Twierdzenie o kompensacji
i
2
i = i + "i
R
R
"R
Obwód z wyodrębnionym
Obwód po zmianie rezystancji
opornikiem R
Twierdzenie o kompensacji
Jeżeli w gałęzi obwodu o rezystancji R
"i
płynął prąd i, to zmianę tego prądu "i
spowodowaną zmianą rezystancji R o " R
i"R
można wyznaczyć, korzystając z obwodu
przedstawionego na rysunku,
R + "R
w którym jedynym wymuszeniem jest
i"R
z
ródło napięciowe .
Twierdzenie o wzajemności
1
2
2
2
2
1
czwórnik utworzony z oporników.
Twierdzenia o wzajemności oczkowe
1
2
1
2
e
i2
e
�1
2
2
2
1 2
2
2
1
Jeżeli z
ródło napięcia e dołączone do zacisków 11 czwórnika
utworzonego z oporników liniowych wytwarza w zwartej gałęzi 22 prąd
i2, to po przeniesieniu tego z
ródła do gałęzi 22 w zwartej gałęzi 11
popłynie prąd
�1 = i2
Twierdzenie o wzajemności węzłowe
1
2
1
2
j j
�1
u2
2
2
2
1 2
2
2
1
Jeżeli z
ródło prądowe j, dołączone do zacisków 11 czwórnika
utworzonego z oporników liniowych, wytwarza na rozwartych zaciskach
22 napięcie u2 , to po przeniesieniu tego z
ródła do gałęzi 22 na
rozwartych zaciskach 11 będzie występowało napięcie
�1 = u2
Analiza obwodów metodą napięć węzłowych
węzeł odniesienia
napięcia węzłowe
PPK
i1 + i4 + j6 - j7 = 0
- i2 - i4 - i5 = 0
i3 + i5 - j6 = 0
wyrażamy prądy niez
ródłowe w zależności od konduktancji
elementów oraz napięć węzłowych
i1 = G1v1 i2 = - G2v2
i3 = G3v3
i4 = G (v1 - v2 )
i5 = G5 (v3 - v2 )
4
Opis węzłowy układu
G1v1 + G (v1 - v2 ) = - j6 + j7
4
G v2 - G (v1 - v2 ) - G5 (v3 - v2 ) = 0
2 4
G3v3 + G5 (v3 - v2 ) = j6
PPK
i1 + i4 + j6 - j7 = 0
- i2 - i4 - i5 = 0
i3 + i5 - j6 = 0
i2  traktujemy jak prąd z
ródłowy
G1v1 + G (v1 - v2 ) = j7 - j6
4
- G (v1 - v2 ) - G5 (v3 - v2 ) + i2 = 0
4
G3v3 + G5 (v3 - v2 ) = j6
dodatkowe równanie wynika z NPK
v2 = E2
G1v1 + G (v1 - E ) = j7 - j6
4 2
- G (v1 - E ) + G5 (v3 - E ) + i2 = 0
4 2 2
G3v3 + G5 (v3 - E ) = j6
2
Przypadek ogólny
G1 (v1 - v ) + i = j
3 4
v1 - v2 = E
G (v2 - v5 ) + G3 (v2 - v6 ) - i = 0
2
v1 = v2 + E
G1 (v1 - v ) + i = j
3 4
G (v2 - v5 ) + G3 (v2 - v6 ) - i = 0
2
G1 (v2 + E - v3 ) + G (v2 - v5 ) + G3 (v2 - v6 ) = j4
2
Procedura formułowania równań węzłowych
1. Przyjmujemy jeden węzeł za węzeł odniesienia
oraz rozpatrujemy napięcia węzłowe pozostałych węzłów
(względem odniesienia).
Napięcia węzłowe wraz z prądami z
ródeł napięciowych
(niezależnych i sterowanych) traktujemy jako niewiadome
w budowanym układzie równań.
2. Piszemy równania, na podstawie PPK,
w poszczególnych węzłach z wykluczeniem węzła odniesienia.
3. Prądy w gałęziach z opornikiem oraz napięcia sterujące
uzależniamy od napięć węzłowych i podstawiamy do równań
wyznaczonych w p.2.
4. Napięcia niezależnych i sterowanych z
ródeł napięciowych
uzależniamy od napięć węzłowych, podstawiając jednocześnie
wyznaczone w p.3 zależności określające prądy i napięcia
sterujące.
Przykład
G1 (v1 - v4 ) + G3 (v1 - v2 ) + G v1 + �G3 (v1 - v2 ) = j11
2
- G3 (v1 - v2 ) + G6 (v2 - v3 ) + i5 = j13
- G6 (v2 - v3 ) - �G3 (v1 - v2 ) + ł (v1 - v4 ) - i10 = 0
- G1 (v1 - v4 ) - i4 = - j11
G9v5 + i10 = - j13
- v4 = E
4
v2 - ą G v1 = 0
2
v5 - v3 - � (v2 - v3 ) = 0