Logika Matematyczna

LOGIKA MATEMATYCZNA
1. ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM.
" Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyra\enie oznajmujące, o którym mo\na
powiedzieć, \e jest prawdziwe albo fałszywe.
" Zdania oznaczamy małymi literkami alfabetu, najczęściej są to literki: p, q, r itd.
" Jeśli zdanie jest prawdziwe, to mówimy, \e przyjmuje wartość logiczną 1
Jeśli zdanie jest fałszywe, to mówimy, \e przyjmuje wartość logiczną 0
Na przykład:
Określ wartość logiczną podanych zdań:
1. 5 jest liczbą pierwszą.
2. Są cztery pory roku.
3. 13 < 5 .
Ad.1. Prawda, 5 jest liczbą pierwszą zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną 1 .
Ad.2. Prawda, są 4 pory roku zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną 1 .
Ad.3. Fałsz 13 jest większe od 5 zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną 0 .
" Zauwa\cie, \e zdania zapisuje się równie\ w postaci symbolicznej (patrz pkt.3),
w dalszej części będę u\ywała przewa\nie takiego zapisu.
2. ZAPRZECZENIE ZDAC.
Jeśli mamy dane zdanie w sensie logicznym, to zdanie to mo\e być albo prawdziwe albo
fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1 , zdanie fałszywe 0 . Zaprzeczeniem
zdania prawdziwego jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem zdania fałszywego jest zdanie
prawdziwe, zatem:
p
~ p
1 0
0 1
3. KONIUNKCJA, ALTERNATYWA, IMPLIKACJA,
RÓWNOWAśNOŚĆ ZDAC.
" Koniunkcja zdań, to dwa zdania połączone spójnikiem i .
Na przykład:
Niech zdanie p brzmi: 2 jest liczbą parzystą , z zdanie q brzmi 3 jest mniejsze od
5 . Wówczas tworząc koniunkcję zdań p oraz q otrzymamy zdanie: 2 jest liczbą
pierwszą i 3 jest mniejsze od 5 .
Koniunkcję oznaczamy symbolem "'"" , zatem zapisując koniunkcję zdań p i q
musimy napisać p '" q .Koniunkcja jest prawdziwa tylko jeden raz, w przypadku
gdy oba zdania koniunkcji są prawdziwe, w pozostałych 3 przypadkach koniunkcja
jest fałszywa. Przedstawia to poni\sza tabela:
p q p '" q
Zauwa\cie, \e tylko w pierwszym przypadku w kolumnie trzeciej
1 1 1
mamy wartość logiczną 1 w pozostałych jest wartość logiczna 0.
1 0 0
0 1 0
Aatwo to zapamiętać poniewa\ spójnik i w koniunkcji jest
0 0 0
odpowiednikiem iloczynu na liczbach i rzeczywiście tylko 1�"1 = 1
" Alternatywa zdań to dwa zdania połączone spójnikiem lub .
Niech zdanie p brzmi: 2 jest liczbą parzystą , z zdanie q brzmi 3 jest mniejsze od
5 . Wówczas tworząc alternatywę zdań p oraz q otrzymamy zdanie: 2 jest liczbą
pierwszą lub 3 jest mniejsze od 5 .
Alternatywę oznaczamy symbolem "("" , zatem zapisując alternatywę zdań p oraz q
musimy napisać p (" q .Alternatywa jest prawdziwa 3 razy, w przypadku gdy oba
zdania alternatywy są prawdziwe oraz gdy jedno z nich jest prawdziwe a drugie zdanie
p q p (" q
jest fałszywe i na odwrót. Przedstawia to poni\sza tabela:
Widać wyraznie, \e alternatywa jest prawdziwa 3 razy, a tylko
1 1 1
raz fałszywa. śeby łatwo to zapamiętać wystarczy wiedzieć, \e
1 0 1
odpowiednikiem alternatywy w logice matematycznej jest
0 1 1
działanie dodawania na liczbach i tak 0+1=1, 1+0=1 oraz
0 0 0
1+1=2 ale pamiętamy o tym, \e w logice matematycznej są tylko dwie wartości
logiczna 1 oraz 0 dlatego mo\emy uznać, \e w alternatywie 1+1=1.
" Implikacja zdań, inaczej wynikanie to zdanie postaci: Je\eli p , to q .
Implikację oznaczamy symbolem "�!" . Tworząc implikację zdań p oraz q
otrzymamy zdanie: p �! q . Zdanie p nazywamy w implikacji poprzednikiem, zdanie
q nazywamy następnikiem implikacji.
Implikacja jest prawdziwa 3 razy, w przypadku gdy oba zdania implikacji są
prawdziwe oraz gdy pierwsze zdanie jest fałszywe, a drugie zdanie prawdziwe oraz
gdy oba zdania są fałszywe. Aatwo zapamiętać implikację, wystarczy bowiem
pamiętać: Z prawdy nie mo\e wynikać fałsz, tzn. z 1 nie mo\e wynikać 0
Przedstawia to poni\sza tabela:
p q p �! q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
" Równowa\ność zdań to zdanie postaci: p wtedy i tylko wtedy, gdy q .
Równowa\ność oznaczamy symbolem "�!" . Tworząc równowa\ność zdań p oraz
q otrzymamy zdanie: p �! q . Równowa\ność jest prawdziwa 2 razy, w przypadku
gdy po obu stronach symbolu równowa\ności jest ta sama wartość logiczna.
Przedstawia to poni\sza tabela:
p q p �! q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4. PRZYKAADOWE ZADANIA.
1. Oceń wartość logiczna podanych zdań i utwórz ich zaprzeczenia:
a) 2 e" 1 '" 3 d" 3, b) Ą > 3 �! 2 > 2 , c) ~(4 > 7)
d) 2 = 12 (" 4 > 8, e) 2 > 3 �! 2Ą =1, f) ~(4 `" 8).
2. Załó\my, \e podane zdania są prawdziwe:
p: Ala ma kota, q: Trójkąt ma trzy boki, r: Ka\dy wielokąt jest wypukły.
Zapisz za pomocą liter p, q, r oraz odpowiednich symboli podane zdanie oraz oceń jego
wartość logiczną:
a) Jeśli trójkąt ma trzy boki, to Ala ma kota i nie ka\dy wielokąt jest wypukły.
b) Ka\dy wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy Ala ma kota.
c) Jeśli Ala ma kota, to nie ka\dy wielokąt jest wypukły.
d) Ka\dy wielokąt jest wypukły i ka\dy trójkąt ma trzy boki wtedy i tylko wtedy gdy Ala
ma kota.
3. Udowodnij metodą zero-jedynkową następujące prawa logiczne:
a) (p �! q)�! (~ q �!~ p),
b) ~ (p �! q)�! (p'" ~ q),
c) ~ (p '" q) �! (~ p(" ~ q)

Wyszukiwarka