Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr
Instrukcja do laboratorium nr 3 z Modelowania Biosystemów
Modele stochastyczne
Prowadzący: mgr inż. Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629)
[e-mail]
1. Zakres materiału laboratorium
Przygotowanie do zajęć obejmuje znajomość modeli kompartmentalnych oraz podstaw rachunku
operatorowego wykorzystujÄ…cego transformatÄ™ Laplace a.
2. Wprowadzenie
Rachunek operatorowy jest jednym z narzędzi matematycznych służących do rozwiązywania liniowych
równań różniczkowych zwyczajnych. W porównaniu z metodą klasyczną, metoda transformaty
operatorowej przekształca równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne.
W rachunku operatorowym najczęściej stosowanym operatorem jest liniowy operator , który
definiuje tzw. jednostronnÄ… transformatÄ™ Laplace a.
Jednostronna transformata Laplace a zdefiniowana jest jako funkcja
Gdzie zmienna s jest zmiennÄ… zespolonÄ…, natomiast argument t funkcji f(t) jest zmiennÄ… rzeczywistÄ…
nieujemną. Wartości funkcji f(t) dla t<0 przyjmowane są jako 0. Transformata Laplace'a jest zdefiniowana
dla przedziału czasu od t = 0- do +". Symbol t = 0- oznacza, że granica dla czasu t0 brana jest z lewej
strony t = 0. Takie ograniczenie brane jest pod uwagę w tych przypadkach, gdy funkcja f(t) ma postać
funkcji skokowej lub impulsowej, w których to funkcjach zmiana następuje w chwili t = 0.
Przykład 1 zastosowania transformaty Laplace a.
Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest następująco
gdzie A i à sÄ… staÅ‚ymi. Transformata powyższej funkcji wyznaczana jest nastÄ™pujÄ…co
.
Przykład 2 zastosowania transformaty Laplace a.
Funkcja skokowa zdefiniowana jest następująco
gdzie A jest stałą. Transformata powyższej funkcji wyznaczana jest następująco
.
Poniższa tabela przedstawia transformaty najczęściej wykorzystywanych funkcji bądz
operatorów.
Domena czasu t Domena transformaty s
Funkcja/operator
Opóz
nienie
Skok jednostkowy
Całkowanie
Różniczkowanie
Modele kompartmentalne  stochastyczne
Mając układ k równań różniczkowych zapisanych w postaci:
każde i-te równanie możemy zamodelować wykorzystując rachunek operatorowy jako:
po przekształceniu (części schematu zaznaczoną czerwoną linią punktową) możemy uprościć do bloku
postaci (inercja I rzÄ™du, o staÅ‚ej czasowej Äi=1/Ä…i)
Układ równań różniczkowych wraz z równaniem granicznym wiążącym populacje można zapisać
następująco jako:
co można zapisać za pomocą schematu, którego analizowanie opiera się na obserwacji przepływów
i stanów kompartmentów:
Przykład tworzenia modelu wykładniczego w Simulinku
Model wykładniczy w dziedzinie czasu ma postać dN(t)/dt = aN(t), natomiast w dziedzinie operatorowej
(po dokonaniu transformacji Laplace a) ma postać sN(s) = aN(s) + N(0). Stąd N(s) = N(0) / (s-a), skąd po
zastosowaniu odwrotnej transformaty Laplace a można otrzymać wzór na rozwiązanie modelu w czasie.
W Simulinku za całkowanie odpowiedzialny jest bloczek , natomiast za
wzmacnianie sygnału bloczek . Wszelkiego rodzaju bloczki można znalez
ć w Simulink
Library Browser, bloczek Integrator a w znajduje siÄ™ w zbiorze Simulink->Continuous, natomiast bloczek
Gain w zbiorze Simulink->Math Operations. Budowanie modelu polega na Å‚Ä…czeniu ze sobÄ…
poszczególnych bloczków, dodatkowo specyfikując odpowiednie parametry poszczególnych bloczków tak
aby doprowadzić do zbilansowania sygnałów wg równania modelu. Dla bloczka Integratora należy
zdefiniować dodatkowo warunek początkowy całkowania, natomiast dla bloczka gain określić wartość
wzmocnienia. Parametry bloczków mogą być definiowane jako konkretne wartości bądz
wektory wartości
lub też jako zmienne zdefiniowane w Matlabie. Wszystkie zmienne Matlaba są widoczne z poziomu
modelu Simulinka, możliwe jest również uruchomienie modelu Simulinka z poziomu Matlaba poprzez
wpisanie nazwy pliku, w którym model został wcześniej zapisany.
Gotowy model ma postać:
W powyższym modelu zastosowano dodatkowo bloczek Scope (Simulink->Sinks), który umożliwia
obserwację konkretnych zmiennych. W powyższym modelu użyto wartości początkowej N0=100 i
parametru a=0.2.
Statistics toolbox
Matlab posiada szereg toolbox ów zawierających predefiniowane funkcje. Toolbox Statistics zawiera wiele
użytecznych funkcji mających zastosowanie w statystyce. Chcąc uzyskać informację na temat dostępnych
funkcji toolboxa Statictics należy w linii komend Matlaba wpisać help stats. W rozwiązaniu zadań
laboratoryjnych przydatne będą m.in. funcja generacji histogramów hist, funkcje generatorów losowych
xxxrnd, funkcje gęstości prawdopodobieństw xxxpdf, dystrybuanty xxxcdf, gdzie xxx oznacza skrót
od danego rozkładu, np. exp, norm, etc.
3. Program zajęć laboratoryjnych
Zadania laboratoryjne wykonywanę są w środowisku Matlab z wykorzystaniem toolbox ów Simulink oraz
Statistics.
Zad 1. Zbudować model wzrostu populacji komórkowej o dwóch kompartmentach
określających fazy cyklu komórowego. Założyć, że w chwili początkowej w pierwszym
kompartmencie znajduje się NG1S(0) komórek oraz w drugim NG2M(0) komórek. Założyć,
że komórki przebywajÄ… w poszczególnych kompartmentach ze Å›rednimi czasami ÄG1S i
ÄG2M. WykreÅ›lić przebiegi czasowe dla obu kompartmentów.
Zad 2. W oparciu o model z poprzedniego zadania zbadać wpływ działania leku
cytotoksycznego na populację komórek wiedząć, że zabija on p% komórek będących w
fazie syntezy. Wiadomo, że komórki przebywają w poszczególnych kompartmentach z
czasami określonymi rozkładami: jednorodnym i wykładniczym. Wykreślić przebiegi
czasowe dla obu kompartmentów. Za pomocą metody  prób i błędów znalez
ć takie p
(0Zad 3. Zbudować model wzrostu populacji komórkowej o kompartmentach określających
wszystkie fazy cyklu komórowego. Założyć, że w chwili początkowej populacja jest
zsynchronizowana i znajduje się wyłącznie w fazie G1 i osiąga wielkość NG1(0). Komórki
przebywają w poszczególnych kompartmentach z czasami określonymi rozkładami:
1 - gamma, 2 - jednorodnym, 3 - złożeniem dwóch rozkładów normalnych
i 4 - złożeniem rozkładów wykładniczego i normalnego. Wygenerować po 1000 realizacji
zmiennych losowych wg poszczególnych rozkładów, wyliczyć średnią wartość
przebywania w każdym z kompartmentów, którą następnie należy zastosować w modelu.
Wykreślić przebiegi czasowe dla wszystkich kompartmentów oraz histogramy dla
wylosowanych zmiennych.