Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych
Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne  fałsz i  prawda , to działanie
elementów dwustanowych opisują operacje dwuelementowej algebry Boole a.
Algebrę Boole a definiują: dwuelementowy zbiór {0, 1} oraz trzy operacje: alternatywa
(OR), koniunkcja (AND) i negacja (NOT) wraz ze zbiorem aksjomatów i twierdzeń.
Zmienne należące do zbioru {0, 1} oraz ww. operacje nazywamy zmiennymi i operacjami
logicznymi.
Układy realizujące funkcje logiczne nazywamy funktorami logicznymi (powszechnie używa
się też określenia: bramki logiczne). Bramki logiczne można konstruować stosując różne
techniki: przekaz
niki, urządzenia optyczne czy też elektroniczne. W tych ostatnich cyfry 0 i 1
są reprezentowane w postaci dwóch różnych wartości napięcia. Bramki (niezależnie od ich
wewnętrznej konstrukcji) są reprezentowane za pomocą określonych symboli graficznych.
NEGACJA ( ang. NOT, pol. NIE, mat. Ź )
Jest to zamiana wartości cyfry na przeciwną (tzn. 0 na 1 i 1 na 0).
Ź 0 = 1
Ź 1 = 0
Działanie podstawowych operacji logicznych często przedstawia się w postaci układów
elektrycznych zawierających żarówki i wyłączniki. Przyjmując, że wyłącznik zwarty i
świecąca się żarówka reprezentują jedynkę, a wyłącznik rozwarty i zgaszona żarówka
reprezentują zero, działanie negacji realizuje przedstawiony niżej układ
Negacja jest operacjÄ… jednoargumentowÄ…. Symbol graficzny funktora realizujÄ…cego negacjÄ™
Negacja jest najprostszym działaniem logicznym. Wynikiem jest liczba przeciwna do
wyjściowej.
Działanie funktora NOT
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 1-
SUMA LOGICZNA ( ang. OR, pol. LUB, mat. (" )
Suma logiczna dwu cyfr binarnych jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie cyfry
są równe 0
0 (" 0 = 0
0 (" 1 = 1
1 (" 0 = 1
1 (" 1 = 1
Sumę logiczną realizuje przedstawiony niżej układ
Symbol graficzny funktora OR
oraz przykłady działania tego funktora
ILOCZYN LOGICZNY ( ang. AND, pol. I, mat. '" )
Iloczyn logiczny dwu cyfr binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie
cyfry są równe 1
0 '" 0 = 0
0 '" 1 = 0
1 '" 0 = 0
1 '" 1 = 1
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 2-
Iloczyn logiczny realizuje przedstawiony niżej układ
Symbol graficzny funktora AND
oraz przykłady działania tego funktora
Funktory NAND i NOR
NAND a" NOT AND
Symbol graficzny funktora NAND
NOR a" NOT OR
Symbol graficzny funktora NOR
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 3-
ALTERNATYWA WYKLUCZAJ
CA ( ang. XOR, pol. ALBO, mat. •" )
inaczej: różnica symetryczna, suma modulo 2
XOR a" eXclusive OR
Alternatywa wykluczająca dwu cyfr binarnych jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
obydwie cyfry sÄ… jednakowe.
0 •" 0 = 0
0 •" 1 = 1
1 •" 0 = 1
1 •" 1 = 0
Symbol graficzny funktora XOR
2. Podstawowe operacje logiczne dla liczb binarnych
W operacjach logicznych liczba binarna jest traktowana jako zbiór pojedynczych cyfr,
rozpatrywanych niezależnie od siebie. Dwuargumentowe operacje logiczne są wykonywane
na cyfrach znajdujÄ…cych siÄ™ na odpowiadajÄ…cych sobie pozycjach
Przykład:
Bramki logiczne OR AND i NOT są podstawowymi elementami, z których konstruuje się
komputery i urzÄ…dzenia cyfrowe. A
atwo wykazać, że dysponując tylko bramkami NAND (lub
tylko bramkami NOR) można z nich zbudować bramki NOT, AND i OR, czyli zrealizować
każdą dowolnie złożoną funkcję logiczną.
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 4-
3. Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Dodawanie. Liczby dwójkowe dodajemy podobnie, jak dziesiętne. Gdy po dodaniu dwóch
cyfr uzyskuje się wartość niemożliwą do zapisania pojedynczą cyfrą, zachodzi tzw.
przeniesienie. Odejmujemy wtedy od wyniku podstawę systemu, a do następnej (starszej)
pozycji dodajemy 1.
W przypadku liczb dwójkowych przeniesienie wystąpi już wtedy, gdy wynik dodawania dwu
cyfr jest większy od 1
Reguły dodawania:
Odejmowanie. Reguły odejmowania:
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 5-
Mnożenie i dzielenie. Przykłady
Mnożenie przez 2 w układzie binarnym przesunięcie liczby o jedną pozycję w lewo i
dopisanie zera z prawej strony liczby
Dzielenie przez 2 w układzie binarnym przesunięcie liczby o jedną pozycję w prawo i
odrzucenie ostatniej cyfry (jeśli liczba parzysta to tą cyfrą jest zero)
Przykład: mnożenie przez 10 w układzie dziesiętnym i przez 2 w dwójkowym
Podobnie mnożenie i dzielenie w układzie dwójkowym przez 4 i inne potęgi dwójki 
przesunięcie w lewo lub w prawo o odpowiednią liczbę pozycji.
4. Liczby ujemne
Przedstawiony wyżej system binarny, określany mianem naturalnego kodu binarnego (NKB
lub NB) pozwala na zapis tylko liczb dodatnich i zera. Aby możliwe było zapisywanie liczb
ujemnych, konieczna jest modyfikacja zapisu w taki sposób, żeby ciąg zer i jedynek zawierał
informację zarówno o wartości bezwzględnej, jak i o znaku liczby.
4.1. Notacja znak-moduł (ZM)
Liczba reprezentowana jest w postaci ciągu bitów o ustalonej długości. Pierwszy bit jest
bitem znaku (nie przypisuje mu siÄ™ wagi), 0 oznacza +, 1 oznacza -
np. dla liczb czterobitowych:
5 0101
-5 1101
bit znaku
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 6-
Niestety, przyjęcie takiego systemu zapisu liczb komplikuje operacje binarnego dodawania i
odejmowania, które są wykonywane przez procesor.
Zero nie jest reprezentowane jednoznacznie, mamy bowiem np.
0000 +0
1000 -0 (podwójna reprezentacja zera)
4.2. Notacja uzupełnieniowa do 2 (U2)
Liczba reprezentowana jest w postaci ciągu bitów o ustalonej długości. Znak liczby nie jest tu
oddzielony od jej wartości , a  ujemność liczby jest wbudowana w metodę zapisu.
Najstarsza waga jest ujemna, np. dla liczb czterobitowych mamy wagi:
-23 22 21 20
-8 4 2 1
czyli dla liczb czterobitowych:
0000 0
0001 1
......................
0111 7
1000 -8 (tzn. -8+0)
1001 -7 (tzn. -8+1)
1010 -6 (tzn. -8+2)
1011 -5 (tzn. -8+3)
......................
1111 -1 (tzn. -8+7)
Zalety:
" każda liczba dodatnia zaczyna się od zera, a ujemna od jedynki
" tylko jedno zero
" Å‚atwa zmiana znaku liczby
" operacje arytmetyczne jak dla liczb w kodzie naturalnym
Wady:
" porządek kodów nie jest zgodny z porządkiem liczb
4.2.1. Zmiana znaku liczby w notacji U2
Aby zmienić znak liczby, należy zamienić wszystkie cyfry na przeciwne, czyli 0 na 1 oraz 1
na 0 (w kierunku od lewej do prawej) za wyjÄ…tkiem najmniej znaczÄ…cej jedynki i zer za tÄ…
jedynkÄ….
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 7-
Przykład dla liczb czterobitowych (zamiana 5 na  5 i odwrotnie)
4.2.2. Dodawanie i odejmowanie liczb w notacji U2
Dodawanie - tak samo, jak w kodzie naturalnym
Odejmowanie - dodanie z przeciwnym znakiem
Przykłady dla liczb czterobitowych
4.3. Notacja z nadmiarem (+N)
Notacja ta jest wykorzystywana w reprezentacjach zmiennopozycyjnych (np. IEEE754).
Porządek kodów jest zgodny z porządkiem liczb. Liczba reprezentowana jest w postaci ciągu
bitów o ustalonej długości. Przyjmuje się, że 00...000 reprezentuje liczbę najmniejszą, czyli
dla liczb k-bitowych
111...111 2k-1
................
................
000...000 -2k-1+1
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 8-
Wartością liczby całkowitej jest
X = X  N
+N NB
Dla liczb k-bitowych N=2k -1  1
Przykład 1. Dla liczb 4-bitowych (k=4 czyli N=7) mamy:
1111 8
1110 7
..............
1000 1
0111 0
................
0001 -6
0000 -7
Jest to notacja z nadmiarem 7. Ciąg bitów 0000 który w kodzie naturalnym
reprezentowałby zero, tu reprezentuje -7. Interpretacja naturalna jest o 7 większa, niż
interpretacja w kodzie z nadmiarem.
Przykład 2. Liczba 5 zapisana w 8-bitowej notacji z nadmiarem (+N)
5. Rozszerzenie nieskończone
Rozszerzenie nieskończone to rozszerzenie kodu liczby na większą liczbę pozycji z
zachowaniem oryginalnej wartości
Kod naturalny (NB) wiodÄ…ce zera sÄ… nieznaczÄ…ce
Przykład:
5 zapisane na 4 pozycjach
0101
po rozszerzeniu na 8 pozycji
00000101
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 9-
Kod U2 wiodÄ…ce zera (dla liczb dodatnich) sÄ… nieznaczÄ…ce
wiodÄ…ce jedynki (dla liczb ujemnych) sÄ… nieznaczÄ…ce
Przykład:
-5 zapisane na 4 pozycjach
1011
po rozszerzeniu na 8 pozycji
11111011
6. Cyfrowe układy arytmetyczne  przykład
Odpowiednie połączenie funktorów logicznych pozwala budować układy wykonujące
operacje arytmetyczne.
Reguły dodawania dwu cyfr binarnych w formie tabelki (v , v  dodawane cyfry, s  ich
1 2
suma, c  przeniesienie),
UrzÄ…dzenie wykonujÄ…ce dodawanie dwu cyfr binarnych zgodnie z ww. tabelkÄ… (tzw. tabela
prawdy) nazywa się półsumatorem.
Półsumator dodaje dwie cyfry dwójkowe (v , v ), podając ich sumę (s) i przeniesienie (c).
1 2
Przykład półsumatora zbudowanego z pięciu funktorów (bramek) NAND
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 10-
oraz sprawdzenie jego działania dla wszystkich możliwych wariantów danych wejściowych
A. Spyra  Elementy informatyki ...  materiały pomocnicze (sem. 2)
- 11-