Egzamin rok 2012/2013 n n Ą (-1) (3x - 6) Zadanie 3: Dany jest szereg potęgowy . Wyznaczyć promień zbieżności, przedział
3 n +1 n=0 zbieżności, zbadać zbieżność (i określić jej rodzaj) w prawym końcu przedziału zbieżności. Rozwiązanie: Szeregi potęgowe mają postać: Ą n (x - x0 ) an nĄ Badanie zbieżności szeregu potęgowego z definicji: n+1 an+1(x - x0 ) lim = g(x) < 1 n nĄ an(x - x0 ) lub n n lim an(x - x0 ) = g(x) < 1 nĄ -1 < g(x) < 1 Rozwiązanie powyższej nierówności ukazuje przedział zbieżności, której rodzaj pózniej badamy. x0 - środek szukanego przedziału zbieżności 1) Wyznaczenie promienia zbieżności i przedziału zbieżności szeregu potęgowego (z definicji). x0 = 2 n+1 n+1 3 3 fn+1(x) (-1) (3x - 6) n +1 (-1)(3x - 6)* n +1 n +1 3 g = lim = lim * = lim = lim (6 - 3x)* = n n 3 3 nĄ nĄ nĄ nĄ fn(x) n + 2 n + 2 (3x - 6) (-1) n + 2 1
nć1+
n Ł ł = lim (6 - 3x)* = 6 - 3x < 1 3 nĄ 2
nć1+
n Ł ł Przedział zbieżności 6 - 3x < 1 -1 < 6 - 3x < 1 rozbieżny rozbieżny zbieżny bezwzg. - 7 < -3x < -5 5 7 2 7 5 3 3 > x > 3 3 5 7 1 R = 2 - = (lub : - 2) = - promień zbieżności 3 3 3 5 7 ć Szereg jest bezwzględnie zbieżny dla x ; .
3 3 Ł ł 2) Badanie zbieżności (i określenie jej rodzaju) w prawym końcu przedziału zbieżności. 7 x = - prawy koniec przedziału zbieżności 3 n 7 n (-1) *ć3* - 6
n n n Ą Ą Ą 3 (-1) Ł ł = (-1n) (1) = 3 3 3 n +1 +1 n +1 n=0 n=0 n=0 Ą n Powstał szereg naprzemienny : (-1) an n=1 Konieczne jest sprawdzenie kryterium Leibniza: Jeżeli w szeregu naprzemiennym ciąg {an} jest Ą n ciągiem malejącym, zbieżnym do 0 i większym od 0, to szereg ten ( (-1) an ) jest zbieżny. n=1 Sprawdzenie warunków powyższego kryterium: 1 3 an = jest ciągiem malejącym bo dzielimy ciąg stały (1) przez ciąg rosnący ( n +1), 3 n +1 1 1 lim = 0 i an = > 0 3 3 nĄ n +1 n +1 a zatem wszystkie warunki zbieżności wg kryterium Leibniza zostały spełnione (szereg jest zbieżny). Badamy rodzaj zbieżności (korzystamy z kryterium porównawczego): 1 1 1 = Ł 3 3 3 2n n + n n +1 Ą 1 1 1 Jest to szereg harmoniczny Dirichleta rzędu a = < 1 - z tej nierówności wynika, że badany
2a na 3 n=1 n Ą (-1) szereg jest rozbieżny, a to znaczy że również jest rozbieżny (kryterium porównawcze).
3 n +1 n=0 n n Ą (-1) (3x - 6) Ostatecznie ze względu na powyższą rozbieżność szereg jest warunkowo zbieżny w
3 n +1 n=0 7 x = . 3 1 5 7 ć Odpowiedz: Promień zbieżności: R = , przedział zbieżności: x ; . W prawym końcu przedziału
3 3 3 Ł ł zbieżności szereg jest warunkowo zbieżny. Autor: Agata Czarnecka grupa 2 12.01.2014