WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 2
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Praca sił normalnych
Siła normalna przypomnienie (N):
Jest to siła działająca wzdłuż osi pręta, decydując o rozciąganiu bądz
ściskaniu elementu.
Innymi słowy, to suma naprężeń normalnych na powierzchni całego przekroju:
N =
+"ÃdA (2.1)
A
Rys. 1. Umowne znakowanie siły normalnej
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Korzystając ze wzoru (2.1) i prawa Hooke a można napisać zależności dla wycinaka
pręta o długości ds:
ds
Rys. 2. Przyrost długości pręta
N = dA = Ã Å" A
N N
+"Ã
A
Gdzie
"u " Ã N
E- moduł Younga
N
µ = = "! µ = =
N N
A- pole powirzchni
u ds E E Å" A
przekroju
1 1 N
dLN = Å" N Å" " = Å" N Å" ds
2 2 E Å" A
Całkowita praca siły normalnej w pręcie o długości l:
l
2
1 N
LN = ds
(2.2)
+"
2 E Å" A
0
Element pracy siły normalnej:
2
1 N
dLN = ds (2.3)
2 E Å" A
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Praca momentów zginających
Moment zginajÄ…cy przypomnienie: Def
M = (z) Å" zdA
+"Ã (2.4)
A
Jest to para sił równo oddalonych od siebie, których wynikiem działania jest ściskanie
części włókien i rozćiąganie pozostałych.:
M>0
rozciąganie dolnych włókien
M<0
rozciąganie górnych włókien
Rys. 3. Umowne znakowanie momentó zginających
W przekroju występują naprężenia stałe (od siły normalnej) i zmienne (od momentu
zginajÄ…cego)
stałe zmienne
naprężenia naprężenia
normalne od momentu
Rys. 4. Naprężenia stałe i zmienne
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Naprężenia występujące od momentu zginającego decydują o ściskaniu części włókien i
rozciąganiu pozostałej części:
Ãz = Ã
Rys. 5. Naprężenia zmienne od momentu zginającego
Górna rzÄ™dna naprężenia od momentu Ãg
Górna rzÄ™dna naprężenia od momentu Ãd
Korzystając ze wzoru (2.4) i zależności geometrycznych (twierdzenie Talesa)
otrzymujemy:
à z z
z
= Ã = Ã
(2.5)
à hd hd d
d
à Ã
d d
M = zdA = Å" z2dA = I
(2.6)
z
+"Ã +"
hd hd y
A A
Wobec tego:
à Ã
d
=
hd z
(2.7)
M
à = Å" z
I
y
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
h
g
h
z
h
d
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Biegun
chwilowego
obrotu
promień
krzywizny
"
dx=ds na wysokości z
2
Rys. 6. Nieskończenie mały element, poddany momentowi zginającemu
dÕ
Á- promieÅ„ krzywizny, - poÅ‚owa kÄ…ta zawartego miÄ™dzy promieniami krzywizny,
2
ds ds
Á = dÕ =
(2.8)
dÕ Á
Przyrost długości ds jest symetryczny względem promienia krzywizny, dlatego przyrośt
po jednej stronie wynosi:
" dÕ
=
2z 2
" = zdÕ
(2.9)
"
dÕ =
z
Przyrost ds jest odkształceniem liniowym, dlatego korzystając z prawa Hooke a można
zapisać relacje między przyrostem włókna a naprężeniami.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
z
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
"
= µ
z
ds
à "
z
µ( z) = = (2.10)
E ds
Ã
z
" = ds
E
Podstawiając wzór na naprężenie (2.7) i na kąt obrotu (2.9) otrzymujemy:
M Å" z
" = ds
E Å" I
y
"
dÕ =
(2.11)
z
M
dÕ = ds
E Å" I
y
WykorzystujÄ…c wzór (2.11) i prawo Hooke a otrzymujemy relacjÄ™ miÄ™dzy krzywiznÄ… (Ç)
a momentem:
dÕ 1 M
= = Ç =
(2.12)
ds Á E Å" I
y
Ç- to odwrotność promienia krzywizny.
Element pracy momentu zginającego, który działa na obrocie wynosi:
2
1 1 M 1 M
dLM = Å" MdÕ = Å" M Å" ds = ds
(2.13)
2 2 E Å" I 2 E Å" I
y y
Całkowita praca momentu w pręcie o długości l:
l
2
1 M
LM = ds
(2.14)
+"
2 E Å" I
y
0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Praca sił poprzecznych
Siła poprzeczna przypomnienie
Siła poprzeczna jest sumą wszystkich naprężeń stycznych w przekroju
Indeks pierwszy określa płaszczyznę na jakiej działa siła
Indeks drugi określa kierunek dodatniej osi naprężeń stycznych
Txz = dA
xz
+"Ä
A
(2.15)
Txz Å" Sy (z)
Ä =
xz
I Å" b(z)
y
W powyższym siła działa na płaszczyz
nie x o kierunku z.
System znakowania siły poprzecznej
T>0
kręci odciętą
częścią w prawo
T<0
kręci odciętą
częścią w lewo
Rys. 7. System znakowania siły poprzecznej
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
b(z)
Rys. 8. Rysunek poglądowy działania siły poprzecznej
Wynikiem działania sił stycznych jest deformacja przedstawiona na rysunku (w
zdecydowanej przesadzie)
Å‚
xz
ds
Rys. 9. Rezultaty działania siły poprzecznej na elemencie: a) ł- kąt odkształcenia
postaciowego, b) "- wynik działania sił stycznych
"t = Å‚ ds
xz
(2.16)
Ä
xz
Å‚ =
xz
G
We wzorze (2.16) G jest modułem odkształcenia postaciowego Kirchhoffa.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
h
d
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
E
G =
(2.17
2 Å"(1+½ )
E- moduÅ‚ Younga, ½- współczynnik Poissona
Równanie pracy jest przedstawione wyłącznie dla poletka dA, w którym występują
elementy siły poprzecznej. Jeżeli chciałoby się otrzymać całkowitą pracę, należałoby
zsumować wszystkie poletka dA- czyli scałkować.
dT = ÄdA
(2.18)
1
dLT = dT"T
2
Przyrost pracy elementu siły poprzecznej przypadającej na poletko dA leżące na włóknie
b(z) dla elementarnego wycinka pręta o długości ds.
1
3
d LT = Ä dA Å"Å‚ ds
xz xz
2
Txz Å" S (z) Txz Å" S (z)
1 1
y y
3
d LT = Å" Å" dAds
(2.19)
2 I Å" b(z) G I Å" b(z)
y y
2 2
1 T A S (z)
3
d LT = Å" Å" dAds
2 GA I Å" b2 (z)
y
Przyrost pracy całej siły poprzecznej w przekroju dla wycinka ds:
îÅ‚T 2 A S 2 (z) Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚
dLT = Å" Å" dA÷Å‚
ïÅ‚
(2.20)
+"
÷łśł
2 Å" b2 (z)
ïÅ‚GA ìÅ‚ I y
A
íÅ‚ łłśł
ðÅ‚ ûÅ‚
Wprowadzamy upraszczający zapis na ścinanie:
2
A S (z)
º = Å" dA
(2.21)
+"
I Å" b2 (z)
y
1 Tº 1
dLT = Å"T Å" ds = Å"T Å"Å‚ ds
(2.22)
śr
2 GA 2
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 10
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Wzór (2.23) w nawiązaniu do poprzednich (praca N i praca M) można przez analogię
zinterpretować jako pracę siły poprzecznej na uśrednionym przemieszczeniu wwołanym
odkształceniem postaciowym (łśrds)
1 1 ºT
Å‚ = Ä = Å"
(2.23)
śr śr
G G A
Całkowita praca na długości pręta z uwzględnieniem współczynnika ścinania wynosi:
l
2
1 T
LT = Å"ºds
(2.24
+"
2 GA
0
Podsumowanie
Rodzaje występujących sił w przekroju
F- uogólniona siła,
"- uogólnione przemieszczenie
N (s) µ Å" ds d"
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
N
ôÅ‚M ôÅ‚Ç(s) ôÅ‚dÕ
F(s) = (s) ´ (ds) = " = Å" ds Ò!
(2.25)
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚T (s) ôÅ‚Å‚ (s) Å" ds ôÅ‚d"
ół ół śr T
ół
Wszystkie współczynniki charakteryzują się bardzo podobną strukturą- siła/ sztywność
(na rozciąganie, zginanie, ścinanie)
N
µ =
EA
M
Ç =
(2.26)
EI
Tº
Å‚ =
śr
GA
Wzór na całkowitą pracę sił wewnętrznych jest sumą prac tych wszystkich sił w pręcie:
l l l
2 2 2
1 M 1 N 1 T º
L = Å" ds + Å" ds + Å" ds
(2.27)
+" +" +"
2 EI 2 EA 2 GA
0 0 0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 11
PRACA SIA
WEWN
TRZNYCH W PR
TACH
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber