Metody Numeryczne, egzamin, zadania przygotowawcze, 2012/13
Zadania podobne do poniższych mogą się pojawić na egzaminie.
1. (a) Omówić metodę Newtona wyznaczania miejsc zerowych funkcji f(x). Podać
założenia o funkcji f i o punkcie startowym zapewniające zbieżność do pier-
wiastka ciągu przybliżeń xk (k = 0, 1, . . . ) generowanego za pomocą tej metody.
Jakie można stosować kryteria zakończenia obliczeń? (Podać jedno kryterium.)
(b) Czy założenia te są spełnione, gdy f(x) = -x2+x+2 i punkt startowy x0 = -2.
Wyznaczyć pierwsze przybliżenie x1. Obliczenia zilustrować graficznie.
2. (a) Omówić metodę siecznych wyznaczania miejsc zerowych funkcji f(x). Podać
założenia o funkcji f i o punktach startowych zapewniające zbieżność do pier-
wiastka ciągu przybliżeń xk (k = 1, 2, . . . ) generowanego za pomocą tej metody.
Jakie można stosować kryteria zakończenia obliczeń? (Podać jedno kryterium.)
(b) Czy założenia te są spełnione, gdy f(x) = -x2 + x + 2 i punkt startowy x0 =
-2, x1 = -1.5. Wyznaczyć pierwsze przybliżenie x2. Obliczenia zilustrować
graficznie.
3. Podać definicję wykładnika zbieżności metody iteracyjnej wyznaczania miejsc zero-
wych funkcji. Załóżmy, że mamy dwie metody A i B, o wykładnikach odpowiednio
2 i 3. Która z tych metod jest szybciej zbieżna? Czy dla każdej funkcji? Odpowiedz

uzasadnić.
4. Omówić metodę bisekcji wyznaczania miejsc zerowych funkcji f(x). Podać założenia
o funkcji f i o przedziale startowym zapewniające zbieżność metody. Jakie można
stosować kryteria zakończenia obliczeń?
5. Wyznacz wielomian p3(x), stopnia nie wyższego niż 3, spełniający warunki
p3(-2) = 9, p3(-1) = 10, p3(1) = 6, p3(2) = 11.
Wykonaj obliczenia dwukrotnie, stosując:
" wzór interpolacyjny Lagrange a,
" schemat ilorazów różnicowych Newtona.
6. Wyznacz wielomian p4(x), stopnia nie wyższego niż 4, spełniający warunki
p4(-2) = 9, p4(-1) = 10, p4(1) = 6, p4(2) = 11, p4(3) = 6.
Czy można wykorzystać obliczenia z poprzedniego zadania?
7. Niech będą dane węzły xi = i - 1, i = 0, 1, 2, i wartości funkcji f0 = 1, f1 = 0 i
f2 = 1. Znalez
ć wielomian interpolacyjny w postaci Lagrange a dla funkcji f.
8. Dla funkcji f(x) = x4 znalez
ć wielomian interpolacyjny p3(x) w postaci Newtona
taki, że p3(k) = f(k), k = 0, 1, 2, 3. Wykaż, że w przedziale [0, 3] błąd interpolacji
nie przekracza 3/2.
1
9. Danych jest n + 1 różnych punktów x0, x1, . . . , xn oraz wartości pewnej funkcji f(x)
w tych punktach f0 = f(x0), f1 = f(x1), . . . , fn = f(xn). Rozważamy interpolację
funkcji f(x) wielomianem.
(a) Omówić zadanie interpolacji Lagrange a (sformułować zadanie, omówić pro-
blem rozwiązywalności).
(b) Zdefiniować ilorazy różnicowe 1-go rzędu. Podać postać Lagrange a i postać
Newtona wielomianu interpolacyjnego dla 2 węzłów.
10. Danych jest n + 1 punktów x0, x1, . . . , xn (x0 < x1 < ... < xn) oraz wartości pewnej
funkcji f(x) w tych punktach f0 = f(x0), f1 = f(x1), . . . , fn = f(xn). Punkty xi
(i = 0, 1, . . . , n) są węzłami funkcji sklejanej.
(a) Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Od ilu parametrów zależy
taka funkcja?
(b) Narysować wszystkie funkcje bazowe Śi różne od zera w punkcie x5. Ile jest
takich funkcji?
11. Danych jest n + 1 różnych punktów x0, x1, . . . , xn oraz wartości pewnej funkcji f(x)
w tych punktach f0 = f(x0), f1 = f(x1), . . . , fn = f(xn). Rozważamy aproksymację
średniokwadratową dyskretną funkcji f(x).
(a) Sformułować zadanie aproksymacji wielomianowej.
(b) Wyznaczyć wielomian optymalny postaci f"(x) = ax3.
12. Rozważamy zagadnienie przybliżonego obliczania całki

b
f(x)dx.
a
(a) Omówić kwadratury: prosty wzór trapezów i złożony wzór trapezów (przy
podziale [a, b] na n podprzedziałów o tej samej długości).
(b) Za pomocą złożonego wzoru trapezów, przyjmując podział przedziału całko-
wania na dwa podprzedziały, wyznaczyć przybliżoną wartość całki

1
x2dx
-1
oraz błąd kwadratury. Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad (a). Prosty i złożony wzór, interpretacja geometryczna, błąd E(f) dla wzoru
złożonego, rząd kwadratury.
13. Pokazać, że wzór

2
" "

f(x)dx H" 2 f(-2/ 3) + f(2/ 3)
-2
jest dokładny dla każdego wielomianu stopnia drugiego. Czy jest on dokładny rów-
nież dla wielomianów stopnia trzeciego? Ile wynosi rząd tej kwadratury?
2
14. Stosując kwadraturę


3
1
f(x)dx H" f(2) + 3f(7/3) + 3f(8/3) + f(3)
8
2
obliczyć całkę

3
"
2x x2 + 4dx.
2
Podać wartość błędu kwadratury (w tym celu należy obliczyć całkę analitycznie).
15. Niech
y2 = y - 4x2 + 8x + 1, y(-1) = 3.
Stosując dyskretyzację z krokiem 1/2, wykonaj dwa kroki metodą Eulera wyzna-
czając przybliżone wartości funkcji y. Następnie (dla tego samego zagadnienia)
wykonaj dwa kroki metodą punktu środkowego. Przyjmując, że dokładne rozwią-
zanie podanego zagadnienia to y = 4x2 - 1, wyznacz błąd globalny obu metod w
drugim kroku.
Jaki jest rząd metody Eulera i co to oznacza?
16. Zakładamy, że zagadnienie początkowe
y2 = f(x, y), y(x0) = y0, (")
ma jednoznaczne rozwiązanie na [x0, b].
(a) Omówić jawną i niejawną metodę Eulera rozwiązywania zagadnienia (").
(b) Dla zagadnienia początkowego
y2 = x - 3y + 1, y(1) = 1
za pomocą jawnej i niejawnej metody Eulera obliczyć w
1 oraz w
2, gdy h = 1.
Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad (a.) Przybliżone rozwiązanie wyznaczamy w punktach równoodległych xi =
x0 + ih (i = 1, 2, . . . , n), gdzie h = (b - x0)/n jest krokiem całkowania; należy
podać wzory, omówić iteracyjne rozwiązywanie wzorów niejawnych.
17. (a) Ocenić w przybliżeniu błąd bezwzględny i błąd względny, jaki popełniamy,
obliczając wartość funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y), jeżeli przyjęte do
obliczeń x i y są niedokładne, przy czym oszacowania "x i "y są niewielkie.
(b) Podać oceny przybliżone błędów, oraz wskaz
niki uwarunkowania, gdy f(x, y) =
x2 + y2.
Ad a. Wyprowadzić oceny przybliżone "x i "y. Podać wskaz
niki uwarun-
kowania obliczania wartości f względem każdej zmiennej i wyjaśnić, o czym
świadczy wielkość wskaz
nika uwarunkowania.
3