚Å‚
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
= 0,347 cm
lz 4400 mm
= = 36,67 > 20
b 120 mm
h Å" b3 160 mm Å" (120 mm)3
I = = = 23040000 mm4 = 2304 cm4
z
12 12
4
qzk Å" lz
5 5 0,00555 kN/cm Å" (440,0 cm)4
u = uM = Å" = Å" =
fin,z
384 E0,mean Å" I 384 1100 kN/cm2 Å" 2304 cm4
z
= 1,069 cm
u = ( u2 + u2 )0,5 = ((0,347 cm)2 + (1,069 cm)2 )0,5 = 1,124 cm
fin,y fin,z
Ponieważ długości obliczeniowe ly i lz mają różne wartości, dlatego
warunek ugięć sprawdza się oddzielnie dla każdej osi oraz warunek łączny dla
wypadkowego ugięcia, przyjmując dla tego przypadku dopuszczalną wartość
ugięcia w odniesieniu do wartości l = max( ly ; lz).
ly 220,0 cm
u = 0,347 cm < unet,fin,y = = = 1,100 cm
fin,y
200 200
lz 440,0 cm
u = 1,069 cm < unet,fin,z = = = 2,200 cm
fin,z
200 200
l 440,0 cm
u = 1,124 cm < unet,fin = = = 2,200 cm
200 200
- warunki SGU są spełnione.
Słup  stan graniczny nośności. Słup wymiarujemy jako element
ściskany wg warunku (10). Przyjęto słup o wymiarach przekroju poprzecznego
120mm x 120mm. Dlugość obliczeniowa słupa ls = 3111mm (rys.3-15).
Ciężar własny słupa.
Gsk = Å‚k Å" b Å" h Å" ls = 6,0 kN/m3 Å" 0,120 m Å" 0,120 m Å" 3,111 m = 0,269 kN
Gs = Gsk Å" Å‚ = 0,269 kN Å"1,1 = 0,296 kN
f
Wartość obliczeniowa siły ściskającej słup jest równa:
(41)
= qy Å" l + Gs
s
w którym:
qy - wartość obliczeniowa pionowego obciążenia równomiernego płatwi,
l - rozstaw słupów w kierunku podłużnym (rys.3-15),
Gs - ciężar własny słupa.
= 6,047 kN/m Å" 4,400 m + 0,296 kN = 26,90 kN
s
Współczynnik wyboczeniowy kc = min (kc,y; kc,z) wyznacza się z równań
(11) i (12). Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci wyboczeniowej µ = 1,0 (wg rys.3-8).
Długości wyboczeniowe wg równań (20) i (21):
lc,y = lc,z = ls Å" µ = 3111 mm Å"1,0 = 3111 mm = 311,1 cm
Pole powierzchni przekroju słupa:
Abr = b Å" h = 120 mm Å"120 mm = 14400 mm2 = 144,0 cm2
b Å" h3 12,0 cm Å" (12,0 cm)3
I = I = = = 1728 cm4
y z
12 12
Smukłość słupa na podstawie równania (19):
lc,y 311,1 cm
 =  = = = 89,81 < 150
y z
I
1728 cm4
y
Abr 144 cm2
Naprężenia krytyczne przy ściskaniu wg równań (17) i (18):
Ãc,crit ,y = Ãc,crit ,z = Ä„2 Å" E0,05 / 2
y
(3,1415)2 Å" 740 kN/cm2
Ãc,crit ,y = Ãc,crit ,z = = 0,905 kN/cm2
(89,81)2
Smukłość sprowadzona przy ściskaniu wg (13) i (14):
fc,0,d
1,454 kN/cm2
rel ,y = rel ,z = = = 1,268
Ãc,crit ,y 0,905 kN/cm2
Współczynniki ky i kz na podstawie równań (15) i (16):
k = kz = 0,5 [1 + ²c (rel ,y - 0,5) + 2 ]
y rel ,y
k = kz = 0,5 Å"[1 + 0,2 Å" (1,268 - 0,5) + (1,268)2 ] = 1,381
y
Współczynniki wyboczeniowe kc,y i kc,z wg (11) i (12):
1 1
kc,y = kc,z = = = 0,519
2 2
k + k - rel,y 1,381+ (1,381)2 - (1,268)2
y y
kc = min ( kc,y ;kc,z ) = 0,519
Warunek nośności dla słupa wg warunku (10):
26,90 kN kN kN
s
= = 0,360 < fc,0,d = 1,454
kc Å" Ad 0,519 Å"144,0 cm2 cm2 cm2
- warunek spełniony.
(Przyjęto, że wcięcia na kleszcze nie osłabiają przekroju, ponieważ
znajdują się one na szczycie słupa, gdzie nie występuje wyboczenie).
Miecze  stan graniczny nośności. Miecze wymiaruje się jako elementy
ściskane. Przyjęto miecze o wymiarach 65mm x 65mm, nachylone do
pÅ‚aszczyzny poziomej pod kÄ…tem ² = 45°, dÅ‚ugość obliczeniowa miecza
lm = 1556mm (rys.3-15).
Wartość obliczeniowa reakcji pionowej przekazywanej z płatwi na
miecz jest równa:
Rm = 0,25Å" qy Å"( l + l ) = 0,25Å"6,047 kN/m Å"(4,400 m + 2,200 m) =
y
= 9,978 kN
Wartość obliczeniowa siły ściskającej miecz jest równa:
Rm 9,978 kN
= = = 14,11 kN
m
sin² sin 45°
Współczynnik wyboczeniowy kc = min (kcy, kcz) wyznacza się z równań
(11) i (12). Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci wyboczeniowej µ = 1,0. DÅ‚ugoÅ›ci
wyboczeniowe wg równań (20) i (21):
lc,y = lc,z = lm Å" µ = 1556 mm Å"1,0 = 1556 mm
Pole powierzchni przekroju miecza:
Abr = b Å" h = 65 mm Å" 65 mm = 4225 mm2 = 42,25 cm2
b Å" h3 65 mm Å" (65 mm)3
I = I = = = 1487552 mm4 = 148,8 cm4
y z
12 12
Smukłość miecza na podstawie równania (19):
lc,y 155,6 cm
 =  = = = 82,91 < 150
y z
I
148,8 cm4
y
Abr 42,25 cm2
Naprężenia krytyczne przy ściskaniu wg równań (17) i (18):
Ãc,crit ,y = Ãc,crit ,z = Ä„2 Å" E0,05 / 2
y
(3,1415)2 Å" 740 kN/cm2
Ãc,crit ,y = Ãc,crit ,z = =1,062 kN/cm2
(82,91)2
Smukłość sprowadzona przy ściskaniu wg (13) i (14):
fc,0,d
1,454 kN/cm2
rel ,y = rel ,z = = = 1,170
Ãc,crit ,y 1,062 kN/cm2
Współczynniki ky i kz na podstawie równań (15) i (16):
k = kz = 0,5 [1 + ²c (rel ,y - 0,5) + 2 ]
y rel ,y
k = kz = 0,5 Å"[1 + 0,2 Å" (1,170 - 0,5) + (1,170)2 ] = 1,251
y
Współczynniki wyboczeniowe kc,y i kc,z wg (11) i (12):
1 1
kc,y = kc,z = = = 0,590
2 2
k + k - rel,y 1,251+ (1,251)2 - (1,170)2
y y
kc = min ( kc,y ;kc,z ) = 0,590
Warunek nośności dla miecza wg warunku (10):
14,11 kN kN kN
m
= = 0,566 < fc,0,d = 1,454
kc Å" Ad 0,590 Å" 42,25 cm2 cm2 cm2
- warunek spełniony
Kleszcze  stan graniczny nośności. Kleszcze wymiaruje się jako
elementy ściskane. Dla każdego układu poprzecznego słupów przyjęto dwa
kleszcze o wymiarach 40mm x 80mm, połączone przewiązkami o rozstawie
lp = 1150mm. Długości obliczeniowe kleszczy:
lkl ,y = 3450mm (rys.3-13),
lkl ,z = 1150 mm
Należy sprawdzić nośność kleszczy z możliwością wyboczenia się na
całej dlugości względem osi y oraz nośność pojedynczego kleszcza
z możliwością jego wyboczenia się pomiędzy przewiązkami względem osi z.
Wartość obliczeniowa siły ściskającej kleszcze jest równa:
= qz Å" lz = 0,720 kN/m Å" 4,400 m = 3,168 kN
kl
Siła ściskająca pojedynczy kleszcz:
3,168 kN
kl
= = = 1,584 kN
kl ,1
2 2
Współczynnik wyboczeniowy kc = min (kcy, kcz) wyznacza się z równań
(11) i (12). Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci wyboczeniowej µ = 1,0. DÅ‚ugoÅ›ci
wyboczeniowe wyznaczone wg równań (20) i (21):
lc,y = lkl ,y Å" µ = 3450 mm Å"1,0 = 3450 mm
lc,z = lkl ,z Å" µ = 1150 mm Å"1,0 = 1150 mm
Pole powierzchni przekroju kleszczy:
Abr = 2 Å" b Å" h = 2 Å" 40 mm Å"80 mm = 6400 mm2 = 64 cm2
Abr 64 cm2
Abr ,1 = = = 32 cm2
2 2
b Å" h3 40 mm Å" (80 mm)3
I = 2 Å" = 2 Å" = 3413333 mm4 = 341,3 cm4
y
12 12
h Å" b3 80 mm Å" (40 mm)3
I = = = 426667 mm4 = 42,67 cm4
z
12 12
Smukłość na podstawie równania (19):
lc,y 345,0 cm
 = = = 149,40 < 150
y
I
341,3 cm4
y
Abr 64,0 cm2
lc,z
115,0 cm
 = = = 99,59 < 150
z
I
42,67 cm4
z
Abr ,1 32,0 cm2
Naprężenia krytyczne przy ściskaniu wg równań (17) i (18):
(3,1415)2 Å" 740 kN/cm2
Ãc,crit ,y = Ä„2 Å" E0,05 / 2 = = 0,327 kN/cm2
y
(149,40)2
(3,1415)2 Å" 740 kN/cm2
Ãc,crit ,z = Ä„2 Å" E0,05 / 2 = = 0,736 kN/cm2
z
(99,59)2
Smukłość sprowadzona przy ściskaniu wg (13) i (14):
fc,0,d
1,454 kN/cm2
rel ,y = = = 2,109
Ãc,crit ,y 0,327 kN/cm2
fc,0,d
1,454 kN/cm2
rel ,z = = = 1,406
Ãc,crit ,z 0,736 kN/cm2
Współczynniki ky i kz na podstawie równań (15) i (16):
k = 0,5 [1 + ²c (rel ,y - 0,5) + 2 ]
y rel ,y
k = 0,5 Å"[1 + 0,2 Å" (2,109 - 0,5) + (2,109)2 ] = 2,885
y
kz = 0,5 [1 + ²c (rel ,z - 0,5) + 2 ]
rel ,z
kz = 0,5 Å"[1 + 0,2 Å" (1,406 - 0,5) + (1,406)2 ] =1,579
Współczynniki wyboczeniowe kc,y i kc,z wg (11) i (12):
1 1
kc,y = = = 0,206
2 2
k + k - rel,y 2,885 + (2,885)2 - (2,109)2
y y
1 1
kc,z = = = 0,435
2 2
kz + kz - rel,z 1,579 + (1,579)2 - (1,406)2
Warunki nośności dla kleszczy wg warunku (10):
3,168 kN kN kN
kl
= = 0,240 < fc,0,d = 1,454
kc,y Å" Abr 0,206 Å" 64,0 cm2 cm2 cm2
1,584 kN kN kN
kl ,1
= = 0,114 < fc,0,d = 1,454
kc,z Å" Abr ,1 0,435 Å" 32,0 cm2 cm2 cm2
Warunki stanów granicznych wszystkich zaprojektowanych elementów
zostały spełnione. Elementy więz
by zostaly zaprojektowane poprawnie.