Ćwiczenie 10
Pasmo tarczowe  kontynuacja
Repetytorium z tarcz
Przypadek szczególny z zakresu zagadnień pasm tarczowych 
tarcza bardzo wysoka, tzn. b "
Zbadamy graniczne wartości stałych cn i dn przy b ".
PrzywoÅ‚ajmy wzory na naprężenia Ã11:
"" "
%ðn %ð %ð
Ã11 x2=b = Å"cosÄ…nx1 - ( ) ( )
an + an Å"cn Å"cosÄ…nx1 + an - an Å"dn Å"cosÄ…nx1
"a " "
n=1 n=1 n=1
oraz:
"" "
%ð%ð
Ã11 x2=-b = Å"cosÄ…nx1 - ( ) )
an + an Å"cn Å"cosÄ…nx1 - ( - an Å"dn Å"cosÄ…nx1
an
"a " "
n
n=1 n=1 n=1
2Ä…nb 2Ä…nb
gdzie: cn = oraz dn =
sh 2Ä…nb + 2Ä…nb sh 2Ä…nb - 2Ä…nb
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 1
1
Wzory na cn i dn mają więc następującą strukturę:
cn,dn = lim
x"
sh x
Ä…1
x
Z twierdzenia de l Hôspitala mamy:
ex - e- x ex + e- x
lim çÅ‚H x" = "
çÅ‚lim
x"
2x 2
Zatem, przy b " mamy cn 0 oraz dn 0
1
Ã11 x2 = -b = p x1 - a0
Mamy stÄ…d bardzo interesujÄ…cy wynik:
( ) ( )
2
Często, dla obciążeń samorównoważących się: a0 = 0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 2
'
l kN
îÅ‚ Å‚Å‚
Przykład numeryczny: b = l , c = q1 = 4q q = const
( )
5 ðÅ‚ mûÅ‚
A - A B - B
B
A
0,088 0,088
×g
b
= l
x2
0,156 0,186
x1
q kN
îÅ‚ Å‚Å‚
b ×
ïÅ‚
l / 5 l / 5
g m2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
q
= l
Ã11
4,002
1,002
A
4q 4q
porównanie ze wzorem
b = l = "
dla:
2c 2c
B
bardzo dobre przybliżenie
l
l
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 3
Porównanie z teorią belek:
q
"
2l 2l 2l
2 2
q Å" 2l q Å" 2l
( ) ql2 ( ) ql2
= =
24 6 12 3
2
g Å" 2l
( ) 2
Wskaz
nik wytrzymaÅ‚oÅ›ci: W = = Å" gl2
63
ql2 Å"3 q
Naprężenia w przęśle: Ã = = 0,25Å"
g,d
6Å" 2gl2 g
ql2 Å"3 q
Naprężenia w podporze: Ã = = 0,50 Å"
g,d
3Å" 2gl2 g
Wniosek: Stosowanie teorii belek w przypadku tarcz o proporcjach
wymiarów jak powyżej (b = l ) nie ma sensu!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 4
Uwagi:
kN
îÅ‚ Å‚Å‚
1) Przyłożenie obciążenia q
na górnym lub na dolnym brzegu
ðÅ‚ mûÅ‚
(ewentualnie między górnym, a dolnym brzegiem tarczy)
nie wpÅ‚ywa na rozkÅ‚ad naprężeÅ„ Ã11 i Ã12, a wpÅ‚ywa jedynie
na naprężenia Ã22.
Wynika to z następującego rozumowania:
q q
Ã22
g
Ã22
×g ×g
x2 x2
x1 x1
q
g
q
q
Ã22
q
g
Ã11 = 0
l l l l
Ã12 = 0
bo są to kier. główne
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 5
2) Podobnie rozwiÄ…zuje siÄ™ tarcze zakrzywione w planie
zbiorniki i silosy
Konstrukcja :
Rozwinięcie :
R
n podpór
tutaj n = 6
( )
2c 2c
2Ä„ R
2l =
n
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 6
3) Przykład  bezwładności myślenia inżynierskiego:
ściana betonowa
zbędna (błędna)
belka żelbetowa
2b
2c 2c
2l
Inżynierowie nie znający teorii tarcz projektowali belki jakoby
dz
wigające ścianę żelbetową. W rzeczywistości mamy tu do
czynienia z tarczÄ… zginanÄ… o wymiarach 2b× 2l !
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 7
REPETYTORIUM Z TARCZ
Zadanie 1: Przeanalizować stan naprężenia w tarczy.
Funkcja naprężeń Airy ego dana jest wzorem:
F r,Õ = C Å" r2 Å"sin2 Õ , gdzie: C = const , C > 0
( )
RozwiÄ…zanie zadania 1:
Składowe stanu naprężenia obliczamy ze wzorów:
1 "F 1 "2F "2F " ëÅ‚ 1 "F öÅ‚
Ãrr = Å" + Å" , ÃÕÕ = , ÃrÕ = -Å"
ìÅ‚÷Å‚
r "r r2 "Õ2 "r2 "r r "Õ
íÅ‚Å‚Å‚
Obliczamy pomocnicze pochodne funkcji F r,Õ :
( )
"F(r,Õ) "
= C Å" r2 Å"sin2 Õ = 2r Å"C Å"sin2 Õ
( )
"r "r
"2F(r,Õ) "
= 2r Å"C Å"sin2 Õ = 2Å"C Å"sin2 Õ
( )
"r2 "r
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 8
"F(r,Õ) "
= C Å" r2 Å"sin2 Õ = 2Å"C Å" r2 Å"sinÕ Å" cosÕ = C Å" r2 Å"sin 2Õ
( )
"Õ "Õ
2
"F (r,Õ) "
= C Å" r2 Å"sin 2Õ = 2 Å"C Å" r2 Å" cos2Õ
( )
"Õ2 "Õ
" ëÅ‚ 1 "F(r,Õ) öÅ‚ " 1 "
ëÅ‚öÅ‚
- Å" = - Å"C Å"r2 Å"sin 2Õ = - ( )
C Å"r Å"sin 2Õ = -C Å"sin 2Õ
ìÅ‚÷Å‚ ìÅ‚÷Å‚
"r r "Õ "r r "r
íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
Składowe stanu naprężenia:
1 "F 1 "2F 11
Ãrr = Å" + Å" = Å" 2r Å"C Å"sin2 Õ + Å" 2 Å"C Å" r2 Å" cos 2Õ
( ) ( )
r "r r2 "Õ2 rr2
Ãrr = 2 Å"C Å"sin2 Õ + 2 Å"C Å"cos2Õ Ãrr = 2 Å"C Å" cos2 Õ
"2F
ÃÕÕ = ÃÕÕ = 2 Å"C Å"sin2 Õ
"r2
" ëÅ‚ 1 "F öÅ‚
ÃrÕ = - Å" ÃrÕ = -C Å"sin 2Õ
ìÅ‚÷Å‚
"r r "Õ
íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 9
Zatem:
Ãrr = 2 Å"C Å" cos2 Õ , ÃÕÕ = 2 Å"C Å"sin2 Õ , ÃrÕ = -C Å"sin 2Õ
tak więc:
dla Õ = 0° zachodzi: Ãrr = 2C , ÃÕÕ = 0, ÃrÕ = 0
dla Õ = 90° zachodzi: Ãrr = 0, ÃÕÕ = 2C , ÃrÕ = 0
Õ = 90°
2C 2C
2C 2C
Õ = 0°
Odpowiedz
: Jest to więc równomierne rozciąganie naprężeniem
o wartoÅ›ci równej à =2C w kierunku Õ =0° !
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 10
Zadanie 2: Wyznaczyć stan naprężeń w blasze z otworem,
kN
îÅ‚ Å‚Å‚
poddanej działaniu ciśnienia wewnętrznego p
ðÅ‚ mûÅ‚
(gdzie: p  obciążenie ciągłe na jednostkę długości brzegu otworu)
r
p
a
×g
RozwiÄ…zanie zadania 2:
Rozwiązanie ogólne, w przypadku obrotowej symetrii:
C2
Å„Å‚
Ãrr = + 2C3 + C4 Å" 1+ 2ln r
( )
ôÅ‚
ôÅ‚
r2
òÅ‚
ôÅ‚ÃÕÕ = - C2 + 2C3 + C4 Å" 3 + 2ln r
( )
ôÅ‚
ół r2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 11
Zauważmy, że gdy współrzędna r " , to naprężenia dążą do zera:
Å„Å‚Ãrr r" = 0 + 2C3 + C4 Å" 1+ 2ln r = 0
( )
ôÅ‚
stÄ…d: C3,C4 = 0
òÅ‚
( )
ÕÕ
ôÅ‚Ã r" = 0 + 2C3 + C4 Å" 3 + 2ln r = 0
ół
Pozostałą w obliczeniach stałą C2 a" C wyznaczamy z warunku
brzegowego:
p C2 p
Ãrr r=a = - Ãrr r=a = = -
ÃÕÕ
p
g a2 g
4g
p
a
C2 = -a2 Å"
p
g
g
a
Ãrr
Å„Å‚
a2 p
rr
ôÅ‚Ã = - r2 Å" g p
p
ôÅ‚
4g
StÄ…d:
òÅ‚
g
ôÅ‚Ã = a2 Å" p
ÕÕ
ôÅ‚
r2 g
a a
ół
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 10 " KMBiM WILiŚ PG 12