Wyk艂ad 7 - LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA PRz 2006 仞 Idea metody Definicja linii pierwiastkowych. Silnik sterowany napi臋ciowo. 仞 Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych Alternatywne definicje. Wykorzystanie warunku fazy. Bieguny i zera. Linie na osi rzeczywistej. Punkty rozwidlenia/spotkania. K膮ty wyj艣cia z biegun贸w wielokrotnych. 仞 Wyb贸r wzmocnienia na podstawie linii pierwiastkowych Dane. Tok projektowania. Przeregulowanie a k膮t nachylenia prostej. Punkt przeci臋cia prostej z lini膮 pierwiastkow膮. Wzmocnienie dla punktu przeci臋cia. 仞 Przyk艂ady linii pierwiastkowych Silnik sterowany pr膮dowo. Cztery r贸偶ne sta艂e czasowe. Okre艣lanie punktu rozwidlenia, czasu regulacji i wzmocnienia. Idea metody PRz 2006 Aktualne zastosowanie metody linii pierwiastkowych: samostrojenie w regulatorach przemys艂owych (automatyczne strojenie) W(s) Y(s) Regulator Obiekt Gr(s) Go(s) - L(s) " Obiekt jest dany w formie transmitancji jako stosunek dw贸ch wielomian贸w Go (s) M (s) " W zwi膮zku z tym op贸znienie , o ile wyst臋puje , nale偶y zast膮pi膰 rozwini臋ciem Pade go e-餿餾 (do projektowania wystarczy I rz膮d, a do sprawdzenia symulacyjnego wy偶sze rz臋dy) " Transmitancj臋 otrzymuje si臋 na podstawie modelu matematycznego lub na podstawie Go (s) identyfikacji metod膮 odpowiedzi skokowej Idea metody PRz 2006 贸 Gr (s) = krGr (s), 贸 Go(s) = koGo(s) 贸 H (s) = k H (s) H L(s) ' ' ' Transmitancja uk艂adu otwartego G = k k k G (s)G (s)H (s) = kG(s) = k k = krkokH gdzie otw r o H r o M (s) Transmitancja uk艂adu zamkni臋tego L(s) k Gotw kG(s) kL(s) M (s) Gzam = = = = L(s) 1+ Gotw 1+ kG(s) M (4+ s s bieguny uk艂adu zamkni臋tego 1+ k 14)2餶L4) 4(3 (mianownik decyduje o dynamice) M (s) Pierwiastki wielomianu (bieguny uk艂adu zamkni臋tego) okre艣laj膮 charakter M (s) + kL(s) przebieg贸w przej艣ciowych. Evans poda艂, jak sporz膮dzi膰 wykresy tych pierwiastk贸w na p艂aszczyznie zmiennej zespolonej dla k 勿 (0,膭) nie obliczaj膮c samych pierwiastk贸w. Definicja Liniami pierwiastkowymi nazywamy zbi贸r pierwiastk贸w mianownika transmitancji uk艂adu zamkni臋tego dla zmieniaj膮cego si臋 k Przyk艂ad PRz 2006 Silnik sterowany napi臋ciowo: - dla uk艂adu podanego na rysunku wykre艣li膰 linie pierwiastkowe - przy jakim k przeregulowanie wyniesie 16.3%? - kiedy przebiegi b臋d膮 aperiodyczne krytyczne? 1 k s(s +1) - Wykres linii pierwiastkowych k 1 1 s(s + 1) k Gotw = k G = s1(k), s2(k) = ? gdzie Gzam = = s(s +1) s(s + 1) k s2 + s + k 1 + s(s + 1) D = 1- 4k 1 "(k) 1 k < 摒 D > 0 : s1,2 (餶) = - 膮 k = 0 摒 s1 = 0, s2 = -1 4 2 2 1 1 k = 摒 D = 0 : s1,2 = - 4 2 1 - D(k) 1 k > 摒 D < 0 : s1,2(餶) = - 膮 j 4 2 2 Przyk艂ad PRz 2006 Im s sD Dla jakich biegun贸w uk艂. zamk. przeregulowanie wyniesie 16.3% 2 w餹 1-饃 = Im(sD ) 2 w餹 2 Gzam(s) = s1,2 = -饃饂餹 膮 jw餹 1-饃 f 2 s2 + 2x饂 s +饂餹 n Re s -饃饂餹 = Re(sD) p% p饃 ln - 100 2 1-饃 x = P% = e 尊100% x = 0.5 p% p% =16.3% 2 2 p + ln 100 2 Im 1-饃 f = 60o tgf = = tgf = 3 x = 0.5 Re x 1 祓 Re = 镳 镳 2 1 3 Im = Re 尊tgf 眇 s1,2 = - 膮 j 1 3 镳 2 2 Im = 尊 3 = 镳 铕 2 2 Przeregulowanie jednoznacznie okre艣la biegun uk艂adu zamkni臋tego na liniach pierwiastkowych Przyk艂ad PRz 2006 1 k Dla jakiego k przeregulowanie wyniesie 16.3% s(s +1) - 1 3 1 3 Inaczej: dla jakiego k bieguny uk艂adu zamkni臋tego wynios膮: s1 = - + j , s2 = - - j 2 2 2 2 Gotw kG(s) Gzam = = 1+ kG(s) = 0 - r贸wnanie spe艂nione na linii pierwiastkowej 1+ Gotw 1+ kG(s) 1 膰 鲳膰 鲳 1 1 3 1 3 k = - 黟琊 黟 k = - = - s(s +1) = -痃- + j + j =1 1 3 s=- + 琊 黟琊 黟 1 G(s) 2 2 2 2 2 2 s=餾1 艁 艂鹋侌 艂 s(s +1) s=餾1 k=1; Ile wyniesie czas regulacji 1 L=k; M=[1 1 k]; Ppreal =16.38% 4 4 t=0:0.01:15; 0.5 tr = = = 8 y=step(L,M,t); Re s1,2 1 plot(t,y);grid Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*100 0 2 0 5 10 15 Przyk艂ad PRz 2006 Dla jakiego k uzyskuje si臋 przebiegi aperiodyczne krytyczne 1 1 1 s1,2 = - k = - = -餾(s +1) = 1 s=- G(s) 4 2 2 s=餾1 Ile wyniesie czas regulacji 6 6 Gdy biegun dominuj膮cy jest podw贸jny rzeczywisty to czas regulacji tr = = = 12 Re s1,2 1 r贸wny jest 6-ciu sta艂ym czasowym 2 k =1 1 k=1/4; L=k; 0.8 1 M=[1 1 k]; k = 0.6 t=0:0.01:15; 4 0.4 y=step(L,M,t); plot(t,y);grid 0.2 0 0 5 10 15 Przebiegi aperiodyczne krytyczne uzyskuje si臋 wybieraj膮c bieguny uk艂adu zamkni臋tego tak, aby by艂y one rzeczywiste i aby by艂o jak najwi臋cej biegun贸w wielokrotnych R贸wnania linii pierwiastkowych PRz 2006 1 G(s) k 1+ kG(s) = 0 k = - G(s) L(s) L(s) M (s) k 1+ k = 0 k = - M (s) L(s) M (s) M (s) + kL(s) = 0 Na podstawie linii pierwiastkowych mo偶na przewidzie膰 zachowanie uk艂ad贸w nie symuluj膮c odpowiedzi skokowej, poniewa偶 wiadomo oscylacje w jakim obszarze pierwiastki s膮 rzeczywiste, a w jakim zespolone przebieg aperiodyczny krytyczny przebieg aperiodyczny zwyk艂y Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych PRz 2006 Alternatywne definicje linii pierwiastkowych 仞Linia pierwiastkowa jest zbiorem warto艣ci s, kt贸re spe艂niaj膮 r贸wnanie 1+ kG(s) = 0 dla k 勿 (0,膭) 仞Linia pierwiastkowa jest zbiorem warto艣ci s, dla kt贸rych faza G(s) wynosi 叙G(s) = 膮180梆 (tzw. warunek fazy) Je艣li pewna liczba zespolona s jest tak szcz臋艣liwie wybrana, 偶e gdy policzymy faz臋 G(s) i otrzymamy 膮180梆, to znaczy, 偶e trafili艣my na pierwiastek le偶膮cy na linii pierwiastkowej 1 1 j叙G(s) j膮180o 1+ kG(s) = 0 摒 G(s) = - = G(s) e = e (k liczba rzeczywista dodatnia) k k st膮d 叙G(s) = 膮180梆 dla s le偶膮cego na linii pierwiastkowej jj Wz贸r Eulera: e = cosj + j sinj Przyk艂ad PRz 2006 Czy mo偶na dobra膰 takie k, aby mia艂a biegun w punkcie -1 + j2 Gzam ? -1 + j2 le偶y na linii pierwiastkowej ? Inaczej, czy punkt Zero: z = -1 o s +1 G(s) k G(s) = s(s + 5)[(s + 2)2 + 4] 答 Bieguny: p = 0,-5,-2 膮 j2 叙G(s = -1 + j2) Nale偶y obliczy膰 Je艣li k膮t ten wyniesie 膮180梆, to oznacza, 偶e uda si臋 znalez膰 k daj膮ce biegun w s = -1 + j2 Gzam -1 + j2 + 1 叙G(s) = G(s = -1 + j2) = 屦y - 屦f = 膮180梆 i i { 13 2 (-1 + j2)(4 + j2)[(1 + j2)2 + 4] 答 o y餴 k膮ty wektor贸w wyprowadzonych z zer (o) f餴 wektor贸w wyprowadzonych z biegun贸w (答) y1 = 90梆 2 f2 = arctg = 26.6梆 f1 = 180 - arctg 2 = 116.6梆 4 f4 = 0梆 f3 = arctg4 = 76梆 叙G(s) = 90 - (116.6 + 26.6 + 76 + 0) = -129.2 膮 膮180梆 Zatem punkt -1 + j2 nie le偶y na linii pierwiastkowej ! Matlab PRz 2006 s +1 s = -1 + j2 G(s) = Warunek fazy - Matlab s(s + 5)[(s + 2)2 + 4] s=-1+i*2 G=(s+1)/(s*(s+5)*((s+2)^2+4)) angle(G)*180/pi 叙G(s) = -129.2梆 Wykre艣lanie linii pierwiastkowych - Matlab 6 4 L=[1 1] 2 M=conv([1 5 0],[1 4 8]) k=0:1:200; 0 r=rlocus(L,M,k); -2 plot(r,'*');grid [k' r] -4 -6 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych PRz 2006 1. Bieguny i zera Wykre艣li膰 osie Re s, Im s zaznaczaj膮c bieguny 答 i zera o dla uk艂adu otwartego L(s) M(s) = 0 - bieguny uk艂adu otwartego k M (s) L(s) = 0 zera uk艂adu otwartego Linie pierwiastkowe rozpoczynaj膮 si臋 w biegunach uk艂adu otwartego a ko艅cz膮 w jego zerach, a(s) + kb(s) = 0 b膮dz d膮偶膮 do niesko艅czono艣ci M (s) + kL(s) = 0 摒 M (s) = 0 - dla k=0 linie si臋 zaczynaj膮 k =0 k 勿 (0,膭) M (s) + L(s) = 0 摒 L(s) = 0 - dla k linie si臋 ko艅cz膮 膭 k k 膭 10 Uk艂ad III rz臋du: 5 1 0 答: 0, - 4 膮 j4 G(s) = s[(s + 4)2 + 16] -5 o: nie ma -10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych PRz 2006 2. Linie na osi rzeczywistej Punkt na osi rzeczywistej nale偶y do linii pierwiastkowej, je偶eli liczba biegun贸w i zer rzeczywistych uk艂adu otwartego le偶膮cych na prawo od niego jest nieparzysta. 1 G(s) = Czy punkty s=1 i s=-2 nale偶膮 do linii pierwiastkowej ? s[(s + 4)2 + 16] 屦y -疱餱 = 膮180梆 1: 0 - (-餫 +餫 + 0) = 0 膮 膮180梆 2: 0 - (-餬 + b 膮180) = 膮180梆 Zatem punkt s=-2 le偶y na linii pierwiastkowej, a s=1 nie le偶y na linii pierwiastkowej Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych PRz 2006 L(s) k n: 答, m 艁 n : o M (s) 3. Asymptoty Linii pierwiastkowych jest n, z tego m ko艅czy si臋 w zerach uk艂adu otwartego. Pozosta艂e n-m zmierza do niesko艅czono艣ci wzd艂u偶 asymptot rozpoczynaj膮cych si臋 na osi rzeczywistej w punkcie 答 o } } pi - 屦 屦z , wykre艣lonych pod k膮tami f餫 = 180梆 + l 尊 360梆 j s = dla l = 0, 膮 1, 膮 2,... a n - m n - m , 1 答: 0, - 4 膮 j4 G(s) = n = 3, m = 0 3 asymptoty s[(s + 4)2 + 16] o: nie ma asymptoty 1, 2, 3 Im s 0 - 4 + j4 - 4 - j4 8 10 1 s = = - @ -2.67 a 3 3 5 180 Re s 2 60 0 180梆 + l 尊 360梆 -60 f餫 = = 60梆, 180梆, - 60梆 -5 3 0, +1, -1 3 -10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych PRz 2006 4. Przeci臋cie z osi膮 urojon膮 Punkt przeci臋cia linii pierwiastkowych z osi膮 urojon膮 okre艣la si臋 podstawiaj膮c s = jw M (s) + kL(s) = 0 do r贸wnania linii pierwiastkowych np. i rozwi膮zuj膮c je wzgl臋dem w. L(s) 1 k G(s) = M (s) s[(s + 4)2 + 16] r贸w. linii pierw. M (s) = s[(s + 4)2 +16] = s3 + 8s2 + 32s, L(s) = 1 s3 + 8s2 + 32s + k = 0 祓w餶r = 膮4 2 @ 膮5.66 Im = 0 w3 - 32w = 0 眇 铕w = 0 s = jw : - jw3 - 8w2 + j32w + k = 0 Re = 0 - 8w2 + k = 0 k = 8尊 (4 2)2 = 256 = kkr Hurwitz granica stabilno艣ci: 8尊32 >1尊k 摒 k < 256 Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych PRz 2006 5. Punkty rozwidlenia/spotkania (breakpoint) 1 1 k s(s +1) 1+ kG(s) = 1+ k = 0 k = -餾(s +1) - s(s +1) k maksymalne (ekstremum) dk Punkt rozwidlenia okre艣la si臋 z warunku ekstremalizacji czyli poszukiwania kmax a wi臋c = 0 ds 1 k = - poniewa偶 sprowadza si臋 to do poszukiwania miejsc zerowych pochodnej G(s) d 膰 1 鲳 d 琊 黟 = 0 垧 G(s) = 0 (warunek konieczny) 琊- 黟 ds G(s) ds 艁 艂 Spo艣r贸d otrzymanych rozwi膮za艅 tego r贸wnania nale偶y wybra膰 to, kt贸re le偶y w dopuszczalnym przedziale na osi rzeczywistej Zasady kre艣lenia linii pierwiastkowych PRz 2006 6. K膮ty wyj艣cia z biegun贸w wielokrotnych (lub wej艣cia do zer) Z podw贸jnego bieguna lub punktu rozwidlenia linie pierwiastkowe wychodz膮 pod k膮tami 360梆 360梆 =120梆 r贸偶ni膮cymi si臋 o = 180梆 , z potr贸jnego pod k膮tami r贸偶ni膮cymi si臋 o 2 3 360梆 = 90梆 z poczw贸rnego o itd. 4 120梆 90梆 120梆 180梆 90梆 Wykres linii pierwiastkowych 120梆 仞 R臋czny wyznaczy膰 punkty charakterystyczne wed艂ug zasad 1-6 wykre艣li膰 linie dokonuj膮c aproksymacji 仞 Matlab funkcje rlocus() i plot() Wyb贸r wzmocnienia na podstawie linii pierwiastkowych PRz 2006 Wyb贸r wzmocnienia jest podstawowym problemem projektowym G(s) k Dane: Gotw(s) = k 尊G(s), p% Szukane: k Przyk艂ad 1 k s(s +1) - Tok projektowania f 1. Okre艣li膰 k膮t (stosunek Ims/Res bieguna) na podstawie przeregulowania p% p% 2 ln 1-饃 100 x = f = arctg p% x 2 2 p + ln 100 Wyb贸r wzmocnienia na podstawie linii pierwiastkowych PRz 2006 G(s) k 2. Utworzy膰 linie pierwiastkowe dla G(s) 仞 R臋cznie wed艂ug zasad 1-6 仞Matlab r=rlocus(L,M,k); plot(r, * ) 3. Wyznaczy膰 punkt przeci臋cia sD prostej f z lini膮 pierwiastkow膮 i okre艣li膰 wzmocnienie k 1 dla s = sD 仞 R臋cznie - sD z wykresu (w przybli偶eniu) k = - G(s) 仞Matlab - wyb贸r kolumny r(:,i), w kt贸rej Re<0, Im>0 (i = 1,2,3,.....) [k r(:,i) 180-angle(r(:,i))*180/pi ] - tablica 3-kolumnowa - wyb贸r wiersza z warto艣ci膮 k膮ta najbli偶sz膮 f tzn. wiersza - zgodno艣膰 k膮ta @ f [k sD ] Wyb贸r wzmocnienia na podstawie linii pierwiastkowych PRz 2006 4. Okre艣li膰 spodziewany czas regulacji 4 tr = dla s = sD Re s 5. Kontrola odpowiedzi skokowej uk艂adu zamkni臋tego Matlab 1 G(s) k G(s) = k p% =16.3% Przyk艂ad s[(s + 4)2 +16] p% =16.3% 摒 x = 0.5 摒 f = 60梆 L=1; 5 M=conv([1 0],[1 8 32]); 4 k=0:1:100; 3 r=rlocus(L,M,k); 2 1 plot(r,'*');grid 0 0 -4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i -0.0315 -3.9843 + 3.9843i -3.9843 - 3.9843i -1 -0.0635 -3.9682 + 3.9685i -3.9682 - 3.9685i r -0.0960 -3.9520 + 3.9526i -3.9520 - 3.9526i -2 -0.1291 -3.9355 + 3.9365i -3.9355 - 3.9365i -3 -4 [k' r(:,2) 180-angle(r(:,2))*180/pi] -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Wyb贸r wzmocnienia na podstawie linii pierwiastkowych PRz 2006 [k r(:,2) 180-angle(r(:,2))*180/pi] 62.00 -2.06 + 3.43i 58.95 63.00 -2.03 + 3.45i 59.48 64.00 -2.00 + 3.46i 60.00 k = 64 65.00 -1.97 + 3.48i 60.51 sD =-2.00+3.46i 66.00 -1.94 + 3.50i 61.01 67.00 -1.91 + 3.52i 61.50 Re(sD) =-2.00 L=1; M=conv([1 0],[1 8 32]); preal = 8.14% k=64 1 4 Lz=k*L; t = = 2 0.8 r - 2 Mz=M+[0 0 0 k*L]; 0.6 t=0:0.01:5; 0.4 y=step(Lz,Mz,t); 0.2 plot(t,y);grid Preal=(max(y)-y(end))/y(end)*100 0 0 1 2 3 4 5 Nie nale偶y oczekiwa膰, 偶e otrzymane przeregulowanie b臋dzie wynosi膰 dok艂adnie 16.3%, poniewa偶 uk艂ad jest III rz臋du. Na og贸艂 jednak rozbie偶no艣ci nie s膮 nadmierne. Ewentualne zbli偶enie si臋 do zadanych wymaga艅 jest mo偶liwe metod膮 kolejnych pr贸b (korygowanie wzmocnienia) Przyk艂ady linii pierwiastkowych PRz 2006 Silnik sterowany pr膮dowo ze sprz臋偶eniem pozycyjnym i tachometrycznym oraz sterownikami mocy o r贸偶nych sta艂ych czasowych. Wymagane s膮 przebiegi aperiodyczne krytyczne. Sterownik idealny - T = 0 1 G(s) k s +1 k = ? s +1 s +1 Gotw(s) = k G(s) = s2 s2 p1,2 = 0 Bieguny: Zero: z1 = -1 Punkt rozwidlenia 膰 d s2 鲳 琊 黟 (s +1) 尊 2s - s2 尊1 = 0 s2 + 2s = 0 s = 0, -2 = 0 琊 ds s +1黟 艁 艂 W uk艂adzie 2-go rz臋du maj膮cego jedno zero jest ono 艣rodkiem okr臋gu b臋d膮cego lini膮 pierwiastkow膮 Przyk艂ady linii pierwiastkowych PRz 2006 1 s2 k = - = - = 4 Wzmocnienie dla sD = -2 G(s) s +1 -2 4 4 Czas regulacji t = = = 2 r Re s 2 D Sterownik o znacznej sta艂ej czasowej T = 0.25 1 s +1 k' s + 1 s +1 k' Gotw(s) = k' = = k s2 Ts +1 - 1 T 鲳 s2(Ts + 1) s2(s + p) s2膰 s + 琊 黟 T 艁 艂 s + 1 1 1 k' k' p = = = 4 k = = = 4k' T 0.25 T 0.25 s + 1 1 G(s) k G(s) = s +1 s2(s + 4) Bieguny: p1,2 = 0, p3 = -4 Zero: z1 = -1 Przyk艂ady linii pierwiastkowych PRz 2006 答 o } } s + 1 pi - G(s) = Bieguny: p1,2 = 0, p3 = -4 Zero: z1 = -1 Asymptoty 屦 屦z j s = a s2(s + 4) n - m 180梆 + l 尊 360梆 f餫 = 180 + l 尊360 n - m - 4 - (-1) f餫 = = 90梆, 270梆 s = = -1.5 a l=0,1 3-1 3 -1 Punkt rozwidlenia 膰 鲳 d s2(s + 4) 琊 黟 = 0 s2(s + 4) 尊1- (s +1)(3s2 + 8s) = 0 s(s2 + 7s + 8) = 0 琊 黟 ds s +1 艁 艂 s1 = 0 祓 Nie istnieje punkt rozwidlenia na osi rzeczywistej 眇s = -1.75 膮 j0.986 Nie uda si臋 wi臋c uzyska膰 przebieg贸w aperiodycznych krytycznych 2,3 铕 6 4 L=[1 1] 2 M=[1 4 0 0] Sterownik o znacznej sta艂ej czasowej 0 k=0:0.1:50; (tani, przeci臋tna jako艣膰) nie jest w stanie -2 r=rlocus(L,M,k); zapewni膰 wymaga艅 projektowych -4 plot(r,'*'),grid -6 -4 -3 -2 -1 0 Przyk艂ady linii pierwiastkowych PRz 2006 1 Sterownik o ma艂ej sta艂ej czasowej - T = 0.0833 = 12 k' 1 s +1 k = = 12k' p = = 12 G(s) = 0.0833 0.0833 s2(s +12) p3 = -12 膰 鲳 d s2(s + 12) 琊 黟 s(2s2 + 15s + 24) = 0 = 0 roots([2 15 24]) 琊 黟 ds s + 1 -12 - (-1) 艁 艂 s = = -5.5 a 3 -1 s1 = 0 祓 镳s = -2.31 Istniej膮 zatem dwa punkty rozwidlenia 眇 2 镳s = -5.81 8 铕 3 6 4 L=[1 1] 2 M=conv([1 0 0],[1 12]) 0 k=0:1:100; -2 r=rlocus(L,M,k); -4 plot(r,'*'),grid -6 -8 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Przyk艂ady linii pierwiastkowych PRz 2006 Wzmocnienia dla punkt贸w rozwidlenia 8 6 4 2 s2 (s +12) s2 (s +12) 0 k1 = - = 39.47 k2 = - = 43.78 s +1 s +1 -2 -2.31 -5.18 -4 -6 -8 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 k 勿 (39.47,43.78) Dla przebiegi dynamiczne b臋d膮 aperiodyczne Sterownik o ma艂ej sta艂ej czasowej (kosztowny, dobra jako艣膰) zapewni wymagania projektowe Warto艣ci k1, k2 mo偶na tak偶e otrzyma膰 na podstawie instrukcji [k r(:,2) 180-angle(r(:,2))*180/pi ] Przyk艂ady linii pierwiastkowych PRz 2006 答 o } } 1 pi - 屦 屦z j Sterownik o 艣redniej sta艂ej czasowej - T = 0.111 = s = a n - m 9 180梆 + l 尊 360梆 f餫 = n - m s +1 G(s) = k = 9k' p = 9 s2 (s + 9) - 9 - (-1) s = = -4.5 p3 = -9 a 3 -1 膰 鲳 d s2(s + 9) s1 = 0 祓 琊 黟 = 0 s(s2 + 6s + 9) = s(s + 3)2 = 0 琊 黟 眇s = -3 ds s + 1 艁 艂 2,3 铕 Punkt rozwidlenia 3 jest podw贸jny (linie si臋 schodz膮 i rozchodz膮) 4 L=[1 1] 2 M=conv([1 0 0],[1 9]) 0 k=0:0.01:40; r=rlocus(L,M,k); -2 s2(s + 9) 4 plot(r,'*'),grid k = - = 27 tr = = 1.33 s +1 3 120梆 -3 -4 -10 -8 -6 -4 -2 0 Przyk艂ady linii pierwiastkowych PRz 2006 1 0.8 L=27*[0 0 1 1] 0.6 M=[1 9 0 0] t=0:0.05:5; 0.4 y=step(27,L+M,t); 0.2 plot(t,y);grid 0 0 1 2 3 4 5 Odpowiedz na zak艂贸cenie z 1 Yz 1 27 0 Yz (s) s + 9 s + 9 s2 s + 9 s2 = = = - 2 1 27 Z(s) s2(s + 9) + 27(s + 1) s3 + 27 149s4+ 27s + 3 4 2444 1 + 尊 (s + 1) l +餸 s2 s + 9 s + 1 0.4 L=[1 9] 0.3 M=[1 9 27 27] 0.2 t=0:0.05:5; y=step(L,M,t); 0.1 plot(t,y);grid 0 0 1 2 3 4 5 s + 1 Powodem niepe艂nej eliminacji zak艂贸cenia jest brak ca艂kowania w regulatorze, kt贸rym tutaj jest 27 s + 9