Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
MOC CHWILOWA
W obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego może
występować kilka rodzajów mocy.
PierwszÄ… z analizowanych jej postaci jest moc
chwilowa.
Mocą chwilowa nazywa się iloczyn wartości
chwilowych napięcia i prądu:
p = ui
W obwodzie prÄ…du zmiennego moc pobierana przez
odbiornik ze z
ródła nie jest stała (jak w przypadku układu
prądu stałego), lecz ze względu na fakt, iż energia jest
dostarczana w rożnych wartościach w stałych przedziałach
czasu posiada ona różne wartości w poszczególnych
chwilach. Taki przebieg zmian mocy jest zwiÄ…zany z tym,
że zarówno prąd jak i napięcie zmieniają w funkcji czasu
swój kierunek oraz wartość bezwzględną.
Podstawiając do wzoru na moc chwilową wartości
chwilowe napięcia i prądu, po dokonaniu uzyskujemy
zależność analityczną określającą wartość mocy chwilowej:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
p = ui = Umsinwðt×ðImsin(wðt -ð jð) = UmIm [cosjð -ð sin(2wðt
2
-ð jð)] =
= UI[cosjð -ð cos(2wðt -ð jð)] = UIcosjð -ð UIcos(2wðt -ð jð)
W wzorze tym można wyróżnić dwie składowe mocy
chwilowej:
staÅ‚Ä… danÄ… czÅ‚onem UIcosjð,
skÅ‚adowÄ… sinusoidalnie zmiennÄ… równÄ…: UIcos(2wðt -ð jð).
Częstotliwość mocy sinusoidalnie zmiennej jest
dwukrotnie wyższa od częstotliwości prądu i napięcia,
natomiast jej amplituda wynosi UI. Energia dostarczona do
odbiornika w równych przedziałach czasu ma różną
wartość. Całkowita energia dodatnia dostarczona do
odbiornika odpowiada polu ograniczonemu przez sinusoidÄ™
nad osiÄ… czasu, natomiast ujemna odebrana od odbiornika
poniżej osi.
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
MOC CZYNNA, BIERNA I POZORNA.
Przyjmując czas równy wielokrotności okresu można
wyznaczyć wartość średnią mocy chwilowej. Na podstawie
podanych powyżej zależności określających moc chwilową,
oraz wykresu przedstawionego na powyższym rysunku
można stwierdzić, że wartość średnia mocy chwilowej
równa jest składowej stałej mocy chwilowej:
PÅ›r = UIcosjð
Mocą czynną nazywa się wartość średnią mocy
chwilowej, jest ona zatem dana następującą zależnością:
P = UIcosjð
JednostkÄ… mocy czynnej jest 1 wat (1W).
Moc pozorna oznaczana jest ona przez S i obliczana
jest jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu:
S = UI
Jej jednostkÄ… jest 1 woltoamper (1V×ðA).
Moc bierna oznaczana jest przez Q i definiuje siÄ™ jÄ…
jako iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia oraz
sinusa kąta zawartego pomiędzy tymi wielkościami:
Q = UIsinjð
JednostkÄ… mocy biernej jest 1 war (1 var).
Pomiędzy wspomnianymi trzema rodzajami mocy prądu
sinusoidalnego istnieją następujące zależności:
S2 = P2 + Q2
S = P2 +ð Q2
P
tg jð = Q ; cos jð =
P S
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
Przykładowe trójkąty mocy dla dwóch przypadków:
Q>0 i Q<0 przedstawione są poniżej:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
POSTAĆ ZESPOLONA MOCY POZORNEJ.
Do zacisków dwójnika o impedancji zespolonej Z
przyłożone jest napięcie sinusoidalnie zmienne U.
Przyjmujemy, że odbiornik ma charakter reystancyjno-
indukcyjny i przesunięcie pomiędzy napięciem i prądem
wynosi jð, to:
i = Imsin(wðt + yði)
u = Umsin(wðt + yðu)
W postaci zespolonej będą przedstawione wzorami:
jyði
I = Ie
jyð
u
U = Ue
Kąt przesunięcia fazowego:
jð = yðu - yði
Napięcie i prąd w postaci zespolonej przedstawione
jako wektory:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
Z trójkąta mocy wynika:
S = P + jQ = UIcosjð + jUIsinjð = UI(cosjð + jsinjð) =
UIejjð = Sejjð
Równoważna zależność:
j(yð -ðyð ) jyð
u i u i
S = UIejjð = UIe =ð Ue Ie-ð jyð =U×ðI*
ponieważ:
I*= Ie-ð jyði
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
MOC W REZYSTORZE IDEALNYM O
REZYSTANCJI R
Prąd i napięcie w rezystorze występują w fazie.
Moc chwilowa to:
p = ui = UmImsin2wðt
Po dokonaniu przeksztaÅ‚ceÅ„ trygonometrycznych (sin2að
=1-ð cos 2að ), oraz uwzglÄ™dniajÄ…c, że: Um= 2 U oraz Im= 2 I:
2
p = UmIm (1 -ð cos2wðt) = UI(1 -ð cos2wðt)
2
Przebiegi napięcia i prądu oraz mocy chwilowej w
rezystorze idealnym przedstawia rysunek:
Wartość średnia mocy chwilowej w przypadku
rezystora dana jest wzorem:
P = UI
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
Jest to moc czynna. W przypadku rezystora idealnego
moc czynna jest równa mocy pozornej, natomiast moc
bierna wynosi zero.
Równoważne wzory na moc czynną:
P = RI2
2
P = GU2 = U
R
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
MOC W CEWCE IDEALNEJ O
INDUKCYJNOÅšCI L
W przypadku cewki idealnej napięcie sinusoidalne
wyprzedza prÄ…d o kÄ…t fazowy jð = pð / 2. PrzyjmujÄ…c, że prÄ…d
posiada zerową fazę początkową i dany jest następującym
przebiegiem: i = Imsinwðt, wówczas przebieg napiÄ™cia bÄ™dzie
miaÅ‚ nastÄ™pujÄ…cÄ… postać: u = Umsin(wðt +pð / 2). Moc
chwilowa:
p = ui = Umsin(wðt +pð )×ðImsinwðt = UmImcoswðtsinwðt
2
Po uwzględnieniu zależności trygonometrycznych
(cosaðsinað = ½ sin2að):
p = UmIm sin2wðt = UIsin2wðt
2
Przebiegi napięcia i prądu oraz mocy chwilowej w
cewce idealnej przedstawia poniższy rysunek:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
Moc czynna P w tym przypadku wynosi zero, zaÅ› moc
bierna dana jest wzorem:
Q = UI
i jest równa mocy pozornej S.
Podobnie jak w przypadku rezystancji, również i tu
możliwe jest obliczenie mocy biernej cewki w oparciu o
prawo Ohma (w myśl którego: U = XLI2):
Q = XLI2
Q = BLU2
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
MOC W KONDENSATORZE IDEALNYM O
POJEMNOÅšCI C.
W przypadku kondensatora idealnego przesunięcie
fazowe pomiÄ™dzy napiÄ™ciem i prÄ…dem wynosi jð = -ðpð / 2.
PrÄ…d posiada zerowÄ… fazÄ™ poczÄ…tkowÄ…, jest dany
przebiegiem czasowym: i = Imsinwðt, natomiast napiÄ™cie
wyrażone jest następującym przebiegiem czasowym:
u = Umsin(wðt -ðpð / 2). Moc chwilowa:
p = ui = Umsin(wðt -ðpð / 2)×ðImsinwðt = -ð UmImcoswðtsinwðt =
-ðUmIm sin2wðt = -ðUIsin2wðt
2
Powyższy wzór jest taki sam jak dla cewki idealnej,
jedyną różnicą jest znak (moc indukcyjna jest dodatnia,
natomiast pojemnościowa ujemna).
Przebiegi napięcia, prądu i mocy chwilowej dla
kondensatora idealnego przedstawione sÄ… na rysunku:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
W układzie takim moc czynna P wynosi zero, natomiast
moc bierna Q obliczona przy danej wartoÅ›ci jð:
Q = -ð UI
Moc bierna jest w przypadku kondensatora równa mocy
pozornej (co do wartości bezwzględnej).
Równoważne postacie zapisu mocy chwilowej:
Q = -ðXCI2
Q = -ðBCU2
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
MOC W CEWCE RZECZYWISTEJ.
Cewka rzeczywista to układ szeregowego połączenia
RL.
p = ui = Umsin(wðt + jð)×ðImsinwðt =
UI[cosjð -ðcos(2wðt + jð)]
Przebiegi napięcia, prądu oraz mocy w układzie cewki
rzeczywistej przedstawia rysunek:
Moc czynna w przypadku przebiegu mocy chwilowej
jest równa średniej mocy chwilowej i wynosi:
P = UIcosjð
Z trójkąta napięć dla układu szeregowego RL wynika:
Ucosjð = UR = RI
Równoważna zależność na moc czynną dwójnika
szeregowego RL:
P = RI2
Moc bierna:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
Q = UIsinjð
Z trójkąta napięć dwójnika szeregowego RL wynika:
Usinjð = UL = XLI
Równoważna zależność:
Q = XLI2
Moc pozorna wyznaczana jest ze wzoru :
S = UI S = ZI2
2
Z = R2 +ð X .
L
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
MOC W KONDENSATORZE RZECZYWISTYM
Kondensator rzeczywisty może być przedstawiany za
pomocą dwóch różnych schematów: równoległego i
szeregowego. Dla układu równoległego:
p = ui = Umsinwðt×ðImsin(wðt + jð) =
UI[cosjð -ð cos(2wðt + jð)]
Przebieg mocy chwilowej w układzie równoległym RC
przedstawia rysunek:
Moc czynna w tym przypadku dana jest wzorem:
P = UIcosjð
Z trójkąta prądów dla dwójnika równoległego wynika:
Icosjð = IR = GU
Równoważna zależność:
P = GU2
Moc bierna wyznaczana ze wzoru definicyjnego:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
Q = UIsinjð
Z trójkąta prądów wynika, że:
Isinjð = -ðIC = -ðBCU
Równoważna zależność
Q = -ðBCU2
Moc pozorna:
S = UI
Równoważna zależność:
2
S = YU2 gdzie: Y = G2 +ð BC
Współczynnik mocy i jego znaczenie techniczne i
ekonomiczne.
Współczynnik mocy cosjð ma w eksploatacji urzÄ…dzeÅ„
znaczenie związane z efektywnością ich pracy. Większość
z odbiorników energii elektrycznej stosowanych na co
dzień odznacza się pewną indukcyjnością. Do urządzeń
tego typu zaliczyć można przede wszystkim silniki
elektryczne (zwłaszcza słabo obciążone), odbiorniki
przemysłowe, instalacje oświetleniowe z lampami
wyładowczymi, które są łączone w szereg z dławikami
ograniczającymi prąd i inne. Współczynnik mocy takich
urządzeń bez urządzeń kompensujących jego wartość
wynosiłby w granicach 0,55 do 0,60. Prąd dopływający do
odbiornika przy określonej mocy czynnej zależy odwrotnie
proporcjonalnie od wartości współczynnika mocy, stąd
dostarczenie do odbiornika określonej wartości mocy przy
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
określonym napięciu wymaga większego prądu przy
mniejszym cosjð niż przy wiÄ™kszej jego wartoÅ›ci. Ponadto
straty w przewodach łączących zależą odwrotnie
proporcjonalnie od kwadratu współczynnika mocy, stąd jest
jak najbardziej pożądane, aby miał on wartość możliwie
największą, zbliżoną do jedności.
Metody poprawy współczynnika mocy dokonuje się
poprzez zmniejszenie mocy biernej indukcyjnej kosztem
mocy biernej pojemnościowej. Wykorzystuje się do tego
celu zwykle baterię kondensatorów włączoną równolegle z
odbiornikiem bÄ…dz
ich grupą. Jako przykład można
rozpatrzyć kompensację mocy biernej przeprowadzoną dla
silnika elektrycznego o mocy P i współczynniku cosjð1
włączonego do z
ródła napięcia U. Silnik elektryczny można
przedstawić za pomocą schematu zastępczego
równoległego RL. Prąd który pobiera silnik IS jest
opóz
niony wzglÄ™dem napiÄ™cia o kÄ…t fazowy jð1, którego
wartość można wyznaczyć bezpoÅ›rednio z cosjð1. PrÄ…d ten
posiada dwie składowe IR będącą w fazie z prądem IS, oraz
składową IL (składowa bierna) prostopadłą do napięcia
zasilania. Schemat układu zastępczego silnika oraz wykres
wektorowy dla układu nie skompensowanej mocy biernej
przedstawione są poniżej:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
Na podstawie wykresu wektorowego określamy wartość
prÄ…du IR:
IR = IScosjð1
Dołączenie baterii kondensatorów powoduje pojawienie
się w układzie nowego prądu IC, przepływającego przez
gałąz
z pojemnością. Prąd ten wyprzedza napięcie
pð
zasilające o kąt , posiada również przeciwny zwrot do
2
prądu IL. Możliwe jest takie dobranie układu
kondensatorów, aby prąd IC był równy prądowi IL
(kompensacja idealna) lub mniejszy od niego.
W pierwszym ze wspomnianych przypadków oba
prądy posiadają wartości równe:
IC = IL = ISsinjð1
W przypadku tym moc bierna baterii
kondensatorów:
QC = UIC = UISsinjð1
Sytuacji takiej odpowiada pojemność:
Moc w obwodach prÄ…du sinusoidalnie zmiennego
QC
C =
2
wðU
Przy tak dobranej pojemności moc bierna indukcyjna
zostaje w całości skompensowana mocą bierną
pojemnościową i wypadkowy współczynnik mocy równy
jest jedności. Całkowity prąd dopływający do układu (silnik
i bateria) jest równy prądowi IR.
Druga z rozpatrywanych sytuacji opiera siÄ™ na
założeniu, że prąd IC jest mniejszy od IL, co przedstawia
poniższy rysunek:
Na podstawie wykresu wektorowego można zapisać:
P
IC = IRtgjð1 -ð IRtgjð2 = ( tgjð1 -ð tgjð2)
U
Dla prądu obliczonego powyżej moc baterii
kondensatorów:
QC = UIC = P( tgjð1 -ð tgjð2)
Pojemność baterii kondensatorów jest obliczana z
tego samego wzoru, który stosowany był przy
kompensacji idealnej.