AKADEMIA GÓRNICZO  HUTNICZA
KATEDRA METROLOGII I ELEKTRONIKI
TEORIA I PRZETWARZANIE SYGNAA
ÓW
Zadanie projektowe pt.:
FILTRACJA ADAPTACYJNA  IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW
Wykonał:
RADZIK Jarosław
Jarosław RADZIK
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA W KRAKOWIE , KATEDRA METROLOGII I
ELEKTRONIKI
rok akademicki 2014/2015
Filtracja adaptacyjna  identyfikacja obiektów
STRESZCZENIE
Celem projektu jest demonstracja zasad i efektów
działania filtrów adaptacyjnych. Spo ród różnych
zastosowań filtrów adaptacyjnych, dla celów tej
prezentacji wybrano system identyfikacji. W czÄ™ ci
teoretycznej zostały zaprezentowane ogólne
wiadomo ci odno nie filtracji adaptacyjnej oraz
konkretne jej metody oraz rodzaje filtrów. Czę ć
Rys.1. Filtr adaptacyjny w konfiguracji identyfikacji
praktyczna przedstawia wyniki symulacji dwóch
obiektu [z
ródło: Internet]
typów identyfikacji parametrycznej opartej na
przetworzonych splotowo sygnałów pomiarowych
oraz bezpo rednio aproksymowanych funkcjami
sklejanymi sygnały pomiarowe. Dodatkowo zostanie
Powyższy wzór można zapisać w formie
przeprowadzona identyfikacja odpowiedzi impulsowej

[Ü = GÜ [Ü " (2.2)
układu LTI za pomocą filtru RLS.
[ ]GÜ
[Ü = [Ü , & , [Ü - @Ü + (2.3)
SÅ‚owa kluczowe: filtracja adaptacyjna, filtr RLS,
\Ü \Ü
[ ]GÜ
\Ü = , & , - (2.4)
sklejanie sygnałów.
1. WST
P
Estymatorem FIR powyższego systemu jestŚ
Filtracja adaptacyjna jest szeroko

[Ü = GÜ [Ü " (2.5)
wykorzystywana w przypadkach, gdy parametry
gdzie w=[w0, & , wM-1] są estymatami parametrów
systemu (procesu) sÄ… zmienne w czasie, a statystyczne
rzeczywistego systemu. Celem jest takie wyznaczenie
cechy sygnałów nie są znane. Algorytmy filtracji,
wM aby błąd redniokwadratowy pomiędzy
przeprowadzajÄ…ce proces optymalizacji, wspomagajÄ…
zmierzonym sygnałem d(n) (sygnałem odniesienia) a
wówczas zadanie identyfikacji takiego systemu.
sygnałem wyj ciowym modelu y(n) był minimalny.
Wydajno ć algorytmów okre lana jest przez
Kryterium błędu wygląda następującoŚ
liczbę czynników takich jakŚ
 dokładno ć otrzymanego rozwiązania,
[ ]
=Ü = 8Ü " [Ü = 8Ü " [( [Ü - [Ü ) ] (2.6)
 prędko ć zbieżno ci,
 zdolno ć ledzenia dla procesów
gdzie E[.] oznacza warto ć oczekiwaną. Podstawienie
zmiennoczasowych,
(2.5) do (2.6) daje w rezultacie:
 złożono ć obliczeniowa,
 odporno ć na błędy zaokrągleń,

=Ü = 8Ü " [ [Ü - GÜ [Ü ] (2.7)
 równoległe operacje dla platform
wieloprocesorowych.
W pracy przedstawione zostajÄ… podstawowe i
Proste przekształcenia i obliczenie pochodnej
szeroko wykorzystywane algorytmy gradientowe
względem w oraz przyrównanie jej do zera prowadzi
(rozdziały 3, 4).
do wyrażenia na optymalne warto ci wag w filtra,
który nosi nazwę filtru WieneraŚ
2. FILTR WIENERA
-ð1
wo =ð[ðR(n)]ð p(n)
xx dx
(2.8)
Model systemu opisany jest równaniem
różnicowymŚ
gdzie: Rxx(n) - estymata macierzy autokorelacji
sygnału x(n) w n-tej chwili czasowej,
M -ð1
pdx(n) - estymata wektora korelacji wzajemnej
o
(2.1)
sygnału wej ciowego i odniesienia,
d(n) =ð x(n-ði)
åðwi
i=ð0
gdzie: x(n) - sygnał wej ciowy,
d(n) - sygnał wyj ciowy,
wio - współczynniki filtru.
3. METODY GRADIENTOWE 3.3. Algorytmy Quasi-Newtona
W przypadkach gdy wyznaczenie warto ci
Praktyczne wykorzystanie równania (2.8) dla
hesjanu jest trudne, wykorzystywana jest jego
każdej chwili czasu n pociąga za sobą kłopot z
aproksymata A(n):
poprawnÄ… estymacjÄ… warto ci oczekiwanych,
co jest typowym problemem stochastycznej

optymalizacji. Wynika to z faktu, że w większo ci [ ]-
[Ü + = [Ü - [Ü 4Ü [Ü ûÞ=Ü [Ü (3.5)

przypadków funkcje rozkładu gęsto ci
prawdopodobieństwa obserwowanych zmiennych
4. ADAPTACYJNE ALGORYTMY GRADIENTU
losowych nie są znane lub też zmienne te są
STOCHASTYCZNEGO (LMS)
niestacjonarne. Aby przezwyciężyć ten problem
adoptuje siÄ™ zazwyczaj znane iteracyjne metody
Niech minimalizowana funkcja kosztu wynosi:
optymalizacji okre lone dla deterministycznych
funkcji kosztu.
=Ü = [Ü (4.1)
NajczÄ™ ciej stosowanymi algorytmami
optymalizujÄ…cymi deterministycznÄ… funkcjÄ™ kosztu
Filtr adaptacyjny ma zatem za zadanie minimalizować
(celu) sÄ… adaptacyjne algorytmy gradientowe.
chwilową a nie oczekiwaną warto ć błędu. Równanie
(3.3) przyjmuje postać (4.2) charakteryzującą szeroką
Rekursywny estymator ma postaćŚ
grupę filtrówŚ
w(n +ð1) =ð w(n) +ð mðv(n)
(3.1)

gdzie: w(n+1)  wektor współczynników filtru w [Ü + = [Ü + [Ü JÜ [Ü [Ü [Ü (4.2)

chwili n+1, [Ü = [Ü - [Ü = [Ü - GÜ [Ü [Ü (4.3)
w(n)  wektor współczynników filtru w chwili n,
ź(n)  współczynnik skalujący (w ogólno ci zmienny gdzie: W(n)  macierz wagowa o wymiarach MxM,
w czasie), e(n)  sygnał błędu w chwili n.
v(n)  kierunek modyfikacji.
4.1. Filtr LMS
Wzór (3.1) pokazuje uaktualnianie parametrów
filtru w kierunku v(n). Najczęstszym wyborem v(n) Otrzymywany jest po uniezależnieniu
jest kierunek przeciwny do okre lonego przez gradient współczynnika skalującego od czasu (ź(n) = ź) oraz
z funkcji celu J(.). po wprowadzeniu identyczno ciowej macierzy
wagowej W(n) = I.
3.1. Algorytmy najszybszego spadku

[Ü + = [Ü + [Ü [Ü (4.4)
Mają one postaćŚ
1
Zalety:
(3.2)
w(n +ð1) =ð w(n) -ð mð(n)ŃðJ (w(n))
 prosta implementacja,
2
 mała złożono ć obliczeniowa.
gdzie: Ńð J(w(n))  wektor gradientu funkcji
kosztu,
Wady:
ź(n)  współczynnik skalujący.  czuło ć na rozrzut warto ci własnych macierzy
autokorelacji R,
3.2. Algorytmy Newtona-Raphsona  wolna zbieżno ć algorytmu zależna od stosunku
min/ max czyli minimalnej do maksymalnej warto ci
Przyjmują postaćŚ
własnej macierzy R.
1
(3.3)
W rezultacie warto ć parametru skalującego ź
w(n +ð1) =ð w(n) -ð mð(n)W(n)ŃðJ (w(n))
2
dobierana jest w następujący sposób, zapewniający
dążenie do zera błędu dopasowania wag filtra do
gdzie W(n) jest macierzÄ… wagowÄ…, poprawiajÄ…cÄ…
warto ci optymalnych dla n":
zbieżno ć (szybko ć adaptacji). W algorytmach

Newtona-Raphsona za macierz W(n) przyjmuje siÄ™
< < (4.5)
ß NÜeÜ
odwrotno ć hesjanu funkcji celu J(w(n)) w n-tej
chwili czasowej:
4.2. Filtr NLMS
-ð1
(3.4)
W(n) =ð[ðŃð2J(w(n))]ð
Unormowany filtr LMS (NLMS) otrzymywany
jest po następującym uzależnieniu w równaniu (4.4)
parametru ź od czasu:
(4.6) Parametry obiektu identyfikowanego w testach będą
mð mð
mð(n) =ð =ð
stałe lub będą zmieniały się skokowo.
M -ð1
gð +ð xT (n)x(n)
2
gð +ð (n -ð k)
åðx
Dla celów identyfikacji splotowej znajdują
k=ð0
zastosowanie metody filtracji nieadaptacyjnej.
gdzie niewielki parametr Å‚ zapobiega zerowaniu siÄ™
Symulacje przeprowadzono dla czasu T=30 i czasie
mianownika. ZaletÄ… unormowanego algorytmu LMS
dyskretyzacji dt=0.01, zarejestrowano M=3000 próbek
jest poprawienie zbieżno ci w stosunku do
pomiarowych dla sygnału wej ciowego i
podstawowego algorytmu LMS. Niestety złożono ć
obliczeniowa jest większa, co skutkuje wydłużeniem
wyj ciowego. Jako sygnał wymuszający u(t) przyjęto
czasu potrzebnego do przeprowadzenia filtracji .
przebieg prostokÄ…tny z okresem TU=10 i amplitudÄ…
Ä…0.5.
5. Blokowe filtry adaptacyjne
Następnie w t=15 nastąpiła skokowa zmiana
parametru transmitancji co spowodowało zmianę
Je li w dziedzinie czasu użyty zostanie algorytm
wszystkich współczynników transmitancji
LMS wymagający dużej ilo ci pamięci, można
unormowanej. Szum pomiarowy nie został dodany do
zaobserwować znaczący wzrost złożono ci
obliczeniowej. Problem ten może być rozwiązany na sygnału wej ciowego u i na wyj ciu y, dzięki czemu
dwa sposoby:
metoda identyfikacji wprowadza mniejsze błędy na
1. Wybór algorytmu o nieskończonej odpowiedzi
estymowane parametry i Å‚atwiejsza jest analiza
impulsowej. RozwiÄ…zanie takie niesie za sobÄ…
otrzymanych wyników.
kolejny problem zwiÄ…zany z niestabilno ciÄ…
algorytmu.
Dla pierwszego typu identyfikacji długo ć
2. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwo ci,
okna filtru h=3, czas dyskretyzacji "t=0.01, funkcja
łącząca dwie uzupełniające się metody stosowane
modulujÄ…ca ²(t)=t2(h-t)5 (gdzie: h=3). Dokonano
w cyfrowym przetwarzaniu sygnałówŚ
operacji spalania sygnałów pomiarowych z kolejnymi
a) blokowa implementacja filtru o skończonej
odpowiedzi impulsowej, pozwalajÄ…ca na
pochodnymi funkcji modulujÄ…cej. W chwili t=3
skuteczne wykorzystanie równoległego
równej h możliwe jest wyliczenie pierwszego splotu.
przetwarzania, skutkujÄ…cego przyspieszeniem
Sploty sygnałów wej ciowych i wyj ciowych
działania algorytmu,
przedstawione sÄ… na rys. 2
b) algorytmy szybkiej transformaty Fouriera
(FFT) do wykonywania splotów,
Dla drugiego typu identyfikacji rzÄ…d funkcji
umożliwiające w efektywny sposób adaptować
modulującej k=4, ilo ć węzłów N=50. Na rys. 2
parametry filtru w dziedzinie częstotliwo ci.
wykre lono wyniki aproksymacji sygnałów
Powyższe podej cie nazywane jest często
pomiarowych wej ciowego u i wyj ciowego y
blokowym algorytmem LMS (BLMS). Jak wskazuje
funkcjami sklejanymi. Dodatkowo przedstawiono
nazwa rodziny filtrów, adaptacja przeprowadzana jest
przebiegi kolejnych pochodnych aproksymaty dla
na zasadzie  blok po bloku zamiast  próbka po
próbce (LMS, NLMS). Umożliwia to wykorzystanie zarejestrowanych sygnałów pomiarowych.
wspomnianej wyżej szybkiej transformaty Fouriera,
Założono odpowiednio równe
co prowadzi do oszczędno ci obliczeniowych.
identyfikowanej transmitancji rzędy licznika m=1 i
Zastosowanie blokowej struktury wiąże się
mianownika n=2. Na rys.3 przedstawiono przebieg
jednak z dodatkowym opóz
nieniem w cieżce sygnału,
identyfikowanych parametrów metodą dokładną
które wynika z konieczno ci zebrania całego bloku
poprzez rozwiązanie pełnego zagadnienia własnego
danych przed jego dalszym przetwarzaniem. Im
dla symulowanego obiektu. Długo ć przesuwanego
większy blok tym opóz
nienie jest większe.
okna została przyjęta jako dwukrotnie większa od
długo ci funkcji modulującej h i wynosi T=6. Dla t=5
6. Porównanie dwóch typów identyfikacji
sploty już nie są na tyle długie by warto ci własne
macierzy Grama zaczęły się stabilizować.
W rozdziale tym zaprezentowane zostanÄ…
wyniki porównania 2 typów identyfikacji
parametrycznej:
- w oparciu o przetworzone splotowo sygnały
pomiarowe
- w oparciu o bezpo rednio aproksymowane
funkcjami sklejanymi sygnały pomiarowe
Rys.2 Wyniki filtracji i aproksymacji z sygnałami Rys. 4 Przebieg identyfikacji parametrów w
pomiarowymi wej cia i wyj cia. rozszerzanym i ruchomym oknie
7. Filtry adaptacyjne RLS
Implementacja algorytmu RLS wymaga znajomo ci
warto ci poczÄ…tkowej macierzy odwrotnej P,
przyjmuje się, że jest nią macierz diagonalna z
-1
warto ciami ´ na przekÄ…tnej, gdzie ´ jest maÅ‚Ä…
warto ciÄ… dodatniÄ….
Podsumowując, algorytm RLS jest następującyŚ
I. Inicjalizacja
1. Wybór długo ci filtra M,
2. Początkowe współczynniki filtra można ustawić na
zero h =0,
0
-1
PoczÄ…tkowa macierz odwrotna P =´ I, gdzie ´ jest
0
małą warto cią dodatnią.
Rys.3 Porównanie wyników rozwiązania pełnego i
IIa. Obliczenia dla N=1,2,3,...
przybliżonego zagadnienia własnego
CÜAÜ-1 AÜ
. XÜ = (7.1)
;Ü
+ AÜCÜ -1 AÜ
;Ü
. = ! - (7.2)
. ! = ! - + XÜ (7.3)
;Ü
. CÜ = CÜ - - XÜ CÜ - (7.4)
W przypadku, kiedy filtr RLS wykorzystywany jest do przedstawia odpowiedz
impulsową układu
ledzenia parametrów zmiennych w czasie, stosuje się identyfikowanego h[n] i współczynniki odpowiedzi
wykładnicze zapominanie najstarszych pomiarów i impulsowej wyznaczone filtrem RLS w N=21 iteracji.
obliczenia przebiegają następującoŚ Rys.6 przedstawia wykresy analogiczne do rys.5 dla
IIb. Obliczenia dla N=1,2,3,... przypadku, kiedy sygnał odniesienia d[n] został
ß-1CÜAÜ-1 AÜ
zarejestrowany z zakłóceniem w postaci szumu
. XÜ = (7.5)
;Ü
+ß-1 AÜCÜ -1 AÜ
addytywnego. Rys.6 (dolna czę ć) przedstawia
;Ü
. = ! - (7.6)
odpowiedz
impulsową układu identyfikowanego h[n] i
. ! = ! - + XÜ (7.7)
współczynniki odpowiedzi impulsowej wyznaczone
;Ü
. CÜ = - CÜ - - - XÜ CÜ - (7.8) filtrem RLS w N=41 iteracji.
8. Podsumowanie
Zaobserwowano podobne wyniki dla metody
identyfikacji z użyciem aproksymacji funkcjami
sklejanymi. Przykładowo dla parametru a0 i b0 metoda
daje nam lepsze wyniki niż metoda identyfikacji w
oparciu o filtracje. W metodzie aproksymacyjnej
otrzymano poprawne identyfikowane parametry
wcze niej o długo ć okna h metody splotowej.
Natomiast dla pozostałych parametrów można
zauważyć gorsze wyniki.
Problem filtracji optymalnej w sensie
najmniejszych kwadratów sprowadza się do
Rys.5 Identyfikacja odpowiedzi impulsowej filtrem
odwrócenia macierzy R=AHA. Rozwiązanie jest
RLS - pomiar bez zakłóceń.
uzyskiwane dla całego wektora dostępnych danych,
tzn. blokowo. Innym sposobem uzyskania rozwiÄ…zania
jest adaptacyjny algorytm rekurencyjny RLS, który
wyznacza współczynniki filtra h[n] w miarę jak
napływają kolejne próbki sygnału.
9. Literatura
[1] K. DudaŚ Analiza sygnałów biomedycznych,
Kraków 2010, str. 145-161
[2] T. P. ZielińskiŚ Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
 od teorii do zastosowania, wydanie1, Warszawa
2005, str. 247-286
[3] M. Pionke, A
. TuzÅš Projekt  Zastosowania
Rys. 6 Identyfikacja odpowiedzi impulsowej filtrem
procesorów sygnałowych . Demonstracja filtracji
RLS - pomiar zakłócony szumem addytywnym.
adaptacyjnej, Gdańsk 2008
[4] M. W. NowakŚ Metody identyfikacji układów
Pierwszy przebieg w rys.5 przedstawia
ciągłych z wykorzystaniem funkcji modulujących
wyniki identyfikacji odpowiedzi impulsowej układu
i sklejanych i ich zastosowanie w regulatorze
LTI za pomocą filtra RLS. Wej ciowym sygnałem
adaptacyjnym, Kraków 2007
testowym x[n] był szum o rozkładzie normalnym, a
[5] D. Rzepka, P. Otfinowski: Identyfikacja
sygnałem odniesienia d[n] odpowiedz
układu
systemów nieliniowych przy pomocy
identyfikowanego na to wymuszenie zarejestrowana
kernelowego algorytmu LMS z ograniczeniem
bez zakłóceń. rodkowy wykres rys.6 przedstawia
zasobów
błąd dopasowania w kolejnych chwilach czasu. Błąd
ten szybko maleje, co oznacza, że sygnały x[n] i d[n]
zostały dopasowane. Dolny przebieg rys. 6
przedstawia współczynniki filtra w kolejnych
chwilach czasu. Algorytm został uruchomiony z
początkowymi współczynnikami filtra równymi zeroś
w kolejnych iteracjach współczynniki filtra szybko
osiÄ…gajÄ… warto ci zadane. Dolny przebieg rys.5