Metoda przemieszczen projekt
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Metoda przemieszczeń
Wpływ obcią\enia siłami
Schemat konstrukcji:
układ podstawowy metody przemieszczeń
SGN = 1 +1 = 2
Układ równań kanonicznych:
r1p ł łł
r11 r12 1 ł łł 0
ł łł ł łł
" + =
łr śł
łr r22 śł ł" śł ł0śł
2 p
ł 21 ł ł 2 ł ł ł
ł ł
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
1
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Współczynnik porównawczy sztywności
Przyjęto: I1= I220 PE, I2= I240 PE
EI1 = 205 "105 " 2770 "10-8 = 5678,5 kNm2
EI2 = 205 "105 " 3890 "10-8 = 7974,5 kNm2
EI = EI1 EI2 = 1,404332EI
Aańcuch kinematyczny:
1
425 0 + 6 " 42 = -1 ! 42 = -
6
1
325 0 - 2 " 23 = -1 ! 23 =
2
1
425 0 + 3 " 42 - 7 " 25 = 0 ! 25 = -
14
1
4210 0 + 3 " 42 + 5 " 12 = 0 ! 12 =
10
01 = 0
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
2
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Stan Ć1 = 1
2EI2 2EI
M = = = 0,41863EI
42
l
45
Węzeł 2:
4EI2 4EI
M = = = 0,83727EI
24
l
45
3EI1
3
M = = EI
25
l 7
3EI1
3
M = = EI
23
l 2
3EI1
3
M = = EI
21
l 5
M = 0
01
3
r11 = 1,5EI + 0,6EI + 0,83727EI + EI = 3,36584EI
7
RPW
1 " r21 + M " 23 + M " 12 + M " 42 + M " 42 + M " 25 = 0
23 21 24 42 25
r21 = -0,57007EI
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
3
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Stan "2 = 1
- 3EI1 - 3 1
M23 = " 23 = " EI = -0,75EI
l 2 2
- 3EI1 - 3 1
M21 = " 12 = " EI = -0,06EI
l 5 10
- 3EI1 - 3 1 3
ł- łEI = EI
M25 = " 25 =
ł ł
l 7 14łł 98
ł
- 6EI2 - 6 -1,404332
M24 = " 24 = " EI = 0,2093454EI
l 6
45
- 6EI2 - 6 -1,404332
M42 = " 24 = " EI = 0,2093454EI
l 6
45
RPW
1" r22 + M " 23 + M " 12 + M " 42 + M " 42 + M " 25 = 0
23 21 24 42 25
- 3 1 - 3 1 1 3 1
ł ł ł ł
r22 + " EI + " EI + 2 " 0,2093454 " - EI + " - = 0
ł ł ł ł
4 2 50 10 6 98 14
ł łł ł łł
r22 = 0,452968 EI
3
r12 = -0,75EI - 0,06EI + 0,209345 EI + EI = -0,57004 EI
98
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
4
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Stan p
a) Obliczenie belki 5-2 statycznie niewyznaczalnej z siłą skupioną nie
znajdującą się w środku cię\kości (metodą sił):
U.RZ. U.P.
11 " x1 + 12 " x2 + 1 p = 0
" x1 + " x2 + = 0
21 22 2 p
11 " x1 + 12 " x2 + 1 p = 0
M12
11 = dx = 0
" " x1 + " x2 + = 0
+"
21 22 2 p
EI
x
x1 = 0
M1 " M
2
12 = dx = 0
"
+"
EI
x2 = 6,612 kN
x
M " M1
2
= dx = 12 = 0
21 "
+"
EI
x
2
M 1 1 2 114,333
ł
2
= dx = " 7 " 7 " " 7ł =
ł ł
22 "
+"
EI EI 2 3 EI
ł łł
x
M1 " M
p
1p = dx = 0
"
+"
EI
x
M " M
1 ł 1 1 2 łł - 756
2 p ł
= dx =
ł
2 p "
ł- "84 " 3" ł 3 " 4 + 3 " 7łśł = EI
+"
EI EI 2
ł łł
ł ł
x
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
5
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Wykres momentów zginających na belce 5-2
Wykres stanu p metody przemieszczeń:
RPW
1 "r2 p -15 ,625 " + 37 ,716 " - 35 "1- 25 " "2,5 -
12 25 12
-10 " "5 - 28 " "4 = 0
12 25
r2 p = 58,5065 kN
r1 p +15,625 - 20 - 37,716 = 0
r1 p = 42,091 kNm
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
6
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Rozwiązanie układu równań kanonicznych
r1 p ł łł
r11 r12 1 ł łł 0
ł łł ł łł
" + =
łr śł
łr r22 śł ł" śł ł0śł
2 p
ł 21 ł ł 2 ł ł ł
ł ł
3,36584 - 0,57007 1 42,091 0
ł łł ł łł ł łł ł łł
+ =
ł- 0,57007 0,452968 śłEI " ł" śł ł58,5065śł ł0śł
ł ł ł 2 ł ł ł ł ł
- 43.695412
1 =
rad
EI
- 184.15416
"2 =
m
EI
Wyznaczenie momentów zginających metodą superpozycji
(n)
M = M1 "1 + M " "2 + M
p 2 p
M = 0
01
3 - 43.695412 - 184.15416
M = EI " - 0,06EI " -15,625 = -30,793 kNm
21
5 EI EI
3 - 43.695412 - 184.15416
M = EI " - 0,75EI " = 72,573 kNm
23
2 EI EI
3 - 43.695412 3 - 184.15416
M = EI " + EI " + 37,716 =13,352 kNm
25
7 EI 98 EI
- 43.695412 - 184.15416
M = 0,83727EI " + 0,2093454EI " = -75,136 kNm
24
EI EI
- 43.695412 - 184.15416
M = 0,41863EI " + 0,2093454EI " = -56,844 kNm
42
EI EI
WYZNACZENIE WARTOŚCI SIA TNCYCH
= 0
"M 2
T52 " 7 - 28 " 3 +13,352 = 0
T52 = 10,093 kN
"Y = 0
T52 - 28 - T25 = 0
T25 = -17,907 kN
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
7
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
"M = 0
1
T21 " 5 - 30,793 - 5 "5 " 2,5 = 0
T21 = 18,6586 kN
M = 0
" 2
T12 "5 - 30,793 + 5"5" 2,5 = 0
T12 = -6,3414 kN
= 0
"M 2
75,136 + 56,844 - T42 " 45 = 0
T42 = 19,674 kN
T24 = T42 = 19,674 kN
= 0
"M 3
72,573 + T23 " 2 = 0
T23 = -36,2865 kN
T32 = T23 = -36,2865kN
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
8
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
WYZNACZENIE SIA NORMALNYCH
Z równowagi węzła 3 wynika \e N32 = -10 kN, N23=N32= -10 kN
Z równowagi węzła 5 wynika \e N52 = -35 kN, N25=N52= -35 kN
siną = 0,89442
cosą = 0,447213
"Y = 0
10 +17,907 +18,6586 -19,674 " cosą -
- N24" "siną = 0
N24 = 42,2253kN
N42 = N24 = 42,2253kN
Wyznaczenie momentu maksymalnego pod obcią\eniem
ciągłym
T (x) = 18,6586 - 5 " x
18,6586 - 5 " x = 0
x = 3,73172m
x2
- 5 " + 18,6586 " x - 30,793 = M (x)
2
M = 4,0213 kNm
max
Wyznaczenie momentu pod siłą skupioną dla belki 2-5
M = 13,352 -17,907 " 3 =
= -40,369 kNm
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
9
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
10
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Sprawdzenie kinematyczne
1 1 1
ł
1 " = " 45 " 56,844 "1 - " 75,136 " 45 "1łł +
śł
EI2 ł 2 2
ł ł
ł1 2 4 1 2 4 1 łł
ł ł
" 40,369 " 4 " " " 0,583ł + " 40,369 " 3 " " " 0,583 + " 0,583ł -
ł ł ł ł
ł śł
2 3 7 2 3 7 3
1 ł łł ł łł
ł śł
=
ł śł
EI
1 1 4 2 1 2 2 5 " 52 1
ł ł
ł ł
ł- "13,352 " 3 " " " 0,583 + " 0,583 + " 30,794 " 5 " " 0,417 - " 5 " " 0,417śł
2 3 7 3 2 3 3 8 2
ł łł
ł ł
- 61,353 43,75886 0,07
= + = H" 0
1,404332 EI EI EI
Sprawdzenie statyczne
X = 0
"
35 - 36,2865 -19,67 "0,89442 + 42,225"0,447213 = 0,0038 H" 0
"Y = 0
10,093 - 28 -10 - 5"5 + 6,341+ 42,225"0,89442 +19,67 "0,447213 = 0,0024 H" 0
M = 0
" 4
35"6 +10,093" 4 +10 "3 - 36,28"8 + 25"5,5 - 6,341"8 - 56,844 - 20 = 0
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
11
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Sprawdzenie naprę\eń normalnych wywołanych momentem
zginającym
a) Mmax = 72,8 kNm dla zaprojektowanego I1 o W = 194 cm3 (IPE200)
7275,3 kNcm kN
= 37,5015
194 cm3 cm2
max = 375 MPa e" dop = 205 MPa
b) Mmax = 75,1 kNm dla zaprojektowanego I2 o W = 324 cm3 (IPE240)
7513,6 kNcm kN
= 23,19
324 cm3 cm2
= 232 MPa e" dop = 205 MPa
max
Wnioski:
" Oba przekroje okazały się zbyt małe dla danego obcią\enia
zewnętrznego.
" Nale\ałoby wprowadzić przekroje znaczenie większe (np. IPE 280) i
ponownie obliczyć układ statycznie niewyznaczalny.
" Je\eli zostawimy wybrane przekroje prawdopodobnie doprowadzi to do
katastrofy budowlanej.
" Dla obcią\enia wypadkowego od osiadania oraz sił oczywiście dane
przekroje równie\ nie wystarczą.
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
12
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Wpływ osiadania podpór
3,36584 - 0,57007
ł łł
K =
ł- 0,57007 0,452968 śłEI
ł ł
Stan "
"1 = 0,7 cm
"2 = 1,1 cm
"3 = 1,4 cm
Ś = 1,50 =
=0,0261799 rad
" "
524 0 - 24 " 6 = -0,011 24 = 0,0018333 rad
" " "
423 - 0,011 + 24 " 6 + 23 " 2 = 0 23 = 0 rad
" " "
4210 0,007 + 24 " 3 + 21 " 5 = -0,014 21 = -0,0053 rad
" " "
5210 0 + 52 " 7 + 21 " 5 = -0,014 52 = 0,0017857 rad
M01 = 0
3EI
M21 = (0,0053) = 0,00318EI
5
3EI
M23 = (0) = 0
2
3EI
M25 = (- 0,0017857) = -0,0007653EI
7
2 "1,404332EI
M24 = (0,0261799 - 3" 0,0018333) = 0,008658EI
45
2 "1,404332EI
M42 = (2 " 0,0261799 - 3" 0,0018333) = 0,01962EI
45
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
13
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
r1" = 0,00318EI - 0,0007652EI + 0,008658EI = 0,011073EI
RPW
1" r2" + M " 12 + M " 42 + M " 42 + M " 25 = 0
21 24 42 25
ł- 1
ł ł- 1
ł ł- 1
ł
r2" + 0,00318EI " 0,1 + 0,008658EI " + 0,01962EI " + (- 0,0007653EI)" = 0
ł ł ł ł ł ł
6 6 14
ł łł ł łł ł łł
r2" = 0,0043403EI
r11 r12 1 r1" 0
ł łł ł łł ł łł ł łł
" + =
łr r22 śł ł" śł łr śł ł0śł
ł 21 ł ł 2 ł ł 2" ł ł ł
3,36584 - 0,57007 1 0,011073 0
ł łł ł łł ł łł ł łł
+
ł- 0,57007 0,452968 śłEI " ł" śł ł0,0043403śłEI = ł0śł
ł ł ł 2 ł ł ł ł ł
1 = - 0.0062435 rad
"2 = - 0.0174395 m
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
14
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
(")
M = M1 "1 + M " "2 + M
p 2 "
M = 0
01
3
M = EI "(- 0.0062435)- 0,06EI "(- 0.0174395)+ 0,00318EI = 2,724kNm
21
5
3
M = EI "(- 0.0062435)- 0,75EI "(- 0.0174395)= 21,092 kNm
23
2
3 3
M = EI "(- 0.0062435)+ EI "(- 0.0174395)- 0,0007653EI = -22,572kNm
25
7 98
M = 0,83727EI "(- 0.0062435)+ 0,2093454EI "(- 0.0174395)+ 0,008658EI =
24
= -1,251 kNm
M = 0,41863EI "(- 0.0062435)+ 0,2093454EI "(- 0.0174395)+ 0,01962EI =
42
= 75,839 kNm
WYZNACZENIE WARTOŚCI SIA TNCYCH
M = 0
" 1
T21 " 5 + 2,724 = 0
T21 = -0,5448 kN
M = 0
" 2
T21 = T12
T52 " 7 - 22,572 = 0
T52 = 3,22457 kN
Y = 0
"
T52 - T25 = 0
M = 0
" 2
T25 = 3,22457 kN
- 1,251 + 75,839 + T42 " 45 = 0
T42 = -11,119 kN
T24 = T42 = -11,119 kN
= 0
"M 3
21,092 + T23 " 2 = 0
T23 = -10,546 kN
T32 = T23 = -10,546kN
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
15
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
WYZNACZENIE SIA NORMALNYCH
Z równowagi węzła 3 wynika \e N32 = 0 , N23 = N32 = 0
Z równowagi węzła 5 wynika \e N52 = 0 , N25 = N52 = 0
Z równowagi węzła 1 >> ŁX = 0 > N12 = 0
>> Ły = 0 > N10 = -0,538 kN, N01=N10=-0,538 kN
siną = 0,89442
cosą = 0,447213
"Y = 0
3,226 + 0,548 -11,119 " cosą -
+ N24" "siną = 0
N24 = -1,34kN
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
16
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
17
2007/2008
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli
Sprawdzenie kinematyczne
"
M " M0
0
n
1"4 = dx - R " "
" "
+"
EI
x
1 1
ł- "(75,829 +1,251)" 45 "1łł +
1 "4 =
ł śł
EI 2
ł ł
2
1 ł1 2 1 2 łł 1
ł ł
+ "22,572"7" "(0,583)- "2,7272 "5"ł "0,417 -ł - "0,014 =
ł łśł ł ł
ł
EI 2 3 2 3 12
ł łł ł łł
ł ł
- 258,5679 28,8287 0,014 -157,77102
= + - = = -0,0261809 rad = -1,5
1,404332 EI EI 12 EI
Sprawdzenie
statyczne
X = 0
"
10,546 -11,119 " 0,89442 -1,34 " 0,447213 = 0,001678 H" 0
"Y = 0
3,226 + 0,548 + 1,34 " 0,89442 -11,119 " 0,447213 = -0,0000385 H" 0
= 0
"M 4
75,829 + 3,226 " 4 -10,546 "8 - 0,548 " 8 = 0,019 H" 0
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor wykonał Bartosz Kośmieja
18
Wyszukiwarka