2008-11-19
Mechanika i Wytrzymałość
Materiałów
Wykład 2
1
2008-11-19
Równowaga cięgien
" Wielobok sznurowy
R =ð R1 +ð P3 =ð P1 +ð P2 +ð P3
2
2008-11-19
Równowaga cięgien
" Wielobok sznurowy  układ dowolny
A
S0,1 +ð S3,4 =ð P1 +ð P2 +ð P3 =ð R
3
2008-11-19
Równowaga cięgien
S0,1 +ð S5,6 =ð P1 +ð P2 +ð P3 +ð P4 +ð P5 =ð R
4
2008-11-19
Równowaga cięgien
" Wniosek 1
Wypadkowa płaskiego układu sił równa jest, w przyjętej
skali sił, bokowi zamykającemu wielobok sił i przyłożona
jest w punkcie przecięcia się skrajnych boków wieloboku
sznurowego.
" Wniosek 2
Jeśli dla płaskiego układu sił wielobok sił jest nie zamknięty,
to układ można sprowadzić do wypadkowej.
5
2008-11-19
Równowaga cięgien
6
2008-11-19
Równowaga cięgien
" Wniosek 3
Jeśli dla płaskiego układu sił, wielobok sił jest zamknięty,
natomiast wielobok sznurowy nie jest zamknięty, to układ
sprowadza się do pary sił.
7
2008-11-19
Równowaga cięgien
8
2008-11-19
Równowaga cięgien
" Wniosek 4
Jeśli dla płaskiego układu sił, zarówno wielobok sił, jak
i wielobok sznurowy są zamknięte, to układ ten jest
równoważny zeru  siły znajdują się w równowadze.
9
2008-11-19
Układ sił w równowadze
" Zadanie 1. Wyznacz reakcję podpór.
10
2008-11-19
Układ sił w równowadze
" Zadanie 2. Wyznacz reakcję podpór.
Dane:
P1 =ð 1.8kN, P2 =ð 1.2kN
Wynik:
RA =ð RB =ð 1.095kN, RC =ð 1.1kN
11
2008-11-19
Kratownice
" Kratownice płaskie
Układ posiadający niezmienną postać geometryczną, złożoną z prętów,
których końce połączone są idealnymi przegubami i które przenoszą
jedynie siły osiowe nazywamy kratownicą.
12
2008-11-19
Kratownice
Kratownicami płaskimi albo kratownicami pierwszego rodzaju
nazywamy ustroje płaskie składające się z prętów, których osie
przecinają się tylko w węzłach i tworzą kolejno przylegające do siebie
trójkąty.
13
2008-11-19
Kratownice
" Kratownice płaskie
Kratownicę nazywamy statycznie wyznaczalną, jeśli dla każdego
układu sił zewnętrznych równoważnego zeru równania statyki
pozwalają na jednoczesne określenie sił w poszczególnych prętach.
14
2008-11-19
Kratownice
" Twierdzenie - warunek sztywności
Jeśli przez p oznaczymy liczbę
prętów kratownicy, a przez w liczbę
jej węzłów, to kratownica będzie
sztywna jako całość i statycznie
wyznaczalna, gdy będzie spełnione
równanie:
15
2008-11-19
Kratownice
" Równowaga prętów kratownicy
16
2008-11-19
Kratownice
" RozwiÄ…zanie analityczne
Wyznaczam reakcje:
RB -ð HC =ð 0, VC -ð P =ð 0, HCa -ð 2Pa =ð 0
RB =ð HC =ð 2P, VC =ð P
17
2008-11-19
Kratownice
" RozwiÄ…zanie analityczne
Sumując rzuty sił w A na poszczególne osie otrzymujemy:
S1 =ð 2P, S2 =ð -ðP
18
2008-11-19
Kratownice
" RozwiÄ…zanie analityczne
Analogicznie rzuty sił w E wynoszą:
åðP =ðS2 -ð S4 =ð 0, åðP =ðS3 =ð 0
ix iy
S4 =ð -ðP, S3 =ð 0
19
2008-11-19
Kratownice
" RozwiÄ…zanie analityczne
Rzuty sił w D wynoszą:
-ð -ð
åðP =ðS1 cos45oð S5 cos45oð S6 =ð 0,
ix
-ð =ð
åðP =ð -ð S5 cos45oð S1 cos45oð 0
iy
S5 =ð -ðP 2, S6 =ð 2P
20
2008-11-19
Kratownice
" RozwiÄ…zanie analityczne
Rzuty sił w C wynoszą:
=ðS6 -ð HC =ð 0,
åðPix
åðP =ðVC -ð S7 =ð 0
iy
S7 =ð P
21
2008-11-19
Kratownice
" Rozwiązanie wykreślne - plan sił Cremony
22
2008-11-19
Kratownice
" Wyznaczenie reakcji
Dla płaskiego zbieżnego układu sił
w punkcie O:
23
2008-11-19
Kratownice
" Wyznaczenie sił w prętach
24
2008-11-19
Kratownice
" Wyznaczenie sił w prętach
25
2008-11-19
Kratownice
" Wyznaczenie sił w prętach
26
2008-11-19
Kratownice
" Wyznaczenie sił w prętach
27
2008-11-19
Kratownice
28
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Określić, które pręty kratownicy służącej do podwieszenia rur
instalacji są rozciągane, a które ściskane.
" Określić siły występujące w prętach kratownicy, jeśli całkowity
ciężar rur wynosi 3.8 [kN/m].
29
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Całkowite obciążenie na jedną kratownicę:
Pr =ð 5[m] ×ð 3.8[kN / m] =ð 19[kN ]
" Obciążenie jednego węzła
Pw =ð Pr / 2 =ð 19 / 2 =ð 9.5[kN]
" Uwzględniając ciężar kratownicy przyjmiemy ostatecznie obciążenie
w węz
le
P =ð 10[kN]
30
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Schemat statyczny kratownicy
1.2[m] 1.5[m]
A C
1.0[m]
B D
E
P
P
31
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Warunek statycznej (wewnętrznej) wyznaczalności:
p =ð 2w -ð 3
A C
w =ð 5 - liczba wÄ™złów
p =ð 6 +ð 1 =ð 7
B D
E
7 =ð 2 ×ð 5 -ð 3
P
P
L =ð P
32
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Wyznaczenie reakcji
1.2[m] 1.5[m]
A C
RA
åðP =ð0 RA ð39 kN
ix
åðP =ð0 RBy =ð20 kN
iy
1.0[m]
=ð0 RBx =ðRA ð39 kN
åðMB
RBx
B D
E
RBy
P
P
33
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Warunek równowagi węzła E
Pix =ð 0 -ð FED -ð FEC cos að =ð 0
åð
Piy =ð 0 -ð P +ð FEC sin að =ð 0
åð
FEC
y
P 10 ×ð 3.25
FEC =ð =ð =ð 18[kN]
x
Ä…
sin að 1
FED
E
- pręt rozciągany
P=10[kN]
18 ×ð 1.5
FED =ð -ðFEC cos að =ð -ð =ð -ð15[kN]
3.25
- pręt ściskany
34
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Warunek równowagi węzła D
Pix =ð 0 FDE -ð FDB =ð 0
åð
Piy =ð 0 -ð P +ð FDC =ð 0
åð
FDC
FDB =ð FDB =ð -ð15[kN]
- pręt ściskany
FDB
FCD =ð P =ð 10[kN]
D FDE = -15[kN]
- pręt rozciągany
P=10[kN]
35
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" Warunek równowagi węzła C
åðP =ð 0 -ðFCA -ð FCB cosbð +ð FCE cos að =ð 0
ix
åðP =ð 0 FCB sinbð +ð FCD +ð FCE sin að =ð 0
iy
FCA C
1.2 1.5
FCA +ð FCB =ð 18 ×ð
2.44 3.25
² Ä…
1 1
FCB +ð 10 +ð 18 ×ð =ð 0
FCB
2.44 3.25
FCE = 18 [kN]
FCB =ð -ð31.2[kN ]
FCD = 10[kN]
- pręt ściskany
FCA =ð 38.9[kN]
- pręt rozciągany
36
2008-11-19
Przykłady prostych konstrukcji i ich obliczanie
" RozwiÄ…zanie
39.0
A
RA=39
18.0
31.2
10.0
15.0
15.0
RBx=39
E
D
B
RBy=20
P=10kN
P=10kN
37