Imperfekcje w obliczaniu stężeń
hal stalowych
według PN-EN 1993-1-1 [2]
dr hab. inż. Walter Wuwer, prof. Pol. Śl.
Eurokod [1] zwraca uwagę na wagę stężeń w kształtowaniu ustroju nośnego
budowli. Należy jej zapewnić integralność strukturalną.
Pręty stężeń należy, wg [2], projektować na:
- tzw. równoważne obciążenia imperfekcyjne (tzn. obciążenia wywołane
wstępnymi deformacjami elementów podpieranych), oraz
- obciążenia zewnętrzne występujące podczas eksploatacji obiektu.
Należy wziąć pod uwagę trzy rodzaje imperfekcji geometrycznych ustroju
nośnego:
- Å‚ukowe;
- przechyłowe;
- skrętne.
Imperfekcje łukowe  uwzględnia się w obliczaniu poprzecznych
dachowych stężeń połaciowych oraz piętrowych
(tzn.  dwukondygnacyjnych ) pionowych stężeń
podłużnych słupów.
Imperfekcje przechyłowe  uwzględnia się w obliczaniu pionowych stężeń
podłużnych słupów budynków i hal (tzw. stężeń
ściennych, jeśli znajdują się one w płaszczyz
nie
ścian zewnętrznych budynku).
Imperfekcje skrętne  mają znaczenie w przypadku rygli ram o dużej
wysokości konstrukcyjnej i małej sztywności
zgięciowej z płaszczyzny dz
wigara (generujÄ…
obciążenie poziome prostopadłe do płaszczyzny
dz
wigara (czego norma nie uwzględnia).
Imperfekcje w stężeniach połaciowych poprzecznych
W analizie stężeń, zapewniających stateczność boczną belkom lub elementom
ściskanym (przykładowo górnym pasom wiązarów), wpływy imperfekcji zaleca
się uwzględniać za pomocą zastępczej imperfekcji geometrycznej elementów
stężanych, w postaci wstępnej imperfekcji łukowej o strzałce e0 (Rysunek 5.6 wg
[2]), której wartość należy obliczyć ze wzoru (5.12) w [2]:
L
e0 = Ä…m (5.12)
500
gdzie:
L  rozpiętość stężenia,
m  liczba elementów stężanych (wiązarów),
1
öÅ‚
Ä…m = 0,5ëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
Wstępne łukowe imperfekcje elementów stężanych można zastąpić równoważną
siłą stabilizującą qd (por. Rysunek 5.6):
e0 +´q
qd = 8 , (5.13)
"NEd
L2
gdzie:
´q  ugiÄ™cie stężenia od oddziaÅ‚ywania q i wszelkich obciążeÅ„ zewnÄ™trznych
(np. wiatrem), uzyskane z analizy I rzędu (gdy stosuje się teorię II rzędu
można przyjąć ´q = 0).
qd  sumaryczne ciągłe oddziaływanie m dz
wigarów stężanych przez jeden
tężnik; zakłada się, że pas dz
wigara ściskany jest stałą siłą NEd na całej
długości; równoważne obciążenie stabilizujące dla pojedynczego dz
wigara
wyniesie:
e0
qd ,1 = 8NEd .
L2
W przypadku, gdy stężenie stabilizuje ściskany pas zginanej belki o stałej
wysokości, to wartość siły ściskającej NEd można obliczyć ze wzoru (5.14) w [2]
(Rys. 1):
MEd
NEd = (5.14)
h
gdzie:
MEd  maksymalny moment w belce,
h  całkowita wysokość belki.
Gdy przekrój belki (przekrój rygla ramy) jest poddany zewnętrznemu
obciążeniu ściskającemu N, to siłę NEd należy powiększyć o stosowną część NEd
tego obciążenia, tj. o część przypadającą na pas ściskany wg wzoru (por. rys. 1b):
Af
"NEd = N.
Aw + 2Af
Obciążenie całkowite pasa rygla ramy wynosi wtedy:
MEd
NEd ,calk = + "NEd .
h
Rys. 1. Zginany i ściskany rygiel ramy przytrzymany prętami stężenia poprzecznego:
a) schemat statyczny ramy oraz wykres momentów od obciążeń grawitacyjnych,
b) siły ściskające górny pas rygla
W miejscach styków belek lub elementów ściskanych, powiązanych z
prÄ™tami stężeÅ„, przyjmuje siÄ™ lokalne oddziaÅ‚ywania równe 2ĆÅ"NEd (Rysunek 5.7
wg [2]), które powinny być przeniesione przez to stężenie.
Ponieważ według wzoru (5.5) w [2]:
1
Ć = Ć0ąhąm = Ć0ąm = ąm
200
(w przypadku stężeń ąh =1), stąd rozważane oddziaływanie należy ostatecznie
wyznaczyć z zależności:
1 Ä…mNEd
2ĆNEd = 2ëÅ‚ öÅ‚Ä…mNEd = .
ìÅ‚ ÷Å‚
200 100
íÅ‚ Å‚Å‚
Tak obliczone siły występujące w miejscach styków, np. styku montażowego -
1 w górnym pasie wiązara lub w stykach belek powinny być przeniesione przez
stężenie połaciowe poprzeczne (por. rysunek 5.7).
W stykach należy ponadto uwzględnić wpływ wszystkich obciążeń
zewnętrznych, natomiast można wtedy pominąć siły od wstępnej imperfekcji
łukowej o strzałce e0.
Imperfekcje w obliczaniu pionowych stężeń słupów hali
Dla układu podłużnego hali, obciążonego reakcjami wiązarów dachowych oraz
przykładowo poziomą siłą H (Rys. 2) obliczamy imperfekcję przechyłową wg
wzoru (5.5) w [2]:
1
Ć = ąhąm (5.5)
200
Rys. 2. Stężenie ścienne słupów hali bez suwnic z imperfekcją przechyłową Ć słupów
Można pominąć imperfekcję przechyłową Ć , gdy spełniony jest warunek:
HEd e" 0,15VEd . (5.7)
Przechył Ć powoduje konieczność uwzględnienia oddziaływania poziomego
HEd,Ć, którym należy dodatkowo obciążyć układ podłużny (por. rys. 2). Wartość
siły HEd,Ć wyznacza się ze wzoru:
1
HEd ,Ć = Ć VEd = ąhąm VEd .
200
Układ podłużny należy ostatecznie obciążyć siłą poziomą:
HEd = H + HEd,Ć.
Sprawdzenia wymaga określenie liczby m słupów, które należy uwzględnić w
obliczeniach, aby móc wyznaczyć współczynnik ąm wg wcześniej podanych
wielkości, występujących we wzorze (5.5).
Uwagi dodatkowe
- Należy przypomnieć, że efekty lokalnych imperfekcji łukowych
poszczególnych elementów (prętów stężeń) będą dodatkowo uwzględnione w
formułach nośności elementów narażonych na wyboczenie (za pomocą
współczynnika wyboczenia Ç).
- Gdy analiza II rzędu ma uwzględniać zwichrzenie elementów zginanych, to
można przyjmować imperfekcje tych elementów jako
k · e0
gdzie:
e0  zastępcza wstępna imperfekcja łukowa w płaszczyz
nie najmniejszej
bezwładności przekroju
(uwzględnianie dodatkowych imperfekcji skrętnych nie jest na ogół
wymagane);
k  parametr (zaleca siÄ™ k = 0,5).
Stężenia pionowe międzywiązarowe
Aby zabezpieczyć wiązary przed skręceniem lepsza byłaby geometria stężenia
pionowego, którą tworzą trójkąty, jako figury geometrycznie niezmienne (rys. 3).
Rys. 3. Geometria stężeń pionowych między wiązarami:
a) płatew jako element stężenia, b) stężenie niezależne od płatwi,
c) płatew kratowa stanowi stężenie
Eurokod 3 nie podaje zasad rozmieszczania stężeń międzywiązarowych.
Obliczenie równoważnych sił poziomych od imperfekcji skrętnych kratownic nie
jest dotychczas ujęte w przepisach normowych.
Blachy fałdowe jako stężenia ustrojów prętowych
Jako dachowe stężenia połaciowe oraz pionowe stężenia ścienne można
wykorzystać blachy fałdowe stanowiące elementy obudowy obiektu.
Blachy fałdowe wraz z płatwiami i ryglami oraz innymi uzupełniającymi
elementami tworzą tarcze zdolne przenosić obciążenia w płaszczyz
nie połaci
dachu oraz w płaszczyznach ścian, jednak pod warunkiem, że wzajemne
połączenia wspomnianych elementów zapewnią wspomnianym tarczom
geometryczną niezmienność.
Współpracę wzajemną między arkuszami blach oraz arkuszami blach a
podpierającymi je elementami prętowymi powinny zapewniać w tym wypadku
połączenia sworzniowe (kołki wstrzeliwane, np. Hilti, gwoz
dzie wstrzeliwane
itp.) o odpowiedniej nośności na ścinanie, a przede wszystkim na docisk z
uwzględnieniem przepisów normowych, uwzględniających owalizację otworów).
Pokrycie z blach fałdowych może stanowić geometrycznie niezmienną tarczę,
jeśli za pomocą odpowiednich elementów dystansowych zapewni się po
obwodzie należyty kontakt czterech krawędzi pokrycia (dachu) z konstrukcją
podpierajÄ…cÄ… !
Zagadnieniom tym poświęcony jest odrębny wykład. Obliczanie i
konstruowanie tarcz stężających z blach fałdowych wymaga odpowiedniego
doświadczenia projektowego oraz dużego nakładu pracy. Przepisy dotyczące
obliczania i konstruowania takich konstrukcji zawarte sÄ… m. in. w pozycjach [3],
[4], [5].
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1
Wyznaczyć obciążenie poprzecznych stężeń połaciowych jako podparć
bocznych ściskanych pasów wiązarów dachowych.
(Wykorzystać przykład z książki [6])  Konstrukcje Stalowe. Przykłady obliczeń
według PN-EN 1993-1 , pod redakcją Aleksandra Kozłowskiego, Rzeszów 2009
- Przykład 8.1., str. 254)
UWAGA:
W przykładzie tym błędnie obliczono ugięcie tężnika pod całkowitym
obciążeniem. Zastosowano uproszczony wzór na ugięcie, uwzględniający jedynie
moment zginający a pomijający siłę poprzeczną, która w tym przypadku ma
decydujący wpływ wartość ugięcia. Ugięcie rzeczywiste  stanowiące miarę
podatności tężnika  jest kilkakrotnie większe. W przykładzie zaniżono wiec
ciągłe obciążenie tężnika równoważną siłą stabilizującą qd (wzór 5.13).
Należy także zapoznać się z przykładem P4.3 w [9], str. 190.
Przykład 2
Wyznaczyć dodatkowe obciążenie poziome tężnika pionowego układu jak na
rys. 4, spowodowane przechyłem słupów. W obliczeniach uwzględnić wpływ
nachylenia terenu odpowiadającego III kategorii górniczej.
Dane:
- obciążenie układu: F = 475 kN (jak dla słupów wewnętrznego rzędu
dwunawowej hali z ciężkim przekryciem),
H = 49,0 kN,
- nachylenie terenu: T = 10 mm/m,
- krzyżulce tężnika: długość teoretyczna lk = 9,37 m,
pole przekroju: Ak,
stal S235  fy = 235 MPa,
- wymiary: b = 6,0 m,
h = 7,2 m.
Rys. 4. Schemat ściany podłużnej  pionowe stężenie (ścienne) międzysłupowe
a) Wstępne sprawdzenie konieczności uwzględnienia imperfekcji
przechyłowych  warunek normowy (5.7);
HEd = H = 49,0 kN, VEd = 5·F = 5·475,0 = 2375,0 kN.
HEd = 49,0 kN < 0,15·VEd = 0,15·2375,0 = 356,25 kN
Imperfekcje przechyłowe powinny być uwzględnione w obliczeniach
statycznych stężenia.
b) Obliczenie wstępnej imperfekcji przechyłowej  wg warunku (5.5)
podanego w wykładzie pt.  Modelowanie konstrukcji w celu wykonania analizy
globalnej ... .
1
Ć = Ć0ąhąm, Ć0 = ,
200
2 2 2
Ä…h = = = 0,745, = 0,667 < Ä…h = 0,747 < 1,0.
3
h 7, 2
Sprawdzenie liczby m słupów, które należy uwzględnić w obliczeniach:
Ni 5F 5Å" 475,0
"
- średnia siła w słupie: Nśr = = = = 395,8kN,
6 6 6
- siÅ‚a w najmniej wytężonym sÅ‚upie: NEd = 0,5F = 0,5·475,0 = 237,5 kN.
Ponieważ NEd = 237,5 kN > 0,5NÅ›r = 0,5·395,8 = 197,9 kN,
stÄ…d
wszystkie słupy należy uwzględnić w obliczeniach i przyjąć m = 6:
1 1
öÅ‚ öÅ‚
Ä…m = 0,5ëÅ‚1+ = 0,5ëÅ‚1+ = 0,764,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
m 6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1
Ć = Ć0Ä…hÄ…m = Å"0,745Å"0,764 = 0,00284 rad
200
c) Obliczenie sił poziomych od wstępnej imperfekcji przechyłowej  Rysunek
5.4 i sprawdzenie warunku (5.7), podanego w wykładzie pt.  Modelowanie
konstrukcji w celu wykonania analizy globalnej ... .
Hd ,Ć = Ć VEd = 0,00284Å" 2375,0 = 6,75 kN,
HEd = H + Hd ,Ć = 49,0 + 6,75 = 55,75kN
0,15VEd = 0,15Å" 2375,0 = 356, 25kN
HEd = 55,75kN < 0,15VEd = 356, 25kN
Imperfekcje przechyłowe powinny być uwzględnione w obliczeniach
statycznych stężenia pionowego.
d) Obliczenie mnożnika obciążenia krytycznego ącr wg warunku (5.2) w [2],
podanego w wykładzie pt.  Modelowanie konstrukcji w celu wykonania analizy
globalnej ... .
ëÅ‚ öÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚
HEd ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ h ÷Å‚
Ä…cr = .
ìÅ‚ ÷Å‚
VEd íÅ‚ ´H Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ ,Ed
Przy obliczaniu poziomego przemieszczenia ukÅ‚adu ´H,Ed zaÅ‚ożono, że w
przeniesieniu obciążenia poziomego na fundamenty biorą udział tylko
krzyżulce rozciągane, a występujące w nich naprężenia osiągać mogą wartości
fy; (K/Ak d" fy), gdzie K i Ak odpowiednio siła w krzyżulcu tężnika i pole jego
przekroju poprzecznego.
Przy tych założeniach otrzymuje się:
Rys. 5. Przemieszczenie poziome ´H,Ed ukÅ‚adu podÅ‚użnego hali: a) wydÅ‚użenie krzyżulca ,
i,k
b) przechył Ć0,T spowodowany III kategorią górniczą terenu
- wydłużenie krzyżulca
K Å" lk fy 235
"lk = d" lk = 10-3 Å"9,37 = 10,485Å"10-3 m,
E Å" Ak E 210
- przemieszczenie poziome układu
"i,k b "i,klk 10, 485Å"10-3 Å"9,37
sinÄ… = = ´H ,Ed = = = 16,374Å"10-3 m,
´H ,Ed lk b 6,0
oraz
öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
HEd ëÅ‚ h ëÅ‚ 55,745 öÅ‚ëÅ‚ 7, 2 öÅ‚
Ä…cr = = 10,32 > 10 .
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ´H ÷Å‚ = 2375,0
÷Å‚ìÅ‚16,374Å"10-3 ÷Å‚
VEd íÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ ,Ed
Ponieważ ącr > 10, toteż układ nie jest wrażliwy na efekty II rzędu.
e) Uwzględnienie nachylenia terenu T
Uwzględniając nachylenie górnicze terenu i przyjmując, że jest ono stałe na
długości układu, otrzymuje się dodatkowy przechył słupów
Ć0,T = T = 0,010 rad, oraz:
- wstępną imperfekcję przechyłową wg warunku (5.5)
1 10
Ćcalk = Ć0Ä…hÄ…m +Ć0,T = Å"0,745Å"0,764 + = 0,01285 rad.
200 1000
- siły poziome od imperfekcji przechyłowej oraz sprawdzenie warunku
normowego (5.7)
Hd,Ć = Ć VEd = 0,01284 · 2375,0 = 30,52 kN,
HEd = H + Hd,Ć = 49,0 + 30,52 = 79,52 kN
HEd = 79,52 kN < 0,15·VEd = 0,15·2375,0 = 356,25 kN
Imperfekcje przechyłowe należy uwzględnić w obliczeniach statycznych
stężenia.
- mnożnik obciążenia krytycznego ącr
öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
HEd ëÅ‚ h ëÅ‚ 79,519 öÅ‚ëÅ‚ 7, 2 öÅ‚
Ä…cr = = 14,72 > 10
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ´H ÷Å‚ = 2375,0
÷Å‚ìÅ‚16,374Å"10-3 ÷Å‚
VEd íÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ ,Ed
Ponieważ ącr > 10 układ nie jest wrażliwy na efekty II rzędu.
f) Ocena dodatkowego obciążenia poziomego tężnika Hd,Ć
- bez uwzględnienia nachylenia terenu (wg punktu c): Hd,Ć = 6,75 kN;
przyrost obciążenia poziomego (Hd,Ć /H) = 6,75/49,00 = 0,14 (wzrost
obciążenia o 14%),
- z uwzględnieniem nachylenia terenu (wg punktu e): Hd,Ć = 30,52 kN;
przyrost obciążenia poziomego Hd,Ć /H = 30,52/49,00 = 0,62 (wzrost
obciążenia o 62%).
Literatura
[1] PN-EN 1990: Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji
[2] PN-EN 1993-1-1: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły
ogólne i reguły dla budynków.
[3] J. Bródka, R. Garncarek, K. Miłaczewski, Blachy fałdowe w budownictwie stalowym,
Warszawa Arkady, 1999 (i póz
niejsze),
[4] PN-EN 1993-1-3: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych.
Część 1-3: Reguły ogólne. Reguły uzupełniające dla konstrukcji z kształtowników i blach
profilowanych na zimno.
[5] European Recommendations for the Application of Metal Sheeting Acting as a Diaphragm.
Stressed Skin Design. ECCS Committee TC7, TWG 7.5, May 1995.
[6] Praca zbiorowa:  Konstrukcje Stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN 1993-1 , pod
redakcją Aleksandra Kozłowskiego, Rzeszów 2009.
[7] PN-90/B-03200: Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[8] A. Biegus, D. Mądry, Obliczanie stężeń hal stalowych według PN-EN 1993-1-3, Konstrukcje
stalowe, 2007.
[9] Praca zbiorowa: Budownictwo ogólne, tom 5,  Stalowe konstrukcje budynków.
Projektowanie według eurokodów z przykładami obliczeń pod kierunkiem Mariana
Giżejowskiego i Jerzego Ziółko, Arkady, Warszawa 2010.