Zasada de Saint  Venanta  układy równoważne
Zasada superpozycji
Przykład
Pręt utwierdzony o stałym polu przekroju poprzecznego A i module Younga E
a a
2a
= +
P P
a a
1 2 1 2
P
P
s� =� s� +�s� e� =� e� +�e�
Pa 2Pa 3Pa
D�l =� +� =�
EA EA EA
Przykład obliczeń
Pa P2a
wydłużenie
D�l1 =� ; D�l2 =�
EA EA
D�l =� D�l1 +� D�l2
Czyste ścinanie
t� g�
g�
t�
t�
t�
g� - kąt odkształcenia postaciowego
t� - naprężenie styczne
Prawo Hooke a dla ścinania
(MPa)
t�
g� =�
G
(MPa)
(rad)
Stała sprężysta G  moduł odkształcenia postaciowego (moduł Kirchhoffa)
Stała sprężysta E  moduł Younga
E
G =�
2(1+� )
Stała sprężysta  liczba Poissona
Dla stali G=8�104 MPa
Uogólnione prawo Hooke a
s�z
z
s�x
Dane s�x, s�y, s�z,
Znane E,
s�y s�y e�x=?
e�y=?
s�x
y
e�z=?
x
s�z
s�z
z z
z
s�x
+
+
s�y s�y
s�x
y
y y
x x
x
s�z
 I
 II
 III
z
s�x
Zgodnie z prawem Hooke a
 I
dla jednokierunkowego rozciągania
s�
s�
y
x
e�" I" =�
e�" II" =�
s�x
x
y
E
E
y
s�
z
x
e�" III" =�
z
E
z
 II
Odkształcenia w kierunkach poprzecznych do
s�y s�y
kierunku rozciągania
y
Dla stanu  I
s�
x x
e�" I" =� e�" I" =� -�e�" I" =� -�
y z x
E
s�z
Dla stanu  II
z
s�
y
e�" II" =� e�" II" =� -�e�" II" =� -�
x z y
E
 III
y Dla stanu  III
s�
z
e�" III" =� e�" III" =� -�e�" III" =� -�
x x y z
E
s�z
Zgodnie z zasadą superpozycji
e� =� e�" I" +� e�" II" +� e�" III"
W takim razie
s�
s� s�
y
x z
e�x =� -� -�
E E E
s�
s� s�
y
z x
Uogólnione prawo Hooke a
e� =� -� -�
y
E E E
s�
s� s�
y
z x
e�z =� -� -�
E E E
Względna zmiana objętości sześcianu o boku równym 1
(1+� e�x )(1+� e� )(1+� e�z ) -� 1
D�V
y
=� =�
V 1
=� 1+� e�x +� e� +� e�z +� e�xe� +� e�xe�z +� e� e�z +� e�xe� e�z -� 1
y y y y
Po pominięciu wielkości małych drugiego i trzeciego rzędu
D�V
@� e�x +� e� +� e�z
y
V
D�V 1-� 2
@� (s� +�s� +�s� )
x y z
V E
D�V
ł� 0 Ł� 0,5
V
Przykład
Sześcian o boku a wstawiono (bez luzu i bez wcisku) do nieodkształcalnego rowka
o szerokości a i następnie ogrzano o "T. Obliczyć względną zmianę objętości sześcianu,
jeśli znane są E, , a� - współczynnik rozszerzalności liniowej.
z
"T
y
z
x
y
y
x
z
Odkształcenia termiczne
t t t
R
R
a ��e�x =� a ��e� =� a ��e�z =� a ��a�D�T
y
y
D�ay =� 0
y -� R
s� =� ; s� =� s� =� 0
y x z
R a2
R
s�
-� R
y
mech
e� =� =� ;
y
x
E
a2E
s�
R
y
mech mech
e�x =� e�z =� -� =� ;
E
a2E
mech t
D�ay =� 0 =� a ��e� +� a ��e� �� s� =� -�Ea�D�T
y y y
D�V
=� 2(1+� )a�D�T
V