Fale w ośrodkach sprę\
ystych
OPIS FAL BIEGN
CYCH
Definicja:
Ruchem falowym nazywamy rozchodzenie się zaburzenia w ośrodku
" Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek o własnościach
sprę\
ystych (F=-ksx)
" Drgania, dzięki właściwościom sprę\
ystym ośrodka, są przekazywane do kolejnych
części ośrodka. W ten sposób zaburzenie przechodzi przez cały ośrodek.
" Podczas rozchodzenia się fali sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego
elementy wykonują drgania.
" Właściwości sprę\
yste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali
Rodzaje fal
fale poprzeczne
fale podłu\
ne
1
Rozchodzenie się fali w przestrzeni  równanie kinematyczne fali
t = 0, y = f (x) t, y = f(x - vt)
W czasie t impuls falowy (fala) poruszający się
z prędkością v przesuwa się w prawo wzdłu\

sznura o odcinek równy vt, bez zmiany kształtu
Fala biegnącą w kierunku ujemnym osi x
(w lewo) ma postać:
y = f(x + vt)
fala poprzeczna Jeśli na końcu sznura (sprę\
yny) przyło\
ymy
drgania harmoniczne (sinusoidalne), to powstanie
fala sinusoidalna.
Dla dowolnej chwili czasu mo\
emy zrobić
fotografię fali i opisać ją równaniem:
"y
Umówmy się, \
e zaczynamy mierzyć czas w
chwili t0=0 i \
e �0 odpowiada fazie
początkowej.
fala poprzeczna:
fala podłu\
na
x
y = "y = Asin�ł 2Ą +�0 �ł
�ł �ł

�ł łł
dla t=0
2Ą �0
�ł �ł
= Asin x +
�ł �ł
 2Ą
�ł łł
fala podłu\
na:
"x
x
"x = Asin�ł 2Ą +�0 �ł dla t=0
�ł �ł

�ł łł
2
x
y = Asin�ł2Ą +�0 �ł dla t=0 ... a jak będzie wyglądała fala po czasie t ?
�ł �ł

�ł łł
2Ą
y = Asin�ł (x - vt)+�0 łł
�ł śł

�ł �ł
A - amplituda fali
 - długość fali
2Ą
(x - vt)+�0 faza fali

�0 faza początkowa
Czas, w którym fala przebiega odległość równą  nazywamy okresem T.
w danej chwili t taka sama faza jest w punktach x,

�ł x t łł
�ł �ł
T =
y = Asin�ł2Ą - �ł
+�0 śł x + , x + 2 , itd., oraz, \
e w danym miejscu x faza
�ł
v
 T
�ł łł
�ł �ł
powtarza się w chwilach t, t + T, t + 2T, itd.
....a tak wygląda ruch punktu o
ustalonej współrzędnej w zale\
ności
od czasu t.
Napiszmy równanie kinematyczne fali w nieco innej, prostszej postaci :
y = Asin(k x -�t +�0)
2Ą
k = liczba falowa

 �
v = = f =
2Ą
częstość kątowa
T k
� = = 2Ąf
T
Prędkość fazowa i kształt fali
Śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali czyli określona faza (np.
maks.)
y = f(x - vt)
x - vt = const.
dx dx
prędkość fazowa
= v
- v = 0
dt
dt
3
Powierzchnię łączącą punkty, o takiej samej fazie nazywamy powierzchnią
falową. Powierzchnie falowe poruszają się z prędkością fazową. Ze względu
na kształt powierzchni falowej wyró\
niamy fale płaskie i fale kuliste.
fala kulista
fala płaska
Równanie falowe
"2 y
= f ''(x - vt)v2 "2 y 1 "2 y
y = f(x - vt) =
"t2
"x2 v2 "t2
"2 y
= f ''(x - vt)
"x2
Równanie ruchu falowego stosuje się do wszystkich rodzajów fal sprę\
ystych.
Przykład: Równanie falowe dla naprę\
onego sznura lub struny
Wypadkowa siła działająca na kawałek sznura o
długości dx :
(*)
Fwyp ( y) = F sin�2 - F sin�1 E" Fd�
Z drugiej strony:
(druga zasada dynamiki)
Fwyp ( y) = ma
dla elementu struny o długości dx :
2
d y
Fwyp ( y ) = �dx
(**)
dt2
� - gęstość liniowa
2 2
d y d� � d y
Ze wzorów (*) i (**) mamy:
Fd� = �dx i dalej =
dt2 dx F dt2
dy
2 2
Dla małych katów , czyli ostatecznie:
� E"
d y � d y
dx
= równanie falowe
dx2 F dt2
4
2 2
d y � d y
(*)
= równanie falowe dla struny
dx2 F dt2
F
v =
�
2 2
d y 1 d y
(**)
= ogólne równanie falowe
dx2 v2 dt2
Sprawdz
my to równanie (*) dla rozwiązania:
y = Asin(kx -�t +�0)
Wyliczmy pochodne:
Po podstawieniu do
"2 y
2 (*):
= -Ak sin(kx -�t)
� � F
"x2
v = =
k2 = �2
k �
F
"2 y
= -A�2 sin(kx - �t)
"t2
Prędkość v rozchodzenia się fali jest niezale\
na od amplitudy i częstotliwości,
dla fal mechanicznych zale\
y od sprę\
ystości ośrodka i jego bezwładności.
Prędkości fal w ró\
nych ośrodkach
1. naprę\
ony sznur lub struna F
v =
(poprzeczna)
�
E
2. pręt F "l
v =
gdzie: = E (E- moduł Younga)
(podłu\
na)
�
S l
K
3. fala akustyczna "V
v =
gdzie: "p = -K (K- moduł sciśliwości objętościowej)
(podłu\
na) �
V
Fala akustyczna opisuje rozchodzenie się lokalnej zmiany ciśnienia
"p = "pm sin(kx -�t +�0)
gdzie "pm jest amplitudą zmian ciśnienia
5
INTERFERENCJA FAL
y2 = Asin(kx +�t)
y1 = Asin(kx -�t)
Fale stojące
ą + � ą - �
interferencja dwu fal rozchodzących się sin ą + sin � = 2sin cos
2 2
w przeciwnych kierunkach na przykład +x i -x
y = y1 + y2 = 2Asin k x cos�t
y = A'cos�t
Ruch harmoniczny z amplitudą A'= 2Asin kx
Cząstki ośrodka drgają ruchem harmonicznym prostym ale w przeciwieństwie do fali
biegnącej, ró\
ne punkty ośrodka mają ró\
ne amplitudy drgań zale\
ne od ich poło\
enia x.
Punkty, które mają maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami, a te które mają zerową
amplitudę i nazywane są węzłami.
Fale stojąca dla struny (pręta) zamocowanej na obu końcach.
n



F
L = n
v =
v =  T =  f (n = 1,2,3....)
2
�
Najni\
sza częstość częstość podstawowa,
n n F
fn = v =
pozostałe wy\
sze harmoniczne (alikwoty)
2L 2L �
pręt zamocowany pręt swobodny
na jednym końcu na końcach
n n
 
 
 
L = n L = n
4 2
(n = 1,3,5....) (n = 1,2,3....)
n n
fn = v fn = v
4L 2L
6
Fale stojące w piszczałce
n



n



L = n
L = n
2
4
(n = 1,2,3....)
(n = 1,3,5....)
n
n
fn = v
fn = v
2L
4L
Barwa dzwięku zale\
y od amplitud dla harmonicznych
wy\
szego rzędu o częstotliwościach fn.
Dudnienia
Fale stojące fale o tej samej częstotliwości, interferencja  w przestrzeni .
Dudnienia fale o nieco ró\
niącej się częstotliwości, interferencja  w czasie .
y1 = Asin�1t = Asin 2Ą f1t y2 = Asin�2t = Asin 2Ą f2t
ą + � ą - �
�ł f1
�ł - f2 łł f1 + f2
�ł �ł
sin ą + sin � = 2sin cos
y = y1 + y2 = 2Ą t sin�ł 2Ą t
2 2 �ł2Acos�ł 2 �łśł �ł 2 �ł
�ł łł �ł łł
�ł �ł
f1 + f2
y = A'sin(�t) = A'sin(2Ą f t)
f =
Drgania wypadkowe o częstotliwości
2
f1 - f2
famp =
i amplitudzie zmieniającej się w czasie z częstotliwością
2
7
Je\
eli częstotliwości f1 i f2 są bliskie
y
siebie to amplituda zmienia się powoli
(famp jest mała).
f1 - f2
t
famp =
2
y
Mamy do czynienia z modulacją
amplitudy (AM  amplitude modulation).
t
Zastosowanie modulacji ma na celu  wprowadzenie do fali potrzebnej informacji,
która ma być przesłana.
Modulacja amplitudy jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym (obok
modulacji częstotliwości FM) sposobem przesyłania informacji za pomocą fal
radiowych
n = 1
drganie wypadkowe
Analiza fal zło\
onych
Wypadkowe drganie (chocia\
okresowe)
n = 3
nie musi być harmoniczne (nie daje się
n = 5
opisać funkcją sinus lub cosinus).
t
n = 7
Analiza Fouriera
Dowolne drganie okresowe o okresie T mo\
emy przedstawić jako
kombinację liniową (sumę) drgań harmonicznych o okresach danych
wzorem Tn = T/n, gdzie n jest liczbą naturalną.
8
ZJAWISKO DOPPLERA
Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie częstotliwości fali z powodu
ruchu obserwatora lub z
ródła fali.
Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal.
Przykład: Fale dz
więkowe - ruch z
ródła i obserwatora wzdłu\
łączącej ich prostej.
Porusza się tylko obserwator:
" dla nieruchomego obserwatora okres (czas miedzy
odebraniem kolejnych powierzchni falowych):
T =  / v
gdzie v to prędkość dz
więku.
" je\
eli obserwator porusza się z prędkością v0 w
kierunku z
ródła (wychodzi falom na przeciw) to odbiera
on powierzchnie falowe w odstępie czasu: T '=  /(v + v0)
T v
v + vo
T' =
czyli:
f' = f
v + vo
v
" skróceniu ulega długość fali emitowanej ze z
ródła Z:
Porusza się tylko z
ródło:
vz v vz
2
 =  - vzT =  - = -
f f f
" rejestrowana przez obserwatora O częstotliwość:
v v v
2
f = = = f
(v-vz )
2
 v - vz
f
W sytuacji kiedy porusza się zarówno z
ródło jak i obserwator
�ł �ł
v ą vo Znaki "górne" odpowiadają zbli\
aniu się z
ródła
f' = f �ł �ł
�ł �ł i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu się.
v m vz
�ł łł
" Zmiany częstotliwości zale\
ą od tego czy porusza się z
ródło czy obserwator.
" Powy\
sze wzory są słuszne gdy prędkości z
ródła i obserwatora są mniejsze od prędkości dz
więku.
Dla prędkości z
ródła większej
od prędkości dz
więku
powstaje sto\
ek Macha
9
NAT
śENIE FALI (na przykładzie fali dz
więkowej)
Natę\
enie biegnącej fali płaskiej (czyli moc na jednostkę powierzchni)
wynosi:
P "E
I = =
S "t "S
I ~<"p2 >
Dal fali kulistej mamy:
P P
I = =
Sr 4Ąr2
r
1
I "
r2
CZUA
OŚĆ UCHA LUDZKIEGO
Przybli\
ony związek między fizycznym
natę\
eniem dz
więku (I), a subiektywnym
poziomem dz
więku (L) ujmuje prawo
Webera - Fechnera:
L " log I
Natę\
enie dz
więku wyra\
amy w
decybelach (dB):
I
IdB = 10 log
I0
gdzie I0 (10-12 W/m2) jest natę\
eniem
progu słyszalności dla tonu o
częstotliwości 1000 Hz.
10
Poziom wra\
enia dz
więku L zale\
y od częstotliwości i wyra\
amy go w fonach.
Dz
więk o danym natę\
eniu i częstotliwości ma tyle fonów ile decybeli ma dz
więk
o takim samym wra\
eniu głośności i o częstotliwości równej 1 kHz.
Rodzaj IdB
dz
więku (dB)
Szelest liści 4
Szept 24
Rozmowa 64
Orkiestra 74
Metro 94
Grzmot 114
Zakres słyszalności ucha ludzkiego rozciąga się od 16 Hz do 20 kHz
11