Analiza I
Kolokwium, 10 stycznia 2009
UWAGA: Każde zadanie oddajemy na oddzielnej kartce. Wszystkie kartki należy czytel-
nie podpisać imieniem, nazwiskiem, numerem potoku, numerem grupy oraz nazwiskiem
prowadzącego ćwiczenia. Prosimy o czytelne pisanie rozwiązań  prace nieczytelne nie
będą sprawdzane.
" "
Zadanie 1: Zbadać zbieżność szeregów an oraz bn, gdzie
n=2 n=2
(-1)n
"
(a) an =
3
n2 ln n
(-1)n
"
(b) bn = "
3
n2 ln n-(-1)n 4 n
"
Wskazówka do (b): Rozważyć szereg (bn - an).
n=2
Zadanie 2: Wykazać, że równanie 2x = 5x - 2 ma co najmniej dwa rzeczywiste rozwiązania.
Zadanie 3: Dla jakich ą " R istnieją b, c " R takie, że funkcja
Å„Å‚
(-x)ą + c jeśli x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
b jeśli x = 0
f(x) =
xąx jeśli 0 < x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
xą jeśli 1 d" x.
jest ciągła na całej prostej R?
Zadanie 4: Obliczyć granice funkcji
(a) limx2 2x-x2
x-2
(b) limx0 sin(x sin 3x)
x2
Zadanie 5*: Niech f : [0, 1] R będzie funkcją ciągłą oraz f(0) = f(1). Pokazać, że istnieje
punkt 0 < x < 1 taki, że
f(x2) = f(x).
Zadanie 6*: Niech f : R R będzie funkcją dla której zachodzi własność Darboux oraz
taką, że przeciwobraz dowolnego punktu f-1(p) jest zbiorem skończonym (tzn. każda liczba
rzeczywista jest przyjmowana co najwyżej skończenie wiele razy). Wykazać, że f jest funk-
cją ciągłą.
Wskazówka: własność Darboux to własność przyjmowania wartości pośrednich, tzn. jeżeli
f(a) < y < f(b), to istnieje c leżące pomiędzy a i b takie, że f(c) = y.