PRZYKA
ADY WIELOMIANÓW
Obok zapisano kilka prostych wyrażeń
Przykłady jednomianów:
algebraicznych z jedną zmienną.
Wyrażenie postaci axn, gdzie a " ,
4x16 -3m5
n " , nazywamy jednomianem zmien-
"
2
y -3 2t101
nej x. Gdy a = 0, liczbę naturalną n

3
nazywamy stopniem jednomianu.
Uwaga. Jednomianami nazywamy także wy-
rażenia, w których występuje więcej zmien-
3
nych, np. 3x2y, ab3, m5n6. Nie będziemy
5
się nimi jednak zajmować w tym rozdziale.
"
Zauważ, że liczby rzeczywiste różne od zera, np. 3, -0,7 i 2, to jednomia-
ny stopnia zerowego, gdyż można je przedstawić w postaci odpowiednio:
"
3x0, -0,7x0 i 2x0.
Jednomiany oraz ich sumy nazywamy wielomianami.
Wielomianem stopnia n zmiennej x na-
Przykłady wielomianów:
zywamy wyrażenie postaci:
4x5 +11x3 +7
anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0,
3t7 -13t5 + t4 -9
gdzie współczynniki an, an-1, ..., a2, a1, a0
są liczbami rzeczywistymi i n " 2
-8a3 - a5
3
oraz an =0.

0,04u8
"
2 6x6 +3x5 - x2 -3x +1
Współczynnik a0 nazywamy wyrazem
wolnym.
m
+2
3
Zmienna wielomianu może oczywiście
6
być oznaczona dowolną literą.
Wielomianami nazywać będziemy także wyrażenia typu x2 +2x3, (2x -1)2,
gdyż każde z nich można przekształcić do postaci anxn +an-1xn-1 +. . .+a0.
Określ stopień każdego z wielomianów podanych w przykładach powyżej.
A
Jednomian 0 jest także wielomianem, nazywamy go wielomianem zero-
wym.
Wielomian zerowy można zapisać na różne sposoby, na przykład: 0�x2, 0�x,
0�x0. Jak widać, zmienna w takim wielomianie może występować w dowolnej
potędze, dlatego stopień jednomianu 0 nie jest określony.
78 WIELOMIANY
OMIANÓW
WIEL
Y
D
A
A

Wielomian, który jest sumą dwóch nie-
zerowych jednomianów różnych stopni,
Przykłady dwumianów:
nazywamy dwumianem, a sumę trzech
2x -1
jednomianów (różnych stopni) nazywa-
my trójmianem.
x3 +2
"
3x5 - 2x
Trójmian, który jest wielomianem dru-
3
x7 + x12
giego stopnia, nazywamy trójmianem
4
kwadratowym.
Przykłady trójmianów:
3x2 -2x +3
1. Wypisz współczynniki przy najwyższej
B
potędze każdego z dwumianów i trój-
2
x8 + x4 +1
3
mianów zapisanych obok.
x10 -2x7 + x6
2. Podaj przykład trójmianu kwadrato-
"
wego o współczynnikach całkowitych.
7x5 - x - x6
3. Czy wyrażenie (2x-3)2 jest trójmianem
kwadratowym?
Wielomiany można dodawać, odejmować i mnożyć. Wykonując tego typu
działania, otrzymujemy nowy wielomian, który warto uporządkować, czyli
przedstawić w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej. Należy w tym
celu zredukować wyrazy podobne, a występujące w nim jednomiany zapi-
sać w kolejności od stopnia najwyższego do najniższego.
Wartość wielomianu dla danej liczby otrzymamy, wstawiając w wielomia-
nie tę liczbę w miejsce zmiennej.
P Oblicz wartość wielomianu W (x) =x3 -2x2 - x +10 dla x = -1.
W (-1) = (-1)3 -2� (-1)2 -(-1) +10=8
P
a) dodawanie wielomianów
(7-5x5 -3x2) +(3x2 -4x - x5) =7-5x5 -3x2 +3x2 -4x - x5 =-6x5 -4x +7
b) odejmowanie wielomianów
(-8x4 -2x6 +3) -(3-5x +2x6) =-8x4 -2x6 +3-3+5x -2x6 =-4x6 -8x4 +5x
c) mnożenie wielomianów
(3-2x5+x)(-5x2-x) = -15x2-3x +10x7+2x6-5x3-x2 =10x7+2x6-5x3-16x2-3x
Doprowadz
wielomiany W (x) i P(x) do najprostszej postaci. Porównaj stopnie
C
i współczynniki obu tych wielomianów.
W (x) =4x2 -(2x -3)2 P(x) =6x(5x2 + 2) - 3(10x3 +3)
PRZYKA
ADY WIELOMIANÓW 79
Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe, gdy są tego samego stopnia
i po zapisaniu każdego z nich w postaci anxn + an-1xn-1 + . . . + a0 współ-
czynniki przy odpowiednich potęgach są równe.
P Rozważmy wielomiany: U(x) =ax2 +bx, V (x) =2x3 -11x2 +12x oraz W (x) =x -3.
Dla jakich wartości współczynników a i b wielomian U(x) -V (x) jest równy wie-
lomianowi U(x) � W (x)?
U(x) -V (x) =(ax2 + bx) -(2x3 -11x2 +12x) =ax2 + bx -2x3 +11x2 -12x =
=-2x3 +(a + 11)x2 +(b -12)x
U(x) � W (x) =(ax2 + bx)(x -3) =ax3 -3ax2 + bx2 -3bx = ax3 +(b -3a)x2 -3bx
U(x) -V (x) =-2x3 +(a + 11)x2 +(b -12)x
U(x) � W (x) =ax3 +(b -3a)x2 -3bx
ż#
-2 = a
�#
�#
Porównujemy współczynniki obu wielomia-
nów przy odpowiednich potęgach zmiennej;
a +11=b -3a
�#
�#
rozwiązujemy układ równań.
b -12=-3b
Liczby a =-2 oraz b = 3 spełniają każde
Stąd a =-2i b =3.
z trzech równań układu.
ZADANIA
1. Wśród podanych wyrażeń algebraicznych znajdz
wielomiany i określ stopień
każdego z nich.
"
7x5 -5x7 z5
a) d) 6u3 -11u-2 +4 g) 3z105 +
2 3
" 1
1
2
b) e) -2x6 -5 x +4 h) 8
x3 -5x2 +4
1
3
c) 0,2t +6t3 -1,4t10 f) -3w7 i) 5w +4w
2. Przedstaw podane wyrażenie w postaci jednomianu axn.
"
4x7 5x2 -(3x)2
a) c) x2 + x2 2 e)
0,8 2
3 3
1 3x3 1 1
b) - x2 � x3 d) � x2 - x5 f) 4x7 � x
2 2 5 2
3. Oblicz wartość wielomianu dla podanej wartości zmiennej.
2
1 3 1
a) - x3 + x2 - dla x =2 c) 3(3x -2)2(x +3) dla x =
3
2 4 3
b) 0,02t5 - 0,042t3 + t dla t = -10 d) x(x -5)2(x -1) dla x =-1
80 WIELOMIANY
4. a) Wartość wielomianu W (x) =x3 +rx2 +sx+t dla x = 1 wynosi -2, czyli W (1) = -2.
Wiadomo też, że W (-1) = -10 i W (0) = -4. Znajdz
wartości współczynników r , s, t.
b) Dany jest wielomian W (x) = ax5 + bx2 + c. Znajdz
wartości współczynników a, b
" "
oraz c, jeśli wiadomo, że W ( 2) = 4, W (- 2) = -12 i W (0) = -10.
5. Wynik działania przedstaw w postaci uporządkowanego wielomianu.

1 1
a) -3x5 +5x7 - + 3- x2 -7x5 - x3 d) (5x3 -2)(x3 +1) -6x3(2 - x3)
2 2

4 2 3
b) x -8x3 - x5 - x +2-8x3 e) (-3x3 +2x5)(x5 -1+5x3)
5 5 5
c) -x(x4 -8x3 -5) +4x4(3x -2) f) (2 - x6 -4x2)(x4 -7x6 -2)
6. Wykonaj działania i przedstaw otrzymany wielomian w jak najprostszej postaci.
a) [-(5x4 +3x2 -4x) +3x2(2x2 -1)] � (1-2x)
b) [4x(-2x9 +7x3) -(20x4 -8x10)] � [1-5(2-x2)]
c) (3-4x3)(5x2 + x) - [-5(x5 +2x2) +x(6x4 -5x2)]
7. Niech P oznacza wielomian -4x+5, Q  wielomian x2 -3x+1, a R  wielomian
2x3 - 1. Wykonaj działania:
1
a) P -(Q + R) b) 4Q -3P + R c) R � (P + Q)
2
8. Nie wykonując działań, określ wyraz wolny oraz stopień wielomianu:
a) (5x2 + 3)(3x3 +2x2 -1) c) (2x +1)4(x -9)2(x2 +2)
b) (3x -2)(x + 5)(7 - x) d) -3x7(2x3 +2)5(7 + x2)3
9. Stopień pewnego wielomianu W (x) jest równy m, a stopień wielomianu V (x)
wynosi n (m > n). Określ stopień wielomianu:
a) W (x) +V (x) b) W (x) -V (x) c) W (x) � V (x)
10. Podaj przykłady dwóch wielomianów stopnia czwartego, których:
a) suma jest jednomianem stopnia trzeciego, b) iloczyn jest dwumianem.
11. Ustal, dla jakich wartości współczynników p, q, r wielomian x4+px3+qx2+rx+1
jest równy wielomianowi:
a) (x2 -1)2 c) (x2 +5x -1)2

1
b) (x -2) x3 -3x - d) (x2 -2x)(x2 +2x) +1
2
12. Dane są wielomiany A(x) = 3x2 + 5x + 2, B(x) = 9x3 + 3x2 - 17x - 4 oraz
C(x) = mx + n. Dla jakich wartości współczynników m i n wielomian B(x) +C(x)
jest równy wielomianowi A(x) � C(x)?
PRZYKA
ADY WIELOMIANÓW 81
13. Jakie jednomiany można wstawić w miejsce liter A, B i C, aby zachodziła
równość wielomianów?
a) A(2x2 + x - B) =4x4 + C -14x2 b) A(9x2 -6x +5) =B +2x4 + C
14. Pewien cukiernik układa pączki w piramidy, tak
jak pokazano na zdjęciu obok. Liczba pączków w pi-
ramidzie o n warstwach wynosi:
1 1 1
n3 + n2 + n
3 2 6
a) Oblicz, z ilu pączków zbudowana jest piramida
o 12 warstwach.
b) Uzasadnij, że liczba pączków w piramidzie, która
ma n +1 warstw, jest o (n +1)2 większa od liczby
pączków w piramidzie o n warstwach.
TEST
T1. Który z poniższych wielomianów jest wielomianem szóstego stopnia?
A. (6x3 -6x2 +6)6 C. (5x5 +2x4) +(x5 +4x4)
B. 4x5 -3x4 +2x3 + x2 -2x +3 D. (4x2 -3x)(2x4 -6)
T2. Dla jakiej wartości a wielomiany (x + a)(2x3 - x) i 5x -(x2 +10x3 -2x4) są równe?
A. a =-5 B. a =-2 C. a =1 D. a =5
T3. Stopień wielomianu W (x) jest równy 5, a stopień wielomianu V (x) to 4. Który z
poniższych wielomianów jest stopnia dziewiątego?
A. W (x)+V (x) B. 4W (x)-5V (x) C. W (x)-x5 � V (x) D. x � W (x) � V (x)
ROZKA
AD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
Wykonaj mnożenie wielomianów.
A
1. -3x2(3 - 2x +5x2) 2. (x2 - 3)(2x +5) 3. (1 - 2x + x3)(4x2 -3)
Wiadomo, że w wyniku mnożenia wielomianów otrzymujemy pewien wie-
lomian. Czasami można wykonać operację odwrotną  rozłożyć dany
wielomian na czynniki, to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu in-
nych wielomianów.
82 WIELOMIANY
NNIKI
P
Rozłóż wielomiany na czynniki.
a) 6x3 -3x2+10x -5=
W każdym z zaznaczonych dwumianów wy-
łączamy wspólny czynnik przed nawias.
=3x2(2x -1) +5(2x -1) =
Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian 2x -1)
przed nawias.
=(2x - 1)(3x2 +5)
b) 5x4 +20x3 + x2 +4x =
W każdym z zaznaczonych dwumianów wy-
łączamy wspólny czynnik przed nawias.
=5x3(x +4) +x(x +4) =
Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x +4)
przed nawias.
=(x +4)(5x3 + x) =
W zaznaczonym dwumianie wyłączamy wspól-
ny czynnik przed nawias.
= x(x + 4)(5x2 +1)
Udowodnij cztery ostatnie spośród
B
wzorów zapisanych obok. Wzory skróconego mnożenia
(a + b)2 = a2 +2ab + b2
(a - b)2 = a2 -2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
W poniższych przykładach pokazuje-
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
my, jak można rozkładać wielomian
(a + b)3 = a3 +3a2b +3ab2 + b3
na czynniki, korzystając ze wzorów
(a - b)3 = a3 -3a2b +3ab2 - b3
skróconego mnożenia.
P
Rozłóż wielomiany na czynniki.
a) x4 -25=(x2 -5)(x2 +5) =
Dwukrotnie stosujemy wzór
" "
a2 - b2 =(a - b)(a + b).
=(x - 5)(x + 5)(x2 +5)
b) x5 + x4 + x3 -8x2 -8x -8=
W każdym z zaznaczonych trójmianów wyłą-
czamy wspólny czynnik przed nawias.
= x3(x2 + x +1) -8(x2 + x +1) =
Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian
x2 + x +1) przed nawias.
=(x2 + x +1)(x3 -8) =
Stosujemy wzór
a3 - b3 =(a - b)(a2 + ab + b2).
=(x2 + x +1)(x -2)(x2 +2x +4)
c) x6 +2x3 +1=(x3)2 +2x3 +1=
Stosujemy wzór a2 +2ab + b2 =(a + b)2, a na-
stępnie wzór a3 + b3 =(a + b)(a2 - ab + b2).
=(x3 +1)2 =[(x +1)(x2 - x +1)]2 =
=(x +1)2(x2 - x +1)2
ROZKA
AD WIELOMIANU NA CZYNNIKI 83
Zauważ, że w przykładach na poprzedniej stronie czynniki występujące
w rozkładzie wielomianu nie miały stopnia wyższego niż 2. Można się
zastanawiać, czy dowolny wielomian da się rozłożyć na takie czynniki.
Odpowiedz
na to pytanie znano już w XVIII wieku:
Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.
Pierwszy poprawny dowód powyższego twierdzenia podał Carl Friedrich
Gauss (1777 1855). Uważany jest on, obok Archimedesa i Newtona, za
jednego z największych matematyków świata (zwany był nawet księciem
matematyków). Zajmował się prawie wszystkimi działami matematyki,
a także fizyką i astronomią. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na
czynniki stopnia najwyżej drugiego udowodnił w wieku 22 lat w swojej
rozprawie doktorskiej. W tamtych czasach algebra była nauką o roz-
wiązywaniu równań, a dowiedzione przez Gaussa twierdzenie pozwoliło
rozstrzygnąć wiele problemów dotyczących równań.
Czasem aby rozłożyć wielomian na czynniki, trzeba się wykazać pomy-
słowością i zastosować nietypowe metody przekształcania wielomianów,
np. przedstawić jednomian jako sumę dwóch jednomianów albo dodać
i odjąć ten sam jednomian.
P
Rozłóż wielomiany na czynniki.
a) 2x4 + x3 +3x2 + x +1=
Zastępujemy jednomian 3x2 sumą x2 +2x2.
= x4 + x3 + x2 +2x2 + x +1=
W zaznaczonym trójmianie wyłączamy wspól-
ny czynnik przed nawias.
= x2(2x2 + x +1) +2x2 + x +1=
Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian
2x2 + x +1) przed nawias.
=(2x2 + x +1)(x2 +1)
b) 4x3 -5x +1=
Zastępujemy jednomian -5x sumą -4x - x.
= 4x3 -4x - x +1=
W zaznaczonych dwumianach wyłączamy
wspólny czynnik przed nawias.
=4x(x2 -1) -(x -1) =
stosujemy wzór a2 - b2 =(a - b)(a + b)
=4x(x -1)(x +1) -(x -1) =
Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x -1)
przed nawias.
=(x - 1)[4x(x +1) -1] =
=(x - 1)(4x2 +4x -1)
84 WIELOMIANY
C
IE
K
A
W
O
S
TK
A
c) x4 +4=
Dodajemy i odejmujemy jednomian 4x2.
= x4 +4x2 +4-4x2 =
Stosujemy wzór a2 +2ab + b2 =(a + b)2.
=(x2 +2)2 -4x2 =
Stosujemy wzór a2 - b2 =(a - b)(a + b).
=(x2 +2-2x)(x2 +2+2x) =
=(x2 -2x +2)(x2 +2x +2)
Uwaga. We wszystkich powyższych przykładach czynniki otrzymane po roz-
łożeniu wielomianu miały stopień co najwyżej 2. Czasami czynniki, które są
trójmianami kwadratowymi (np. trójmian 4x2 + 4x - 1 w drugim przykładzie),
można przedstawić w postaci iloczynu dwumianów stopnia pierwszego. Wzory
pozwalające rozkładać na czynniki trójmiany kwadratowe przypomnimy w na-
stępnym rozdziale.
ZADANIA
1. Rozłóż wielomian na czynniki.
a) x5 + x3 h) 10x3 +25x2 +8x +20
b) x4 - x3 + x2 i) x5 +10x4 + x3 +10x2
c) x3 +4x2 + x +4 j) 3x4 -7x3 +3x2 -7x
d) 6x3 -5x2 +6x -5 k) x6 +3x5 +2x4 +6x3
1 1
e) x3 - x2 + x - l) 2x5 +5x4 +8x3 +20x2
2 2
f) x3 -5x2 +3x -15 m) 15x6 -10x5 +45x4 -30x3
g) 2x3 -3x2 +6x -9 n) -24x4 + 120x3 -30x2 + 150x
2. Zapisz podane wyrażenie w postaci uporządkowanego wielomianu (skorzystaj
z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia).
a) (3x +1)2 d) (2-5p)2 g) (x +1)3
" "
b) (x2 +2x)2 e) (2x3 - 3)(2x3 + 3) h) (3-2x)3
" " " "
c) (a - 7)2 f) (k3 + 2)( 2-k3) i) ( 7+2z)3
3. Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia).
a) x2 -16 e) x2 -6x +9 i) x3 -27
1 1 1
b) 4x2 -5 f) x2 + x + j) x3 +1
9 3 4
1
1
c) 49x4 - g) x4 -2x2 +1 k) x3 -8
81
27
d) x7 - 100x5 h) (x +3)2 +2(x +3) +1 l) 64x10 + x7
ROZKA
AD WIELOMIANU NA CZYNNIKI 85
4. Znajdz
liczby, które należy wpisać w kratki, a następnie rozłóż otrzymany wie-
lomian na czynniki.
a) 6x3 +5x2 +16x +5=6x3 +2x2 + x2 + x + x +5
b) 5x4 -9x3 + x2 +3x =5x4 -4x3 -3x2 + x3 + x2 +3x
c) -7x5 +9x4 + x3 -3x2 =-7x5 + x4 +3x3 +7x4 + x3 -3x2
5. Rozłóż wielomian na czynniki.
a) x5 +3x4 +2x3 +3x2 + x c) 7x4 +3x3 +2x2 +3x -5 e) x3 -6x -4
b) 3x4 -5x3 +5x2 -5x +2 d) x5 -2x4 + x2 + x3 +3 f) 2x3 -3x2 +1
6. a) Rozłóż wielomian x3 +5x2 +3x + 15 na czynniki, a następnie uzasadnij, że
przyjmuje on wartości dodatnie tylko dla x > -5.
b) Rozłóż wielomian 4x3 -8x2 +3x - 6 na czynniki, a następnie określ, dla jakich
wartości x wielomian ten przyjmuje wartości ujemne.
c) Rozłóż wielomian -12x5 +6x4 -2x + 1 na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla
ujemnych wartości x wielomian ten przyjmuje wartości dodatnie.
7. Zapisz podane wyrażenie w prostszej postaci (przyjmij, że x jest liczbą, dla
której wyrażenie występujące pod kreską ułamkową jest różne od 0).
x3 -3x2 + x -3 30x4 -6x3 +45x2 -9x 3x2 -5x +2
a) b) c)
x -3
8x3 +12x 3x3 -2x2 -12x +8
8. a) Rozłóż wielomian n3 - n na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla każdej
liczby całkowitej n wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 3.
Wskazówka. Jedna z trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.
b) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n4 -2n3 + n2 jest
liczbą podzielną przez 4.
c) Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n5 - n jest
liczbą podzielną przez 6.
TEST
T1. Dwumian 2x+3 nie jest czynnikiem jednego z poniższych wielomianów. Wskaż
ten wielomian.
A. 4x2 +12x +9 B. 8x3 +27 C. 4x2 +9 D. 4x2 -9
x3 +2x2 +5x +10
T2. Wyrażenie można uprościć do postaci:
x2 +5
A. x +2 B. x3 + x2 +5x +5 C. x3 +5x +12 D. 2x +2
86 WIELOMIANY
RÓWNANIA WIELOMIANOWE
Rozwiąż równanie:
A
Liczba rozwiązań równania ax2 + bx + c = 0 ,
1. -15x +6=0
gdzie a = 0, zależy od wartości wyróżnika

2. 3(4x - 7) = -2(14 - 6x)
"=b2 -4ac.
Jeśli " > 0, to równanie ma dwa rozwiązania:
Rozwiąż równanie:
B
" "
- b - " - b + "
1. 2x2 -5x =3
x1 = x2 =
2a 2a
1 1
2. x - x2 =0
2 4
Jeśli " = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie:
-b
x0 =
2a
Jeśli " < 0, to równanie nie ma rozwiązań.
W powyższych ćwiczeniach podano przykłady równań, które można prze-
kształcić tak, aby po jednej stronie występował wielomian, a po drugiej 
liczba 0.
Równanie postaci W (x) = 0, gdzie W (x) jest wielomianem stopnia n, nazy-
wamy równaniem wielomianowym stopnia n.
Liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego W (x) =0, nazy-
wamy pierwiastkiem wielomianu W (x).
Uwaga. Liczby, które spełniają takie równanie, nazywane są także pierwiastkami
równania.
Potrafisz już znajdować pierwiastki wielomianu pierwszego stopnia i wie-
lomianu drugiego stopnia. Pokażemy teraz, jak znajdować pierwiastki
niektórych wielomianów wyższych stopni.
Podaj liczby, które spełniają równanie:
C
1. (x + 1)(x -6) =0 2. (x -2)4 =0 3. 3x(x - 1)(2x -4) =0
Dosyć łatwo można rozwiązać równanie wielomianowe W (x) =0, gdy wie-
lomian W (x) przedstawiony jest w postaci iloczynowej.
Wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn jest
a � b =0
równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czyn-
ników jest równy zero. Wobec tego przy roz-
Ń!
Ó!
wiązywaniu równań wielomianowych stopnia
a =0 lub b =0
wyższego niż 2 przydaje się umiejętność roz-
kładania wielomianu na czynniki.
RÓWNANIA WIELOMIANOWE 87
OMIANOWE
WIEL
ANIA
P Rozwiąż równania.
a) x5 -6x4 =40x3
Przekształcamy równanie do postaci W (x) =0.
x5 -6x4 -40x3 =0
x3(x2 -6x - 40) = 0 Wielomian W (x) rozkładamy na czynniki.
x3 =0 lub x2 -6x -40=0
"
x = 0 " = (-6)2 -4� 1 � (-40) = 196 "=14
6-14 6+14
x1 = =-4 x2 = =10
2 2
x =0 lub x =-4 lub x =10
b) x5 -3x4 -8x3 +24x2 -9x +27=0
x4(x -3) -8x2(x -3) -9(x -3) =0
W miejsce x2 podstawiamy t
(x -3)(x4 -8x2 -9) =0
i rozwiązujemy otrzymane rów-
nanie z niewiadomą t.
x -3=0 lub -8x2 -9=0
x4
x =3
x2 = t
t2 -8t -9=0
"
" = (-8)2 -4� (-9) = 100 "=10
8-10 8+10
t1 = =-1 t2 = =9
2 2
Rozwiązujemy równania x2 = t1
x2 =-1 lub x2 =9
i x2 = t2.
równanie
sprzeczne x =3 lub x =-3
x =3 lub x =-3
c) 12x6 -3x2 =0
3x2(4x4 -1) =0
3x2(2x2 - 1)(2x2 +1) =0
3x2 =0 lub 2x2 -1=0 lub 2x2 +1 = 0
równanie
1
x =0
sprzeczne
x2 =
2

1 1
x = lub x =-
2 2
" "
2 2
x =0 lub x = lub x =-
2 2
88 WIELOMIANY
Zastanówmy się teraz, jaki może być związek między stopniem wielomianu
W (x) a liczbą pierwiastków tego wielomianu.
Wiadomo, że wielomian pierwszego stopnia ma jeden pierwiastek (każde
równanie postaci ax + b =0, gdzie a = 0, ma jedno rozwiązanie).

Wiadomo także, że wielomian drugiego stopnia może mieć dwa pierwiastki
lub jeden pierwiastek, lub może nie mieć pierwiastków.
1. Każdy z trzech poniższych wielomianów jest wielomianem trzeciego stop-
D
nia. Ustal, ile pierwiastków mają te wielomiany.
U(x) =x(x - 2)(x +3) V (x) =(x + 1)(x2 -3x +5) W (x) =x(x +5)2
2. Podaj przykład wielomianu czwartego stopnia, który nie ma pierwiastków.
3. Podaj przykład wielomianu piątego stopnia, który ma dokładnie jeden pier-
wiastek.
Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugie-
go (zob. str. 84). Wobec tego:
Wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków (wielomian
n-tego stopnia można rozłożyć na co najwyżej n wielomianów pierwsze-
go stopnia).
Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek (po-
nieważ w jego rozkładzie na czynniki musi występować co najmniej
jeden czynnik pierwszego stopnia).
W takim razie wielomian stopnia trzeciego zawsze ma jakiś pierwiastek, ale
nie może mieć ich więcej niż trzy. Natomiast wielomian czwartego stopnia
może nie mieć pierwiastków, ale jeśli ma pierwiastki, to nie więcej niż
cztery.
Zapisz wielomian jak najniższego stopnia, który ma sześć pierwiastków.
E
Rozważmy następujące wielomiany:
W (x) =(x -7)(x -5)2 P (x) =(x -7)2(x -5)3
Pierwiastkami każdego z tych wielomianów są liczby 7 i 5.
W rozkładzie wielomianu W (x) na czynniki dwumian x -7 występuje raz,
a dwumianx-5 występuje dwa razy, gdyż W (x) =(x-7)(x-5)(x-5). Mówimy,
że liczba 7 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), a liczba 5
 jego dwukrotnym pierwiastkiem.
RÓWNANIA WIELOMIANOWE 89
Zauważ, że w rozkładzie wielomianu P (x) na czynniki dwumian x - 7
występuje dwa razy, a dwumian x - 5 występuje trzy razy, gdyż P (x) =
= (x -7)(x -7)(x -5)(x -5)(x -5). Mówimy, że liczba 7 jest dwukrotnym
pierwiastkiem wielomianu P (x), a liczba 5 jest pierwiastkiem trzykrotnym
tego wielomianu.
Niech W (x) będzie wielomianem niezerowym. Liczbę a nazywamy k-krot-
nym pierwiastkiem wielomianu W (x), gdy ten wielomian możemy przed-
stawić w postaci:
W (x) =(x - a)k � P (x),
gdzie P (x) jest pewnym wielomianem i liczba a nie jest jego pierwiastkiem
(czyli P (a) =0).

Liczba -1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), a liczba 7 jest
F
jego pierwiastkiem pięciokrotnym. Co można powiedzieć o stopniu wielomia-
nu W (x)?
Na początku tego rozdziału przypomnieliśmy wzory pozwalające obliczać
pierwiastki wielomianu postaci ax2 + bx + c, gdzie a = 0. Ze wzorówtych

wynika, że taki wielomian może mieć dwa pierwiastki (i każdy z tych pier-
wiastków jest jednokrotny) lub może mieć jeden pierwiastek (i pierwiastek
ten jest dwukrotny), lub może wcale nie mieć pierwiastków. Możemy bo-
wiem korzystać z następującej własności wielomianu drugiego stopnia.
Wielomian W (x) =ax2 + bx + c , gdzie a =0 , ma:

dwa pierwiastki x1 i x2 wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) = a(x - x1)(x - x2)
i x1 = x2,

jeden pierwiastek x0 wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) =a(x - x0)2.
Wyrażenie a(x - x1)(x - x2), a także wyrażenie a(x - x0)2 nazywamy postacią
iloczynową wielomianu drugiego stopnia.
Znajdz
pierwiastki wielomianu i określ ich krotności.
G
1. x3(x - 3)(x +1)4
3. (x - 1)(x2 -6x +5)
2. (x +2)2(x +5)3(x +2)
4. (x - 3)(x2 -6x +9)
ZADANIA
1. Znajdz
liczby spełniające równanie:
a) (x - 3)(2x + 5)(4 - 3x)2 =0 d) x3(x3 - 1)(1 + x3) =0
b) (x +5)(x2 + x - 20)(x2 -5) =0 e) (x3 +2x)(x3 +2)(x3 + x) =0
c) (2x2 +9x + 9)(9x2 +1) =0 f) (4x2 -8x + 6)(4x2 -8x)(-8x +6) =0
90 WIELOMIANY
2. Rozwiąż równanie:
a) -5x4 +3x3 +14x2 =0 g) 4x3 -14x2 +6x -21=0
b) 4x4 -5x2 +1=0 h) 15x5 -10x4 -6x +4=0
c) 2x5 +5x3 -12x =0 i) 2x5 -8x3 +16x2 -64=0
d) 2x7 - x4 - x =0 j) 3x5 -12x3 -12x2 +48=0
e) 6x3 +6x2 -3x -3=0 k) 5x5 + x3 -6=30x2
f) 2x5 -18x3 +2x2 -18=0 l) 5=3x +5x4 -3x5
3. Znajdz
pierwiastki wielomianu W (x).
a) W (x) =x4 -4x3 +8x2 -24x +12 d) W (x) =x3 -5x -4
b) W (x) =x4 -3x3 +5x2 -3x +4 e) W (x) =x3 -6x +4
c) W (x) =x4 +3x3 - x2 -6x -2 f) W (x) =4x3 -3x +1
Wskazówka. Przedstaw jeden z wyrazów wielomianu jako sumę dwóch jednomianów.
4. Rozwiąż równanie (postaraj się znalez
ć rozwiązania w jak najprostszy sposób):
a) (2x -1)2 = 100 e) x2(x -5) =x2
b) (5 - x)3 =-8 f) x(3-2x) =(3-2x)2
c) (5-2x)2 =(3+x)2 g) (x -4)2(2x -7) =(x -4)3(2x -7)
d) (x2 -9)3 =(2x2 - 10)3 h) x(x -2)2(x +9) =x(x -2)(x +9)
5. Niech n będzie pewną liczbą naturalną większą od 0. Ile rozwiązań ma podane
równanie? Dla jakich wartości n wszystkie pierwiastki tego równania są liczbami
całkowitymi?
a) xn+1 - 125x = xn - 125x2 b) xn+2 + x4 = 100xn + 100x2
6. a) Znajdz
liczbę, o której wiadomo, że suma tej liczby i sześcianu liczby o 1 od
niej mniejszej wynosi 11.
b) Znajdz
liczbę, której sześcian jest równy sumie tej liczby i jej kwadratu.
c) Znajdz
liczbę, której kwadrat jest o 2 mniejszy od jej czwartej potęgi.
7. Uzasadnij następującą własność:
Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynni-
ków tego wielomianu jest równa 0.
8. Uzasadnij, że jeśli wielomian W (x) = ax7 + bx5 + cx3 + dx + e spełnia warunek
W (-1) = -W (1), to 0 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
RÓWNANIA WIELOMIANOWE 91
9. Które z podanych równań nie mają rozwiązań? Odpowiedz na to pytanie, nie
rozwiązując równań.
a) x4 +1=0 d) 3x2 +4x8 +2=0 g) (x4 +2)3 =-8
b) x2 -2=0 e) (3x -4)6 +5=0 h) (x2 -7)5 +1=0
c) 3x2 + x4 =0 f) 2(x2 -7) =-4 i) (x -1)2 =(x -1)4
10. Podaj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym
z pierwiastków jest:
" " " "
a) 5 b) 1+ 7 c) 5+ 7
11. Znajdz
pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności.
a) x7(x -1)3(x +2)(x +5)5 e) (x -1)(x5 -5x4 +4x3)
b) x(x +3)2(2x -1)3(x +3) f) (3x4 - x3 +3x -1)(x +1)3
c) (x +2)4(3x +4)2(x +2)3 g) (x2 -1)2(x6 -2x5 + x4)
d) (x2 -9)(x2 +2x - 15)2(x2 -2x +3) h) (x3 - x2)(x6 + x4 - x2 -1)
12. Podaj przykład wielomianu, który spełnia podany warunek.
a) Liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, a liczba -10 jest pierwiastkiem cztero-
krotnym wielomianu.
1 2
b) Liczby i są pierwiastkami dwukrotnymi i wszystkie współczynniki wielomia-
2 3
nu są liczbami całkowitymi.
c) Liczba -5 jest pierwiastkiem pięciokrotnym i stopień wielomianu jest równy 7.
"
d) Stopień wielomianu jest równy 10, jedynymi pierwiastkami są liczby 0, -2, - 2,
przy czym 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, -2 jest pierwiastkiem trzykrotnym,
"
a - 2 jest pierwiastkiem jednokrotnym.
13. Znajdz
liczby p i q, dla których równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny.
a) 8x3 -36x2 + px + q =0 c) 125x3 + px2 + qx +8=0
1 3
b) px3 + qx2 + x -1=0 d) x3 + px2 + x + q =0
8 2
Wskazówka. Wielomian trzeciego stopnia, który ma pierwiastek trzykrotny, można przed-
stawić w postaci (ax + b)3.
14. Ustal krotności pierwiastków równania (2x2 + px + 1)2 = 0 w zależności od
wartości p.
15. Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) i m-krotnym pierwiast-
kiem wielomianu V (x) (k > m). Uzasadnij, że liczba a jest także pierwiastkiem
wielomianu Z(x), i ustal, jaką ma krotność, jeśli:
a) Z(x) =W (x) � V (x) b) Z(x) =W (x)2(V (x) +3) c) Z(x) =W (x) +V (x)
92 WIELOMIANY
TEST
T1. Wielomian (4x2 + 5)(4x2 - x -7)(x +6)2 ma:
A. sześć pierwiastków C. trzy pierwiastki
B. cztery pierwiastki D. jeden pierwiastek
T2. Suma rozwiązań równania 6x3 -2x2 -24x +8=0 jest równa:
1 1
A. -2 B. C. 2 D. 4
3 3
T3. Liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu:
A. x(x -1)(x2 -1) C. x3(3x -1)(x -3)
B. (x +1)3(x2 +1)3 D. (2x -2)(x2 -2x +1)
DZIELENIE WIELOMIANÓW
Wiadomo, że jeśli dana liczba naturalna a jest iloczynem pewnych dwóch
liczb, to w wyniku dzielenia liczby a przez jedną z tych liczb otrzymamy
drugą z nich.
Na przykład równość:
4503 = 57 � 79
możemy zapisać w postaci:
4503 : 57 = 79
Oznacza to, że liczba 4503 jest podzielna przez 57. W analogiczny sposób
będziemy rozumieć dzielenie wielomianów.
Wiesz już, że wielomiany można rozkładać na czynniki. Na przykład wie-
lomian W (x) =2x3 -4x2 +3x - 6 można zapisać w postaci iloczynu:
2x3 -4x2 +3x -6=(x - 2)(2x2 +3)
Powyższą równość będziemy także zapisywać inaczej:
(2x3 -4x2 +3x -6) : (x -2) =2x2 +3
Mówimy wówczas, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x -2.
Wynikiem dzielenia wielomianu W (x) przez x - 2 jest wielomian 2x2 +3.
Uwaga. Wielomian W (x) jest także podzielny przez dwumian 2x2 +3.
DZIELENIE WIELOMIANÓW 93
MIANÓW
O
EL
Jaki wielomian należy wstawić w miejsce kropek?
A
1. 3x5 + x3 = x2(.......)
(3x5 + x3) : x2 = .......
2. 6x7 -8x4 =2x3(.......)
(6x7 -8x4) : 2x3 = .......
3. x2 +2x +1=(x + 1)(.......)
(x2 +2x +1) : (x +1) = .......
4. 2x4 - x3 +2x2 - x =(2x - 1)(.......)
(2x4 - x3 +2x2 - x) : (2x -1) = .......
Mówimy, że wielomian W (x) jest podzielny przez niezerowy wielomian
P (x), jeśli istnieje taki wielomian Q(x), że:
Piszemy wówczas: W (x) : P(x) =Q(x).
W (x) =P (x) � Q(x)
Zauważ, że po rozłożeniu danego wielomianu na czynniki łatwo można
wskazać wielomiany, przez które jest on podzielny, i podać wyniki takiego
dzielenia.
Rozłóż wielomian x5 -4x3 +x2 -4 na czynniki, wypisz kilka wielomianów, przez
B
które ten wielomian jest podzielny, a następnie określ wynik dzielenia:
1. (x5 -4x3 + x2 -4) : (x -2)
2. (x5 -4x3 + x2 -4) : (x3 +1)
3. (x5 -4x3 + x2 -4) : [(x + 2)(x3 + 1)]
4. (x5 -4x3 + x2 -4) : (x2 -4)
Istnieje metoda, która pozwala znalez
ć wynik dzielenia dwóch wielomia-
nów bez konieczności rozkładania pierwszego z nich na czynniki. Metoda
ta przypomina pisemne dzielenie liczb naturalnych. Aby się nią posługi-
wać, potrzebna jest sprawność w obliczaniu ilorazu jednomianów.
Znajdz
wynik dzielenia jednomianów (zapisz go w jak najprostszej postaci).
C
1. 12x7 : 4x2
4. (-4x5) : 6x2
2. (-8x5) : 2x3
5. 1,5x10 : (-3x8)

1
1 1
3. x4 : 2x3
6. x11 : - x7
2
6 3
94 WIELOMIANY
Pokażemy teraz, w jaki sposób znalez
ć wynik dzielenia W (x) : P (x), gdzie
W (x) =6x2 + x -2 i P (x) =2x + 1. Oto kolejne etapy dzielenia:
Upewnij się, że otrzymany wynik jest poprawny  pomnóż wielomian 3x -2
D
przez wielomian 2x +1.
Zauważ, że przy wykonywaniu dzielenia przedstawioną wyżej metodą obli-
czaliśmy różnice pewnych wielomianów (na przykład obliczaliśmy różnicę
(6x2 - x -2)-(6x2 +3x)). Gdy wykonujemy takie działania, łatwo o pomyłkę,
dlatego warto nieco zmienić sposób zapisu dzielenia:
DZIELENIE WIELOMIANÓW 95
P Wykonaj dzielenie wielomianów.
Wykonaj dzielenie (6x3 +13x2 -26x +7) : (2x2 +5x - 7), a następnie sprawdz

E
otrzymany wynik, mnożąc odpowiednie wielomiany.
Podobnie jak przy dzieleniu liczb naturalnych, dzieląc wielomian przez
inny wielomian, możemy otrzymać resztę różną od 0.
Liczby Wielomiany
32 2x -7
552 : 17
(2x3-7x2-2x-6) : (x2 +3)
- 51
-2x3-6x
42
-7x2 -8x -6
- 34
7x2 +21
8 �!- reszta
-8x +15 �!- reszta
Wykonując dzielenie (2x3 -7x2 -2x -6) : (x2 +3),
Wykonując dzielenie 552 : 17,
otrzymujemy 2x -7 i resztę -8x + 15,
otrzymujemy 32 i resztę 8,
zatem:
zatem:
2x3 -7x2 -2x-6 = (2x-7)(x2 +3)+(-8x+15)
552 = 32 � 17+8
Stopień reszty jest mniejszy od stopnia wielomianu,
Reszta jest mniejsza od liczby,
przez który dzielimy.
przez którą dzielimy.
P Wykonaj dzielenie wielomianów.
(2x7 -10x5 -6x4 +2) =(2x3 -6)(x4 -5x2) + (-30x2 +2)
Jeśli dane są wielomiany W (x) i P (x), to obliczając iloraz W (x) : P (x), otrzy-
mamy pewien wielomian Q(x) oraz pewną resztę R(x), która jest równa 0
lub jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia P (x).
96 WIELOMIANY
Wielomian W (x) można zatem zapisać w postaci:
W (x) =P (x) � Q(x) + R(x)
Uwaga. Wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P(x) tylko wtedy, gdy
reszta z dzielenia W (x) : P(x) jest równa 0 (wówczas W (x) =P(x) � Q(x)).
Znajdz
resztę z dzielenia wielomianu W (x) = 2x3 - 7x2 + x przez wielomian
F
P(x) =x2 - 1, a następnie sprawdz
wynik, wykonując odpowiednie działania.
Zauważ, że jeśli dzielimy wielomian przez dwumian pierwszego stopnia, to
reszta jest zawsze liczbą, gdyż albo jest zerem, albo wielomianem stopnia
mniejszego niż 1 (czyli wielomianem stopnia 0).
ZADANIA
1. Podaj przykłady trzech wielomianów różnych stopni, przez które podzielny jest
zarówno wielomian W (x), jak i wielomian V (x).
a) W (x) =-(3x +2)4(2x +5)3, V (x) =(2x +5)3(x +2)
1
b) W (x) = (2x -1)5(4x -1)(x2 +2), V (x) =(x2 +2)5(2x -1)2(x -4)
3
2. Wykonaj dzielenie:
a) (x3 -8x2 +17x - 10) : (x -5) e) (-4x4 +12x3 -5x2 +17x -6) : (x -3)
b) (3x3 +8x2 -18x -8) : (x +4) f) (12x4 +14x3 -8x2 -16x +5) : (6x -5)
c) (9x3 -18x2 -4x +1) : (3x +1) g) (-6x6 -7x5 -2x4 +9x +6) : (3x +2)
d) (x4 -2x3 + x2 + x -1) : (1-x) h) (30x8 -6x7 +10x6 -2x5 -5x+1) : (5x -1)
3. Wykonaj dzielenie:
a) (10x5 -2x4 +15x3 +5x2 + 12) : (2x2 +3)
b) (-2x5 +6x4 -12x2 +8x) : (x2 -3x +2)
c) (15x8 +7x6 +3x4 +12x2 - 10) : (5x4 - x2 +5)
4. Znajdz
taki wielomian W (x), aby spełniona była równość:
a) (2x2 -7) � W (x) =2x4 +4x3 - x2 -14x -21
b) (x2 -3)(x +1) � W (x) =5x5 +2x4 -18x3 -6x2 +9x
c) -9x3 +10x2 +5+W (x) � (2x2 +3x -5) =3x(2x3 - x +1)
DZIELENIE WIELOMIANÓW 97
5. Obok zapisano pięć różnych wielomianów. Nie
1 3x4 +2x -3
wykonując dzielenia, wskaż, który wielomian jest
wynikiem dzielenia:
2 2x4 -3x +2
a) (3x6 +9x4 +2x3 -3x2 +6x -9) : (x2 +3)
3 2x3 +2x +3
b) (3x5 -2x4 -3x3 -3x2 +2x +3) : (x3 -1)
4 3x2 -2x -3
c) (6x6 -2x4 -9x3 +6x2 +3x -2) : (3x2 -1)
5 3x3 +3x -2
d) (6x5 +15x3 -4x2 +9x -6) : (2x2 +3)
6. Ustal, jakie liczby należy wstawić w miejsce kratek, aby spełniona była równość:
a) (6x4 + x2 + ) : ( x2 +2) =3x2 +1
b) ( x6 +9x4 -20x3 + x2 + x) : (x3 -2x +5) =-4x3 + x
c) ( x6 -2x4 + ) : (4x2 +2) =3x4 - x2 +1
7. Znajdz
resztę z dzielenia wielomianu 6x5 +2x2 -5x +7 przez wielomian:
a) x3 -5 b) x2 +1 c) x5 -3
8. Wykonaj dzielenie z resztą:
a) (-21x3 +22x2 -20x) : (3x -1) d) (-9x4 -6x3 + x +6) : (-3x2 -2x +1)
b) (8x4 +2x3 -11x2 -8x - 14) : (2x +3) e) (-10x5 +8x4 -2x3 +20x2) : (2x3 -4)
c) (10x3 -4x2 +19x -9) : (2x2 +3) f) (15x5 +18x3 -6x2 -4) : (5x3 + x -2)
9. Znajdz
taki wielomian W (x), że po podzieleniu go:
a) przez 2x3 - x2 + 5 otrzymamy wielomian x2 -5 oraz resztę 4x2 + 25,
b) przez 5x2 + 4 otrzymamy wielomian -3x3 -5x +2 oraz resztę 3x -2,
c) przez 2x5 -3x+4 otrzymamy wielomian x2 -2x +3 oraz resztę -10x2 +17x -12.
10. Podaj przykład takiego wielomianu, aby reszta z jego dzielenia przez wielo-
mian x3 +2 była:
a) liczbą,
b) wielomianem stopnia pierwszego,
c) wielomianem stopnia drugiego.
11. Dzieląc wielomian W (x) przez wielomian P (x), otrzymamy pewien wielomian
Q(x) i resztę. Nie wykonując dzielenia, określ stopień wielomianu Q(x), gdy:
1
a) W (x) =x5 +3x3 -3, P (x) =x3 -2x2 c) W (x) =3x6 -2x, P (x) =- x6 + x4 -3
2
b) W (x) =-2x4 -7x +1, P (x) =x +1 d) W (x) =4x12 -9x2 + x -5, P (x) =x2
98 WIELOMIANY
Dzieląc dowolny wielomian W (x) przez dwumian postaci x - a, możemy skorzystać
z uproszczonej metody zwanej schematem Hornera.
Sposób dzielenia tą metodą pokazano poniżej na przykładzie dzielenia wielomianu
W (x) =x4 -4x3 +2x2 -25 przez dwumian x -4.
W wyniku dzielenia wielomianu x4-4x3+2x2-25 przez dwumian x-4 otrzymujemy
x3 +2x +8 oraz resztę 7, czyli:
(x4 -4x3 +2x2 - 25) = (x - 4)(x3 +2x +8) +7
12. Zapisz dowolny wielomian piątego stopnia. Następnie podziel go przez dwu-
mian x + 4. Wykonaj to dzielenie dwoma sposobami  korzystając z poznanej
wcześniej metody oraz ze schematu Hornera.
Wskazówka. Dwumian x + 4 jest dwumianem postaci x - a dla a = -4.
13. Korzystając ze schematu Hornera, wykonaj dzielenie:
a) (x3 -6x2 +12x -8) : (x -2) d) (x5 -9x3 +2x +5) : (x +3)
b) (x4 + x3 + x2 +4x +3) : (x +1) e) (5x5 -7x4 - x3 +4x2 +3x) : (x -1)
c) (2x4 -8x3 +5x - 20) : (x -4) f) (-3x4 +2x -3) : (x +2)
DZIELENIE WIELOMIANÓW 99
C
IE
K
A
W
O
S
TK
A
TEST
T1. Przez który z wielomianów nie jest podzielny wielomian (2x -1)(x +1)(x -2)?
A. 2x +2 B. x2 - x -2 C. 2x2 + x -1 D. x2 +2x +1
T2. Wynikiem dzielenia wielomianu 6x4 -13x3 -17x2 +10x-12 przez dwumian x-3
jest wielomian ax3 + bx2 + cx + d. Która z wartości współczynników tego wielomianu
jest prawidłowa?
A. a =3 B. b =5 C. c =2 D. d =-4
T3. Reszta z dzielenia wielomianu 2x4 -2x3 -5x2 +2x +5 przez dwumian x2 -1 jest
równa:
A. 2 B. 2x +5 C. -3x +2 D. x -1
TWIERDZENIE B�ZOUT
1. Sprawdz
, że pierwiastkiem każdego z poniższych wielomianów jest liczba 7.
A
2. Które z podanych wielomianów są podzielne przez dwumian x -7?
(x - 7)(x5 -2x3 +8) (x - 7)(x - 16) x3 -7x2
Każdy z wielomianów w ćwiczeniu A można zapisać w postaci (x -7)� P (x),
gdzie P (x) jest pewnym wielomianem. Można więc powiedzieć, że każdy
z tych wielomianów jest podzielny przez dwumian x-7 oraz że liczba 7 jest
pierwiastkiem każdego z tych wielomianów, gdyż (7 - 7) � P (7) = 0 � P (7) = 0.
Ogólną własność wielomianów, która wiąże pierwiastek wielomianu z po-
dzielnością tego wielomianu przez pewien dwumian, opisuje poniższe
twierdzenie.
Twierdzenie B�zout
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wie-
lomian ten jest podzielny przez dwumian x - a.
Uwaga. Powyższe twierdzenie można zapisać w następujący sposób:
W (a) =0 �! W (x) : (x - a) =P(x) , gdzie P(x) jest pewnym wielomianem
�!
Zauważ, że twierdzenie składa się z dwóch części:
1. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to wielomian ten jest
podzielny przez dwumian x - a.
2. Jeśli wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x - a, to liczba a jest
pierwiastkiem tego wielomianu.
100 WIELOMIANY
�ZOUT
B
ENIE
Dowód
Zauważmy najpierw, że wielomian W (x) można zapisać w postaci:
P(x) jest pewnym wielomianem, a R  pewną
resztą; w tym wypadku reszta R jest liczbą,
W (x) =(x - a) � P(x) +R
gdyż albo jest równa 0, albo jest wielomia-
nem, którego stopień jest niższy od stopnia
wielomianu, przez który dzielimy.
Wobec tego:
W (a) =(a - a) � P(a) +R =0� P(a) +R = R
Otrzymaliśmy zatem równość: W (a) =R.
Korzystając z tej równości, udowodnimy obie części twierdzenia.
1. Załóżmy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), czyli, że W (a) =0.
Ponieważ W (a) =R, zatemR = 0. Wynika stąd, że wielomian W (x) jest podziel-
ny przez dwumian x - a.
2. Załóżmy teraz, że wielomian W (x) dzieli się przez dwumian x - a, czyli że
R =0.
Ponieważ W (a) = R, zatem W (a) = 0. Wynika stąd, że liczba a jest pierwiast-
kiem wielomianu W (x).
Analizując dowód twierdzenia B�zout, można zauważyć, że przy okazji
uzasadniona została pewna ważna własność wielomianów:
Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x - a jest równa W (a).
1. Dany jest wielomian W (x) = x4 + x3 -7x2 - x + 6. Korzystając z twierdzenia
B
B�zout, ustal, przez który z podanych dwumianów dzieli się wielomian W (x).
x -1 x +1 x -2 x +2
2. Ustal reszty z dzielenia podanych wielomianów przez dwumian x -2.
1
A(x) =x3 - x2 +3x -5 B(x) = x5 - x2 -7x +1 C(x) =x4 -6x3 +5x2 +12
4
�tienne B�zout (1730  1783) był francuskim matematykiem. Zajmował się
algebrą, ale znany jest głównie jako autor doskonałych podręczników. Je-
go książki napisane są niezwykle przystępnie, językiem precyzyjnym, ale
nie całkiem naukowym. Sześciotomowe dzieło B�zout  Kurs matematyki ,
przetłumaczone na angielski, było przez wiele lat podstawowym podręcz-
nikiem na Uniwersytecie Harvarda. Twierdzenie o podzielności wielomianu
przez dwumian nie zostało ani sformułowane, ani udowodnione przez
B�zout  było znane już wcześniej. Właściwie nie wiadomo, dlaczego
w Polsce jest nazywane twierdzeniem B�zout. W większości krajów, nawet
we Francji, nie używa się takiej nazwy.
TWIERDZENIE B�ZOUT 101
C
IE
K
A
W
O
S
TK
A
Z twierdzenia B�zout można korzystać przy rozwiązywaniu niektórych
równań.
Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie wielomianowe W (x) =0i wiemy,
że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x).
Z twierdzenia B�zout wynika, że wielomian W (x) jest podzielny przez
x - a. Wobec tego po wykonaniu dzielenia W (x) : (x - a) otrzymamy pe-
wien wielomian Q(x), który jest wielomianem niższego stopnia niż W (x).
W (x) =(x - a) � Q(x)
Równanie W (x) = 0 możemy więc zapisać w postaci:
(x - a) � Q(x) =0
Pozostałe pierwiastki znajdziemy, rozwiązując równanie niższego stopnia:
Q(x) =0.
P Sprawdz
, że liczba 1 jest rozwiązaniem równania x3 -3x2 + 2 = 0. Znajdz
pozo-
stałe rozwiązania tego równania.
Sprawdzamy, że liczba 1 spełnia równanie
13 -3� 12 +2=1-3+2=0
x3 -3x2 +2=0.
x2 -2x -2
(x3 -3x2 +2) : (x -1) Dzielimy wielomian x3 -3x2 +2 przez dwu-
mian x - 1, aby rozłożyć go na czynniki.
-x3 + x2
-2x2 +2
2x2 -2x
-2x +2
2x -2
0
x3 -3x2 +2=(x -1)(x2 -2x -2)
(x -1)(x2 -2x -2) =0 Zapisujemy równanie w innej postaci.
x =1 lub x2 -2x -2=0
"=4-4� (-2) = 12
" " "
"= 12 = 2 3
Rozwiązujemy równanie niższego (drugiego)
stopnia.
"
"
2-2 3
x1 = =1- 3
2
"
"
2+2 3
x2 = =1+ 3
2
" "
Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x1 =1- 3, x2 =1+ 3, x3 =1.
102 WIELOMIANY
Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem
Zauważ, że jeśli liczba a jest
wielomianu W (x), gdy W (x) można
k-krotnym pierwiastkiem wie-
przedstawić w postaci:
lomianu W (x), to wielomian
W (x) =(x - a)k � P(x),
ten jest podzielny przez wie-
lomian (x - a)k, a nie jest po-
gdzie P(x) jest wielomianem i P(a) =0.

dzielny przez (x - a)k+1.
Jeśli W (x) = (x - a)k �P (x) i P (a) = 0, to z twierdzenia B�zout wynika, że

wielomian W (x) nie jest podzielny przez (x - a)k+1. Gdyby bowiem wielo-
mian W (x) był podzielny przez (x - a)k+1, to wielomian P (x) musiałby być
podzielny przez x - a. Z twierdzenia B�zout wynika, że zachodziłaby rów-
ność P (a) = 0, a zakładaliśmy, że P (a) =0.

ZADANIA
1. Nie wykonując dzielenia, sprawdz
, czy wielomian W (x) jest podzielny przez dwu-
mian V (x), jeśli:
1 1 1
a) W (x) =5x14 -6x +1, V (x) =x -1 d) W (x) = x4-x2+ x- , V (x) =x-3
9 2 2
1 1
b) W (x) =3x7 - x3 + x2 +1, V (x) =x +1 e) W (x) =x4- x3-4x2 +1, V (x) =x-
2 2
"
c) W (x) =x3 +3x2 + x - 10, V (x) =x +2 f) W (x) =x8-3x4 +x3-27, V (x) =x+ 3
2. a) Dla jakiej wartości a wielomian 5x5 - ax3 +3x2 - 6x jest podzielny przez
dwumian x -2?
1
b) Dla jakiej wartości p wielomian px5 - px3 - x + 2 jest podzielny przez dwumian
2
x +2?
3. a) Wykaż, że dla dowolnej liczby a wielomian xn - an jest podzielny przez dwu-
mian x - a. Wykaż też, że gdy n jest liczbą parzystą, to wielomian xn - an jest też
podzielny przez dwumian x + a.
b) Każdy z poniższych wielomianów przedstaw w postaci iloczynu dwóch wielo-
mianów, z których jeden jest dwumianem pierwszego stopnia.
x5 -1 x6 -64 x6 -27
4. Nie wykonując dzielenia, znajdz
resztę z dzielenia:
a) (3x7 -5x6 +4x5 -7) : (x -1) d) (10x5 - 13) : (x -2)
b) (8x10 -4x8 +7x7 +2) : (x +1) e) (5x4 -6x3) : (x + 10)

1 2 1
c) (81x4 -9x2 + x -1) : (x -3) f) - x7 + x3 + : (x +3)
81 9 3
TWIERDZENIE B�ZOUT 103
5. a) Dla jakiej wartości a reszta z dzielenia wielomianu 6x3 -4ax2 + x -3 przez
1
dwumian x - jest równa 1?
2
b) Dla jakiej wartości p reszta z dzielenia wielomianu x4 - x3 + px2 +2x + p przez
dwumian x +1 jest równa 9?
6. a) Dla jakich wartości m i n wie-
lomian 5x4 + 4x3 + mx2 + nx + 1 jest
Liczby a i b (gdzie a = b) są

podzielny przez dwumian x2 -1?
pierwiastkami wielomianu W (x)
b) Wielomian x4 - 2tx3 + 3tx2 + x + s
wtedy i tylko wtedy, gdy wielo-
jest podzielny przez trójmian x2 - x -2.
mian W (x) jest podzielny przez
Znajdz
liczby t i s.
(x - a)(x - b).
c) Korzystając z twierdzenia B�zout,
udowodnij twierdzenie podane obok.
" "
7. Uzasadnij, że wielomian x5 -3x3 + 2x2 +2x -2 2 jest podzielny przez x2 -2.
8. a) Reszta z dzielenia wielomianu 2x3 + x2 - x +7 przez dwumian x - a wynosi 7.
Oblicz wartość a.
b) Reszty z dzielenia wielomianów 2x3 +5x2 -5x -7 i 2x3 +4x2 -2x +3 przez
dwumian x - a są takie same. Znajdz
liczbę a.
9. Sprawdz
, że podana liczba jest pierwiastkiem równania, a następnie znajdz
jego
pozostałe pierwiastki.
a) 2x3 - x2 -8x +4=0, 2 d) 4x3 -4x2 -15x + 18 = 0, -2
b) 6x3 -29x2 -6x +5=0, 5 e) x4 - x3 -14x2 +2x +24=0, -3
c) x3 +7x2 -5x -75=0, 3 f) x4 +8x3 +19x2 +32x + 60 = 0, -5
10. Sprawdz
, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), i rozłóż ten wielo-
mian na czynniki stopnia pierwszego.
a) W (x) =3x3 -35x2 +48x + 20, a =10
b) W (x) =10x3 +63x2 -48x +7, a =-7
c) W (x) =x4 +7x3 +2x2 -28x - 24, a =-6
d) W (x) =2x4 -3x3 -24x2 +6x + 40, a =4
11. Liczby 3 i -2 są pierwiastkami wielomianu x5 -15x3 -10x2 +60x + 72. Określ
krotności tych pierwiastków.
104 WIELOMIANY
12. Podana liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem danego wielomianu. Znajdz
po-
zostałe pierwiastki tego wielomianu.
a) x4 +3x3 -23x2 +33x - 14, 1 c) x4 +20x3 +96x2 -80x - 400, -10
b) x4 - x3 -10x2 +4x + 24, -2 d) x4 -2x3 -11x2 +12x + 36, 3
13. a) Liczby 2 i -3 są pierwiastkami wielomianu ax3 +bx2 -11x+30 . Znajdz
trzeci
pierwiastek tego wielomianu.
b) Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu x3 + mx2 -7x + n . Znajdz

trzeci pierwiastek tego wielomianu.
14. a) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x+2 wynosi 7, a reszta z dzielenia
tego wielomianu przez x - 1 wynosi 1. Znajdz
resztę z dzielenia wielomianu W (x)
przez wielomian (x +2)(x -1).
b) Reszta z dzielenia wielomianu V (x) przez x - 3 wynosi -45, a reszta z dzielenia
tego wielomianu przez x + 1 wynosi -1. Znajdz
resztę z dzielenia wielomianu W (x)
przez wielomian x2 -2x -3.
Wskazówka. Szukana reszta ma postać ax + b.
TEST
T1. Tylko jeden z poniższych wielomianów nie jest podzielny przez dwumian x-1.
Wskaż ten wielomian.
A. 16x7 -5x -11 C. x11 -1
B. x8 -5x6 - x5 +3x2 +2x D. 2x5 -2x3 -1
T2. Wielomian x6 - x3 - 6 jest podzielny przez:
" " " "
3 3
A. x - 2 B. x + 2 C. x - 2 D. x + 2
T3. Dla jakiej wartości m wielomian x3 +mx2 +mx+3 jest podzielny przez dwumian
x +3?
A. m =-3 B. m =4 C. m =5 D. m =10
T4. Dzielenie wielomianu x3 - x2 - x + 1 przez który z poniższych dwumianów daje
największą resztę?
A. x -2 B. x -1 C. x +1 D. x +2
TWIERDZENIE B�ZOUT 105
RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.)
Aby skorzystać z twierdzenia B�zout przy rozwiązywaniu równania wie-
lomianowego, trzeba znać przynajmniej jedną liczbę spełniającą to rów-
nanie. Nawet gdy taka liczba istnieje, na ogół trudno ją znalez
ć. Czasem
jednak poszukiwanie pierwiastków wielomianu można usystematyzować.
W tym rozdziale omówimy jedną z metod pozwalających znajdować pier-
wiastki niektórych wielomianów.
Przyjrzyj się poniższym równaniom i nie rozwiązując ich, odpowiedz, o którym
A
z nich możemy powiedzieć, że na pewno nie ma rozwiązań, które są liczbami
całkowitymi.
"
1
1 x3 +3x + =0 2 x3 - x2 + x -1=0 3 x3 + x2 + x - 2=0
2
Będziemy się teraz zajmować równaniami wielomianowymi, w których
wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Spróbujemy odkryć, ja-
kie warunki musiałyby być spełnione, aby jednym z rozwiązań tego typu
równania mogła być liczba całkowita.
Przypuśćmy na przykład, że szukamy rozwiązań równania:
x3 -2x2 -5x +6=0
To równanie możemy zapisać w postaci:
x(x2 -2x -5) =-6
Wiadomo, że jeśli x jest liczbą całkowitą, to także x2 -2x -5 jest liczbą
całkowitą.
Z powyższej równości wynika, że liczba -6 jest iloczynem dwóch liczb: x
oraz x2-2x-5. Zatem jeśli liczba x jest całkowitym rozwiązaniem równania,
to musi być dzielnikiem liczby -6. Jest więc także dzielnikiem liczby 6.
Liczba 6 ma osiem całkowitych dzielników: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. Aby
się dowiedzieć, które liczby całkowite są rozwiązaniami rozważanego rów-
nania, wystarczy sprawdzić, która z tych ośmiu liczb spełnia to równanie.
Dla x = 1 otrzymamy: 13-2�12-5�1+6 = 0. Zatem liczba 1 jest rozwiązaniem
danego równania.
Dla x = -1 otrzymamy: (-1)3 -2� (-1)2 -5� (-1) + 6 =0. Zatemliczba -1nie

jest rozwiązaniem tego równania.
Obliczając odpowiednie wartości wielomianu, znajdz
pozostałe całkowite roz-
B
wiązania omawianego wyżej równania x3 -2x2 -5x +6=0.
106 WIELOMIANY
CD.)
(
MIANOWE
O
L
E
I
W
Aby rozwiązać równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych,
możemy skorzystać z następującego twierdzenia:
Twierdzenie (o rozwiązaniach całkowitych)
Załóżmy, że w równaniu wielomianowym:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 =0
wszystkie współczynniki an, an-1, ..., a0 są liczbami całkowitymi i a0 = 0.

Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba całkowita, to jest ona dzielni-
kiem wyrazu wolnego a0.
Dowód
Oznaczmy przez c liczbę całkowitą, która jest rozwiązaniem równania:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 =0,
gdzie współczynniki an, an-1, ..., a1, a0 są liczbami całkowitymi i a0 =0.

Wobec tego spełniona jest równość:
ancn + an-1cn-1 + ... + a1c + a0 =0
Zapiszmy tę równość w postaci:

c ancn-1 + an-1cn-2 + ... + a1 =-a0
Założyliśmy, że a0 =0, zatem c = 0. Wobec tego obie strony równości możemy

podzielić przez c.
ancn-1 + an-1cn-2 + ... + a1 =-a0
c
Liczba ancn-1 + an-1cn-2 + ... + a1 jest całkowita (bo założyliśmy, że wszystkie
a0
współczynniki równania są liczbami całkowitymi). Wynika stąd, że liczba
c
jest liczbą całkowitą, a więc liczba a0 musi być podzielna przez c.
Wykazaliśmy w ten sposób, że liczba c jest dzielnikiem liczby a0.
Wykaż, że podane równanie nie ma rozwiązań całkowitych.
C
1. x5 +2x -11=0
2. x7 +7=x 3. 4x8 -2=x10
Znajdz
wszystkie całkowite rozwiązania równania:
D
1. 3x5 -4x2 +1=0
2. x4 + x3 - x2 + x -2=0 3. 2x11 +8x7 +10=0
1
Sprawdz
, że rozwiązaniem równania x2 - x - 3 = 0 jest liczba 2, chociaż
E
2
rozwiązanie to nie jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyjaśnij, dlaczego nie
jest to sprzeczne z powyższym twierdzeniem.
Stosując powyższe twierdzenie, można rozwiązywać niektóre równania ty-
pu W (x) =0, w których wielomian W (x) ma współczynniki całkowite. To
twierdzenie pozwala także rozwiązywać niektóre równania o współczynni-
kach niecałkowitych.
RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.) 107
1
P Rozwiąż równanie x3 - x2 +2=0.
4

1
Przekształcamy równanie tak, aby otrzymać

x3 - x2 +2=0 � 4
4
równoważne równanie o współczynnikach
całkowitych.
x3 -4x2 +8=0
Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W (x) =x3 -4x2 +8:
1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8
W (1) =1-4+8 =0
Liczby 1 i -1 nie spełniają równania
x3 -4x2 +8=0.
W (-1) =-1-4+8 =0
W (2) = 23 -4� 22 +8=0 Liczba 2 spełnia to równanie.
x2 -2x-4
(x3 -4x2 +8) : (x - 2)
-x3 +2x2
Dzielimy wielomian x3 -4x2 +8 przez dwu-
-2x2 +8
mian x -2.
2x2 -4x
-4x +8
4x -8
0
x3 -4x2 +8=(x -2)(x2 -2x -4)
Zapisujemy równanie w innej postaci i je
(x -2) � (x2 -2x -4) =0
rozwiązujemy.
x =2 lub x2 -2x -4=0
"=4-4� (-4) = 20
" "
"=2 5
"
"
2-2 5
x1 = =1- 5
2
"
"
2+2 5
x2 = =1+ 5
2
" "
Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x1 =1- 5, x2 =1+ 5 i x3 =2.
Uwaga. Jeżeli korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych, nie znaj-
dziemy żadnego rozwiązania równania wielomianowego, to oczywiście nie ozna-
cza jeszcze, że równanie nie ma rozwiązań. Na przykład łatwo stwierdzić, że
równanie x4 -2x2 - 3 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych, ale ma dwa rozwiązania
" "
(x = 3 i x =- 3).
108 WIELOMIANY
W Boże Narodzenie 1534 roku rozpoczął się matematyczny pojedynek.
Jego uczestnikami byli dwaj Włosi  Mario Fior i Niccol� Fontana, zwany
Tartaglia (jąkała). Takie naukowe zawody były wówczas bardzo popularne,
gdyż dzięki nim rosła sława (i dochody) zwycięzcy.
Fior wygrywał już wcześniej wiele turniejów, bo znał kilka równań trzecie-
go stopnia, które tylko on, jak mu się zdawało, umiał rozwiązać.
Zawody polegały na tym, że w ciągu 50 dni obaj uczestnicy mieli rozwiązać
kilkadziesiąt zadań przygotowanych przez przeciwnika. Wszystkie zadania
Fiora dotyczyły równań trzeciego stopnia. Tydzień przed upływem terminu
Tartaglia odkrył metodę rozwiązywania tego typu równań i wygrał turniej.
Wielu uczonych pragnęło poznać tę metodę. Tartaglia jednak nikomu jej
nie zdradził. Dopiero 10 lat póz
niej wydobył ją od niego Girolamo Car-
dano i niezbyt uczciwie opublikował pod własnym nazwiskiem. Od tego
czasu wzory pozwalające rozwiązać równanie trzeciego stopnia nazywane
są wzorami Cardana.
ZADANIA
1. Znajdz
wszystkie całkowite pierwiastki wielomianu:
a) x3 -2x2 -2x -3 c) x3 -3x2 -6x +8 e) -x5 -3x4 +6x2 +4x
b) 3x4 + x3 - x2 - x -2 d) 2x3 +8x2 +8x +6 f) x6 -4x5 -6x4 +4x3 +5x2
2. Dla jakich wartości n równanie xn + x + 2 = 0 ma rozwiązania całkowite? Znajdz

te rozwiązania.
3. Rozwiąż równanie:
a) 5x3 +10x2 +6x +1=0 e) 2x3 -6x2 + x -3=0
b) 3x3 +8x2 -4x -3=0 f) 3x4 +6x3 -8x2 +2x -3=0
c) 10x3 +11x2 -16x +4=0 g) 2x4 -5x3 -2x2 +10x -4=0
d) 4x3 -12x2 +9x -2=0 h) -3x4 +2x3 -8x2 +6x +3=0
4. Rozwiąż równanie:
a) 2x3 +2x2 +3=11x d) 5x(x2 +1) -(3x +1)2 =-2x2 - x -3
b) x(x +2)2 +4x =-5 e) 2(x2 -1)2 + x(2x +3)2 =11x2 +14x
c) 5(x + 10) = x2(8 - x) f) (3x -2)2 +4x(1 - x2) =6-5x4
Wskazówka do e) i f). Wyłącz najpierw wspólny czynnik przed nawias.
RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.) 109
C
IE
K
A
W
O
S
TK
A
TEST
T1. Który z poniższych wielomianów nie ma pierwiastków całkowitych?
A. 2x3-x2-5x-2 B. 5x4+2x2-6x+1 C. x3+4x2-3 D. 2x5+x4-5x+2
T2. Jednym z rozwiązań równania x3 + 4x2 -31x - 70 = 0 jest liczba -7. Suma
pozostałych dwóch rozwiązań wynosi:
A. 3 B. -1 C. 5 D. 7
T3. Wielomian x3 -2x2 +2x +5:
A. nie ma pierwiastków C. ma dwa pierwiastki
B. ma jeden pierwiastek D. ma trzy pierwiastki
ROZWI
ZANIA WYMIERNE
RÓWNAC
WIELOMIANOWYCH
1. Sprawdz
, że równanie 2x3 - x2 + x - 6 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych.
A
2. Wypisz wszystkie dzielniki wyrazu wolnego oraz wszystkie dzielniki współ-
czynnika przy najwyższej potędze wielomianu 2x3 - x2 + x -6. Zapisz wszystkie
p
ułamki , gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współ-
q
czynnika przy najwyższej potędze tego wielomianu.
3. Wśród ułamków, które zapisałeś w punkcie 2, jest jedno z rozwiązań rów-
nania 2x3 - x2 + x - 6 = 0. Znajdz
to rozwiązanie.
Metodę szukania rozwiązań wymiernych, którą posłużyłeś się w powyż-
szym ćwiczeniu, można stosować dla dowolnego równania o współczynni-
kach całkowitych. Prawdziwe jest bowiem następujące twierdzenie:
Twierdzenie (o rozwiązaniach wymiernych)
Załóżmy, że w równaniu wielomianowym postaci:
anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0 =0
wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi oraz a0 = 0 i an = 0.

Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba wymierna, to można ją
p
przedstawić w postaci ułamka , gdzie licznik p jest dzielnikiem wyrazu
q
wolnego a0, a mianownik q jest dzielnikiem współczynnika an przy najwyż-
szej potędze.
Dowód
Aby zapis dowodu był bardziej przejrzysty, przeprowadzimy go dla równa-
nia stopnia trzeciego. Dowód dla równania dowolnego stopnia n jest niemal
identyczny.
110 WIELOMIANY
WYMIERNE
A
Przyjmijmy, że liczby a3, a2, a1 i a0 występujące w poniższym równaniu są
liczbami całkowitymi oraz a0 =0i a3 =0.

a3x3 + a2x2 + a1x + a0 =0
p
Załóżmy, że pewna liczba , gdzie p i q są liczbami całkowitymi różnymi od 0,
q
p
jest rozwiązaniem równania. Możemy też założyć, że ułamek jest nieskracal-
q
ny (tzn. że p i q nie mają wspólnych dzielników różnych od 1 i od -1).
Zatem spełniona jest równość:
a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0 =0
q3 q2 q
Pokażemy najpierw, że p jest dzielnikiem liczby a0.
Po pomnożeniu obu stron równości przez q3 otrzymamy:
a3p3 + a2p2q + a1pq2 + a0q3 =0
Zapiszmy tę równość w postaci:
p(a3p2 + a2pq + a1q2) =-a0q3
Stąd:
a3p2 + a2pq + a1q2 =-a0q3
p
Przyjęliśmy, że wszystkie liczby oznaczone w tej równości literami są całkowi-
te, więc liczba a3p2 + a2pq + a1q2 jest także całkowita. Zatem z równości tej
a0q3
wynika, że liczba jest całkowita. Liczba q3 nie ma wspólnych dzielników
p
z liczbą p (różnych od 1 i od -1), bo zakładaliśmy, że liczba q nie ma wspól-
nych dzielników z liczbą p. Wynika stąd, że liczba a0 musi się dzielić przez
liczbę p. Wykazaliśmy zatem, że p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Zapiszmy teraz otrzymaną wcześniej równość (a3p3 + a2p2q + a1pq2 + a0q3 =0)
wpostaci: q(a2p2 + a1pq + a0q2) = -a3p3 Rozumując podobnie jak wyżej, doj-
dziemy do wniosku, że q jest dzielnikiem współczynnika a3.
2
Liczba jest rozwiązaniem jednego z poniższych równań. Którego?
B
5
6x5 +3x3 -2x -4=0 5x3 +8x2 -14x +4=0
10x3 +7x2 -5=0 x4 +5x2 - x +10=0
Znajdz
wszystkie rozwiązania wymierne równania 6x3 + x2 -1=0.
C
Zauważ, że jeżeli równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych
nie ma rozwiązań wymiernych, to nie oznacza, że w ogóle nie ma rozwiązań.
Podaj przykład takiego równania wielomianowego o współczynnikach całko-
D
witych, które ma rozwiązanie, ale nie ma rozwiązań wymiernych.
Korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach wymiernych, możemy znalez
ć
wszystkie rozwiązania wymierne równania wielomianowego (w tym roz-
wiązania całkowite). Jednak rozwiązując równanie, warto rozpocząć od
sprawdzenia, czy istnieją rozwiązania całkowite. W ten sposób często mo-
żemy uprościć dalsze rachunki.
ROZWI
ZANIA WYMIERNE RÓWNAC
WIELOMIANOWYCH 111
P Rozwiąż równanie: 2x3 -5x2 + x +3=0.
Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W (x) =2x3 -5x2 + x + 3 to: 1, -1, 3, -3.
W (1) =2-5+1+3 =0
W (-1) = 2 � (-1) -5-1+3 =0 Sprawdzamy, czy równanie ma pierwiastki
całkowite.
W (3) = 2 � 27-5� 9+3+3 =0
W (-3) = 2 � (-27) - 5 � 9-3+3 =0
p
Dzielniki współczynnika przy najwyż-
Jeśli równanie ma rozwiązanie wymierne ,
q
szej potędze zmiennej to:
to licznik jest dzielnikiem liczby 3, a mianow-
nik dzielnikiem liczby 2; wypisujemy wszyst-
p
1, -1, 2, -2
kie takie liczby , że p "{1, -1, 3, -3} oraz
q
q "{1, -1, 2, -2}.
Możliwe rozwiązania wymierne:
1 1 3 3
1, -1, , - , , - , 3, -3
2 2 2 2

1 1 1 1
W =2� -5� + +3 =0
2 8 4 2
Sprawdziliśmy już, że nie ist-
nieją całkowite rozwiązania

1 1 1 1 8
równania, zatem wystarczy
W - =2� - -5� - +3=- +3 =0
2 8 4 2 4
sprawdzić, czy wśród liczb:
1 1 3 3
, - , , - jest rozwiązanie
3 2
2 2 2 2
3 3 3 3 27 45 18
równania.
W =2� -5� + +3= - + =0
2 2 2 2 4 4 4
2x2 -2x -2

3
(2x3 -5x2 + x +3) : x -
2
-2x3 +3x2
-2x2 + x +3
3
Dzielimy wielomian przez dwumian x - .
2
2x2 -3x
-2x +3
2x -3
0

Zapisujemy równanie w innej postaci,
3
x - (2x2 -2x -2) =0 a następnie je rozwiązujemy.
2

3

x - =0 lub 2x2 -2x -2=0 : 2
2
3
x = x2 - x -1=0, "=5
2
"=1+4=5
" "
1- 5 1+ 5
x1 = , x2 =
2 2
" "
1- 5 1+ 5 3
Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x1 = , x2 = , x3 = .
2 2 2
112 WIELOMIANY
Opisaną w tym rozdziale metodę rozwiązywania równań można też wyko-
rzystać przy rozwiązywaniu równań o współczynnikach wymiernych (nie-
koniecznie całkowitych). Wystarczy zauważyć, że gdy obie strony takiego
równania pomnożymy przez wspólny mianownik wszystkich współczynni-
ków, otrzymamy równoważne równanie o współczynnikach całkowitych.
Przedstawione tu metody rozwiązywania równań wielomianowych wydają
się skomplikowane, a na dodatek można za ich pomocą rozwiązać tyl-
ko niektóre równania. Od razu nasuwa się pytanie, czy (podobnie jak dla
równań kwadratowych) można podać wzory pozwalające znalez
ć wszyst-
kie rozwiązania równania wielomianowego. Okazuje się, że są takie wzory
(choć znacznie bardziej skomplikowane) dla równań stopnia trzeciego
i czwartego. Udowodniono także, że nie ma ogólnych wzorów na rozwią-
zania równań stopnia wyższego niż czwarty. Dokonał tego w roku 1824
norweski matematyk Niels Henrik Abel (miał wtedy zaledwie 22 lata!).
Dowód tego faktu nie jest prosty, ale trudno się temu dziwić  na ogół ła-
twiej udowodnić, że jakiś wzór istnieje (wystarczy go podać), niż wykazać,
że na pewno nie uda się go znalez
ć.
ZADANIA
1. Jedna z pięciu liczb zapisanych obok wielomianu W (x) jest jego pierwiastkiem.
Która?
1 3 2 4
, - , , - , 3
a) W (x) =5x3 +23x2 -35x +10
3 5 5 5
1 1 1 5 15
b) W (x) =3x5 - x4 -6x3 +2x2 -45x +15 - , , - , , -
2 3 4 2 8
3 5 6
, - , 2, -4,
c) W (x) =-6x3 -11x2 +13x +15
5 6 5
3 1 1 2
- , , -3 , , -12
d) W (x) =-2x5-9x4-9x3-11x2-10x+14
7 14 2 7
2. Znajdz
wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu:
a) 10x3 - x2 -7x -2 e) 4x4 -8x3 +7x2 -8x +3
b) -12x3 -11x2 +2x +1 f) -3x4 -8x3 -6x2 +3x
c) 2x3 +5x2 -5x +7 g) -6x5 +17x4 +4x3 -3x2
d) 6x4 +5x3 +5x -6 h) 12x5 -16x4 - x3 +7x2 -2x
ROZWI
ZANIA WYMIERNE RÓWNAC
WIELOMIANOWYCH 113
C
IE
K
A
W
O
STK
A
3. Rozwiąż równanie:
a) -2x3 - x2 +13x -6=0 d) 12x3 +20x2 +11x +2=0
b) 2x3 +15x2 +27x +10=0 e) -125x3 +15x +2=0
c) -3x3 +7x2 -4=0 f) -8x4 +10x3 -5x2 +10x +3=0
4. Uzasadnij, że równanie 97x10 - x + 1 = 0 nie ma rozwiązań wymiernych.
5. Dane są wielomiany:
W (x) =4x4 +4x3 + x2 +4x -3 V (x) =-3x5 +20x4 -26x3 +10x2 -23x -10
Uzasadnij, że nie istnieje liczba wymierna, która jest wspólnym pierwiastkiem tych
wielomianów.
6. Wyjaśnij, dlaczego wymierne pierwiastki wielomianu W (x) (jeśli istnieją) muszą
należeć do podanego przedziału.
a) W (x) =60x4 -8x3 -19x2 +2x +1, -1, 1
b) W (x) =6x4 +5x3 -11x2 -10x -2, -2, 2
c) W (x) =8x3 +49x2 +16x + a (a " ), -|a|, |a|
7. Dla jakich całkowitych wartości m wielomian 9x3 - mx +1 ma pierwiastek wy-
mierny?
8. Wśród wymiernych pierwiastków wielomianu W (x) = 5x4 -11x3 + ax2 + bx -2
są dwie liczby, które są pierwiastkami wielomianu Q(x) = 2x4 + cx3 + dx2 +9x +5.
Znajdz
współczynniki a, b, c i d.
Twierdzenie o rozwiązaniach wymier- Jedynymi  kandydatami na rozwiąza-
1
nych można wykorzystać do uzasadnie- nia wymierne tego równania są liczby ,
1
1 2 2
nia niewymierności niektórych liczb. - , - i . Ponieważ żadna z nich nie
1 1 1
Wykażemy przykładowo następujące spełnia równania x2 - 2 = 0, więc nie ma
twierdzenie: ono rozwiązań wymiernych.
"
Liczba 2 jest niewymierna.
Wiadomo, że jednym z rozwiązań tego
"
równania jest liczba 2. Wynika stąd, że
Dowód
"
2 nie jest liczbą wymierną.
Rozważmy równanie x2 -2=0.
9. Przeczytaj ciekawostkę. Wykaż, że niewymierne są liczby:
" " " "
3 12
a) 5 b) -2 3 c) 7 d) 100
114 WIELOMIANY
C
IE
K
A
W
O
S
T
K
A
TEST
3
T1. Liczba jest rozwiązaniem jednego z poniższych wielomianów. Wskaż ten
7
wielomian.
A. 3x3 -5x2 + x -7 C. 6x4 +2x3 -3x2 - x +14
B. 7x4 -3x3 -28x2 +26x -6 D. x5 -3x4 - x2 +7x -1
T2. Jedna z poniższych liczb jest rozwiązaniem równania 18x3 - x2 -31x -12 =0.
Wskaż ją.
4 2
A. 9 B. - C. -5 D.
9 5
T3. Wielomian -30x3 +11x2 +9x - 2 ma trzy pierwiastki wymierne. Która z poniż-
szych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu?
1 2 1 3
A. - B. C. D. -
2 3 5 5
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE
1. Korzystając z wykresów, podaj rozwiązania nierówności zapisanych pod
A
rysunkami.
2. Korzystając z wyników otrzymanych w punkcie 1., ustal, jakie liczby speł-
niają nierówność:
(x + 2)(-x2 +10x - 21) > 0
Zastanów się najpierw, jaki warunek muszą spełniać dwie liczby, aby ich ilo-
czyn był liczbą dodatnią.
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE 115
E
W
O
N
A
I
M
O
Potrafisz już rozwiązywać nierówności pierwszego stopnia oraz nierówno-
ści kwadratowe. Umiejętności te można wykorzystać przy rozwiązywaniu
niektórych nierówności wyższych stopni. Przyda się przy tym prosta włas-
ność  iloczyn dwóch liczb jest liczbą ujemną, gdy czynniki mają różne
znaki, a liczbą dodatnią, gdy mają te same znaki.

a >0 a <0 a >0 a <0
a � b <0�! lub a � b >0�! lub
�! �!
b <0 b >0 b >0 b <0
Pokażemy teraz, jak można rozwiązać nierówność:
(x -3)(x2 + x -2) <0
Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy jeden z nich jest dodatni, a dru-
gi ujemny. Aby rozwiązać nierówność (x -3)(x2 + x - 2) < 0 , musimy zatem
znalez
ć takie liczby x, dla których wartości wyrażeń x -3 i x2 + x -2 ma-
ją przeciwne znaki. W tym celu najwygodniej jest naszkicować w jednym
układzie współrzędnych wykresy funkcji y = x -3 oraz y = x2 + x -2, a na-
stępnie z rysunku odczytać, w jakich przedziałach wartości tych funkcji
mają przeciwne znaki.
Uwaga. Wykresów nie musimy rysować bardzo dokładnie, ważne jest tylko, aby
można było z nich odczytać, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości
ujemne, a dla jakich dodatnie (wystarczy więc wyznaczyć miejsca zerowe, określić
kierunek prostej i położenie ramion paraboli).
Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji y = x -3 oraz wykres
funkcji y = x2 + x - 2; znakami plus i minus oznaczono, w jakich przedzia-
łach funkcje te przyjmują wartości dodatnie, a w jakich ujemne.
Z rysunku możemy odczytać, że wartości funkcji y = x-3 oraz y = x2 +x-2
mają przeciwne znaki w przedziale (-"; -2), a także w przedziale (1; 3).
Zatem rozważana nierówność jest spełniona dla x " (-"; -2) *" (1; 3).
116 WIELOMIANY
Podaj zbiory rozwiązań nierówności zapisanych pod rysunkami.
B
Każdą z nierówności zapisanych
obok można przekształcić tak,
Przykłady nierówności wielomianowych:
aby po jednej stronie znaku nie-
3x5 -3x3 +8>0 x3 e"2x2 -1
równości występował wielomian,
a po drugiej 0. Takie nierówno- 3x4 +2x2 <5 (x -3)2(2x -1) d"0
ści nazywamy wielomianowymi.
P Rozwiąż nierówność: 4x3 +2x2 -1e"x3 +27x + 17.
Przekształcamy nierówność do postaci
W (x) e"0, gdzieW (x) jest wielomianem.
3x3 +2x2 -27x -18e"0
x2(3x +2) -9(3x +2) e"0
Rozkładamy wielomian na czynniki stopnia
co najwyżej drugiego.
(3x +2)(x2 -9) e"0
3x +2=0 x2 -9= 0 Znajdujemy miejsca zerowe funkcji
f (x) =3x +2 i g(x) =x2 -9.
x =-2 x =3 lub x =-3
3
Szkicujemy wykresy funkcji f (x) =3x +2
i g(x) = x2 - 9 oraz zaznaczamy, dla jakich
argumentów funkcje przyjmują wartości do-
datnie, a dla jakich ujemne.
Z wykresu odczytujemy przedziały, w któ-

2
rych wartości funkcji mają ten sam znak lub
x " -3; - *" 3; +")
3
są równe 0.
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE 117
ZADANIA
1. Korzystając z wykresów funkcji f i g, podaj rozwiązanie nierówności zapisanej
pod rysunkiem.
x 1
a) f (x) =- +1 b) f (x) =2x +4 c) f (x) =- (x2 + x - 12)
2 5
1
g(x) =-x2 +7x -10 g(x) = x2 + x -4 g(x) =2x - x2
2
x 1 1
(- + 1)(-x2 +7x - 10) e" 0 (2x +4)( x2 + x -4) d"0 - (x2 + x - 12)(2x - x2) d"0
2 2 5
2. Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji f i g. Zapisz taką nierówność, aby
zbiór podany pod rysunkiem był zbiorem jej rozwiązań.
1 1
a) f (x) = x2 + x -2 b) f (x) =x2 -8x +15 c) f (x) =x2 -4x +3
4 2
1 1
g(x) =-x2 -4xg(x) =-x2 +4 g(x) =- x2 - x +2
3 3
3. Rozwiąż nierówność:
a) (-x +1)(x2 -2) e"0 e) (x2 -3x - 10)(x2 -5x) d"0
b) (2-3x)(-3x2 -4x -2) <0 f) (x2 - 10)(3x2 - 20) < 0
c) -5x(x2 -2x -1) e"0 g) (x2 - x)(-x2 +2x +11) d"0
d) (3 - x)(x2 +8x + 16) d" 0 h) (x2 -4x -5)(x2 +3x -4) >0
4. Rozwiąż nierówność (najpierw rozłóż wielomian na czynniki):
1
a) x3 -5x2 <0 e) -4x3 +3x2 +4x -3>0
2
b) x3 - x2 -6x <0 f) -2x3 + x2 +18x -9d"0
c) -x4 +3x3 +4x2 e"0 g) x3 +5x2 +8x +40d"0
d) 2x7 -3x6 -2x5 >0 h) x4 + x3 -8x -8e"0
118 WIELOMIANY
5. Rozwiąż nierówność (skorzystaj z twierdzenia B�zout):
a) 3x3 - x2 - x -1d"0 d) 7x2 -2x -3d"2x3
b) x3 - x2 -3x -1e"0 e) x3 +3x2 -1>x2 +5x +5
c) -4x3 +12x2 -5x -6<0 f) x3 + x2 + x >2-2x2
6. a) Jaka powinna być wartość p, aby liczba p3 + p2 -9p była większa od 9?
b) Dla jakich liczb naturalnych n liczba 2n3 +3n2 +4n - 5 jest większa od liczby
3n3 -2n2 + 15?
7. Określ dziedzinę funkcji:
"
1

a) y = (x -3)(x2 -4) b) y = 4x4 +12x3 +9x2 c) y =
(x+3)(2x2-9x-5)
8. Dla jakiej wartości zbiorem rozwiązań nierówności (x + b)(x2 + x -1) > 0 jest
" b
5-1
przedział ; +" ?
2
9. Rozwiąż nierówność:
a) (3x -7)4(2x +9) <0 e) (5 - x)2(2x2 -8)3 >0
b) (4-5x)3(x - 11)6 >0 f) (x2 -2x - 15)4(2x +1) d"0
c) (3x -2)4(2x2 -4)3(x +3)2 <0 g) (x2 + 3)(2x - 5)(1 - x2) <0
d) (2x -6)5(6x -3)5(2 - x)2 e"0 h) (x2 - 7)(2x2 + x - 1)(3x2 + x -2) e"0
10. Wyobraz
sobie, że z kartonu w kształcie pro-
stokąta o wymiarach 10 cm � 12 cm w narożnikach
odcinamy cztery jednakowe kwadraty, a następnie
składamy prostopadłościenne pudełko. Jaką długość
powinny mieć boki odciętych kwadratów, aby pojem-
ność pudełka była większa niż 96 cm3?
TEST

1
T1. Zbiorem rozwiązań której z poniższych nierówności jest przedział -"; - ?
2
A. (2x +1)(x2 -4) d"0 C. (x2 + 1)(2x +1) d"0


1
B. x - 2x2 +4 e"0 D. (2x + 1)(2x -1) e"0
2
x -1

T2. Dziedziną funkcji jest:
(1 - x)(x2 -4x +3)
A. (3; +") B. (-"; 3) C. (-"; 1) *" (1; 3) D. (1; 3)
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE 119
FUNKCJE WIELOMIANOWE
Poniżej przedstawiono wzory i wykresy kilku funkcji. Wzór każdej z nich
ma postać y = W (x), gdzie W (x) jest wielomianem. Tego typu funkcje nazy-
wamy funkcjami wielomianowymi.
x
y =-x3 +2x2 +3x -3 y =-x4 + x3 +2x2 +1 y = (x2+8x + 15)(x2-6x +8)
50
Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Jeśli dysponujesz kalkulatorem graficznym lub komputerem z odpowiednim
A
programem, użyj ich do sporządzenia wykresów kilku dowolnych funkcji wie-
lomianowych.
Zauważ, że funkcje liniowe i funkcje kwadratowe (których własności po-
znałeś w pierwszej klasie) to także funkcje wielomianowe. Omówimy teraz
niektóre własności funkcji wielomianowych postaci y = W (x), gdzie W (x)
jest wielomianem stopnia wyższego niż 2.
Zaczniemy od funkcji typu y = axn.
Przyjrzyj się narysowanym poniżej wykresom funkcji.
B
1. Podaj miejsce zerowe każdej z tych funkcji
2. Określ monotoniczność każdej z tych funkcji.
3. Który z wykresów jest symetryczny względem osi y, a który względem
początku układu współrzędnych?
120 WIELOMIANY
OMIANOWE
WIEL
CJE
K
Wykresy funkcji typu y = axn przechodzą przez początek układu współ-
rzędnych. Ponadto:
Jeśli n jest liczbą parzystą, to wy-
kres funkcji y = axn ma oś syme-
trii  jest nią oś y. W zależności
od wartości współczynnika a funk-
cja może przyjmować tylko warto-
ści nieujemne (dla a > 0) lub tylko
niedodatnie (dla a <0).
Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to
wykres funkcji y = axn ma środek
symetrii  jest nim początek ukła-
du współrzędnych. W zależności
od wartości współczynnika a funk-
cja może być rosnąca (dla a > 0)
albo malejąca (dla a <0).
Naszkicuj wykresy podanych funkcji i ustal, czy te funkcje mają miejsca zero-
C
we. Jeśli funkcja ma miejsca zerowe, to określ ich liczbę i znaki.
f (x) =5x24 -6 g(x) =-7x109 +3 h(x) =-3x50 -4
Obok przypominamy dwie ważne własności wielo-
mianów. Wynika z nich, że:
Wielomian stopnia n ma
co najwyżej n pierwiast-
Funkcja wielomianowa y = W (x) , gdzie W (x) jest
ków.
wielomianem stopnia n, ma nie więcej niż n
miejsc zerowych.
Wielomian nieparzyste-
go stopnia ma co naj-
Jeśli W (x) jest wielomianem nieparzystego stop-
mniej jeden pierwiastek.
nia, to funkcja postaci y = W (x) ma co najmniej
jedno miejsce zerowe.
Uwaga. Jeśli W (x) jest wielomianem parzystego stopnia, to funkcja postaci y = W (x)
może nie mieć miejsc zerowych.
Dane są funkcje:
D
f (x) =(x - 13)(x2 - 25)(x +3) g(x) = -7(x + 3)(x2 + 8)(x2 - 100)
h(x) =2(x2-2x + 1)(x + 5)(1 - x)
1. Znajdz
największe miejsce zerowe każdej z tych funkcji i sprawdz
dla kilku
argumentów większych od tego miejsca zerowego, czy dla tych argumentów
funkcja przyjmuje wartości dodatnie czy ujemne.
2. Wzory funkcji f , g oraz h można zapisać w postaci y = anxn + ... + a1x + a0.
Dla każdej z tych funkcji podaj znak współczynnika an.
FUNKCJE WIELOMIANOWE 121
Na rysunkach przedstawiono wykresy kilku funkcji wielomianowych posta-
ci y = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. Z lewej strony przedstawiono funkcje,
dla których an > 0, a z prawej  funkcje, dla których an <0.
Jeśli an > 0 i funkcja wielomianowa Jeśli an < 0 i funkcja wielomianowa
y = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 y = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
ma miejsca zerowe, to dla argumentów ma miejsca zerowe, to dla argumentów
większych od wszystkich miejsc zero- większych od wszystkich miejsc zero-
wych wartości funkcji są dodatnie. wych wartości funkcji są ujemne.
Jeśli nie ma miejsc zerowych, to wszyst- Jeśli nie ma miejsc zerowych, to wszyst-
kie wartości funkcji są dodatnie. kie wartości funkcji są ujemne.
Dla argumentów mniejszych od wszystkich miejsc zerowych wartości funkcji mo-
gą być dodatnie lub ujemne zarówno wtedy, gdy an > 0, jak i wtedy, gdy an <0.
Ustal, jak się zmienia znak wartości funkcji y = (x +2)m(x -3)n przy przecho-
E
dzeniu jej wykresu przez punkty (-2, 0) oraz (3, 0), w zależności od tego, czy
m i n są liczbami parzystymi czy nieparzystymi.
122 WIELOMIANY
Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to wykres funkcji posta-
ci y = W (x) przechodzi przez punkt (a, 0). Po przejściu przez ten punkt
wykres może pozostać po tej samej stronie osi x albo przejść na drugą
stronę. Zależy to od krotności pierwiastka a:
Jeśli a jest parzystokrotnym
pierwiastkiem, to wykres po
przejściu przez punkt (a, 0) po-
zostaje po tej samej stronie
osi x (znak wartości funkcji
się nie zmienia).
Jeśli a jest pierwiastkiem nie-
parzystokrotnym, to wykres
po przejściu przez punkt (a, 0)
przechodzi na drugą stronę
osi x (znak wartości funkcji
się zmienia).
Przypuśćmy, że liczby -1 i 2 są jedynymi pierwiastkami wielomianu W (x).
F
Naszkicuj, jak może wyglądać wykres funkcji y = W (x), jeśli:
1. oba pierwiastki tego wielomianu są parzystokrotnymi pierwiastkami wielo-
mianu,
2. liczba -1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, a liczba 2 pierwiastkiem trzy-
krotnym.
ZADANIA
1. Poniżej narysowano wykresy następujących funkcji:
"
1
f (x) =-3x4 g(x) =-2x5 h(x) = x3 k(x) = 2x4
4
Dopasuj wykresy do odpowiednich wzorów funkcji.
FUNKCJE WIELOMIANOWE 123
2. Jeden z podanych wzorów opisuje funkcję, któ-
rej wykres narysowano obok. Który to wzór?
" "
f (x) =( 2- 3)x3 g(x) =(Ą -3)x5
"
h(x) =(2- 3)x4
3. a) Naszkicuj wykres funkcji y = x66 i y = x +1.
Określ, ile rozwiązań ma równanie x66 = x +1.
b) Po naszkicowaniu odpowiednich wykresów określ,
ile rozwiązań ma równanie -x100 - x2 +1=0.
c) Ile miejsc zerowych ma funkcja y = x55 + x -2?
4. Na rysunku obok przedstawiono
cztery wykresy funkcji wielomianowych
trzeciego stopnia. Dla której z tych funk-
cji współczynnik przy najwyższej potę-
dze wielomianu jest dodatni?
5. Poniżej narysowano wykresy funkcji f oraz g. W jaki sposób należy przesunąć
wykres każdej z tych funkcji, aby otrzymać wykres, który:
a) nie przecina osi x, c) ma z osią x pięć punktów wspólnych,
b) ma z osią x jeden punkt wspólny, d) ma z osią x sześć punktów wspólnych?
6. Poniższe rysunki przedstawiają krzywe, które są wykresami funkcji wielomiano-
wych. Określ najniższy możliwy stopień odpowiednich wielomianów.
124 WIELOMIANY
7. Dopasuj zdania do wykresów funkcji przedstawionych na rysunkach.
a) Dwa pierwiastki wielomianu są nieparzystokrotne.
b) Wszystkie pierwiastki wielomianu są parzystokrotne.
c) Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest liczbą ujemną.
8. Obok narysowano wykres pewnej funkcji wielo-
mianowej. Odczytaj z niego pierwiastki wielomia-
nu W (x) i określ, które z nich są parzystokrotne.
9. Podaj przykład wzoru funkcji wielomianowej
o miejscach zerowych 1, 3 i 5, która przyjmuje:
a) tylko wartości nieujemne,
b) wartości ujemne tylko dla x " (3; 5) *" (5; +"),
c) wartości ujemne tylko dla x " (-"; 1).
10. Wszystkie współczynniki wielomianu W (x) są liczbami całkowitymi, a wykres
funkcji y = W (x) przecina oś y w punkcie (0, 1). Wykaż, że miejscem zerowym tej
funkcji nie może być żadna liczba całkowita różna od 1 i -1.
A
atwo zauważyć, że wykres funkcji ty- jednak, że każdy wykres funkcji wielo-
pu y = ax3 ma środek symetrii (jest nim mianowej y = ax3 + bx2 + cx + d, gdzie
początek układu współrzędnych). Wyda- a = 0, ma środek symetrii. Środkiem

wać by się mogło, że wykresy innych symetrii wykresu takiej funkcji jest ten
funkcji wielomianowych trzeciego stop- punkt wykresu, którego pierwsza współ-
b
nia nie są tak regularne. Okazuje się rzędna jest równa - .
3a
11. Przeczytaj ciekawostkę. Tylko dwa z poniższych wykresów są wykresami funk-
cji wielomianowej stopnia trzeciego. Które?
FUNKCJE WIELOMIANOWE 125
ci
e
k
a
w
o
stk
a
12. a) Oblicz współrzędne środka symetrii wykresu funkcji y =-x3 +3x2 +7x + 11.
b) Jaki warunek muszą spełniać współczynniki a, b, c oraz d we wzorze funkcji
y = ax3 + bx2 + cx + d, aby środek symetrii jej wykresu leżał na osi y?
c) Podaj kilka przykładów funkcji wielomianowych trzeciego stopnia, których wy-
kresy mają środek symetrii leżący na osi y.
d) Jaki warunek muszą spełniać współczynniki a, b oraz c, aby środek symetrii
wykresu funkcji y = ax3 + bx2 + cx leżał na osi x?
TEST
T1. Który z poniższych rysunków przedstawia wykres funkcji f (x) = -2(x2 - x)(x -1)2?
T2. Rozważ funkcję wielomianową f (x) = anxn + . . . + a1x + a0. Które z poniższych
zdań jest prawdziwe?
A. Jeśli n = 5, to funkcja f ma pięć miejsc zerowych.
B. Jeśli an > 0, to zbiorem wartości funkcji f jest zbiór dodatnich liczb rzeczywi-
stych.
C. Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu anxn +. . .+a1x+a0 są podwójne, to funkcja
f nie przyjmuje wartości ujemnych.
D. Jeśli funkcja f ma siedem miejsc zerowych, to n e"7
T3. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f (x) = a(x - b)(x - c)4(x -3)d. Która
z wartości jest prawidłowa?
A. a <0 B. b =5 C. c =1 D. d =3
126 WIELOMIANY
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.)
W jednym z poprzednich rozdziałów rozwiązywaliśmy nierówności wielo-
mianowe. Pokażemy teraz inną metodę rozwiązywania takich nierówności.
Pamiętasz zapewne, że rozwiązując nierówność kwadratową, wygodnie by-
ło posługiwać się wykresem odpowiedniej funkcji kwadratowej. Wykres ten
nie musiał być bardzo dokładny  wystarczyło znać miejsca zerowe funk-
cji i wiedzieć, jak są skierowane ramiona paraboli.
Rozwiąż nierówność x2 -2x -3d"0.
A
Przy rozwiązywaniu nierówności
wielomianowych wyższych stop-
ni także wygodnie jest skorzystać
z wykresu odpowiedniej funkcji.
Obok narysowano wykres pewnej
B
funkcji y = W (x). Odczytaj z te-
go wykresu rozwiązanie nierów-
ności W (x) d"0.
Jeśli nie mamy do dyspozycji komputera albo kalkulatora graficznego, ry-
sowanie wykresów funkcji wielomianowych jest na ogół bardzo trudne.
Korzystając z omówionych w poprzednim rozdziale własności wykresów,
możemy jednak naszkicować rysunek ilustrujący, jak zmienia się znak war-
tości funkcji.
Oto sposób postępowania przy szkicowaniu rysunku przedstawiającego
zmianę znaku wartości funkcji wielomianowej postaci y = W (x), gdzie
W (x) =anxn + . . . + a1x + a0.
Najpierw znajdujemy pierwiastki wielomianu W (x) i określamy ich krot-
ności, a następnie zaznaczamy te pierwiastki na osi x (pierwiastki
parzystokrotne można zaznaczyć kropką, a nieparzystokrotne  kre-
seczką).
Ustalamy, jaki znak ma współczynnik an wielomianu W (x) przy najwyż-
szej potędze zmiennej. Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony;
gdy an > 0  zaczynamy nad osią x, gdy an < 0  zaczynamy pod osią x.
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.) 127
CD.)
(
MIANOWE
O
L
E
I
W
Rysujemy linię przechodzącą przez punkty zaznaczone na osi. Jeśli
punkt na osi odpowiada pierwiastkowi parzystokrotnemu  linia po-
zostaje po tej samej stronie osi. Jeśli punkt odpowiada pierwiastkowi
nieparzystokrotnemu  linia przechodzi na drugą stronę osi x.
Uwaga. Należy pamiętać, że linia, którą rysujemy w opisany wyżej sposób,
nie jest wykresem danej funkcji wielomianowej. Linia ta tylko ilustruje, w jaki
sposób zmienia się znak wartości funkcji.
Liczby a = -3, b = 0 i c = 2 to jedyne pierwiastki wielomianu W (x). Wiedząc,
C
że a jest pierwiastkiem dwukrotnym, b  trzykrotnym, a c  jednokrotnym,
naszkicuj wykres ilustrujący, w jaki sposób zmienia się znak funkcji y = W (x),
gdy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej x jest liczbą ujemną.
P
Rozwiąż nierówność x6 +2x5 -4x4 -8x3 d"0.
x6 +2x5 -4x4 -8x3 d"0
x6 +2x5 -4x4 -8x3 =
Rozkładamy wielomian na czynniki, aby zna-
= x3(x3 +2x2 -4x -8) =
lez
ć jego pierwiastki i określić ich krotności.
= x3[x2(x +2) -4(x +2)] =
= x3(x +2)(x2 -4) =x3(x +2)2(x -2)
x3(x +2)2(x -2) =0
Znajdujemy pierwiastki wielomianu i ustala-
my ich krotności.
x =0 x =-2 x =2
pierwiastek pierwiastek pierwiastek
trzykrotny dwukrotny jednokrotny
Szkicujemy wykres zmiany znaku wartości
funkcji y = x6 +2x5 -4x4 -8x3; szkicowanie
rozpoczynamy z prawej strony ponad osią x,
gdyż współczynnik przy x6 jest dodatni;
wykres przecina oś x w punktach (0, 0) oraz
(2, 0), a przechodząc przez punkt (-2, 0), po-
zostaje po tej samej stronie osi x.
Z wykresu odczytujemy rozwiązania
nierówności.
Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest x " 0; 2 *"{-2}.
128 WIELOMIANY
ZADANIA
1. Rozwiąż nierówność:
3
1
a) -2(x -3)2(x -1)5 x - e"0 e) (x2 -3x - 10)(x -5)3(x2 +4x +4) e"0
2
1 2
b) x3(x +4)4(x -3)2 d"0 f) - (x2 -4)(x -2)(x2 -1)(x2 - x -2) >0
2 3
" " "
1
c) - 5x2(x - 2)3(x + 3)5 >0 g) x(x2 +2x -3)(x2 +6x +9)(x2 - x) d"0
2
d) -0,4(x -7)6(x +1)8(x -1)7 <0 h) -3x2(x2 -9)(x2 -6x +9)(x2 -3x) <0
2. Dla jakich argumentów obie funkcje f i g przyjmują wartości ujemne?
a) f (x) =x(x +3)3(x -5)4, g(x) =(x +1)(x -3)2(x -5)5
b) f (x) =2(x +5)(x -1)7(x -6)2, g(x) = -3(x +5)3(x -1)(x -6)
1
c) f (x) =-4x(x +1)(x +4)3(x -4), g(x) =- x4(x +4)(x -4)3
4
3. Znajdz
argumenty, dla których wartości funkcji y = f (x) � g(x) są dodatnie, gdy
f (x) = -2(x +3)3(x -1)6(x -4)4(x -6)5 i g(x) = -0,2(x +3)(x +1)2(x -1)5.
4. Rozwiąż po dwa przykłady z zadań 3, 4 i 5 ze str. 118 119, korzystając z metody
opisanej w tym rozdziale.
TEST
T1. Zbiorem rozwiązań nierówności -3x2(x -4)4(x +4)5 >0jest:
A. (-"; -4) B. (-4; 4) C. (-"; 0) D. (-4; 0) *" (0; 4) *" (4; +")
T2. Jeśli x =-1i x = 2 są trzykrotnymi pierwiastkami wielomianu anxn+. . .+a1x+a0
i wielomian ten nie ma więcej pierwiastków oraz an < 0, to zbiorem rozwiązań
nierówności anxn + . . . + a1x + a0 <0jest:
A. (2; +") B. (-"; -1) C. (-"; -1) *" (2; +") D. (-1; 2)
T3. Dane są wielomiany:
U(x) =-(5-x)(x -2)3 V (x) =(5-x)2(x -2) W (x) = -2(5 - x)4(x -2)2
Dla jakich argumentów funkcja f (x) =U(x) � V (x) � W (x) przyjmuje wartości ujemne?
A. dla x " (5; +") C. dla x " (-"; 5)
B. dla x " (-"; 2) *" (2; 5) D. dla x " (2; +")
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.) 129
8. Znajdz
pierwiastki podanego wielo-
1. Dane są wielomiany: U(x) =4x3 -3x,
mianu i ustal ich krotności.
V (x) =-3x2 -6x +2, W (x) =x4 -2x3 -3x.
Wykonaj działania: U(x) -W (x), W (x) +
a) x5(x -3)(x + 11)2(2x +4)5
1
+2U(x) - V (x), U(x) � V (x) +W (x).
2
b) (x2 -3x + 2)(-2x2 +3x + 2)(-2x2 + x +1)
c) (x5 -4x3 +8x2 - 32)(x3 -2x2)
2. Jakie jednomiany należy wstawić
wmiejsce liter A, B i C, aby zachodziła
równość wielomianów? 9. Znajdz
liczbę, której kwadrat jest
równy iloczynowi sześcianu tej liczby
a) A(3x2 - x + B) =6x4 + C +14x2
i liczby o 2 od niej większej.
b) Ax2 + B +4=C(3x2 -5x +2)
10. Wykonaj dzielenie:
3. Dany jest wielomian:
a) (2x5 +5x4 -3x3) : (x +3)
W (x) =(5x3 -3x -2)10
b) (-5x4 +3x3 +8x + 10) : (x -2)
Oblicz sumę wszystkich współczynni-
c) (6x4 -2x3 - x2 + x -1) : (3x2 - x +1)
ków tego wielomianu.
11. Dany jest wielomian -4x3 + px2 + x -2.
4. Rozłóż wielomian na czynniki:
Dla jakiej wartości parametru p:
a) wielomian ten jest podzielny przez
a) 5x4 -20
dwumian x +2,
b) -4x4 +26x3 -12x2
b) reszta z dzielenia tego wielomianu
c) 2x3 +5x2 +6x +15
przez dwumian x -3 jest równa 1?
d) x5 -2x4 +7x3 +8x2 -16x +56
12. Dla jakich wartości parametrów m
i n liczba 3 jest dwukrotnym pierwiast-
5. Rozłóż wielomian -x3 +2x2 -3x +6
kiem wielomianu x3 -5x2 + mx + n?
na czynniki, a następnie uzasadnij, że
przyjmuje on wartości dodatnie tylko
dla x <2. 13. Znajdz
resztę z dzielenia wielomia-
nu W (x) przez dwumianx3 -x, wiedząc,
że W (0) = 2, W (1) = -1, W (-1) = 3.
6. Określ, dla jakich liczb nie można
Wskazówka. W (x) =(x3-x)�Q(x)+ax2+bx+c.
obliczyć wartości poniższego wyrażenia.
3x2 -9x3
3x6 - x5 +15x4 -5x3
14. a) Liczba 7 jest pierwiastkiem wie-
lomianu 6x3 -55x2 +86x + 35. Znajdz

Przedstaw to wyrażenie w prostszej
pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
postaci.
b) Znajdz
pierwiastki całkowite wielo-
mianu 10x3 +23x2 -20x + 3, a następnie
7. Rozwiąż równanie:
oblicz pozostałe jego pierwiastki.

1
a) (5x -2)(x +7) 4- x =0
3
15. Znajdz
liczbę całkowitą spełniającą
b) 5x5 -21x4 -20x3 =0
równanie 2x4 - x3 -13x2 +5x +15 = 0,
c) 2x4 -11x2 -21=0
a następnie znajdz
pozostałe rozwiąza-
d) 5x3 -4x2 +45x -36=0 nia tego równania.
130 WIELOMIANY
POWTÓRZENIE
16. Ustal, ile miejsc zerowych ma funk- 21. Dla jakich argumentów wartości fun-
cja określona wzorem y = x99 + x +1.
kcji f są większe od wartości funkcji g?
17. a) Znajdz
wszystkie wymierne pier-
wiastki wielomianu 3x3 -2x2 - 9x +6.
b) Czy wielomian 2x4 +2x3 + x2 - x -1
ma pierwiastki wymierne? Odpowiedz

uzasadnij.
18. Korzystając z poniższego rysunku,
podaj zbiór rozwiązań nierówności:
22. Korzystając z rysunku, ustal, która
a) (x2 - x - 2)(-x +2) e"0
z liczbm czy n jest parzysta oraz, jakie
b) (x2 - x -2)(x2 -4x +4) <0
znaki mają liczby a i b.
23. Rysunek przedstawia wykres funk-
19. Rozwiąż nierówność:
cji wielomianowej y = W (x). Korzystając
z niego, rozwiąż poniższe nierówności.
a) (2x2 - x)(2x2 +11x -6) d"0
b) 4x3 +3x2 -8x -6>0
c) -3x4 +10x3 +25x2 <0
20. Dla jakich argumentów funkcja:
f (x) =-3x4(x -5)3(x +2)7
a) W (x) d"0 c) (x +5)2W (x) <0
b) (x +2)W (x) e"0 d) x5 � W (x) >0
przyjmuje wartości ujemne?
ZAGADKA
Rozwiązaniem rebusu przedsta-
wionego obok jest pewne po-
jęcie matematyczne (można je
znalez
ć w tym rozdziale). Jakie
to pojęcie?
WIELOMIANY 131
PUNKTY I WYKRESY
Jeśli w układzie współrzędnych zaznaczymy kilka
punktów, których odcięte są różnymi liczbami (żad-
na para punktów nie leży na pionowej prostej), to
przez punkty te można (na wiele sposobów) popro-
wadzić linię, która jest wykresem pewnej funkcji.
Można się zastanawiać, czy przez te punkty moż-
na poprowadzić linię, która jest wykresem pewnej
funkcji wielomianowej. Okazuje się, że niezależnie
od liczby i położenia wybranych punktów taka funk-
cja wielomianowa zawsze istnieje.
Jeżeli zaznaczymy dwa punkty, to można przez nie poprowadzić prostą (wykres
funkcji wielomianowej pierwszego stopnia).
Jeżeli zaznaczymy trzy punkty niewspółliniowe, to można przez nie poprowa-
dzić parabolę (wykres funkcji wielomianowej drugiego stopnia).
Uwaga. Jeśli przez trzy punkty można poprowadzić prostą, to nie można przez nie
poprowadzić paraboli.
Istotnie, prosta z parabolą nie mogą mieć trzech punktów wspólnych, gdyż dowolna
prosta y = px + q ma z dowolną parabolą y = ax2 + bx + c co najwyżej dwa punkty
wspólne, ponieważ układ równań

y = px + q
y = ax2 + bx + c
ma tyle rozwiązań, co równanie kwadratowe px + q = ax2 + bx + c (czyli co najwyżej
dwa).
Jeżeli zaznaczymy cztery punkty, które nie leżą na jednej prostej ani na żad-
nej paraboli, to można przez nie poprowadzić wykres funkcji wielomianowej
trzeciego stopnia.
A. Uzasadnij, że jeśli cztery punkty są współliniowe lub leżą na tej samej paraboli,
to nie istnieje funkcja wielomianowa trzeciego stopnia, której wykres przechodzi
przez te punkty.
B. W układzie współrzędnych zaznacz punkty (0, 4), (1, 6) i (2, 2). Znajdz
wzór
funkcji wielomianowej drugiego stopnia, której wykres przechodzi przez te punkty.
Wskazówka. Współrzędne podanych punktów muszą spełniać równanie y = ax2 + bx + c.
Znajdz
liczby a, b i c, rozwiązując odpowiedni układ trzech równań.
Wzór funkcji wielomianowej trzeciego stopnia, której wykres przechodzi przez
cztery dane punkty, można otrzymać, rozwiązując układ czterech równań z cztere-
ma niewiadomymi.
132 WIELOMIANY
ADAWCZA
B
A
AC
PR
Pokażemy teraz prostszy sposób znajdowania wzoru odpowiedniej funkcji wie-
lomianowej, który można stosować wówczas, gdy odcięte danych punktów są
liczbami 1, 2, 3.
Poniżej przedstawiono tabelkę wartości funkcji f (x) = ax3 + bx2 + cx + d dla argu-
mentów 0, 1, 2 i 3. W kolejnych wierszach zapisano różnice między wyrażeniami
zapisanymi w dwóch sąsiednich  komórkach poprzedniego wiersza.
Gdy szukamy wzoru funkcji, której wykres przechodzi przez punkty (0, 5),
(1, 4), (2, -11), (3, -58), wypełniamy analogiczną tabelkę.
Porównując obie tabelki, otrzymujemy:
a =-3 (z równości 6a = -18)
b =2 (z równości 6a +2b = -14)
c =0 (z równości a + b + c = -1)
d =5
Zatem szukana funkcja ma wzór:
y =-3x3 +2x2 +5
C. Znajdz
wzór funkcji wielomianowej trzeciego stopnia, której wykres przechodzi
przez punkty (0, 2), (1, 0), (2, -1) i (3, 2).
D. Obierz dowolne cztery punkty, których pierwszymi współrzędnymi są liczby 0,
1, 2 i 3, a następnie znajdz
wzór funkcji wielomianowej trzeciego stopnia, której
wykres przechodzi przez te punkty.
Co dalej?
1. Określ, jaki jest związek między liczbą punk-
tów a stopniem funkcji wielomianowej, której
wykres przebiega przez te punkty.
2. Zbuduj  tabelkę różnic dla funkcji wie-
lomianowej czwartego stopnia. Wybierz pięć
punktów o pierwszych współrzędnych 0, 1,
2, 3 i 4. Posługując się otrzymaną tabelką,
znajdz
wzór takiej funkcji, której wykres prze-
chodzi przez wybrane przez ciebie punkty.
PRACA BADAWCZA 133