Wytrzymało�ść materiałów Wykład 21

WYTRZYMAAOŚĆ MATERIAAÓW WYKAAD 21
21.1 Wytrzymałość złożona
21.1.1 Naprężenia
Rys.21.1 Przypadek zginania prostego
Rys.21.2 Przypadek zginania ukośnego
Składowe momentu zginającego M
M =M cos�
y
M =M sin� (21.1)
z
Naprężenia normalne spowodowane przez składowe momenty zginające
M z
y
�a"�x= (21.2)
J
y
M y
z
�a"�x=- (21.3)
J
z
Rys.21.3 Składowe momenty zginające
Naprężenie wywołane łącznym działaniem składowych
M z
M y
y
z
�= - (21.4)
J J
y z
Z założenia płaskich przekrojów i prawa
Hookea wynika
�=Cr
Elementarna siła działająca na pole dA
�dA=CrdA
Suma momentów sił względem osi
obojętnej
ob
+"�rdA=C+"r2dA=CJ
A A
Suma ta musi równoważyć moment
CJob=Mob
Mob
Stąd C=
Job
Ostatecznie będzie
Mobr
Rys.21.4 Naprężenia normalne przy zginaniu ukośnym �= (21.5)
Job
Gdy położenie osi głównych nie jest znane (uciążliwe jest określenie wielkości Mob i Job) naprężenia można określić z
zależności ogólnych (założenie płaskich przekrojów):
� = a + b� + cś (21.6)
Warunki równowagi układu na rys. 21.4b:
N= M�= Mś =
+"�dA=0, +"�śdA, +"��dA (21.7)
A
A A
Po podstawieniu do powyższych zależności (21.6) otrzymuje się
M� J�ś+Mś J� -M� Jś-Mś J�ś
a=0 ; b= ; c=
2 2
J�ś-J� Jś J�ś-J� Jś
Ostateczny wzór określający naprężenia normalne
M�(J�ś�-Jśś)-Mś(J�śś-J��) (21.8)
�=
2
J�ś -J� Jś
Położenie osi obojętnej określa zależność
M zo M z yo
y
- =0 (21.9)
J J
y z
Po podstawieniu składowych momentu będzie
zo cos� yo sin�
- =0 (21.10)
J J
y z
yo J
z
Skąd tangens nachlenia osi tg�= = ctg� (21.11)
zo J
y
Rys.21.5 Położenie osi obojętnej
Rys.21.6 Punkty ekstremalnych naprężeń normalnych
Oś obojętna w przypadku zginania ukośnego:
- przechodzi przez środek ciężkości przekroju,
- przebiega przez te same ćwiartki układu współrzędnych, co prosta, na której leży wektor M
Maksymalne naprężenia normalne dla przekrojów bisymetrycznych mozna obliczać ze wzoru
�ł �ł
M
M
y
z
�ł
�extr = ą�ł + (21.12)
�ł
Wy Wz �ł
�ł łł
Gdzie
J
J
y
z
Wy = , Wz = (21.13)
h b
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
2 2
�ł łł �ł łł
Wypadkowe naprężenie styczne
2 2
�= �xy +�xz (21.14)
Naprężenia składowe
)
TySz
�xya"�y= (21.15)
J by
z
)
TzS
y
�xza"�z= (21.16)
J bz
y
Rys. 21.7 Składowe naprężeń stycznych
21.1.2 Przemieszczenia
Ugięcia pręta ukośnie zginanego oblicza się z zasady superpozycji:
- przemieszczenie w płaszczyznie xy
EJ�''= +M (21.17)
z z
- przemieszczenie w płaszczyznie xz
EJ w''=-M (21.18)
z y
Przemieszczenie wypadkowe
�= �2 + w2 (21.19)
Kierunek tego przemieszczenia jest ogólnie w każdym przekroju inny, tak iż oś odkształcona jest krzywą
przestrzenną.
Rys. 21.8 Przypadek płaskiej osi odkształconej pręta zginanego ukośnie
Jeśli wszystkie siły wraz reakcjami leżą w jednej płaszczyznie, zwaną płaszczyzną sił, oś odkształcona jest krzywą
płaską. Zachodzi to wówczas gdy siły P spełniają warunek
Py
=tg� (21.20)
Pz
Przy jednakowych warunkach brzegowych będzie
Py
M
z
= (21.21)
M Pz
y
� �''
= (21.22)
w w''
Po podstawieniu (21.17), (21.18) i (21.20) będzie
J
�'' M
y
z
=- (21.23)
w'' M J
y z
J
�
y
- = tg� (21.24)
w J
z
�
Czyli oś odkształcona jest krzywą płaską bowiem = const
w
Na podstawie (21.11) można napisać
J
y
ctg�= tg� (21.25)
J
z
Czyli
�
- =ctg� (21.26)
w
Zależność ta oznacza, że płaszczyzna zginania jest prostopadła do osi obojętnej a oś odkształcona leży w
płaszczyznie zginania.
Przykład
Obliczyć największe odkształcenia belki zginanej w dwóch płaszczyznach
Składowe przemieszczeń v (w kierunku osi y) i w (w kerunku osi z)
�ł
(l - x)3 łł
M l(l - x)-
�ł śł
2
l
�ł śł
�ł �ł
�=
6EJ
z
�ł
x3 �ł
�ł
M1�łlx -
�ł �ł
l
�ł łł
w =
6EJ
y
Przemieszczenie wypadkowe �= �2 + w2 .
d�
Maksymalna wartość przemieszczenia z zależności =0
dx
�ł
d� 1 d�2 dw2 �ł 1 d� dw
�ł2� + 2w �ł
�ł �ł
= + = = 0
�ł �ł
dx dx
łł
2 �2 + w2 �ł dx dx �ł 2 �2 + w2 �ł dx
�ł łł
Rys.21.9 Schemat belki
M2 J x
y
Wprowadzając oznaczenia =ą, =� otrzymuje się równanie
M1 J l
z
2 2 3 2
ą(4-14�+12� -3�)+(1+�)(1-3�)=0
Przybliżona wartość pierwiastka 0,42d"�md"0,58

Wyszukiwarka