Wykład 3. Wzór de Moivre a. Pierwiastkowanie
liczb zespolonych.
3.1. Wzór de Moivre a
Przypomnijmy sobie postać trygonometryczną
(definicja 2.2.4.) i wykładniczą (definicja 2.3.1.)
liczby zespolonej.
Dygresja: Przypomnieć ze szkoły średniej funk-
cje trygonometryczne oraz wzory redukcyjne.
Własność 3.1.1. Uzupełnienie do algebry liczb
zespolonych z1, z2 w postaci trygonometrycz-
nej i wykładniczej:
1. mnożenie liczb zespolonych (rysunek)
z1·z2 = |z1| |z2| cos Ć1 + Ć2 + i sin Ć1 + Ć2
( ( ) ( ))
z1 · z2 = |z1| |z2| ei(Ć1+Ć2)
2. dzielenie liczb zespolonych (rysunek)
z1 |z1|
= ( ( ) ( ))
cos Ć1 - Ć2 + i sin Ć1 - Ć2
z2 |z2|
z1 |z1|
= ei(Ć1-Ć2), z2 = 0

z2 |z2|
Definicja 3.1.1. Dla Ć " R mamy następującą
zależność (rysunek)
eiĆ = cos Ć + i sin Ć
Własność 3.1.2. Mając dane Ć1, Ć2 " R oraz
k " Z uzyskujemy:
1. ei(Ć1+Ć2) = eiĆ1eiĆ2
1
eiĆ
2. ei(Ć1-Ć2) =
2
eiĆ
k
3. eiĆ1 = eikĆ1
4. ei(Ć1+2kĄ) = eiĆ1
5. eiĆ1 = 0

6. eiĆ1 = eiĆ2 Ô! Ć1 = Ć2 + 2kÄ„


7. eiĆ1 = 1


8. arg eiĆ1 = Ć1 + 2kĄ
Własność 3.1.3. Dla x " R są prawdziwe wzory
Eulera:
eix + e-ix eix - e-ix
cos x = , sin x =
2 2i
(Postarajmy się udowodnić powyższe wzory - na-
leży skorzystać z definicji 3.1.1.)
Własność 3.1.4. (Potęgowanie liczb zespolonych
- wzór de Moivre a) Mając dane
z = |z| cos Ć + i sin Ć (|z| , Ć " R, |z| = 0)
( )
oraz n " N otrzymujemy
zn = |z| cos nĆ + i sin nĆ
( )n ( )
Dygresja: potęgowanie liczby zespolonej - mo-
duł potęgujemy, a argument mnożymy przez
potęgę (rysunek). Podobnie mamy dla postaci
wykładniczej, tzn.
zn = |z| ei nĆ
( )n
(Dokonaj przekształceń pomiędzy różnymi po-
staciami liczb zespolonych.)
3.2. Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Definicja 3.2.1. Pierwiastkiem stopnia n " N liczby
zespolonej a " C nazywamy każdą liczbę ze-
spoloną z " C, która spełnia równość
zn = a.
1
"
n
Dygresja: Można zapisać z = a = an, ale dla
liczb zespolonych to jest zapis niejednoznaczny.
R C
" "
16 = 4 16 = {-4, 4}
" "
4 4
1 = 1 1 = {-1, -i, 1, i}
" "
-1 - nie ma -1 = {-i, i}

" "
x4 = x2 z4 = -z2, z2
" "
x2 = |x| z2 = {-z, z}
Własność 3.2.1. Można powiedzieć, że liczba
zespolona z = |z| cos Ć + i sin Ć
( )
(|z| > 0, |z| , Ć " R) posiada dokładnie n pier-
wiastków stopnia n (n " N). Inaczej przedsta-
wiajÄ…c
"
n
z = {z0, z1, . . . , zn-1} ,
gdzie

1
Ć + 2kĄ Ć + 2kĄ
zk = |z| cos + i sin ,
( )n
n n
dla k " N i k = 0, 1, . . . , n - 1.
Własność 3.2.2. (Interpretacja geometryczna
zbioru pierwiastków) Na płaszczyz
nie zespolo-
nej pierwiastki tworzÄ… n-kÄ…t foremny wpisany
1
w koło o promieniu |z| .
( )n
Przypomnienie - funkcje trygonometryczne
1. Narysuj wszystkie funkcje trygonometryczne
i dokładnie opisz osie wykresu w zakresie
Ć " 0, 2Ą .
2. Wstaw w tabelkę odpowiednie wartości funk-
cji
1 1 1 1 2 3 5
Ć 0 Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą
6 4 3 2 3 4 6
sin Ć
cos Ć
tgĆ
ctgĆ
7 5 4 3 10 7 11
Ć Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą 2Ą
6 4 3 2 6 4 6
sin Ć
cos Ć
tgĆ
ctgĆ
3. Przypomnij sobie co to jest koło trygonome-
tryczne? Wypisz wzory redukcyjne.
4. Na ćwiczeniach wykorzystuj następujące wzory:
cos2 Ć+sin2 Ć = 1, cos2 Ć-sin2 Ć = cos 2Ć
i wiele innych.
Literatura
" Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN,
Warszawa 1976.
" Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, CzÄ™-
stochowa 2001.
" Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
" Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
" Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
" Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN,
Warszawa 1975.
" Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.