Dodatkowe kolokwium poprawkowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, 2 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] a) Obliczyć całkę

dxdydz
"
,
x2 + y2 + z2
V
gdzie bryła V ograniczona jest powierzchnią x2 + y2 + z2 = y. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.
2. [8p.] a) Uzasadnić, że całka


1 1
sin y + y sin x + dx + x cos y - cos x + dy
x y
K
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk K jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, e) do punktu B(e, 1).
[2p.] b) Mając dane pole skalarne F (x, y, z) = xeyz wyznaczyć rotację pola wektorowego

W = grad F .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [8p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania
(x2 + 1)y + 2xy = 2x2
spełniającą warunek początkowy y(1) = 1.
"
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie xy = x2 - y2+y jest równaniem różniczkowym jednorodnym.
4. [8p.] a) Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y - 4y = x - e2x
[2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno-
rodnego rzędu n 6, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu
całki szczególnej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
"

(x - 2)n
"
3
3n · n2
n=1
oraz określić rodzaj zbieżności szeregu na końcach tego przedziału.
"

1
[2p.] b) Wyznaczyć sumę szeregu .
n2 + 3n
n=1
6. *) [dla chętnych] [5p.] Rozwinąć funkcję f(x) = ln(3 + x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu
x0 = 1. Podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu.