LISTA 7 - Zwyczajne r wnania r żniczkowe I-go rzedu.
Zadanie 1 Sprawdzi´ czy podane funkcje sa rozwiazaniami (ca kami) wska-
c,
zanych r wnań na zadanych przedzia ach:
1
a) y(t) = , y + 2ty2 = 0, ,
1+t2
b) y(t) = ln t, y = e-y, (0, "),
c) et = 1 - e-y, e-y (1 + y ) = 1, (-", 0),
d) y sin y + cos y - t cos t + sin t = 1, y y cos y + t sin t = 0, .
Zadanie 2 Rozwiaza´ r wnania r żniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
c
a) y sin x = y cos x, b) y = 2xy2 - x2y ,
c) 2x2y = y, d) x2y + y - 1 = 0,
tgy
e) y2y = 1 - 2x, f) y = ,
x2
2x2
g) y = cos2 y, h) y = ,
y
i) (x2 + 1) y = y + 1, j) y sin x sin y = cos x cos y.
Zadanie 3 Rozwiaza´ r wnania r żniczkowe jednorodne wzgledem x i y:
c
a) y2 + x2y = xyy , b) xy = y (1 + ln y - ln x),
x x
y y
c) xye + y2 - x2e y = 0, d) x2y = x2 + xy + y2,
e) y2 + x2 = 2xyy , f) x + y + xy = 0,
g) (x2 + 2xy) y = y2, h) (x + y) y + y = 0.
Zadanie 4 Rozwiaza´ r wnania r żniczkowe liniowe metoda uzmienniania
c
sta ej:
1
a) y - ytgx = 2 cos2 x, b) xy = xe- x
+ 2y,
2
c) y + ytgx = sin 2x, d) y + 2xy = xe-x ,
e) xy - y = 2x3, f) y sin x + y cos x = sin 2x,
1
g) y cos x + 2y sin x = 2 sin x, h) (1 - x2) y + xy = 1,
i) (1 + x2) y + y = arctgx.
Zadanie 5 Rozwiaza´ r wnania liniowe metode czynnika ca kujacego:
c
a) y + y = e-x, b) y - 2xy = x - x3,
c) y - 3y = e3x, d) y + y = cos x.
Zadanie 6 Rozwiaza´ r wnania r żniczkowe Bernoulliego:
c
"
a) y + y + y2 sin x = 0, b) y + y + x y = 0,
"
xy
c) x2y2y + xy3 = 1, d) y + = x y,
1-x2
e) 2xyy + x = y2, f) 2yy = x + y2,
3y
g) y - + x3y2 = 0, h) y + xy = xy3.
x
Zadanie 7 Rozwiaza´ r wnania r żniczkowe zupe ne:
c
2
y y
a) (2y - 3) dx + (2x + 3y2) dy = 0, b) 2 - + 2xy = 0,
x
2x 1 3x2
c) 2xy + (y2 + x2) y = 0, d) + - y = 0.
y3 y2 y4
Bibliografia
[1] M. Gewert, Z. Skoczylas, R wnania r żniczkowe zwyczajne. Teoria,
przyklady, zadania, Oficyna Wydawnicza GIS, Wroclaw, 2005.
[2] G.I. Zaporożec, Metody rozwiazywania zadań z analizy matematycznej,
WNT, Warszawa, 1974.
[3] W. Krysicki, L. Wlodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cześć
II, PWN, Warszawa, 2000.
[4] M. Matloka, Matematyka dla ekonomist w, Wydawnictwo Akademii
Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, 2003.
[5] M. Lassak, Matematyka dla studi w technicznych, Supremum, Warsza-
wa, 2000.
2