Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 8
PRZEGL
D FUNKCJI ELEMENTARNYCH
1. Funkcje liniowe
Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci
y =� f (x) =� ax +� b ,
gdzie a, b - są danymi liczbami zwanymi odpowiednio: a - współczynnik kierunkowy, b - wyraz wolny.
Dziedziną funkcji jest zbiór R, wykresem - linia prosta równoległa do osi OX, gdy a =� 0 ,
albo przecinająca oś OX , gdy a ą� 0 .
Współczynnik kierunkowy a prostej jest równy tangensowi kąta a� - kąta nachylenia prostej do osi OX.
Wyraz wolny b jest rzędną punktu przecięcia się wykresu z osią OY (rys.1)
Y
Y
Y
y =� ax +� b
y =� ax +� b
y =� b
(a <� 0)
(a >� 0)
b
b
X
X
a� X
a�
b
b b
-�
-�
a
a
Rys. 1.
Przykład 1. Naszkicować wykres funkcji: a) y =� 2 , b) y =� 2x -� 4 .
Y
Rozwiązanie.
y =� 2 a) Wykresem jest prosta równoległa do osi OX i przecinająca oś OY
w punkcie o rzędnej 2 przedstawiona na rys.2.
X
O
Rys. 2.
Y
b) Przyjmując x =� 0 otrzymujemy rzędną punktu przecięcia się
y =� 2x -� 4
prostej z osią OY równą y =� -�4 . Przyjmując y =� 0 otrzymujemy
równanie: 2x -� 4 =� 0 , z którego wynika, że odciętą punktu
X
O Q(2,0)
przecięcia się prostej z osią OX jest x =� 2 . Prosta przechodzi
więc przez punkty P( 0, -� 4) i Q( 2, 0 ) (patrz rys.3.).
Rys. 3.
P(0,-�4)
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
2
Inne własności funkcji liniowej
1. Funkcja liniowa jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie: rosnąca gdy a >� 0, malejąca gdy a <� 0
i stała gdy a =� 0 .
2. Funkcja liniowa niestała przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.
3. Funkcja liniowa niestała rozpatrywana w przedziale domkniętym osiąga wartość najmniejszą na jednym,
a wartość największą na drugim końcu przedziału.
4. Jeżeli funkcja jest liniowa, to przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do przyrostu jej argumentu.
Także na odwrót: Jeżeli dziedziną funkcji jest R i przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do
przyrostu jej argumentu, to funkcja jest liniowa. Współczynnik proporcjonalności wynosi wtedy a.
Funkcja liniowa znajduje wszechstronne zastosowanie w opisie zjawisk ekonomicznych. Opisuje ona np.
zależność wartości towaru od jego ceny, wielkość kosztów produkcji w zależności od liczby jednostek
wyprodukowanego towaru.
Y
Przykład 2. Aby uruchomić produkcję pewnego towaru
y =�120 +� 10x
należy zainwestować 120zł (koszty stałe). Produkcja każdej
240
kolejnej jednostki tego wyrobu pochłania dodatkowo 10 zł
(koszty zmienne). Zależność między kosztami produkcji y, a
120
ilością wyprodukowanego towaru x wyraża się wzorem
X
y =�120 +� 10x . Wykres tej funkcji dla x ł� 0 przedstawiony jest
12
na rys.4.
Rys. 4.
2. Funkcje kwadratowe
Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję określoną wzorem
y =� f (x) =� ax2 +� bx +� c ,
gdzie a ą� 0, b, c są danymi liczbami.
Dziedziną funkcji jest zbiór R. Wykresem trójmianu kwadratowego jest parabola, której ramiona
(gałęzie) skierowane są w dół, jeżeli a <� 0, oraz skierowane w górę, jeżeli a >� 0 . Osią symetrii paraboli
b
jest prosta równoległa do osi OY i przechodząca przez wierzchołek W , który ma współrzędne xw =� -� ,
2a
D�
yw =� f (xw ) =� -� . gdzie D� =� b2 -� 4ac oznacza wyróżnik trójmianu . Parabola przecina oś OY
4a
w punkcie o rzędnej c (rys.5).
Y
Y
b D�
W(-� ,-� )
2a 4a
y =� ax2 +� bx +� c
y =� ax2 +� bx +� c
c
a >� 0
a <� 0
c
X
X
b D�
W(-� ,-� )
2a 4a
Rys. 5.
Położenie paraboli względem osi OX , związane jest z liczbą rozwiązań równania ax2 +� bx +� c =� 0
i zależy od wyróżnika D� :
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
3
1. Gdy D�>� 0 parabola przecina oś w punktach o odciętych stanowiących pierwiastki tego równania:
-� b +� D� -� b -� D�
x1 =� , x2 =� . Trójmian kwadratowy można wtedy przedstawić w tzw. postaci
2a 2a
iloczynowej: y =� a(x -� x1)(x -� x2 ) .
-� b
2. Gdy D� =� 0 parabola dotyka swoim wierzchołkiem oś w punkcie o odciętej x0 =� , stanowiącej tzw.
2a
pierwiastek podwójny równania. Postacią iloczynową trójmianu jest wtedy: y =� a (x -� x0 )2 .
3. Gdy D�<� 0 parabola nie przecina osi, a równanie nie ma pierwiastków.
Y Przykład 3. Naszkicować wykresy funkcji:
a) y =� 2x2 -� 4x -� 6 , b) y =� -�x2 +� 2x -�1 , c) y =� x2 +� 4x +� 5 .
Rozwiązanie:
X
a) Dla x =� 0 otrzymujemy y =� -�6 . Oznacza to, że parabola przecina oś OY
3
 1 1
w punkcie P(0, -� 6 ) . W przypadku równania 2x2 -� 4x -� 6 =� 0 mamy
D� =� b2 -� 4ac =�16 +� 48 =� 64, D� =� 8 . Zatem odciętymi punktów przecięcia się
-� b -� D� 4 -� 8 -� b +� D� 4 +� 8
wykresu z osią OX są x1 =� =� =� -�1, x2 =� =� =� 3 .
2a 4 2a 4
b D�
Wierzchołek paraboli ma współrzędne: xw =� -� =�1, yw =� -� =� -�8 .
 6
2a 4a
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys. 6.
W (1,-�8)
Rys. 6.
b) Dla x =� 0 otrzymujemy y =� -�1 . Parabola przecina oś OY w punkcie
Y
P1(0, -�1) . W przypadku równania -� x2 +� 2x -�1 =� 0 mamy
W (1,0)
X
D� =� b2 -� 4ac =� 4 -� 4 =� 0 . Oznacza to, że parabola dotyka osi OX swoim
b
wierzchołkiem. Mamy przy tym xw =� -� =�1, yw =� 0 . Dodatkowo
P2
-1
2a
P1
znajdujemy punkt P2 ( 2, -�1) (wykorzystując symetrię paraboli względem
prostej x =�1 ).Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.7.
x=1
Rys. 7.
c) Dla x =� 0 otrzymujemy y =� 5 . Parabola przecina oś OY w punkcie
Y
P1(0,5) . W przypadku równania x2 +� 4x +� 5 =� 0 mamy
P1 5
P2
D� =� b2 -� 4ac =�16 -� 20 =� -�4 . Oznacza to, że parabola nie przecina
b
osi OX . Wierzchołek paraboli ma współrzędne: xw =� -� =� -�2 ,
2a
D�
yw =� -� =�1. Wykorzystując symetrię paraboli względem prostej
1
X 4a
W (-�2 ,1)
x =� 2 znajdujemy punkt P2 (-�4,5) .
 2
Wykres funkcji przedstawia rys.8.
Rys. 8.
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
4
Przykład 4. Podać postać iloczynową trójmianów: a) y =� -�2x2 +� 8x -� 6 , b) y =� 3x2 +� 6x +� 3 .
Przykład 4. Podać postać iloczynową trójmianów: a) y =� -�2x2 +� 8x -� 6 , b) y =� 3x2 +� 6x +� 3 .
Rozwiązanie.
Rozwiązanie.
a) Mamy tutaj a =� -�2, b =� 8, c =� -�6 . Zatem D� =� b2 -� 4ac =� 64 -� 48 =�16 ,
a) Mamy tutaj a =� -�2, b =� 8, c =� -�6 . Zatem D� =� b2 -� 4ac =� 64 -� 48 =�16 , D� =� 4 . Trójmian ma dwa
-� b -� D� -� 8 -� 4 -� b +� D� -� 8 +� 4
pierwiastki: x1 =� =� =� 3 , x2 =� =� =�1. Postacią iloczynową w tym
2a -� 4 2a -� 4
przypadku jest więc y =� a(x -� x1)(x -� x2 ) , czyli y =� -�2(x -� 3)(x -�1) .
b) Ponieważ a =� 3, b =� 6, c =� 3 , to D� =� b2 -� 4ac =� 36 -� 36 =� 0 . Trójmian ma jeden pierwiastek podwójny
-� b -� 6
x0 =� =� =� -�1 . Postacią iloczynową w tym przypadku jest y =� a(x -� x0 )2 czyli y =� 3(x +� 1)2 .
2a 6
(Podobny wynik można było uzyskać wyłączając 3 przed nawias i stosując odpowiedni wzór skróconego
mnożenia).
Uwaga. W wielu przypadkach w prosty sposób można uzyskać postać iloczynową trójmianu i na tej
podstawie określić pierwiastki.
Przykład 5. Wyznaczyć pierwiastki równania bez obliczania wyróżnika: a) -� x2 +� 4x =� 0 ,
b) x2 -� 9 =� 0 .
Rozwiązanie.
a) Wyłączając przed nawias czynnik: -� x otrzymujemy -� x(x -� 4) =� 0 . Pierwiastkami równania są więc
x1 =� 0, x2 =� 4 .
b) Stosując wzór skróconego mnożenia otrzymujemy (x -� 3)(x +� 3) =� 0 . Pierwiastkami są x1 =� 3, x2 =� -�3 .
Przykład 6. Rozwiązać nierówność: a) x2 +� 2x -� 3 >� 0 , b) -� x2 +� 4 ł� 0 , c) 2x2 +� x +� 1ł� 0 .
Rozwiązanie. W każdym przypadku naszkicujemy wykres trójmianu uwzględniając jedynie położenie
względem osi OX.
a) Ponieważ D� =� b2 -� 4ac =� 4 +� 12 =�16 , D� =� 4 , to trójmian ma dwa
X
-� b -� D� -� 2 -� 4 -� b +� D� -� 2 +� 4
pierwiastki: x1 =� =� =� -�3 , x2 =� =� =�1 .
-� 3 1
2a 2 2a 2
Ramiona paraboli skierowane są do góry. Z wykresu (rys.9.)
Rys. 9.
odczytujemy, że zbiorem rozwiązań nierówności jest suma przedziałów:
(-�Ą�; -� 3) �� (1; +� Ą� ) .
b) Mamy tutaj -� x2 +� 4 =� -�(x -� 2)(x +� 2) . Pierwiastkami trójmianu są
X
x1 =� 2, x2 =� -�2 . Gałęzie paraboli skierowane są do dołu. Na podstawie
-� 2 2
wykresu (rys.10.) stwierdzamy, że zbiorem rozwiązań nierówności jest
przedział -� 2; 2 .
Rys. 10.
c) Ponieważ D� =� b2 -� 4ac =�1 -� 8 =� -�7 , to trójmian nie ma pierwiastków.
Ramiona paraboli skierowane są ku górze. Wykres trójmianu
X
przedstawiony jest na rys.11. Nierówność spełniona jest dla wszystkich
x�� R .
Rys. 11.
. 11.
2
Funkcję y =� at +� bt +� c wykorzystuje się m.in. do opisu zależności między popytem na nowe dobro
(w fazie rozpowszechniania) a czasem t, jaki upłynął od momentu wprowadzenia tego dobra na rynek.
Funkcja kwadratowa jest też dla a >� 0, b ł� 0, c ł� 0 typową funkcją kosztów całkowitych.
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
5
Przykład 7. Supermarket zakupuje puszki z szynką po 5 zł, a następnie sprzedaje je z pewnym zyskiem.
Z przeprowadzonych obserwacji wynika, że wysokość sprzedaży n w zależności od ceny detalicznej x
( x ł� 5 ) wyraża się wzorem n(x) =� -�200x +� 2200 . Przy jakim x całkowity zysk ze sprzedaży puszek będzie
maksymalny?
Rozwiązanie. Przy cenie detalicznej x zysk
Y
z(x) =� -�200x2 +� 3200x -�11000
jednostkowy jest równy c =� x -� 5 Ponieważ liczba
11 700
sprzedanych puszek jest równa wtedy n =� -�200x +� 2200 , to
zysk całkowity wynosi
z =� cn =� (x -� 5)(-�200x +� 2200) =� -�200x2 +� 3200x -�11000 .
X
Otrzymana funkcja jest trójmianem kwadratowym, który
b
O 5 8 11
osiąga wartość największą, gdy x =� -� =� 8 . Największą
Rys. 12. 2a
wartością (maksymalnym zyskiem) jest wtedy z(8) =�11700 [zł]. Wykres funkcji zysku przedstawia rys.12.
3. Wielomiany
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem
y =� W (x) =� an xn +� an-�1xn-�1 +�...+� a1x +� a0 ,
gdzie n - jest daną liczbą naturalną lub zerem, an ą� 0, an-�1, ... ,a1, a0 - są danymi liczbami rzeczywistymi
zwanymi współczynnikami wielomianu.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór R. Każdą liczbę a, dla której W (a) =� 0 nazywamy pierwiastkiem
wielomianu. Wielomian stopnia n może posiadać co najwyżej n pierwiastków.
Metody wyznaczania pierwiastków wielomianu W(x) (pierwiastków równania W (x) =� 0 ):
1. Metoda sprowadzająca wielomian do postaci iloczynu czynników liniowych lub kwadratowych o D� <� 0 .
Wykorzystuje się w niej tzw. grupowanie wyrazów i wzory skróconego mnożenia.
2. Metoda polegająca na "odgadywaniu" pierwiastków. Powołujemy się w niej na następujące twierdzenie:
Pierwiastkami całkowitymi wielomianu o współczynnikach całkowitych mogą być jedynie dzielniki
wyrazu wolnego.
3. Metoda "kombinowana" łącząca obie powyższe i opierająca się na twierdzeniu Bezouta:
Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) , to wielomian można przedstawić w postaci
W (x) =� (x -� a) �� P(x) , gdzie P(x) jest wielomianem otrzymanym przez podzielenie W(x) przez x -� a .
Pozostałymi pierwiastkami wielomianu W(x) są wówczas pierwiastki wielomianu P(x) .
Przykład 8. Rozwiązać równanie x3 -� 2x2 -� x +� 2 =� 0 .
Rozwiązanie. Przyjmując lewą stronę równania przez W (x) mamy kolejno:
W (x) =� x2 (x -� 2) -� (x -� 2) =� (x -� 2)(x2 -�1) =� (x -� 2)(x -�1)(x +� 1) .
Stąd pierwiastkami równania są: x1 =� 2, x2 =�1, x3 =� -�1.
Przykład 9. Rozwiązać równanie: -� x3 +� 7x +� 6 =� 0 .
Rozwiązanie. Pierwiastków wielomianu poszukujemy wśród podzielników liczby 6: ą� 1, ą� 2, ą� 3, ą� 6.
Obliczamy teraz wartości wielomianu dla podanych liczb:
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
6
W (1) =� -�1 +� 7 +� 6 ą� 0 , W (-�1) =�1 -� 7 +� 6 =� 0 zatem pierwiastkiem wielomianu jest x1 -�1,
W (2) =� -�8 +� 14 +� 6 ą� 0 , W (-�2) =� 8 -�14 +� 6 =� 0 zatem x2 =� -�2 , W (3) =� -�27 +� 21 +� 6 =� 0 zatem x3 =� 3 .
Obliczenia możemy zakończyć, gdyż znalezione zostały trzy pierwiastki wielomianu (w tym przypadku nie
może ich być więcej).
Przykład 10. Znalez
ć pierwiastki wielomianu W (x) =� x3 -� 3x2 +� 4 .
Rozwiązanie. Pierwiastkiem całkowitym tego wielomianu może być tylko podzielnik liczby 4. Mamy tutaj
W (1) ą� 0, W (-�1) =� 0 . Ponieważ liczba -�1 jest pierwiastkiem wielomianu, to wielomian ten dzieli się bez
x2 -� 4x +� 4
reszty przez x +� 1. Dzielenie to przedstawione jest obok. Mamy
(x3 -� 3x2 +� 0 �� x +� 4) : (x +� 1) zatem
W (x) =� (x +� 1)(x2 -� 4x +� 4) =� (x +� 1)(x -� 2)2 .
-� x3 -� x2
Pierwiastkami wielomianu są x1,2 =� 2 (pierwiastek podwójny)
=� -� 4x2 +� 0 �� x
i x3 =� -�1.
4x2 +� 4x
=� 4x +� 4
-� 4x -� 4
=� =�
Uwaga. Jeżeli w rozkładzie wielomianu na czynniki liniowe lub kwadratowe o D� <� 0 czynnik x -� a
występuje dokładnie k razy, to liczbę a nazywamy pierwiastkiem k-krotnym.
Uwaga. Kolejne kroki przy szkicowaniu wykresu wielomianu niezbędnego do znalezienia rozwiązań
nierówności wielomianowych (algebraicznych):
1. Nanosimy na oś OX wszystkie pierwiastki wielomianu (zaznaczając ich krotność).
2. Przez naniesione punkty prowadzimy linię tak, aby
- przecinała ona oś w przypadku pierwiastka nieparzystej krotności,
-  dotykała osi lecz jej nie przecinała w przypadku, gdy pierwiastek jest parzystej krotności.
- leżała w przedziale (xmax ,+�Ą�) powyżej osi OX , gdy współczynnik an jest dodatni ( xmax oznacza
największy z pierwiastków) i poniżej w przeciwnym przypadku.
Przykład 11. Rozwiązać nierówność: x4 -� 2x3 -� 7x2 +� 20x -�12 Ł� 0 .
Rozwiązanie: Przyjmijmy oznaczenie W (x) =� x4 -� 2x3 -� 7x2 +� 20x -�12 . Wielomian można przedstawić
w postaci: W (x) =� (x -� 2)2(x -�1)(x +� 3) . Pierwiastkami tego wielomianu są więc: x1 =� x2 =� 2,
x3 =�1, x4 =� -�3 .
Wykres wielomianu sporządzony z uwzględnieniem powyższej
uwagi przedstawiony jest na rys.13.
X
Odp: Rozwiązania nierówności stanowią zbiór: -� 3;1 ��{2 } .
-3
2
1
Rys. 13.
Wielomian stopnia 3 postaci y =� ax3 +� bx2 +� cx +� d dla a >� 0, b Ł� 0, c ł� 0, b2 Ł� 3ac służy w wielu
przypadkach do opisu kosztów całkowitych.
Przykład 12. Koszt produkcji x ton materiału wybuchowego wynosi K(x) =� 2x3 -� 33x2 +� 186x +� 100 .
Dla jakiej wartości x koszt zwiększenia produkcji tego materiału o jedną tonę będzie najmniejszy?
Rozwiązanie. Koszt zwiększenia produkcji o jedną tonę od wartości x do wartości x +� 1 jest równy
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
7
f (x) =� K(x +� 1) -� K(x) =�[�2(x +� 1)3 -� 33(x +� 1) +� 186(x +� 1) +� 100]�-� (2x3 -� 33x2 +� 186x +� 100) .
Po przekształceniach f (x) =� 6x2 -� 60x +� 155 .
b
Jest to funkcja kwadratowa osiągająca minimum dla x0 =� -� =� 5 . Oznacza to, że koszt zwiększenia
2a
produkcji materiału wybuchowego o jedną tonę będzie najmniejszy przy przejściu od 5 do 6 ton. Wykresy
obu funkcji przedstawione zostały na rys.14. i rys.15.
Y Y
K(x) =� 2x3 -� 33x2 +�186x +�100
455 155
f (x) =� 6x2 -� 60x +�155
100
5
X X
O 5
O 5
Rys. 14. Rys. 15.
4. Funkcje wymierne
P(x)
Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci y =� , gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami.
Q(x)
Dziedziną funkcji jest zbiór R \ {x1, x2 , ..., xk }, gdzie x1, x2 , ..., xk są wszystkimi różnymi między
sobą pierwiastkami wielomianu Q(x) .
Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja zwana funkcją homograficzną. Jest to funkcja
ax +� b
postaci y =� , gdzie a, b, c, d są danymi liczbami spełniającymi warunki: c ą� 0, ad -� bc ą� 0.
cx +� d
d
Dziedziną funkcji jest zbiór R \ {-� } , wykresem - krzywa zwana hiperbolą, której asymptotami są:
c
a
asymptotą poziomą - prosta y =� (równanie to powstaje przez podzielenie współczynników stojących przy
c
d
zmiennej x), asymptotą pionową - prosta x =� -� (równanie to otrzymujemy przyrównując mianownik do
c
zera). Hiperbola jest symetryczna względem punktu przecięcia się asymptot (rys.16.).
Y
Y
ad -� bc <� 0
ad -� bc >� 0
a
y =�
c
a
y =�
c
X X
d
d x =� -�
x =� -�
c
c
Rys. 16
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
8
2x +� 2
Przykład 13. Naszkicować wykres funkcji y =� .
x -�1
Rozwiązanie: Dana funkcja jest funkcją homograficzną.
Y
2
Asymptotą poziomą tej funkcji jest prosta y =� =� 2 .
1
Przyjmując x -�1 =� 0 uzyskujemy równanie asymptoty
y =� 2
pionowej x =�1 . Gdy x =� 0 , to y =� 2 , gdy y =� 0 , to x =� -�1.
Oznacza to, że hiperbola przecina osie w punktach
X
P( 0, -� 2 ), Q(-�1, 0 ) . Na tej podstawie kreślimy gałąz

Q
x =� 1
leżącą w III ćwiartce. Gałąz
leżąca w I ćw. jest symetryczna
P
względem punktu przecięcia się asymptot. Wykres funkcji
przedstawiony jest na rys.17.
Rys. 17
Dobra nabywane przez konsumentów można podzielić na 3 grupy:
1. dobra pierwszej potrzeby nabywane nawet przy bardzo niskich dochodach (chleb, sól),
2. dobra wyższego rzędu (meble, słodycze, owoce),
3. dobra luksusowe (samochód, willa).
Badając zależność popytu na te dobra od dochodów ludności szwedzki ekonomista T�rnquist postawił
hipotezę, że zależności te opisują następujące funkcje:
a1x x -� c2 x -� c3
T1(x) =� , T2 (x) =� a2 , T3 (x) =� a3x ,
x +� b1 x +� b2 x +� b3
gdzie a1, b1, a2 , b2 , c2 , a3, b3, c3 są pewnymi stałymi dodatnimi charakteryzującymi dane dobro.
Wykresy funkcji T�rnquista, z których dwie pierwsze są funkcjami homograficznymi, przedstawione
zostały na rys.18.
Y
Y
Y
x -� c3
y =� a3x
a1
x +� b3
a2
a1x
y =�
x -� b1
x -� c2
y =� a2
x +� b2
X
X X
c2
c3 b3 +� c3
Rys. 18.
Kształt krzywych będących wykresami funkcji T�rnquista odzwierciedla ogólne tendencje zachowania
się konsumentów w zależności od wysokości dochodów. Przy niskim poziomie dochodu większość
wydatków przeznacza się na dobra pierwszej potrzeby. Wzrastają one w miarę zwiększania się dochodów
dążąc do poziomu nasycenia a1 . Przy wyższych dochodach równych c2 zaczynają pojawiać się wydatki na
dobra wyższego rzędu, które rosną osiągając poziom nasycenia a2 . Wreszcie po osiągnięciu poziomu
dochodu c3 pojawiają się wydatki na dobra luksusowe, które w przeciwieństwie do poprzednich wzrastają
nieograniczenie.
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
9
5. Funkcje potęgowe
Funkcję postaci y =� xa� , gdzie a� ą� 0 jest daną liczba rzeczywistą , nazywamy funkcją potęgową.
Dziedzina tej funkcji i jej własności zależą od wykładnika a� . Jeżeli jest on liczbą naturalną (a� =� n ), to
dziedziną funkcji jest zbiór R, przy tym dla n parzystych jest to funkcja parzysta, dla nieparzystych -
nieparzysta. Wykresy niektórych funkcji o wykładnikach naturalnych przedstawione zostały na rys.19.
y =� x5
Y
Y
y =� x6
y =� x3 y =� x4
y =� x y =� x2
1
X
1
 1
X
1
 1
 1
1
Rys. 19.
1
n
n
Funkcja postaci y =� x =� x , gdzie n ł� 2 jest liczba naturalną, jest dla nieparzystych n określona
w zbiorze R, dla parzystych - tylko w przedziale 0; +� Ą� ) . Na rys.20. przedstawione zostały dwa wykresy
funkcji tego typu.
Y 3
y =� x
Y
y =� x
1
X
 1
1
1
X
 1
1
Rys. 20
Funkcja postaci y =� axb przy a >� 0, b >�1 znajduje zastosowanie w analizie rynku przy badaniu popytu
na nowowprowadzone dobro. Przy a >� 0, b <� 0 służy do opisu zależności między wydajnością pracy
robotników a czasem dojazdu do pracy.
6. Funkcje wykładnicze
x
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci y =� a , gdzie a jest daną liczbą rzeczywistą
spełniającą warunek 0 <� a ą� 1.
Wykresy niektórych funkcji wykładniczych przedstawione zostały na rys.21.
Dziedziną każdej funkcji wykładniczej jest zbiór R , przeciwdziedziną - przedział ( 0;+�Ą� ) . Funkcja jest
monotoniczna: rosnąca gdy a >� 1, malejąca gdy a <� 1 (jest więc funkcją różnowartościową).
Szczególnie ważną rolę w analizie matematycznej odgrywa funkcja y =� ex
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
10
x
y =� e
y =� (1)x y =� 3x Uwaga. Konsekwencją monotoniczności funkcji
3
x
Y
y =� 2 wykładniczych są następujące równoważności, które
wykorzystujemy przy rozwiązywaniu równań i nierówności
y =�(1)x wykładniczych:
2
x1 x2
a =� a �� x1 =� x2 ,
x1 <� x2 dla a >� 1,
��
x1 x2
a <� a ��
��
x1 >� x2 dla a <� 1,
��
1
X
Rys. 21.
Równania lub nierówności, w których niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi nazywamy
wykładniczymi. Aby rozwiązać takie równanie albo nierówność należy (wystarczy):
1. Przedstawić wyrażenia po obu stronach równania lub nierówności jako potęgi o tej samej podstawie.
2. Uwolnić się od podstaw (zmieniając znak nierówności w przypadku podstawy z przedziału ( 0;1) ).
3. Rozwiązać otrzymane równanie lub nierówność.
Przykład 14. Rozwiązać równania lub nierówności:
1
4-�2x
3
a) 31-�2x =� 81, b) e3x-�1 =� e , c) 2x+�4 Ł� , d) (1) >� 3 .
2 3
Rozwiązanie. a) Prawą stronę równania zapiszemy w postaci potęgi liczby 3. Mamy zatem: 31-�2x =� 34 . Tym
3
samym po uwolnieniu się od podstawy 1 -� 2x =� 4 . Rozwiązaniem równania jest więc x =� -� .
2
1
1 4
b) Równanie to jest równoważne równaniu: e3x-�1 =� e3 . Zatem 3x -�1 =� i ostatecznie x =� .
3 9
c) Nierówność tę można zapisać w postaci: 2x+�4 Ł� 2-�1 , z której wnioskujemy, że x +� 4 Ł� -�1. Tym samym
zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-� Ą�;-� 5 .
1
-�
1
4-�2x
2
d) Zapisując nierówność w postaci ( ) >�(1) po opuszczeniu podstawy z uwzględnieniem, że jest
3 3
1 9 9
ona liczbą z przedziału ( 0;1) , mamy 4 -� 2x <� -� . Stąd kolejno otrzymujemy -� 2x <� -� , x >� .
2 2 4
9
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział ( ; +� Ą�) .
4
Funkcjami wykładniczymi postaci f (x) =� aebx , przy a >� 0 , posługujemy się w badaniach dynamiki
dochodu narodowego, a także przy badaniu popytu na nowe dobra.
7. Funkcje logarytmiczne
Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie 0 <� a ą� 1, nazywamy wykładnik potęgi, do
której należy podnieść a, aby otrzymać b. Zatem przy powyższych założeniach
loga b =� t �� at =� b .
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
11
1
Przykład 15. Obliczyć wartości logarytmów: a) log2 32 , b) log2 2 , c) log3 , d) log 2 2 .
1
9
2
Rozwiązanie. Bezpośrednio z definicji wynika, że
1
1
2
a) log2 32 =� 5 , ponieważ 25 =� 32 , b) log2 2 =� , ponieważ 2 =� 2 ,
2
3
-�
1 1 3 1
2
c) log3 =� -�2 , ponieważ 3-�2 =� , d) log 2 2 =� -� , ponieważ ( ) =� 2 2 .
1
9 9 2 2
2
Logarytm liczby dodatniej b przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy ln b .
ln b =� t �� et =� b .
1
Przykład 16. Obliczyć wartości logarytmów: a) ln e , b) ln e , c) ln .
e3
Rozwiązanie. Na podstawie definicji logarytmu naturalnego mamy
1
1 1 1
2
a) ln e =� 1, ponieważ e1 =� e , b) ln e =� , ponieważ e =� e , c) ln =� -�3, ponieważ e-�3 =� .
2
e3 e3
Własności logarytmów
1. Każdą liczbę t można zamienić na logarytm o danej podstawie a , ( 0 <� a ą� 1) korzystając z zależności:
t =� loga at .
2. Każdą liczbę dodatnią m można przedstawić w postaci potęgi o danej podstawie a , ( 0 <� a ą� 1):
a
m =� alog m
3. Dla dowolnych liczb dodatnich x, y i dowolnego n przy danej podstawie a , 0 <� a ą� 1, zachodzą
wzory:
x
a) loga (x �� y) =� loga x +� loga y , b) loga =� loga x -� loga y , c) loga xn =� n loga x .
y
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci y =� loga x , gdzie a jest daną liczbą zwaną podstawą,
spełniającą warunek 0 <� a ą� 1.
Wykresy niektórych funkcji logarytmicznych przedstawione zostały na rys.22.
Dziedziną każdej funkcji logarytmicznej
y =� log2 x
y =� ln x jest przedział (0 ; +� Ą�) , zbiorem wartości
Y
zbiór R. Funkcja jest monotoniczna:
y =� log3 x
rosnąca gdy a >�1, malejąca gdy a <�1
(w obu przypadkach jest więc
X
różnowartościowa).
1
y =� log1 x
3
y =� log x
1
2
Rys. 22.
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
12
Uwaga. Konsekwencją monotoniczności funkcji logarytmicznej są następujące równoważności ,
zachodzące dla dodatnich argumentów, wykorzystywane przy rozwiązywaniu równań i nierówności
logarytmicznych:
x1 <� x2 dla a >� 1,
��
loga x1 =� loga x2 �� x1 =� x2 . loga x1 <� loga x2 ��
��
x1 >� x2 dla 0 <� a <� 1.
��
Równania lub nierówności, w których niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach logarytmowanych
nazywamy logarytmicznymi. Aby rozwiązać takie równanie lub nierówność należy (wystarczy):
1. Wyznaczyć dziedzinę równania lub nierówności zakładając, że wszystkie wyrażenia logarytmowane
zawierające niewiadomą są dodatnie.
2. Obie strony zapisać w postaci logarytmów o identycznych podstawach (wykorzystując własność 1.).
3. Uwolnić się od logarytmów zmieniając ewentualnie znak w przypadku nierówności i podstawy
z przedziału ( 0;1) .
4. Rozwiązać otrzymane równanie lub nierówność, a następnie odrzucić rozwiązania nie należące do
dziedziny.
Przykład 17. Rozwiązać równania lub nierówności: a) log2 (x -� 2) =� 3, b) log (2 -� x) >� -�2
1
2
Rozwiązanie. a) Dziedziną równania jest D =� { x ��R: x -� 2 >� 0) =� ( 2; +� Ą� ) . Zapisując liczbę 3 w postaci
3 =� log2 8 mamy log2 (x -� 2) =� log2 8 . Stąd po uwolnieniu się od logarytmu otrzymujemy x -� 2 =� 8 . Zatem
rozwiązaniem jest x =� 10 .
b) Dziedziną nierówności jest D =� { x ��R: 2 -� x >� 0) =� ( -� Ą�;2 ) . Ponieważ -�2 =� log 4 , to nierówność
1
2
przyjmuje postać log (2 -� x) >� log 4 . Opuszczając logarytm, przy uwzględnieniu, że jego podstawa jest
1 1
2 2
liczbą z przedziału ( 0;1) mamy 2 -� x <� 4 . Stąd x >� -�2 . Ponieważ rozwiązania nierówności muszą należeć
do zbioru D, to ostatecznie rozwiązaniem danej nierówności jest przedział ( -� 2;2 ) .
Funkcją logarytmiczną postaci y =� a +� b ln(x +� c), a >� 0, b ą� 0, c ł� 0
posługujemy się do opisu kosztów całkowitych oraz do opisu zależności indywidualnej wydajności pracy od
stażu pracy w danym zawodzie.
-�1
Przykład 18. Wyznaczyć w postaci y =� f (x) funkcję odwrotną do y =� f (x) . Naszkicować wykresy
obu funkcji: a) f (x) =� 3x-�2 b) f (x) =� ln(x +� 2) . Rozwiązanie.
f (x) =� 3x-�2
a) Dokonując we wzorze danej funkcji y =� 3x-�2 zamiany
zmiennych otrzymujemy równanie x =� 3y-�2 , które
-�1
f (x) =� log x +� 2
3 3
można zapisać w postaci 3log x =� 3y-�2 . Stąd
y -� 2 =� log3 x i ostatecznie funkcją odwrotną jest
-�1
y =� f (x) =� log3 x +� 2 . Wykresy obu funkcji
przedstawia rys.23.
Rys. 23.
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
13
-�1 x
f (x) =� e -� 2
Y b) Daną funkcję można zapisać w postaci y =� ln(x +� 2) .
Po zamianie zmiennych otrzymujemy równanie
x =� ln(y +� 2) . Powołując się na definicję logarytmu
f (x) =� ln(x +� 2)
otrzymujemy y +� 2 =� ex . Stąd funkcja odwrotna ma
 2
 1
X
x
postać: y =� e -� 2 . Wykresy obu funkcji przedstawia
 1
rys.24.
 2
Rys. 24.
8. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
Niech x oznacza miarę kąta skierowanego ��TOM na płaszczyz
nie TOY (rys.25).
Y
M(t, y) Funkcje trygonometryczne określamy wtedy następująco:
y
y t y t
r
sin x =� , cos x =� , tgx =� , ctgx =� .
r r t y
x
T
Wykresy funkcji trygonometrycznych przedstawione zostały
O
t
na rys.26.
Rys. 25.
Y
1 Y Y
y =� sin x
X
y =� ctgx
p� 3p� y =� tgx
0
p�
2p�
2
2
-1
p� p�
Y p� p�
0
X
-� X
1 2 2 2
y =� cos x
X
0
3
p�
2p�
p�
p�
2
2
-1
Rys. 26.
Dziedziną funkcji sinus i cosinus jest zbiór R. Funkcje te są ograniczone, bowiem dla każdego x �� R
mamy: -�1Ł� sin x Ł�1 oraz -�1Ł� cos x Ł�1.
2k +� 1
Funkcja tangens określona jest na przedziałach (2k -�1p� ; p�), funkcja cotangens - na
2 2
przedziałach (kp� ; (k +� 1)p� ) , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.
Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem podstawowym funkcji sinus i cosinus jest liczba 2p� ,
co oznacza, że dla każdego x �� R zachodzą warunki: sin(x +� 2p� ) =� sin x , cos(x +� 2p� ) =� cos x .
Okresem podstawowym funkcji tangens i cotangens jest liczba p� . Oznacza to, że dla x pochodzących z
odpowiedniego zbioru mamy: tg(x +� p� ) =� tgx , ctg(x +� p� ) =� ctgx .
Funkcja cosinus jest parzysta, tzn. cos(-�x) =� cos x dla każdego x�� R . Pozostałe funkcje
trygonometryczne są nieparzyste, tzn. dla odpowiednich x zachodzą wzory: sin(-�x) =� sin x , tg(-�x) =� tgx ,
ctg(-�x) =� ctgx .
Wykład 8. Przegląd funkcji elementarnych
14
Funkcje trygonometryczne
y =� sin x, y =� cos x, y =� tgx, y =� ctgx
nie są funkcjami różnowartościowymi w swoich naturalnych dziedzinach. Są jednak różnowartościowe
odpowiednio na zbiorach:
p� p� p� p�
-� ; , 0;p� , (-� ; ), ( 0 ; p� )
2 2 2 2
a ich przeciwdziedzinami są odpowiednio:
-�1;1 , -�1;1 , R , R .
Dla tak zawężonych funkcji trygonometrycznych istnieją więc funkcje odwrotne. Funkcje te nazywamy
funkcjami cyklometrycznymi odpowiednio: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens, arcus cotangens.
Mamy zatem
y =� arcsinx �� x =� sin y , y =� arccosx �� x =� cos y , y =� arctgx �� x =� tgy , y =� arcctgx �� x =� ctgy .
3 1
Przykład 19. Obliczyć: a) arcsin , b) arcsin(-�1) , c) arccos , d) arctg 3 .
2 2
Rozwiązanie. Na podstawie definicji funkcji cyklometrycznych otrzymujemy
3 p� p� 3 p� p� p�
a) arcsin =� , ponieważ sin =� i �� -� ; ,
2 3 3 2 3 2 2
p� p� p� p� p�
b) arcsin(-�1) =� -� , ponieważ sin(-� ) =� -�1 i -� �� -� ; ,
2 2 2 2 2
1 p� p� 1 p�
c) arccos =� , ponieważ cos =� i �� 0 ; p� ,
2 3 3 2 3
p� p� p� p� p�
d) arctg 3 =� , ponieważ tg =� 3 i ��( -� ; ) .
3 3 3 2 2
Wykresy funkcji cyklometrycznych przedstawione zostały na rys.27.
Y
p�
Y
Y
2
y =� arctg x
p�
2
p�
X
p�
-�
2
y =� arcsin x
y =� arccos x
X
p�
Y
-�1
1
2
p�
y =� arcctg x
p�
X
p�
2
-�
X
2
1
-�1
Rys. 27.
Uwaga. Funkcje, które można otrzymać z funkcji stałych, wielomianów, funkcji potęgowych,
wykładniczych, logarytmicznych , trygonometrycznych i cyklometrycznych wykonując skończoną liczbę
działań typu: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i składnie funkcji nazywamy funkcjami
elementarnymi (w szerszym sensie).