ANALIZA MATEMATYCZNA
Lista 2
x -1
1.Funkcja f(x) określona jest wzorem: f (x) = . Wyznaczyć f(2x), 2f(x), f(x2), [f(x)]2.
x +1
2. Funkcja f określona jest wzorem:
Å„Å‚
2x3 + 1, x d" 2
ôÅ‚
f (x) = 1 / (x - 2),2 < x d" 3 .
òÅ‚
ôÅ‚
2x - 5, x > 3
ół
5
Obliczyć f ( 2), f ( 8), f (2 ).
3. Wyznaczyć dziedziny naturalne i zbiory wartości funkcji
1
a) f (x) = x -1 + 6 - x,b) f (x) = ,c) f (x) = log3(1+ x ).
x2 - x - 2
4.Czy funkcja f (x) = x2 -1ma funkcjÄ™ odwrotnÄ… na R; czy ma odwrotnÄ… na zbiorze (-",0]?
5. Wyznaczyć funkcje odwrotne do podanych:
x + 1
3
a) f (x) = x3 - 3x2 + 3x + 27,b) f (x) = x2 + 1, x e" 0, c) f (x) = .
x -1
6. Określić, jeśli to mo\
liwe, f (g(x)), g( f (x)), f ( f (x)), g(g(x)) dla następujących funkcji:
a) f (x) = 2x , g(x) = cos x , b) f (x) = x, g(x) = sin x .
7.Mając dany wykres funkcji f(x) sporządzić wykres funkcji : f(x+c) , cf(x), f(x)+c, -f(x),
f(-x), f (x) , f ( x ) dla a) f (x) = x3 - x, x "[-1,1], b) f (x) = x .
8.Podać wzór funkcji liniowej, której wykres:
a) przechodzi przez punkty A(2,1), B(1,-1),
Ä„
b) przechodzi przez punkt A(1,0) i tworzy z osiÄ… Ox kÄ…t ,
6
5Ä„
c) przechodzi przez punkt A(1,0) i tworzy z osiÄ… Ox kÄ…t .
6
9. Narysować wykresy funkcji: a) f (x) = x - 2 + x + 2 , b) f (x) = x2 - 6x + 9 + x .
10. Wykorzystując wykres funkcji f (x) = 3x sporządzić wykresy funkcji f (x) = 2 - 3x ,
x
f (x) = 2 - 3 , f (x) = 2 - 3x .
11. Wykorzystując wykresy funkcji f (x) = log x sporządzić wykresy funkcji:
1
2
f (x) = log (x - 3) , f (x) = log1 (x - 3) - 2 ; f (x) = log1 x - 3 .
1
2 2 2
12. Znalez
ć okresy funkcji i naszkicować ich wykresy:
x
a) f (x) = 5sin 4x, b) f (x) = 3cos , c) f (x) = tg2x, d) f (x) = cos x
2
13. Rozwiązać graficznie równania i nierówności trygonometryczne:
Ä„ 1 3 Ä„ 1 Ä„
a)sin(x + ) = , b) ctg2x = - , c) cos(3x - ) e" - , d) 1 d" tg(x - ) d" 3 .
4 2 3 2 2 3
14. Dla funkcji okresowej f (x) = Asin(Öx + Ć) , staÅ‚Ä… A nazywamy amplitudÄ… , É 
częstotliwością, a Ć - fazą początkową. Wyznaczyć te trzy stałe oraz narysować
wykresy funkcji:
Ä„ x x
a) f (x) = 4sin(3x + ) , b) f (x) = 3 sin 2x - cos 2x , c) f (x) = 2sin + 2cos .
3 2 2
LISTA 3
15. Zbadać, które z podanych ciągów są monotoniczne. Określić typ monotoniczności.
-1 n + 3 10n 1Å" 3Å"...Å" (2n -1)
a) an = n2 -10n, b) bn = , c) cn = , d) dn = , e) en =
n + 4 2n +1 n! n!
n!
f ) fn = .
nn
Czy ciÄ…gi te sÄ… ograniczone?
16. Wyznaczyć cztery początkowe wyrazy ciągu zadanego rekurencyjnie:
a) a1 = 4, an+1 = 3an - 5, b) b1 = 2,bn+1 = bn + n,
17. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, \
e:
Å„Å‚0,gdy a < 1
2n -1
n
a) lim = 1., b) lim a = ., c) lim log0.5 n = -".
òÅ‚
n" n" n"
2n +1
ół",gdy a > 1
18. Obliczyć granice:
2 - n 4 - n2 3 + n n +1
a) lim , b) lim , c) lim , d) lim ,
n" n" n" n"
4n + 5 2n + 3
n + 2 n n + 2
1 2 1 1 1
e) lim(1- )n , f ) lim(1+ )n , g) lim(1- )n , h) lim( + )n
n" n" n" n"
n +1 n n2 2 n
2 + 3 + ... + n 5n - 3n
i) lim(n n - n3 - 2), j) lim , k) lim .
n" n" n"
n2 -1 7n - 2n
19. Wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach obliczyć granice:
n + cos n 1
n
n
a) lim , b) lim 5 + , c) lim 7n + 4n - 2n
n" n"
n" 3n - 2 n
1 1 1
lim ( + + ... + ).
n"n
n2 +1 n2 + 2 n2 + n
20. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym, uzasadnić zbie\
ność
ciągów:
100n n! 1 1 1
a) an = , b) bn = , c ) cn = + + ... + .
n! nn n +1 n + 2 n + n
LISTA 4
21.Obliczyć granice funkcji:
x
sin
1- x x - 2 - 2 cos3x - cos 7x
2
lim , lim , lim , lim ,
x0 x1 x6 x0
x
x2 -1 x - 6 x2
sin
3
1 x + cos x 2x -1
lim(1+ )2 x-1, lim , lim( )x.
x" x" x"
x + 2 2x + sin x 2x +1
sin x2 tg3x 1 1
3
lim( x - x), lim , lim , lim( - ).
x" x" x" x0
x 2x x x2
22. Wyznaczyć jednostronne granice funkcji f(x) w podanym punkcie . Czy istnieje granica
f(x) w tym punkcie
Å„Å‚- 2x + 3, x d" 1
a) f (x) = , w punkcie xo= 1.
òÅ‚
3x - 5, x > 1
ół
x2 - 1
b) f ( x) = , w punkcie xo=1,
x - 1
1- cos2x
c) f ( x) = , w punkcie xo=0.
x
23. Zbadać ciągłość funkcji :
2
Å„Å‚
x +1
Å„Å‚
4 + x - 4 - x2
ôÅ‚ ôÅ‚
, x `" -1, x `" 1,
, x `" 0
a)f (x) = 2 b)f (x) =
òÅ‚ òÅ‚
1- x2
x
ôÅ‚ ôÅ‚
0.5 x = -1lub x = 1
0.5, x = 0
ół
ół
Å„Å‚
ôÅ‚sin x2 x `" 0
c)f (x) = d)f (x) = x - [x]
òÅ‚
x
ôÅ‚
0 x = 0
ół
24. Czy mo\
na dobrać parametry a,b" R tak, aby określone ni\
ej funkcje były ciągłe na R:
Å„Å‚ 2 Å„Å‚ar ctg , x `" 0.
a
ax +1, x d" Ä„ / 2 Å„Å‚
x + ax, x < -1lub x > 1
ôÅ‚ ôÅ‚
f (x) = , h(x) = g(x) =
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
x
2bx + a -1, -1 d" x d" 1
ół
ôÅ‚sin x + b, x > Ä„ / 2 ôÅ‚
b, x = 0
ół
ół
25.Zbadać,czy w przedziale [1,e] funkcja f(x) = ln x + x2 -1 przyjmuje wartość Ą? Czy
funkcja f(x) przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą?
26. Uzasadnić, \
e równanie x2x = 1 ma tylko jeden pierwiastek dodatni. Znalez
ć go w
przedziale długości 0.25.
LISTA 5
27. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji :
1 1
a) f (x) = , b)g(x) = sin 2x, c) p(x) = .
x2
x
28*. KorzystajÄ…c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej znalez
ć pochodne funkcji:
5
a)f (x) = log2 x , b)g(x) = arcsin 3x , c)h(x) = ar ctg x. d)p(x) = x.
29. Korzystając z reguł ró\
niczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji:
2
a) f (x) = ln(tg3x), b) f (x) = (x +1)2 2-x , c)h(x) = x cos(x + ),
x2
2
ex -4x 1- x 1 ln x - x2
d) p(x) = , e)r(x) = , f )w(x) = e2 x , g)k(x) = .
sin x x2 + 2x x x3
30. Znalez
ć pochodną n-tego rzędu funkcji:
x 1
a)f (x) = 2-x , b)g(x) = cos , c)h(x) = .
3
x + 2
31. Napisać równania stycznych do wykresów funkcji we wskazanych punktach;
2x
a) f (x) = , x0 = 2, b)g(x) = x3 + 3x , x0 = 1, c)h(x) = x2 ln x , x0 = e.
1+ x2
32. Na wykresie funkcji f(x) znalez
ć punkt , w którym prosta styczna nachylona jest do osi
Ox pod podanym kÄ…tem Ä…
ln x 2 - x 3
a)f (x) = , Ä…, = 0 b)f (x) = , Ä… = Ä„.
2
x 1+ x 4
33. Punkt materialny porusza się ze zmienną prędkością po osi Ox. Poło\
enie tego punktu w
chwili t jest opisane wzorem x(t) = 3 2t + 2-3t. Obliczyć przyśpieszenie tego punktu w
chwili, w której jego prędkość jest równa 0..
LISTA 6
34.Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
2x 1
2
a)f (x) = 2x - ln x; b)f (x) = cos x - x; c)f (x) = ; d)f (x) = .
2 2
x +1 x - 4x3
35*.Wykazać nierówność: arctg x < x - x3/6 dla 0 36.Napisać wielomian Taylora stopnia n w punkcie x0 oraz podać postać reszty dla:
a)f (x) = x +1, xo = 3, n = 3 b)f (x) = x2 + ln x xo = 1, n = 3.
37. Wykorzystując wzór Maclaurina obliczyć:
a) sin0.2 z dokładnością do 0.00001;
b) cos1 z dokładnością do 0.00001;
c) 2-0.5 z dokładnością do 0.0001.
38.Oszacować dokładności podanych wzorów przybli\
onych na podanych przedziałach :
2
x3 x5 x x
a)sin x H" x - + , x d" 0.1 b) x +1 H" 1+ - , x d" 0.2
6 120 2 8
LISTA 7
39. Wyznaczyć ekstrema lokalne oraz zbiór wartości funkcji:
1 1
a) f (x) = x2e-x ; b) f (x) = cos3x + 3cos x, .c) f (x) = , d) f (x) = .
x3 + 4x4
9 - x2
40. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale
1 1
a)f (x) = ar ctg x - ln x , [ , 3], b)f (x) = sin x + cos x, 0 d" x d" 2Ä„. .
2
3
41. Określić przedziały wypukłości i wklęsłości podanych funkcji oraz punkty przegięcia:
2
ln x
a)f (x) = sin x, b)f (x) = , c)f (x) = x + x5 / 3, d)f (x) = 2 - x5 -1 .
x
42. Zbadać przebieg zmienności podanych funkckji i następnie sporządzić ich wykresy:
1
a) f ( x) = + 4x2 , b) f ( x) = x2 ln( x + 2).
x
n
43.Danych jest n liczb : a1,a2,...,an. Znalez
ć x , dla którego wyra\
enie - ai )2 ma
"(x
i=1
najmniejsza wartość.
LISTA 8
44. Sprawdzić, \
e funkcje f(x) = 2sin2x, g(x) = - cos2x sÄ… funkcjami pierwotnymi tej samej
funkcji.
45. Ciało porusza się po prostej z prędkością :
a) v(t) = t3- 1, b) v(t) = 2-t
i w chwili t = 0 znajduje się w początku osi. Czy (i w jakiej chwili ) ciało znajdzie się
ponownie w punkcie początkowym? Jaka część osi jest torem ruchu?
46. Obliczyć całki nieoznaczone następujących funkcji:
2
sin x 1 sin x
a) tg2 x , x 2x , , , ,
1+ cos x x(1+ ln x) 1+ 3cos x
1
2 2
b)x 10x , ar ctg , x ln2 x , x2 sin x , ex cos 2x,
x
2
1 ex x
2
c) , x3 exp(x ), cos x sin5 x , ,
3x + 4 1+ e2x 3 2x3 + 4
2 2
x +1 2x + 3 7 x +10
d) , , , ,
4 2 2
2x - x3 - x x(x +1)2 x - 3x -10 x3 - 2x + 5x
e)sin 3x sin 5x , tg x , (sin x)-1 .
1 4x + 2 1 1+ ln x
f ) , , ,
4
(x
1+ 1+ x - 2)3 x ln x
x + x
LISTA 9
47. Korzystając z z interpretacji geometrycznej całki oznaczonej obliczyć
3 4 2
(2x + 1)dx , 4 - x2 dx.
+" +"[x]dx , +"
1 -1 -2
48.Obliczyć całki oznaczone:
e 4 Ä„ / 4
1
sin(ln x)dx dx
a) , b) 9 - x2 dx
+" +"1+ x , c) +"tg x dx .d)+"
0
x
1 0 -Ä„ / 4
a a
49 Udowodnić, \
e: f (x)dx = f (a - x)dx.
+" +"
0 0
50. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
a) yx4 =1, y = 1, y = 16.
b) y = 2x - x2, x + y =0.
c) y = 2x, y = 2, x = 0.
51. Obliczyć długości podanych łuków :
a) y = 2 x3 ,0 d" x d" 11
b)y = 4 - x2 ,1 d" x d" 2
c*) y = chx,0 d" x d" 1.