R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. 11. nodarb%2łba Nodarb%2łbas saturs: Lineri nehomogni otrs krtas diferencilviendojumi, to atrisinaana (nenoteikto koeficientu metode, Lagran~a metode). 11.1. Lineru nehomognu otrs krtas diferencilviendojumu atrisinaana pc nenoteikto koeficientu metodes Lineri nehomogni otrs krtas diferencilviendojumi ar konstantiem koeficientiem ir 2 2 2 ay + by + cy = f (x). Vispirms aplkkosim viendojumus, kuriem labs puses funkcija ir specila veida funkcija. Specila veida funkcijas ir funkcijas, kuras atvasinot, iegkst tda paaa veida funkcijas. Ts ir: polinomi Pn(x), eksponentfunkcijas eąx , trigonometrisks funkcijas sin x , cos x , k ar%2ł ao funkciju summa, starp%2łba un reizinjums. Lineru nehomognu otrs krtas diferencilviendojumu ar konstantiem koeficientiem un specila veida labo pusi vispr%2łgais atrisinjums ir izsakms k divu atrisinjumu summa: y = y + y *, kur y ir atbilstoa homogn viendojuma vispr%2łgais atrisinjums, y * - nehomogn viendojuma partikulrais atrisinjums. K atrast homogn viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu, apskat%2łjm iepriekaj nodarb%2łb. Tagad aplkkosim, k noteikt nehomogn otrs krtas viendojuma partikulro atrisinjumu. `is atrisinjums ir atkar%2łgs no funkcijas viendojuma labaj 2 pus, k ar%2ł no rakstur%2łg viendojuma ak + bk + c = 0 saknm k1 un k2. Aplkkosim 5 gad%2łjumus: 1) f (x) = Pn(x), kur Pn(x) ir n-ts krtas polinoms, tad a) y* = Qn(x), ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" 0 ( Qn(x) ir n-ts krtas polinoms ar nenoteiktiem koeficientiem); b) y* = Qn(x)" x , ja k = 0 ir rakstur%2łg viendojuma vienkraa sakne. 2) f (x) = Meą x , kur M ir dota konstante, tad a) y* = Aeą x , ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" ą ; b) y* = Aeą x " x , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma vienkraa sakne; c) y* = Aeą x " x2 , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma divkraa sakne, t.i., k1 = k2 = ą . 11. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. 3) f (x) = M cos x + N sin x , kur M un N ir dotas konstantes, tad a) y* = Acos x + Bsin x , ja k `" ą i ; b) y* = (Acos x + B sin x)x , ja k = ą i . 4) f (x) = Pn(x)" eą x , tad a) y* = Qn(x)eą x , ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" ą ; b) y* = Qn(x)eą x " x , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma vienkraa sakne; c) y* = Qn(x)eą x " x2 , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma divkraa sakne. 5) f (x) = eą x(M cos x + N sin x), tad a) y* = eą x(Acos x + Bsin x), ja k `" ą ą i ; b) y* = eą x(Acos x + B sin x)x , ja k = ą ą i . Ja f(x) ir vairku iepriekaminto funkciju summa vai starp%2łba, tad partikulrais atrisinjums jmekl k tdu funkciju summa, kuras atbilst katram saskaitmajam. 2 2 2 Piemrs. Atrisint viendojumu y + 3y - 4y = 8x2 + 3. Risinjums. Sastd%2łsim rakstur%2łgo viendojumu 2 k + 3k - 4 = 0 . T saknes ir k1 = 1 un k2 = -4 . No t izriet, ka atbilstoa homogn viendojuma 2 2 2 y + 3y - 4y = 0 vispr%2łgais atrisinjums ir y = C1ex + C2e-4x . Sastd%2łsim partikulro atrisinjumu. Viendojuma labs puses funkcija f (x) = 8x2 + 3 ir otrs krtas polinoms. Rakstur%2łg viendojuma saknes k `" 0 (1a gad%2łjums), ttad partikulr atrisinjuma veids ir y* = Q2(x) = ax2 + bx + c . Lai apr7intu koeficientus a, b, c, noteiksim partikulr atrisinjuma atvasinjumus, kas ieiet dotaj viendojum: 2 3 y* = 2ax + b , y* = 2a . Ievietojot tos viendojum, iegkst 2a + 6ax + 3b - 4ax2 - 4bx - 4c = 8x2 + 3 . Piel%2łdzinsim koeficientus pie viendm x pakpm: 11. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. x2 : - 4a = 8, a = -2 , 3 3 x1 : 6a - 4b = 0, b = a = "(- 2) = -3, 2 2 1 1 x0 : 2a + 3b - 4c = 3, c = (2a + 3b - 3) = (- 4 - 9 - 3) = -4 . 4 4 Ttad dot viendojuma partikulrais atrisinjums ir y* = -2x2 - 3x - 4 un vispr%2łgais atrisinjums ir y = C1ex + C2e-4x - 2x2 - 3x - 4 . 2 2 Piemrs. Atrisint viendojumu y - 4y = e-2x + sin 2x . Risinjums. Dot viendojuma rakstur%2łgais viendojums ir 2 k - 4 = 0 . Tam ir relas un ata7ir%2łgas saknes k1 = 2 , k2 = -2 , ttad atbilstoa homogn viendojuma atrisinjums ir y = C1e2x + C2e-2x . Sastd%2łsim nehomogn viendojuma partikulro atrisinjumu. Viendojuma labs puses funkcija sastv no divu da~da veida funkciju summas. Noteiksim partikulr atrisinjuma veidu katrai no funkcijm. Funkcija e-2x ir eksponentfunkcija ar kpintja koeficientu ą = -2 . T k rakstur%2łg viendojuma viena sakne k2 = -2 (2b gad%2łjums), * tad eksponentfunkcijai atbilstoaais partikulrais atrisinjums ir y1 = Ae-2x x . Otrs labs puses saskaitmais ir trigonometriska funkcija sin 2x . T k = 2 un k `" ą2i * (3a gad%2łjums), tad tai atbilstoaais partikulrais atrisinjums ir y2 = B cos 2x + C sin 2x . Visai labs puses funkcijai atbilstoaais partikulrais atrisinjums ir abu partikulro atrisinjumu summa, t.i., y* = Ae-2x x + B cos 2x + C sin 2x . `o atrisinjumu divreiz atvasinsim: 2 y* = -2Ae-2x x + Ae-2x - 2Bsin 2x + 2C cos 2x , 3 y* = 4Ae-2x x - 2Ae-2x - 2Ae-2x - 4B cos 2x - 4C sin 2x un ievietosim dotaj viendojum: 11. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. 4Ae-2x x - 4Ae-2x - 4B cos 2x - 4C sin 2x - 4Ae-2x x - 4B cos 2x - 4C sin 2x = e-2x + sin 2x - 4Ae-2x - 8B cos 2x - 8C sin 2x = e-2x + sin 2x . Piel%2łdzinsim koeficientus pie vienda veida funkcijm: 1 e-2x : - 4A = 1 ! A = - , 4 cos 2x : - 8B = 0 ! B = 0 , 1 sin 2x : - 8C = 1 ! C = - . 8 1 1 Ttad dot viendojuma partikulrais atrisinjums ir y* = - e-2x x - sin 2x un 4 8 vispr%2łgais atrisinjums ir 1 1 y = C1e2x + C2e-2x - e-2x x - sin 2x . 4 8 11.2. Lineru nehomognu n-ts krtas diferencilviendojumu atrisinaana pc nenoteikto koeficientu metodes Apskat%2łsim, kd form jizvlas partikulrais atrisinjums n-ts krtas lineram nehomognam diferencilviendojumam ar konstantiem koeficientiem un specila veida labo pusi: 1) f (x) = Pm(x), kur Pm(x) ir m-ts krtas polinoms, tad a) y* = Qm(x), ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" 0 ; b) y* = Qm(x)" x , ja k = 0 ir rakstur%2łg viendojuma vienkraa sakne; c) y* = Qm(x)" xr , ja k = 0 ir rakstur%2łg viendojuma sakne ar krtu r. Piez%2łme. Qm(x) ir m-ts krtas polinoms ar nenoteiktiem koeficientiem. 2) f (x) = Meą x , kur M ir dota konstante, tad a) y* = Aeą x , ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" ą ; b) y* = Aeą x " x , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma vienkraa sakne; c) y* = Aeą x " xr , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma sakne ar krtu r. 3) f (x) = M cos x + N sin x , kur M un N ir dotas konstantes, tad a) y* = Acos x + Bsin x , ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" ą i ; b) y* = (Acos x + Bsin x)x , ja k = ą i ir rakstur%2łg viendojuma vienkraas kompleksas saist%2łtas saknes; 11. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. c) y* = (Acos x + B sin x)xr , ja k = ą i ir rakstur%2łg viendojuma kompleksas saist%2łtas saknes ar krtu r. 4) f (x) = Pm(x)" eą x , tad a) y* = Qm(x)eą x , ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" ą ; b) y* = Qm(x)eą x " x , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma vienkraa sakne; c) y* = Qm(x)eą x " xr , ja k = ą ir rakstur%2łg viendojuma sakne ar krtu r. 5) f (x) = eą x(M cos x + N sin x), tad a) y* = eą x(Acos x + Bsin x), ja neviena rakstur%2łg viendojuma sakne k `" ą ą i ; b) y* = eą x(Acos x + B sin x)x , ja k = ą ą i ir rakstur%2łg viendojuma vienkraas kompleksas saist%2łtas saknes; c) y* = eą x(Acos x + B sin x)xr , ja k = ą ą i ir rakstur%2łg viendojuma kompleksas saist%2łtas saknes ar krtu r. 6) f (x) = eą x(Pm(x)cos x + Qk (x)sin x), kur Pm(x), Qk (x) ir atbilstoai m-ts un k- ts krtas polinomi. Lielko no skait<iem m un k apz%2łmsim ar p. Tad a) y* = eą x(U (x)cos x +Vp(x)sin x), ja neviena rakstur%2łg viendojuma p sakne k `" ą ą i ; b) y* = eą x(U (x)cos x + Vp(x)sin x)x , ja k = ą ą i ir rakstur%2łg p viendojuma vienkraas kompleksas saist%2łtas saknes; c) y* = eą x(U (x)cos x + Vp(x)sin x)xr , ja k = ą ą i ir rakstur%2łg p viendojuma kompleksas saist%2łtas saknes ar krtu r. Piez%2łme. U (x) un Vp(x) ir p-ts krtas polinomi ar nenoteiktiem p koeficientiem. Ja f(x) ir vairku iepriekaminto funkciju summa vai starp%2łba, tad partikulrais atrisinjums jmekl k tdu funkciju summa, kuras atbilst katram saskaitmajam. 2 2 2 2 2 2 Piemrs. Atrisint viendojumu y - 2y + y = 4x +10ex . Risinjums. Dot viendojuma rakstur%2łgais viendojums ir 3 2 k - 2k + k = 0 jeb k(k -1)2 = 0 , t saknes k1 = 0; k2 = k3 = 1. Atbilstoa homogn diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir y = C1 + ex(C2 + C3x). 11. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. Katram saskaitmajam dot viendojuma labaj pus noteiksim atbilstoao partikulro atrisinjumu. Funkcija f1(x)= 4x ir pirms krtas polinoms, k1 = 0 ir rakstur%2łg viendojuma vienkraa rela sakne (1b gad%2łjums), ttad aai funkcijai atbilstoaais * partikulrais atrisinjums ir y1 = (Ax + B)x = Ax2 + Bx . Otrs saskaitmais funkcija f2(x)= 10ex ir eksponentfunkcija ar kpintja koeficientu ą = 1, k = 1 ir rakstur%2łg viendojuma divkraa sakne (2c gad%2łjums), ttad aai funkcijai atbilstoaais partikulrais * atrisinjums ir y2 = Cex x2 . Visai labs puses funkcijai atbilstoaais partikulrais atrisinjums ir abu partikulro atrisinjumu summa, t.i., y* = Ax2 + Bx + Cex x2 . `o atrisinjumu tr%2łsreiz atvasinsim: 2 y* = 2Ax + B + Cex x2 + 2Cex x , 3 y* = 2A + Cex x2 + 2Cex x + 2Cex x + 2Cex = 2A + Cex x2 + 4Cex x + 2Cex , x x x x x x x x 2 2 2 y* = Ce x2 + 2Ce x + 4Ce x + 4Ce + 2Ce = Ce x2 + 6Ce x + 6Ce un ievietosim dotaj viendojum: Cex x2 + 6Cex x + 6Cex - 4A - 2Cex x2 - 8Cex x - 4Cex + 2Ax + B + Cex x2 + 2Cex x = = 4x +10ex , 2Cex - 4A + 2Ax + B = 4x +10ex . Piel%2łdzinsim koeficientus pie vienda veida funkcijm: x1 : 2A = 4 ! A = 2 , x0 : - 4A + B = 0 ! B = 4A = 8 , ex : 2C = 10 ! C = 5 . Esam ieguvuai, ka dot viendojuma partikulrais atrisinjums ir y* = 2x2 + 8x + 5ex x2 un vispr%2łgais atrisinjums ir y = C1 + ex(C2 + C3x)+ 2x2 + 8x + 5x2ex . 11. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. 11.3. Lineru nehomognu otrs krtas diferencilviendojumu atrisinaana pc Lagran~a konstanau varicijas metodes Ata7ir%2łb no nenoteikto koeficientu metodes, kuru var izmantot tikai gad%2łjum, kad linera nehomogna otrs krtas diferencilviendojuma 2 2 2 ay + by + cy = f (x) lab puse ir specila veida funkcija, Lagran~a konstanau varicijas metodi var lietot jebkur gad%2łjum, neatkar%2łgi no labs puses funkcijas veida. Risinot pc a%2łs metodes, vispirms nosaka atbilstoa homogn viendojuma 2 2 2 ay + by + cy = 0 vispr%2łgo atrisinjumu y = C1y1 + C2 y2 . Nehomogn viendojuma atrisinjumu mekl td paa form, uzskatot, ka C1 un C2 nav konstantes, bet no argumenta x atkar%2łgas funkcijas, t.i., y = C1(x)y1 + C2(x)y2 . Noteiksim y atvasinjumu: 2 y = C12 (x)y1 + C1(x)y12 + C22 (x)y2 + C2(x)y22 . T k atrisinjums satur divas nezinmas funkcijas C1(x) un C2(x), tad varam izvlties vienu nosac%2łjumu a%2łm funkcijm. Eemsim nosac%2łjumu C12 (x)y1 + C22 (x)y2 = 0 . (1) Tad 2 2 2 y = C1(x)y1 + C2(x)y2 . Noteiksim otro atvasinjumu: 2 2 y = C12 (x)y12 + C1(x)y13 + C22 (x)y22 + C2(x)y23 un ievietosim dotaj viendojum: a(C12 (x)y12 + C1(x)y13 + C22 (x)y22 + C2(x)y23 )+ b(C1(x)y12 + C2(x)y22 )+ + c(C1(x)y1 + C2(x)y2 ) = f (x). Atvrsim iekavas un prgrupsim izteiksmi viendojuma kreisaj pus, iznesot pirms iekavm C1(x) un C2(x): 2 2 2 2 2 2 C1(x)(ay1 + by1 + cy1)+ C2(x)(ay2 + by2 + cy2 )+ a(C12 (x)y12 + C22 (x)y22 )= f (x). 11. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. T k y1 un y2 ir homogn viendojuma partikulrie atrisinjumi, tad 2 2 2 2 2 2 ay1 + by1 + cy1 = 0 un ay2 + by2 + cy2 = 0 . Ttad no pdj viendojuma iegksim f (x) a(C12 (x)y12 + C22 (x)y22 )= f (x) jeb C12 (x)y12 + C22 (x)y22 = . (2) a Viendojumus (1) un (2) apvienosim sistm: ż# C12 (x)y1 + C22 (x)y2 = 0 # # f (x) 2 (x)y12 + C22 (x)y22 = 1 #C # a No a%2łs sistmas nosaka C12 (x) un C22 (x), nointegrjot iegkst funkcijas C1(x) un C2(x), t.i., C1(x) = (x)dx , C2(x) = (x)dx , 1 2 +"C 2 +"C 2 un uzraksta viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu, a%2łs funkcijas ievietojot izteiksm y = C1(x)y1 + C2(x)y2 . e3x 2 2 2 2 Piemrs. Atrisint diferencilviendojumu y - 3y + 2y = . 1+ e2x Risinjums. Vispirms atrad%2łsim atbilstoa homogn viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu. Rakstur%2łg viendojuma 2 k - 3k + 2 = 0 saknes ir k1 =1 un k2 = 2 , ttad y1 = ex un y2 = e2x . Homogn viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir y = C1ex + C2e2x . Nehomogn viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu meklsim form y = C1(x)ex + C2(x)e2x . Sastd%2łsim sistmu funkciju C12 (x) un C22 (x) noteikaanai: 11. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju konspekts. ż# C12 (x)ex + C22 (x)e2x = 0 # # e3x . 2 (x)ex + C22 (x)" 2e2x = #C1 # 1+ e2x Atrisinsim to pc Krmera formulm: ex e2x " = = 2e3x - e3x = e3x , ex 2e2x 0 e2x e5x ex 0 e4x "1 = = - , "2 = = , e3x e3x 2e2x 1+ e2x ex 1+ e2x 1+ e2x 1+ e2x iegkstam e5x e2x e4x ex C12 (x) = - = - ; C22 (x) = = . (1+ e2x)e3x 1+ e2x (1+ e2x)e3x 1+ e2x Integrjot noteiksim C1(x) un C2(x): e2x 1 d(1+ e2x)= - 1 C1(x) = - ln(1+ e2x)+ C1 , +"1+ e2x dx = - +" 2 1+ e2x 2 exdx d(ex ) C2 (x) = +"1+ e2x = +"1+ (ex )2 = arctg(ex ) + C2 . Ievietojot a%2łs izteiksmes atrisinjuma form y = C1(x)ex + C2(x)e2x , iegksim dot viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu 1 # y = ln(1+ e2x)+ C1 ś#ex +(arctg ex + C2)e2x . ś#- ź# 2 # # 11. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika. I. Volodko