Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Zad. 1 (1 pkt)
Podać relacje wiążące współrzÄ™dne kartezjaÅ„skie (x, y) i biegunowe (Á, Ć) punktu na pÅ‚aszczyz
nie.
y
x P = (x,y) = (Á,Ć)
Á y
Ć
x
Zad. 2 (1 pkt)
Prędkość: prędkość średnia, prędkość chwilowa, szybkość, jednostki.
Prędkość jest wektorem i jest definiowana jako zmiana wektora położenia w czasie. Prędkość chwilowa jest
pochodną wektora położenia po czasie. Szybkość jest skalarem i jest wartością wektora prędkości. Jednostką
prędkości i szybkości jest .
 prędkość średnia
 prędkość chwilowa
 prędkość
 szybkość
 zmiana wektora położenia
 czas, w którym nastąpiło przemieszczenie
Zad. 3 (2 pkt)
Przyspieszenie: definicja i jednostki, przyspieszenie styczne i normalne, związek tych składowych z
szybkością i krzywizną toru.
Przyspieszenie jest wektorem i jest definiowane jako zmiana wektora prędkości w czasie. Przyspieszenie
chwilowe jest pochodną wektora prędkości po czasie i drugą pochodną wektora położenia po czasie. Jednostką
przyspieszenia jest .
 przyspieszenie średnie
1
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
 przyspieszenie chwilowe
 zmiana wektora prędkości
 czas, w którym nastąpiła zmiana prędkości
 przyspieszenie styczne
 przyspieszenie normalne
 prędkość
 promień krzywizny toru
Zad. 4 (2 pkt)
Dla ruchu ze stałym przyspieszeniem a , dane są warunki początkowe r(0) = r i v(0)=v . Korzystając
0 0 0
z definicji prędkości i przyśpieszenia, obliczyć zależność r(t).
Zad. 5 (2 pkt)
Podać (lub wyprowadzić) wyrażenia na składowe radialne i transwersalne wektorów położenia,
prędkości i przyspieszenia cząstki w ruchu płaskim, opisanym w biegunowym układzie współrzędnych.
2
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Zad. 6 (1 pkt)
Sformułować I i II zasadę dynamiki Newtona dla pojedynczej cząstki oraz III zasadę dynamiki
Newtona dla pary czÄ…stek.
I zasada dynamiki:
W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało
pozostaje w spoczynku lub porusza siÄ™ ruchem jednostajnym prostoliniowym.
II zasada dynamiki:
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z
przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.
III zasada dynamiki:
3
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości,
taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).
 siła wypadkowa
 prędkość
 przyspieszenie
 masa ciała
 siła z jaką działa ciało 1 na ciało 2
 siła z jaką działa ciało 2 na ciało 1
Zad. 7 (1 pkt)
Korzystając z definicji momentu pędu i momentu siły , wyprowadzić relację łączącą te dwie
wielkości (dla pojedynczej cząstki).
Zad. 8 (2 pkt)
Podać definicję energii potencjalnej oraz sformułować i udowodnić zasadę zachowania energii
mechanicznej dla pojedynczej czÄ…stki.
Energia potencjalna  energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z
rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc
od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Jest funkcją skalarną, której
gradient ze znakiem ( ) jest równy sile opisującej pole.
4
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Q.E.D.
 energia potencjalna w punkcie a
 energia potencjalna w punkcie b
 energia kinetyczna w punkcie a
 energia kinetyczna w punkcie b
 zmiana energii potencjalnej
 praca
Zad. 9 (2 pkt)
Dany jest układ N cząstek oddziałujących ze sobą siłami newtonowskimi, tj. takimi, że = , dla
każdej pary cząstek i, j; na układ ten nie działa żadna siła zewnętrzna. Udowodnić, że w układzie takim
pęd całkowity jest stały w czasie (zasada zachowania pędu).
 całkowity pęd układu cząstek
 pęd cząstki i
 siła wypadkowa działająca na cząstkę i
 siła oddziaływania cząstki i na cząstkę j
 siła oddziaływania cząstki j na cząstkę i
 siła zewnętrzna działająca na cząstkę i
5
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
 całkowita siła zewnętrzna działająca na układ cząstek
Zad. 10 (1 pkt)
Sformułować zasadę zachowania momentu pędu w układzie izolowanym N cząstek.
Suma momentów pędu poszczególnych cząstek w układzie izolowanym jest stała w czasie.
 moment pędu cząstki i
Zad. 11 (1 pkt)
Podać definicję środka masy w układzie N cząstek. Jak dla izolowanego układu N cząstek, w
dowolnym układzie inercjalnym zmienia się położenie środka masy?
Środek masy układu cząstek jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy
punktowej.
 położenie środka masy
 położenie cząstki i
 masa czÄ…stki i
Środek masy układu izolowanego w dowolnym układzie inercjalnym pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym.
Zad. 12 (2 pkt)
Co to jest siła harmoniczna, jaką ma postać równanie Newtona dla oscylatora harmonicznego i jakie
jest rozwiązanie tego równania? Podać, jakie warunki początkowe w pełni określają ruch takiego
oscylatora. Ile wynosi okres drgań takiego oscylatora?
Siła harmoniczna  siła proporcjonalna do wychylenia ciała z punktu równowagi skierowana do
początku układu.
Równanie Newtona:
Rozwiązanie równania:
6
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
 siła
 stała sprężystości
 odchylenie od położenia równowagi
 masa ciała drgającego w oscylatorze
 amplituda drgań oscylatora
 faza początkowa drgań oscylatora
 częstość kołowa drgań oscylatora
 okres drgań oscylatora
 częstotliwość drgań oscylatora
Warunki początkowe określające ruch oscylatora: ,
Zad. 13 (2 pkt)
Jaką ma postać równanie Newtona dla drgań tłumionych z siłą oporu proporcjonalną do prędkości i
jakie jest rozwiązanie tego równania dla przypadku słabego tłumienia? Podać charakterystyczne cechy
drgań tłumionych w porównaniu z drganiami bez tłumienia.
Równanie Newtona:
Rozwiązanie równania:
 siła
 stała sprężystości
 odchylenie od położenia równowagi
 masa ciała drgającego w oscylatorze
7
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
 amplituda drgań oscylatora
 współczynnik tłumienia
 częstość kołowa drgań oscylatora
 czas relaksacji
W drganiach tłumionych amplituda zmniejsza się, a okres drgań wydłuża, natomiast w drganiach bez tłumienia
pozostają one stałe.
Zad. 14 (3 pkt)
Podać postać równania Newtona dla oscylatora harmonicznego z niezerowym tłumieniem oraz
harmoniczną siłą zewnętrzną. Jaka jest postać rozwiązania tego równania ważna, gdy warunki
początkowe przestają mieć znaczenie? Jak amplituda takiego rozwiązania zależy od częstości siły
wymuszającej oraz co to są rezonans i częstość rezonansowa.
Równanie Newtona:
Rozwiązanie równania:
Rezonans  zjawisko wzmocnienia drgań poprzez zwiększenie ich amplitudy do pewnej wartości maksymalnej,
którą osiąga dla częstości rezonansowej.
Częstość rezonansowa  częstość wymuszeń, dla której zachodzi zjawisko rezonansu (zwiększenie amplitudy).
 amplituda
 siła wymuszająca
 częstość siły wymuszającej
 częstość rezonansowa
Zad. 15 (1 pkt)
Sformułować prawo powszechnej grawitacji Newtona; jaka jest wartość stałej grawitacji G i jak
brzmi zasada superpozycji dla sił grawitacji?
Prawo powszechnej grawitacji:
8
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich
środki, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i maleje z kwadratem odległości.
 siła grawitacji
 stała grawitacji
 masa ciała 1
 masa ciała 2
 odległość między środkami ciał
 wersor r
Zasada superpozycji dla sił grawitacji:
Siła pochodząca od kilku z
ródeł jest wektorową sumą sił, jakie wytwarza każde z tych z
ródeł.
Zad. 16 (1 pkt)
Jak natężenie pola grawitacyjnego zależy od odległości od środka cienkiej powłoki kulistej o
promieniu R i masie M?
 natężenie pola grawitacyjnego
 stała grawitacji
 masa ciała
 odległość od środka ciała
 wersor r
Dla :
Dla :
Zad. 17 (1 pkt)
Sformułować I prawo Keplera w formie dokładnej i przybliżonej.
I prawo Keplera (w. dokładna):
Masa zredukowana obiega środek masy po krzywej stożkowej, a środek masy znajduje się w ognisku
krzywej stożkowej.
I prawo Keplera (w. przybliżona):
Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po elipsie, w której w jednym z ognisk jest Słońce.
9
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Zad. 18 (2 pkt)
Korzystając z zasady zachowania momentu pędu, udowodnić II prawo Keplera.
II prawo Keplera:
Dowód:
 prędkość polowa (wektor prostopadły do płaszczyzny orbity)
 wektor powierzchni o wartości pola zakreślanego w czasie dt przez promień wodzący o początku w ognisku
orbity
 odległość od ogniska orbity (promień wodzący)
 nieskończenie mały wektor przemieszczenia w ruchu po orbicie
 moment pędu planety
 pęd planety
 masa planety
 prędkość liniowa planety na orbicie
Zad. 19 (2 pkt)
Korzystając z I i II prawa Keplera, udowodnić III prawo Keplera dla ruchu planet po orbitach
eliptycznych. Uwaga! W I prawie Keplera, parametr p elipsy dany jest wzorem: .
Q.E.D.
10
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
 wektor pola ograniczonego orbitÄ… planety
 wersor S
 półoś wielka elipsy
 półoś mała elipsy
 wersor b
 okres obiegu planety
 moment pędu planety
 parametr elipsy
 stała grawitacji
 masa ciała 1
 masa ciała 2
Zad. 20 (1 pkt)
Bryła sztywna: określić pojęcie oraz podać dwa podstawowe równania dynamiki.
Bryła sztywna  układ N cząstek o stałej odległości od siebie i oddziałujących między sobą siłami centralnymi.
 pęd bryły sztywnej
 siła zewnętrzna działająca na bryłę sztywną
 moment pędu bryły sztywnej
 moment siły działający na bryłę sztywną
Zad. 21 (1 pkt)
Co to jest wektor prędkości kątowej w ruchu obrotowym bryły sztywnej?
W ruchu obrotowym bryły sztywnej istnieje jednoznacznie zdefiniowany wektor o takiej własności, że dla
każdego punktu bryły sztywnej wyznaczonego przez wektor wodzący jego prędkość jest dana wzorem:
Zad. 22 (2 pkt)
Jak energia kinetyczna bryły sztywnej E wyraża się przez wektor prędkości kątowej i składowe
k
tensora momentu bezwładności ? Co to są i jakimi są dane wyrażeniami składowe tegoż tensora
momentu bezwładności?
11
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Gdy osie układu odniesienia pokrywają się z głównymi osiami układu współrzędnych następuje uproszczenie:
Składowe tensora momentu bezwładności to 9 liczb opisujących rozkład masy w bryle sztywnej.
Zad. 23 (3 pkt)
Podać równania Eulera i ich rozwiązanie dla symetrycznego bąka w nieobecności sił zewnętrznych;
opisać ruch tego bąka: co to są precesja, stożek polhodii i stożek herpolhodii.
3 równania Eulera:
Dla bÄ…ka symetrycznego:
RozwiÄ…zania:
12
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
Precesja  zjawisko zmiany kierunku osi obrotu obracającego się ciała. Oś obraca się wtedy zakreślając
powierzchnię stożkową.
Stożek polhodii  stożek który jest zakreślany przez wektor prędkości kątowej.
Stożek herpolhodii  stożek który jest zakreślany przez wektor momentu pędu.
Zad. 24 (1 pkt)
Sformułować twierdzenie o osiach równoległych (twierdzenie Steinera).
Twierdzenie Steinera:
Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem
osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości
między tymi dwiema osiami.
 moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy
 moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi
 masa bryły sztywnej
 odległość miedzy osiami
Zad. 25 (1 pkt)
Sformułować prawo Hooke a dla odkształceń normalnych; co to jest moduł Younga E ?
Prawo Hooke a:
Odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły.
 siła rozciągająca (ściskająca)
 pole przekroju poprzecznego
 zmiana długości
 długość początkowa
 moduł Younga
Moduł Younga  wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału,
zależność względnego odkształcenia liniowego materiału od naprężenia, jakie w nim występuje w zakresie
odkształceń sprężystych.
Zad. 26 (1 pkt)
Jak zmieniają się wymiary poprzeczne przy rozciąganiu (ściskaniu) i co to jest współczynnik
Poissona ?
13
Podstawy Fizyki  Mechanika MS Przykładowe pytania egzaminacyjne
 zmiana szerokości
 szerokość początkowa
 zmiana wysokości
 wysokość początkowa
"l  zmiana długości
l  długość początkowa
 współczynnik Poissona
Współczynnik Poissona - stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie
naprężenia. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie
sposób w jaki się on odkształca.
14