Wyk7
lady z funkcji zespolonych
III semestr 2009/10
oprac. Janina Kotus
1
Spis treści
1. Pojecia podstawowe str. 5
1.1 Rzut stereograficzny str. 5
Ż
1.2 Metryki w ! i ! str. 6
2. Funkcje zespolone str. 8
2.1 Granica i ciag7 str. 9
lość
2.2 Pochodna str. 9
2.3 Pochodne formalne str. 13
2.4 Pochodna kierunkowa funkcji str. 14
2.5 Funkcje holomorficzne str. 15
3. Funkcje elementarne str. 16
3.1 Funkcja wyk7 str. 16
ladnicza
3.2 Funkcje trygonometryczne str. 18
3.3 Funkcje hiperboliczne str. 21
3.4 Funkcja logarytmiczna str. 22
3.5 Funkcja potegowa str. 22
3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych str. 23
4. Szeregi funkcyjne str. 23
4.1 Szeregi liczbowe str. 23
4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych str. 25
4.3 Szeregi potegowe str. 26
4.5 Funkcje analityczne str. 30
5. Odwzorowania konforemne str. 32
5.1 Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej str. 32
5.2 Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-Riemanna str. 34
5.3 Odwzorowania konforemne str. 35
2
6. Ca7 z funkcji zespolonej str. 40
lka
6.1 Ca7 z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej str. 40
lka
6.2 Ca7 z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej str. 42
lka
7. Twierdzenia i wzory ca7 str. 50
lkowe Cauchy ego
8. Funkcje holomorficzne w ! str. 59
9. Zera funkcji holomorficznej str. 60
10. Szeregi Laurenta str. 61
11. Punkty osobliwe str. 65
11.1 Punkty osobliwe izolowane str. 65
11.2 Zachowanie sie funkcji holomorficznej w punkcie " str. 70
11.3 Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgledu na ich punkty osobliwe str. 72
12. Obliczanie ca7 za pomoca residuów str. 73
lek
13. Geometryczna teoria funkcji str. 81
14. Przed7 str. 86
lużenia analityczne
15. Rodziny normalne funkcji str. 90
16. Funkcje harmoniczne str. 97
3
.
4
1 Pojecia podstawowe
Zbiór liczb zespolonych ! = { = + : , " !} można utożsamiać z p7
laszczyzna
dwuwymiarowa, która bedziemy oznaczać symbolem ! i nazywać p7
laszczyzna zespolona
otwarta.
Aby zdefiniować jej domkniecie podamy najpierw definicje przekszta7 zwanego rzutem
lcenia
stereograficznym.
1.1 Rzut stereograficzny
2
2 2 1 1
W przestrzeni !3 definiujemy sfere + + - = o środku w punkcie ( , , ) =
0 0 0
2 4
1 1
(0, 0, ) i promieniu = , styczna do p7 ladu ladu lrzednych.
laszczyzny uk7 OXY w poczatku uk7 wspó7
2 2
2
Punkt = (0, 0, 1) " nazywać bedziemy biegunem pó7
lnocnym sfery.
Konstrukcja rzutu stereograficznego
2
Każdemu punktowi = + " ! przyporzadkujemy punkt ( , , ) " " { } bedacy
punktem przeciecia odcinka laczacego punkt " ! z punktem .
7
Definicja 1.1
Odwzorowanie
2
: ! =�! " " { },
= + =�! = ( , , ),
gdzie
#" #"2
= , = , = ,
2 2 2
1 + #" #" 1 + #" #" 1 + #" #"
nazywamy rzutem stereograficznym.
Uwaga 1.1
Rzut stereograficzny posiada przekszta7 odwrotne
lcenie
-1 2
: " { } =�! !, = ( , , ) =�! = + ,
zdefiniowane wzorem = , = .
1- 1-
Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja miedzy p7
laszczyzna otwarta ! i sfera bez bieguna
pó7 laszczyz
nie.
lnocnego, któremu nie odpowiada żaden punkt na p7
5
Uwaga 1.2
Umówimy sie, że punktowi odpowiada punkt w nieskończoności (ozn. ").
Definicja 1.2
Ż
P7
laszczyzna domnkieta, która oznaczamy symbolem ! nazywamy sume !*"{"} i utożsamiamy
ja z dwywymiarowa sfera zwana sfera Riemanna.
Ż
1.2 Metryki w ! i !
W p7
laszczyz
nie otwartej ! wprowadzamy metryke euklidesowa
( , ) := (Re - Re )2 + (Im - Im )2 = #" - #".
1 2 1 2 1 2 1 2
Ż
W p7 lość
laszczyz
nie domknietej ! wprowadzamy metryke sferyczna, w której odleg7 miedzy
punktami , rozumiemy odleg7 euklidesowa miedzy ich obrazami przy rzucie stere-
lość
1 2
ograficznym na sferze tzn.
#" - #"
1 2
( , ) := ( ( ), ( )) = = " !,
"
1 2 1 2 1 2
1 + #" #"2 1 + #" #"2
1 2
1
( , ") := , = ".
"
1 + #" #"2
Uwaga 1.3
Aby otrzymać drugi wzór z pierwszego należy za podstawić i podzielić licznik oraz
1
mianownik przez .
2
#" - 1#"
#" - #" 1
2
2
( , ) = = jesli ".
2 2
2
1 + #" #"2 1 + #" #"2 1 + #" #"2 1+#" #"2 1 + #" #"2
2
#" #"2
2
Uwaga 1.4
Ż
" , " !, 0 d" ( , ) d" 1.
1 2 1 2
Uwaga 1.5
Ż
P7
laszczyzna domknieta ! z metryka sferyczna jest przestrzenia metryczna zwarta.
Uwaga 1.6
Na zbiorach ograniczonych, zawartych w ! obie metryki euklidesowa i sferyczna sa równoważne
tzn. jeśli �" { : #" #" d" }, ( < "), to
#" - #"
1 2
d" ( , ) d" #" - #" " , " .
1 2 1 2 1 2
1 + 2
6
Definicja 1.3
Zbiór ( , ) = { " ! : ( , ) = #" - #" < } nazywamy -otoczeniem punktu " ! w
0 0 0 0
p7
laszczyz
nie ! (otwartej).
Definicja 1.4
Ż Ż
Zbiór ( , ) = { " ! : ( , ) < } nazywamy -otoczeniem punktu " ! w p7
laszczyz
nie
0 0 0
Ż
! (domknietej). Zatem:
1
Ż Ż
(", ) = { " ! : ( , ") < } = { " ! : < } =
1 + #" #"2
1
Ż
{ " ! : #" #" > - 1}, - ma7
le.
2
Ż
Otoczeniem punktu w " w p7 lnienie la
laszczyz
nie ! jest dope7 domknietego ko7 o środku w zerze.
Definicja 1.5
- Otoczeniem nak7 punktu " ! w p7
lutym laszczyz
nie ! nazywamy zbiór ( , ) " { } =
0 0 0
{ " ! : 0 < #" - #" < }.
0
Ż Ż
- Otoczeniem nak7 punktu " ! w p7
lutym laszczyz
nie ! nazywamy zbiór ( , ) " { } =
0 0 0
{ " ! : 0 < ( , ) < }.
0
Definicja 1.6
Ż
Obszarem nazywamy zbiór punktów p7 lniajacy warunki:
laszczyzny ! spe7
- (otwartość) " " " ( , )-otoczenie takie, że ( , ) �" ,
- (7
lukowa spójność) " , " istnieje droga o końcach a,b zawarta w .
Ż
Droga o końcach , nazywamy funkcje ciag7a : [ 0, 1] ! taka, że ( 0) = , ( 1) = .
l
Stwierdzenie 1.1
Ż
Dla zbiorów otwartych zawartych w ! (odpow. w !) lukowa spójność pokrywa sie ze spo-
7
jnościa zbiorów.
Definicja 1.7*
Ż
Obszar �" ! (odpow. �" !) nazywamy jednospójnym, jeśli jego brzeg jest zbiorem
spójnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielospójnym.
(*) Póz
niej podamy inna definicje jednospójności.
7
2 Funkcje zespolone
Definicja 2.1
Odwzorowanie
Ż
: �! !, �" !
�! = ( )
nazywamy funkcje zespolona zmiennej zespolonej.
Argument funkcji i jej wartość = ( ) rozk7
ladamy na cześć rzeczywista i urojona tzn.
= + , = + . Otrzymujemy w ten sposób rozk7 funkcji
lad
= ( + ) = ( , ) + ( , )
na cześć rzeczywista Re ( ) := ( , ) i cześć urojona Im ( ) := ( , ).
Cześć rzeczywista i urojona funkcji zespolonej jest funkcja rzeczywista dwóch zmiennych
, .
Przyk7 2.1
lad
2
Znalez
ć cześć rzeczywista i urojona funkcji ( ) = .
2 2 2 2 2 2 2
( ) = = ( + )2 = ( + 2 - ) = - 2 - = -2 + ( - ).
Zatem
2 2
Re ( ) = ( , ) = -2 , Im ( ) = ( , ) = - .
Przyk7 2.2
lad
Dane sa cześć rzeczywista ( , ) = - i urojona ( , ) = 4 funkcji zespolonej .
Przedstawić funkcje jako funkcje zmiennej zespolonej .
+ Ż - Ż
= + , Ż = - �! = , = .
2 2
Podstawiamy
+ Ż - Ż + Ż - Ż
( ) = ( , ) + ( , ) = ( - ) + 4 = - + 4
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
= - + Ż + - ( - Ż2) = + + Ż - + - Ż2.
2 2 2 2 2 2 2 2
8
2.1 Granica i ciag7
lość
Definicja 2.2
lim ( ) = �! " > 0 " > 0 " " 0 < ( , ) < �! ( ( ), ) < .
0
0
Stwierdzenie 2.1
lim ( ) = �! lim ( , ) = Re i lim ( , ) = Im .
0
( , )( , ) ( , )( , )
0 0 0 0
Definicja 2.3
Funkcja jest ciag7 w �! lim ( ) = ( ).
la
0 0
0
Twierdzenie 2.1
Funkcja ( ) = ( , ) + ( , ) jest ciag7 w �! funkcje i sa ciag7 w ( , ).
la le
0 0 0
Definicja 2.4
Funkcja jest ciag7 w ", jeśli funkcja ( 1) jest ciag7 w zerze.
la la
2.2 Pochodna
Definicja 2.5
Granice w7
laściwa ilorazu różnicowego
( + " ) - ( )
lim
" 0
"
2
nazywamy pochodna funkcji w punkcie i oznaczamy ( ).
( + " ) - ( )
2
( ) := lim ,
" 0
"
( ) - ( )
0
2
( ) := lim .
0
- 0
0
Jeżeli funkcje i maja pochodna w punkcie , to
2 2
1. ( ą )2 ( ) = ( ) ą ( ).
2 2
2. ( )2 ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ).
2
2 2
( ) ( )- ( ) ( )
-1
3. ( ) = dla " (0).
/
[ ( )]2
9
Jeżeli funkcja ma pochodna w punkcie ( ) i ma pochodna w punkcie , to
2 2
( " )2 ( ) = ( ( )) ( ).
Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej)
2
Jeżeli funkcja ( ) = ( , )+ ( , ) ma w punkcie = + pochodna ( ), to istnieja
0 0 0 0
" " " "
w punkcie ( , ) pochodne czastkowe , , , i spe7 w punkcie ( , ) warunki:
lniaja
0 0 0 0
" " " "
" " " "
( , ) = ( , ), ( , ) = - ( , ),
0 0 0 0 0 0 0 0
" " " "
zwane warunkami Cauchy ego-Riemanna.
Dowód. Zak7
ladamy, że istnieje
( + " ) - ( )
0 0
2
( ) = lim .
0
" 0
"
Niech " = " + "
(1) " = 0 �! " = "
( + " , ) + ( + " , ) - ( , ) - ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
2
( ) = lim
0
" 0
"
( + " , ) - ( , ) ( + " , ) - ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
= lim +
" 0
" "
" "
= ( , ) + ( , ).
0 0 0 0
" "
(2) " = 0 �! " = "
( , + " ) + ( , + " ) - ( , ) - ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
2
( ) = lim
0
" 0
"
( , + " ) - ( , ) ( , + " ) - ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
= lim +
" 0
" "
" "
= - ( , ) + ( , ).
0 0 0 0
" "
Zatem
" " " "
( , ) + ( , ) = - ( , ) + ( , ).
0 0 0 0 0 0 0 0
" " " "
10
Stad
" " " "
( , ) = ( , ) oraz ( , ) = - ( , ).
0 0 0 0 0 0 0 0
" " " "
Wniosek 2.1
Jeżeli istnieje pochodna funkcji w punkcie , to:
0
" " " "
2
( ) = ( , ) + ( , ) = ( , ) - ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0 0
" " " "
" " " "
= ( , ) - ( , ) = ( , ) + ( , ).
0 0 0 0 0 0 0 0
" " " "
Wniosek 2.2
Pochodne czastkowe funkcji wyrażaja sie wzorami
" " "
( , ) = ( , ) + ( , )
" " "
" " "
( , ) = ( , ) + ( , ).
" " "
Stad i z wniosku 2.1 otrzymamy nastepujace wzory na pochodna funkcji w punkcie .
0
" "
2
( ) = ( , ) = - ( , ).
0 0 0 0 0
" "
Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej)
Jeżeli funkcje ( , ) i ( , ) sa rózniczkowalne w punkcie ( , ) i spe7 w tym punkcie
lniaja
0 0
2
warunki Cauchy ego Riemanna, to funkcja ( ) = ( , ) + ( , ) ma pochodna ( ).
0
Dowód. Funkcje i sa różniczkowalne w punkcie ( , ), wiec
0 0
" "
(1) " ( , ) = ( , ) - ( , ) = ( , )" + ( , )" + (#"" #"),
0 0 0 0 0 0 0 0 1
" "
1
gdzie #"" #" = (" )2 + (" )2, jest wielkościa ma7 rzedu tzn. lim" 0 (#"" #") = 0.
lego
1
"
Analogicznie
" "
(2) " ( , ) = ( , ) - ( , ) = ( , )" + ( , )" + (#"" #"),
0 0 0 0 0 0 0 0 2
" "
2
jest wielkościa ma7 rzedu tzn. lim" 0 (#"" #") = 0.
lego
2
"
" ( ) = ( ) - ( ).
0 0
11
(3) " ( ) = ( ) - ( ) = " ( , ) + " ( , ).
0 0 0 0 0 0
Podstawiajac (1) i (2) do (3) otrzymamy:
" " "
( ) = ( , ) + ( , ) =
0 0 0 0 0
" " "
" " " " (#"" #") " " " " (#"" #")
1 2
( , ) + ( , ) + + ( , ) + ( , ) + =
0 0 0 0 0 0 0 0
" " " " " " " " " "
" " " " " " (#"" #") (#"" #")
1 2
( , ) + ( , ) + ( , ) + ( , ) + + .
0 0 0 0 0 0 0 0
" " " " " " " "
Korzystajac z za7 lniaja
lożenia, że funkcje ( , ) i ( , ) spe7 warunki Cauchy ego-Riemanna
" " " "
( , ) = ( , ) i ( , ) = - ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
" " " "
otrzymamy, że
" " " " + " (#"" #") (#"" #")
1 2
( ) = ( , ) + ( , ) + + .
0 0 0 0 0
" " " " " "
Zatem
" " " (#"" #") (#"" #")
1 2
lim ( ) = lim ( , ) + ( , ) + + .
0 0 0 0 0
" 0 " 0
" " " " "
Stad wynika, że istnieje granica w7
laściwa ilorazu różnicowego w punkcie , czyli istnieje
0
2
pochodna ( ).
0
Przyk7 2.3
lad
2 2
Dla jakich punktów " ! funkcja ( ) = Ż = #" #"2 = + ma pochodna?
2 2
Re ( ) = ( , ) = + , Im ( ) = ( , ) a" 0. Funkcje i sa różniczkowalne dla
"( , ) " !2. Sprawdzamy warunki C-R.
2 2 2 2
= 2 , = 2 , = = 0.
Stad
2 2 2 2
= �! = 0, = - �! = 0.
Zatem warunki Cauche go Riemanna sa spe7 tylko w punkcie = 0. Z Twierdzenia
lnione
0
2.2 wynika, że tylko w tym punkcie spe7 jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z
lniony
twierdzenia 2.3 zaś wynika, że w punkcie = 0 spe7 sa również warunki dostateczne
lnione
0
istnienia pochodnej funkcji . Pochodna funkcji policzymy z definicji.
( ) - (0) Ż
2
(0) = lim = lim = lim Ż = 0.
0 - 0
0 0
12
2.3 Pochodne formalne
Niech ( ) = ( , ) + ( , ). Za7óżmy, że funkcje ( , ) i ( , ) sa różniczkowalne w
l
punkcie = ( , ). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne ( ).
0 0 0
2 2 2 2
= + =( + ) + ( + )
2 2 2 2
=( + ) + ( + )
(2.1)
" "
= + .
" "
Ponieważ = + i Ż = - , to
1 1
= ( + Ż), = ( - Ż). (2.2)
2 2
Wstawiajac (2.2) do (2.1) otrzymamy
" 1 " 1
= ( + Ż) + ( - Ż)
" 2 " 2
1 " " 1 " "
(2.3)
= - + + Ż
2 " " 2 " "
" "
= + Ż.
" "Ż
Definicja 2.6.
Pochodne formalne funkcji ( ) definiujemy nastepujaco:
" 1 " " " 1 " "
:= - , := + .
" 2 " " "Ż 2 " "
Twierdzenie 2.4 (warunek różniczkowalności funkcji w postaci zespolonej)
Niech ( ) = ( , ) + ( , ). Zak7
ladamy, że funkcje ( , ) i ( , ) sa różniczkowalne w
punkcie = ( , ). Wtedy funkcja ( ) ma pochodna w punkcie = + wtedy i tylko
0 0 0 0 0 0
"
wtedy gdy ( ) = 0.
0
" Ż
Dowód Korzystajac z definicji pochodnej formalnej mamy, że
" 1 " " 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
= + = + + ( + ) = - + ( + ) .
"Ż 2 " " 2 2
"
2 2
Zauważmy, że warunek ( ) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy ( , ) = ( , )
0 0 0 0 0
" Ż
2 2
i ( , ) = - ( , ), czyli gdy spe7 sa warunki Cauchy ego-Riemanna w punkcie
lnione
0 0 0 0
.
0
13
"
2
Uwaga 2.1 ( ) = ( )
0 0
"
Dowód
" " "
2 " " 1
Z wniosku 2.1 wynika, że ( ) = ( , ) + ( , ). Natomiast = - =
0 0 0 0 0
" " " 2 " "
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2
+ - ( + ) = ( + ) + ( - ) . Korzystajac z faktu, że jeśli istnieje
2 2
2
( ) to spe7 w punkcie warunki Cauchy ego-Riemanna otrzymamy, że
lnia
0 0
" 1
2 2 2 2
( ) = ( , ) + ( , ) + ( ( , ) - ( , ))
0 0 0 0 0 0 0 0 0
" 2
1
2 2 2
= [2 ( , ) + 2 ( , )] = ( )
0 0 0 0 0
2
2.4 Pochodna kierunkowa funkcji
Niech �" !, : !, " . Wtedy
0
" = ( ) - ( ), " = - , "Ż = Ż - Ż0.
0 0
Zatem
" "
" = " + "Ż + (" ),
" "Ż
gdzie (" ) oznacza ma7a wyższego rzedu wzgledem " tzn. lim" 0 (" ) = 0. Zapiszemy
l
"
-
" = #"" #" , wtedy "Ż = #"" #" .
" " "
-2
= + + (" ),
" " "Ż
(" )
gdzie (" ) = dla " 0.
"
"
Do istnienia granicy ilorazu dla " 0 potrzeba i wystarcza, aby przy da żeniu " 0
"
"
kat = (" ) da ży7 do pewnej granicy . Granica ilorazu gdy (" ) da ży do kata
l
"
"
nazywamy pochodna funkcji w kierunku kata w punkcie i oznaczamy symbolem .
0
"
" " "
-2
= + .
" " "Ż
Uwaga 2.2
"
Jeżeli ( ) = 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zależa od od kierunku.
"
0
" Ż
14
Uwaga 2.3
"
Funkcja ma pochodna w punkcie �! ( ) = 0 �! gdy pochodna funkcji nie zależy od
0 0
" Ż
od kierunku w punkcie .
0
2.5 Funkcje holomorficzne
Definicja 2.7
Funkcje ( ) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w obszarze
2
jeśli w każdym punkcie " istnieje pochodna ( ).
Ozn. f " H(D).
Definicja 2.8
Funkcje ( ) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie
" jeśli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu.
0
Przyk7 2.4
lad
Zbadać holomorficzność funkcji ( ) = #" #"2 = Ż.
" "
2
Wiadomomo, że ( ) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy ( ) = 0. Policzymy ( ) = .
0 0
" Ż " Ż
"
Stad ( ) = 0 �! = 0. Zatem ma pochodna tylko w = 0. Policzymy ja z definicji
0
" Ż
( ) - ( ) Ż - 0
0
2
( ) = lim = lim = lim Ż = 0.
0
0 - 0
0 - 0
0
- ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie = 0, ani w
0
ca7 p7
lej laszczyz
nie !.
Przyk7 2.5
lad
2
Zbadać holomorficzność funkcji ( ) = Ż.
" "
2
Policzymy ( ) = . Stad ( ) = 0 �! = 0. Zatem ma pochodna tylko w = 0.
0
" Ż " Ż
Policzymy ja z definicji
2
( ) - ( ) Ż - 0
0
2
( ) = lim = lim = lim Ż = 0
0
0 - 0
0 - 0
0
- ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie = 0, ani w
0
ca7 p7 lad
lej laszczyz
nie !. Jest to kolejny przyk7 funkcji, która ma pochodna w punkcie ale nie
jest w nim holomorficzna.
15
W7
lasności funkcji holomorficznych:
1. Jeśli , " ( ), to ( ą ) " ( ) oraz " ( ).
-1
2. Jeśli , " ( ), to " ( " ( (0)).
3. Jeśli " ( ), " ( ( )), to ( " ) " ( ).
3 Funkcje elementarne
3.1 Funkcja wyk7
ladnicza
Funkcje wyk7
ladnicza w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej
tzn.
( ) := lim 1 + .
"
Wykażemy istnienie tej granicy dla każdego " !.
1. Najpierw pokażemy zbieżność modu7ów tzn.
l
lim 1 + = . (3.1)
"
Skorzystamy z w7
lasności, że #" #" = #" #" . Zatem
/2 /2
2 2 2
2
2 +
1 + = 1 + + = 1 + + .
2 2
Przechodzac do granicy otrzymamy, że
lim 1 + = ,
"
czyli zachodzi (3.1).
2. Niech oznacza argument g7ówny liczby . Pokażemy, że
l
lim 1 + = . (3.2)
"
Zauważmy najpierw, że
1 + = .
1 +
Ponieważ ( ) = ( ), to
1 + = .
1 +
16
Przechodzac do granicy otrzymamy, że
lim = ,
"
1 +
czyli zachodzi (3.2).
Z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, że modu7
l
liczby czyli #" #" = lim " 1 + = , zaś ( ) = lim " 1 + = . Stad
+
( ) = = = ( + ). (3.3)
Podstawiajac za = 0 + otrzymamy wzór Eulera tzn.
" " = + (3.4)
Wracajac do definicji funkcji wyk7
ladniczej (znowu korzystajac z jednoznaczności zapisu
liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, że
+
= = = ( + ).
W7
lasności
a) Cześć rzeczywista i urojona funkcji ( ) = wynosza odpowiednio
( , ) = , ( , ) = .
b) #" #" = .
c) funkcja jest holomorficzna w ! oraz ( )2 = .
1
Jest oczywiste, że cześć rzeczywista i urojona funkcji sa klasy (!2). Pokażemy, że
spe7 równania Cauchy ego-Riemanna:
lniaja
2 2 2 2
( , ) = , ( , ) = - , ( , ) = , ( , ) = ,
2 2 2 2
( , ) = ( , ), ( , ) = - ( , ).
"
2 2 2
( ) = = + = + = ( + ) = .
"
+
1 2 1 2
d) " , " !, = .
1 2
+
1 2 1 2 1 2
= ( + ) ( + ) = ( ( + ) + ( + )) .
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
= ( + )+ ( + ) +
= .
17
e) " " !, = 0.
"
Przypuśćmy, że
= 0 �!�! ( + ) = 0 �!�! = 0 '" = 0.
Ponieważ = 0 to = 0 i = 0. Pierwsza równość zachodzi dla = + ,
"
2
druga zaś dla = , gdzie " $!. Ponieważ obie równości nie moga zachodzić
jednocześnie, otrzymana sprzeczność dowodzi, że = 0 dla każdego " !.
"
f) funkcja jest okresowa o okresie podstawowym = 2 .
Dla " $! korzystajac z okresowości funkcji trygonometrycznych i mamy
+2 2
= = ( (2 ) + (2 )) = (1 + 0) = .
g) funkcja jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk7
ladniczej .
Niech = + 0 " !. Wtedy = ( 0 + 0) = (1 + 0) = .
Uwaga 3.1
Zostanie póz
niej udowodnione, że funkcja wyk7
ladnicza rozwinie sie w szereg Maclaurina
tzn.
"
= dla każdego " !.
!
=1
3.2 Funkcje trygonometryczne
Funkcje i w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepujaco:
+ - - -
:= , := ,
2 2
-
- - ( + )
= = , = = .
- -
( + ) ( - )
W7
lasności
a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. i dla " !,
dla " { " ! : = + , " $!}, dla " { " ! : = , " $!}.
" "
2
18
Korzystamy z faktu, że funkcja wyk7 lasności
ladnicza jest funkcja holomorficzna oraz z w7
dzia7 na tych funkcjach. Stad można wyprowadzić wzory na pochodna:
lań
1 1
- - -
( )2 = ( - ) = ( - ) = - ( - ) = - .
2 2 2
1 1
- - -
( )2 = ( + ) = ( + ) = ( + ) = .
2 2 2
1 -1
( )2 = ( )2 = .
2 2
2 2
b) + = 1.
+ - 2 - - 2
2 2
+ = +
2 2
1 1
2 - -2 2 - -2
= + 2 + - - 2 +
4 4
4 -2
= = 1.
4
c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosza odpowiednio:
= ! + !
= ! - !
2 !2
= +
2 + !2 2 + !2
Dowód podamy dla funkcji
- ( + ) - ( + ) - + -
- - -
= = =
2 2 2
-
( + ) - ( - )
=
2
- -
- +
= +
2 2
= ! + ! .
d) Funkcje trygonometryczne , , sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji
, , .
19
Niech = + 0 " . Wtedy
= !0 + 0 !0 = + 0 = .
= !0 - !0 = - 0 = .
2 !0 2
= + = = .
2
2 + !0 2 + !0 1 + (2 - 1)
e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn.
 i o okresie podstawowym = 2 .
 i o okresie podstawowym = .
( + 2 ) = ( + + 2 ) = ( + 2 ) ! + ( + 2 ) !
= ( ) ! + ( ) ! = .
Dowód dla jest analogiczny.
2( + ) !2
( + ) = +
2( + ) + !2 2( + ) + !2
2 !2
= + = .
2 + !2 2 + !2
2 2
f) #" #" = + !2 oraz #" #" = + !2 .
Ponieważ funkcja hiperboliczna ! jest nieograniczona, wynika sta, że w przeciwieństwie
do funkcji rzeczywistych funkcje i sa nieograniczone.
g) , , to funkcje nieparzyste, natomiast jest funkcja parzysta
tzn. (- ) = - , (- ) = .
h) (Ż) = , (Ż) = (Ż) = (Ż) = .
i) ( ą ) = ą .
1 2 1 2 1 2
( + ) = - .
1 2 1 2 1 2
( - ) = + .
1 2 1 2 1 2
j) Funkcje oraz przyjmuja wszystkie wartości z p7
laszczyzny otwartej !.
Funkcje i omijaja dwie wartości , - , natomiast przyjmuja wartość ", w
punktach = + , w punktach = , " $!.
2
20
3.3 Funkcje hiperboliczne
Funkcje ! i ! w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej
tzn.
+ - - -
! := , ! := ,
2 2
! - - ! + -
! := = , ! := = .
! + - ! - -
W7
lasności
a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. ! i ! dla " !,
! dla " { " ! : = ( + ), " $!}, ! dla " { " ! : = , " $!}.
" "
2
1 -1
( ! )2 = ! , ( ! )2 = ! , ( ! )2 = , ( ! )2 = .
!2 !2
b) !2 - !2 = 1 dla " " !.
c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosza odpowiednio:
! = ! + ! ,
! = ! + ! ,
!2 2
! = + .
!2 + 2 !2 + 2
d) Funkcje hiperboliczne ! , ! , ! , ! sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji
! , ! , ! , ! .
e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn.
 ! i ! o okresie podstawowym = 2 .
 ! i ! o okresie podstawowym = .
2 2
f) #" ! #" = !2 + oraz #" ! #" = !2 + .
g) = ! , = !( ).
21
3.4 Funkcja logarytmiczna
Niech " ! " {0}. Każda liczbe zespolona spe7
lniajaca równanie
=
nazywamy logarytmem liczby i oznaczamy . Niech
+
= + = = = ( + ). (3.5)
2 2
Zatem #" #" = czyli = #" #" = ln + . Z (3.5) wynika, że = +2 dla pewnego
" $!, gdzie oznacza argument g7ówny liczby .
l
Każda liczba zespolona " ! " {0} ma nieskończenie wiele logarytmów wyrażonych wzorem
= + = #" #" + ( + 2 ), " $!.
Funkcja zdefiniowa wzorem
= #" #" + (3.6)
dla = 0 nazywamy funkcja logarytmiczna. Funkcja jest nieskończenie wielowartościowa.
"
Funkcje
= #" #" + , - < d" (3.7)
nazywamy ga7 g7ówna logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, że
lezia l
= + 2 , " $!.
W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym 0 i " istnieje jednoznaczna ga7a z

l
logarytmu. Takim obszarem jest np. p7 luż
laszczyzna rozcieta wzd7 osi ujemnej tzn.
= ! " { " ! : d" 0}.
3.5 Funkcja potegowa
Niech bedzie dowolna liczba zespolona, obszarem spójnym w którym istnieje jednoz-
naczna ga7a z
logarytmu zmiennej . Funkcje potegowa o wyk7
l ladniku nazywamy funkcje
zdefiniowana wzorem
= . (3.8)
Jest to także fukcja wielowartościowa. Ga7ezia g7ówna tej funkcji nazywamy ga7a z

l l l
zdefiniowana za pomoca ga7ezi g7ównej logarytmu tzn.
l l
.
"
Szczególnym przyk7 funkcji potegowej jest funkcja = (1/ ) zwana pierwiastkiem
ladem
-stopnia z liczby " ! " {0}. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym zera i "
2 /
istnieje dok7 ga7ezi różniacych sie czynnikiem , = 0, 1, . . . - 1.
ladnie l
22
3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych
Funkcja zdefiniowana dla " ! " {0} jest nieskończenie wielowartościowa. Na
p7 luż losi l
laszczyz
nie rozcietej wzd7 pó7 rzeczywistej ujemnej istnieje nieskończenie wiele ga7ezi
jednoznacznych logarytmu + 2 , " $!. Utwórzmy nieskończony ciag tak rozcietych
p7 laszczyzny usuwamy punkt 0.
laszczyzn i ponumerujmy je liczbami " $!. Z każdej p7
Laczymy górny brzeg rozciecia każdej z nich z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej tak
7
aby punkty brzegowe o tych samych wspó7 ly
lrzednych tworzy7 jeden punkt. Otrzymamy
nieskończenie wielolistna powierzchnie z7 z plaszczyzn zwanych liściami. Taka powierzch-
lożona
nia przedstawia powierzchnie Riemanna pe7 funkcji . Punktom p7
lnej laszczyzny oznaczonej
liczba 0 przyporzadkujemy wartości ga7ezi g7 . Ogólnie, punktowi z -p7
l lownej laszczyzny
przyporzadkowujemy wartości + 2 . W ten sposób każdej wartości funkcji zostaje
przyporzadkowany dok7 jeden punkt powierzchni i na odwrót. Na tej powierzchni
ladnie
jest funkcja jednoznaczna. Startujac z pewnego punktu i okra żajac punkt 0 dojdziemy
po jednym okra żeniu do punktu ą 2 zależnie od tego czy okra żamy punkt 0 w dodatniej
czy ujemnej orientacji.
"
Funkcja ma ga7ezi jednoznacznych na ca7 p7 luż
l lej lasczyz
nie rozcietej wzd7
pó7 rzeczywistej ujemnej. Gdy okra żamy raz punkt 0 wzd7 pewnej krzywej zamknietej
losi luż
w kierunku dodatnim na p7 l
laszczyz
nie nierozcietej, wówczas każda ga7a z
przechodzi w nastepna.
2 /
Wartość funkcji zostaje pomnożona przez . Po -krotnym okra żeniu punktu 0 wartość
2 /
funkcji wraca do swej poczatkowej wartości bo zmieni sie o czynnik = 1.
"
Aby skonstruować powierzchnie Riemanna funkcji umieszczamy rozcietych p7
laszczyzn
wzdluż osi rzeczywistej ujemnej i laczymy górny brzeg rozciecia każdej p7
7 laszczyzny z dolnym
brzegiem rozciecia nastepnej. Tak samo po7aczymy górny brzeg ostatniej p7
l laszczyzny z dol-
nym brzegiem pierwszej. Zawsze laczymy punkty o tych samych wspó7
7 lrzednych. Otrzymana
"
w ten sposób -listna powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe7 funkcji .
lnej
Na jednym liściu tej powierzchni rozmieśćmy wartości jednoznacznej ga7ezi naszej funkcji,
l
2 /
a na każdym nastepnym l
"liściu wartości tej ga7ezi pomnożonej przez . W ten sposób
każdej wartości funkcji zostaje przyporzadkowany dok7 jeden punkt powierzchni i
ladnie
"
na odwrót. Na tej powierzchni jest funkcja jednoznaczna.
4 Szeregi funkcyjne
4.1 Szeregi liczbowe
Definicja 4.1
"
Szereg + + + . . . = o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbieżnym
0 1 2
=0
do sumy , gdy ciag sum czastkowych = , " !, jest zbieżny do granicy .
=0
23
Definicja 4.2
"
Szereg nazywamy:
=0
"
i) bezwzglednie zbieżnym jeśli #" #" jest zbieżny,
=0
ii) warunkowo zbieżnym jeśli jest zbieżny ale nie jest bezwglednie zbieżny.
Twierdzenie 4.1
"
i) Jeżeli szereg jest zbieżny, to lim " = 0.
=0
ii) Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny przy dowolnym uporzadkowaniu wyrazów i jego
suma nie zależy od porzadku wyrazów.
"
iii) Szereg , gdzie = + , jest zbieżny do sumy = + wtedy i tylko wtedy,
=0
" " " "
gdy szeregi i sa zbieżne tzn. = i = .
=0 =0 =0 =0
Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze)
"
Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów szeregu zachodzi nierówność #" #" d" i szereg
=0
" "
jest zbieżny, to szereg jest zbieżny bezwzglednie.
=0 =0
Twierdzenie 4.3 (Kryterium d Alamberta)
"
+1
Szereg jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim " < 1 oraz rozbieżny, gdy
=0
+1
lim " > 1.
Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy ego)
"
Szereg jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim sup " #" #" < 1 oraz rozbieżny, gdy
=0
lim sup " #" #" > 1.
Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta)
"
Szereg jest zbieżny, jeśli wyrazy sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem maleja
=0
"
do zera, a ciag sum czastkowych szeregu jest ograniczony.
=0
Przyk7 4.1
lad
"
1
Szereg jest zbieżny dla #" #" = 1, = 1, bo przyjmujac = , = , #" #" = 1 i
"
=1
#"1 - #" > otrzymamy
(1 - ) 2
2
#" #" = #" + + . . . + #" = < ,
1 -
a wiec za7 kryterium Dirichleta sa spe7
lożenia lnione. Zauważmy, że ten szereg nie jest zbieżny
" "
1
bezwglednie dla takich, że #" #" = 1, ponieważ = = ".
=1 =1
24
4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych
Definicja 4.3
Niech �" ! zbiór (czesto otwarty lub obszar), : ! ciag funkcji. Powiemy, że szereg
"
funkcyjny ( ) jest zbieżny w jeżeli ciag { ( ) = ( )} jest zbieżny w
=1 =1
tzn. jeśli granica lim " ( ) = ( ) jest funkcja dobrze określona w zbiorze . Taki rodzaj
zbieżności nazywamy zbieżnościa punktowa.
Zbieżność w nazywamy jednostajna, jeśli
" " ( ) " > ( ) " " #" ( ) - ( )#" < .
"
Warunek jednostajnej zbieżności szeregu ( ) można także sformu7 nastepujaco:
lować
=1
"
" " ( ) " > ( ) " " #" ( )#" < .
= +1
Funkcje graniczna ( ) = lim " ( ) nazywamy suma danego szeregu.
Uwaga 4.1
Niech �" ! zbiór otwarty (lub obszar), : ! ciag funkcji ciag7 Jeżeli ciag
lych.
"
funkcyjny (szereg funkcyjny ( )) jest zbieżny jednostajnie w , to granica ciagu (suma
=1
szeregu) jest funkcja ciag7a w D.
l
Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa)
"
Szereg ( ) jest zbieżny jednostajnie w zbiorze �" !, jeśli istnieje ciag liczbowy
=1
"
{ }" taki, że " " !, #" ( )#" d" i szereg jest zbieżny.
=1
=1
Definicja 4.4
"
Niech �" !, : ! ciag funkcji. Szereg funkcyjny ( ) nazywamy zbieżnym
=1
niemal jednostajnie w zbiorze , jeśli jest on zbieżny jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze
zbioru .
Uwaga 4.2
Zbieżność jednostajna można czesto zastapić zbieżnościa niemal jednostajna. Granica zbieżnego
niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ciag7 jest funkcja ciag7a.
lych l
25
4.3 Szeregi potegowe
Definicja 4.5
Szeregiem potegowym o środku w punkcie nazywamy szereg postaci
0
"
( - ) , (4.1)
0
=0
gdzie " !.
Definicja 4.6
Promieniem zbieżności szeregu potegowego (4.1) nazywamy kres górny zbioru tych liczb , że
dany szereg jest zbieżny w kole { : #" - #" < }.
0
Wzór Cauchy ego-Hadamarda
Niech dany bedzie szereg potegowy (4.1) i
1
lim sup #" #" = , (4.2)
"
1 1
gdzie 0 d" d" " (przyjmujemy, że = ", = 0). Wówczas szereg (4.1) jest zbieżny w
0 "
każdym punkcie z, dla którego #" - #" < , i jest rozbieżny w każdym punkcie , dla którego
0
#" - #" > .
0
Dowód
Niech 0 < < ". Wtedy dla każdego > 0 istnieje " ! takie, że dla e" mamy
#" #" < 1/ + . Stad
1
#" ( - ) #" < + #" - #" . (4.3)
0 0
Jeśli #" - #" < , to można dobrać tak ma7 że spe7 bedzie nierówność
le, lniona
0
1
+ #" - #" = < 1.
0
Wówczas z (4.3) widać, że wyrazy szeregu (4.1) dla e" sa majoryzowane przez wyrazy
"
szeregu geometrycznego i w konsekwencji szereg (4.1) jest zbieżny, gdy #" - #" < .
0
=0
Z definicji granicy górnej wynika, że dla dowolnej liczby > 0 istnieje taki podciag , że
#" #" > 1/ - .
26
Zatem
1
#" ( - ) #" > - #" - #" . (4.4)
0 0
Jeśli #" - #" > , to liczbe można dobrać tak ma7a aby (1/ - )#" - #" > 1. Wówczas
l
0 0
z (4.4) wynika, że #" ( - ) #" > 1, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny
0
zbieżności szeregu (4.1), wiec szereg ten jest rozbieżny dla #" - #" > .
0
Wniosek 4.1
Obszarem zbieżności szeregu potegowego (4.1) jest ko7 { : #" - #" < }, gdzie jest liczba
lo
0
wyznaczona ze wzoru Cauchy ego-Hadamarda.
Przyk7 4.2
lad
"
1. Szereg jest zbieżny w kole (0, 1) = { : #" #" < 1}, ponieważ
=0
1
lim sup #" #" = = 1.
"
"
Jeśli #" #" = 1, to szereg nie jest zbieżny, bo nie zachodzi warunek konieczny
=1
zbieżności - wyraz = ma modu7 równy 1, czyli nie da ży do zera.
l
"
2. Szereg jest zbieżny w kole (0, 1) = { : #" #" d" 1}, ponieważ
2
=1
1 1
lim sup = = 1
2
"
"
1 1
oraz " " ! d" . ( < ".) Zatem szereg jest zbieżny w kole i na brzegu.
2 2 2
=0
"
3. Dla szeregu promień zbieżności = 0, ponieważ
=0
1
lim sup #" #" = lim sup = " = .
" "
Szereg jest zbieżny tylko dla = 0.
Twierdzenie 4.7 (Abela)
"
Jeżeli szereg potegowy jest zbieżny w punkcie = 0, to jest on bezwglednie zbieżny
"
1
=0
w kole (0, #" #") = { : #" #" < #" #"} oraz jest zbieżny jednostajnie w każdym kole (0, ), gdzie
1 1
< #" #".
1
27
Dowód.
"
Ponieważ szereg jest zbieżny, to zachodzi warunek konieczny zbieżności, czyli
1
=0
lim " 0. Zatem
1
" > 0 " > 0 " e" #" #" < .
1
Stad wynika, że
" > 0 " > 0 " e" " #" #" < #" #" �! #" #" < . (")
1
"
Pokażemy, że szereg #" #" jest zbieżny w (0, #" #") = { : #" #" < #" #"}. Mamy
1 1
=0
#" #" = = #" #" d" = ,
1 1
1 1 1
"
gdzie := < 1. Ponieważ < 1, szereg geometyczny jest zbieżny. Korzys-
=1
1
"
tajac z kryterium porównawczego otrzymamy, że szereg jest zbieżny bezwzglednie
=1
w kole (0, #" #") = { : #" #" < #" #"}.
1 1
Niech < #" #". Wez
my takie, że #" #" d" . Wtedy istnieje takie, że < < #" #".
1 1 1 1
#" #" = = #" #" d" ,
1 1
1 1
"
gdzie := < 1, gdzie #" #" < z (*). Zatem z kryterium Weierstrassa szereg
1 =1
1
jest zbieżny bezwglednie jednostajnie w kole (0, ) = { : #" #" d" }.
Zatem w kole (0, #" #") = { : #" #" < #" #"} szereg potegowy jest zbieżny niemal jednosta-
1 1
jnie.
Twierdzenie 4.8 (o holomorficzności sumy szeregu potegowego)
"
Jeżeli promień zbieżności szeregu potegowego jest dodatni, to -suma tego szeregu
=0
jest funkcja holomorficzna w kole (0, ) = { : #" #" < } i dla każdego " (0, )
"
2 -1
( ) = .
=1
(Szereg potegowy wewnatrz ko7 zbieżności można różniczkować wyraz po wyrazie).
la
Dowód
Napiszemy szereg pochodnych formalnych
"
-1
.
=1
28
"
Promień zbieżności tego szeregu jest taki sam jak szeregu , ponieważ
=1
lim sup #" #" = lim sup #" #".
" "
"
Z Twierdzenia Abela wynika, że szereg jest zbieżny jednostajnie, w każdym kole
=1
(0, ), gdzie < . Wez
my " (0, ), gdzie #" #" < < . Rozpatrzmy iloraz różnicowy
0 0
"
( ) - ( ) - 0 "
0
-1 -2 -2 -1
= = + + . . . + ,
0
0 0
- 0 =0 - 0 =0
gdzie " (0, ). Wykażemy, że otrzymany szereg jest bezwglednie jednostajnie zbieżny
(skorzystamy z tw. Weierstrassa).
-1 -2 -2 -1
+ + . . . + d" #" #" #" #" -1
0
0 0
jeśli #" #" d" . Wez
my takie, że < < . Wtedy szereg
1 1
"
1
=0
jest zbieżny, zatem lim " = 0. Stad istnieje > 0 takie, że dla każdego " !,
1
#" #" d" . Niech := < 1 oraz
1
1
1
-1
#" #" d" #" #" d" .
1
1
"
Szereg jest zbieżny bo z kryterium Cauchy ego wynika, że lim sup " =
=0
"
< 1. Szereg potraktujemy jako majorante w twierdzeniu Weierstrassa. Stad
=0
szereg
"
-1 -2 -2 -1
+ + . . . +
0
0 0
=0
jest bezwglednie jednostajnie zbieżny w otoczeniu , a dok7 dla #" #" d" . Wtedy istnieje
ladniej
0
granica tego szeregu dla . Zatem
0
" "
( ) - ( )
0
2 -1 -2 -2 -1 -1
( ) = lim = lim + + . . . + = .
0 0
0 0 0
- 0
0
0
=0 =0
Czyli jest holomorficzna (0, ).
29
Wniosek 4.2
Szereg potegowy ma pochodna dowolnego rzedu:
"
( ) -
" " ! ( ) = ( - 1) . . . ( - + 1) .
=
"
Otrzymane wnioski można uogólnić na przypadek szeregów postaci ( - ) .
0
=0
Twierdzenie 4.9
Jeżeli funkcje można przedstawić w kole ( , ) = { : #" - #" < } w postaci sumy szeregu
0 0
potegowego
"
( ) = ( - ) ,
0
=0
to wspó7
lczynniki tego szeregu sa wyznaczone jednoznaczne i określaja je wzory
( )
( )
0
= , = 0, 1, 2, . . .
!
Dowód
Wstawiajac do wzoru na szereg za punkt otrzymamy ( ) = . Różniczkujac wyraz po
0 0 0
wyrazie dostaniemy
2
( ) = + 2 ( - ) + 3 ( - )2 + . . .
1 2 0 3 0
2
Podstawiajac za = otrzymamy, że ( ) = . Po n-krotnym zróżniczkowaniu dostaniemy,
0 0 1
że
( )
( ) = ! + �1( - ) + �2( - )2 + . . .
0 0
( )
( )
( ) 0
Dla = dostaniemy, że ( ) = ! . Stad = .
0 0
!
Uwaga 4.3 (Inne brzmienie powyższego twierdzenia)
Każdy zbieżny szereg potegowy jest szeregiem Taylora swojej sumy.
4.4 Funkcje analityczne
Definicja 4.7
Niech �" ! obszar, funkcje : ! nazywamy analityczna w �! gdy dla każdego
"
" istnieje szereg potegowy postaci ( - ) zbieżny w kole ( , ) �" taki, że
0 0 0
=0
"
( ) = ( - ) dla " ( , ).
0 0
=0
30
Ozn. ( ) oznacza zbiór wszystkich funkcji analitycznych w .
Z twierdzenia 4.8 wynikaja nastepujace wnioski.
Wniosek 4.3
Zachodzi inkluzja ( ) �" ( ).
Wniosek 4.4
Jeżeli " ( ), to f posiada pochodne dowolnego rzedu. (Porównać z wnioskiem 4.2).
Wniosek 4.5
Suma szeregu potegowego jest funkcja analityczna w kole zbieżnosci tego szeregu. (Porównać
z twierdzeniem 4.9).
Definicja 4.8
" "
Iloczynem szeregów potegowych ( - ) i ( - ) nazywamy szereg potegowy
0 0
=0 =0
postaci
"
( + + . . . + )( - ) .
0 1 -1 0 0
=0
Twierdzenie 4.10 (Cauchy ego)
" "
Jeżeli szeregi ( - ) i ( - ) sa zbieżne odpowiednio w ko7 ( , )
lach
0 0 0 1
=0 =0
i ( , ), to ich iloczyn
0 2
"
( + + . . . + )( - )
0 1 -1 0 0
=0
jest zbieżny w kole ( , ), gdzie = min{ , }.
0 1 2
Bez dowodu.
Twierdzenie 4.11
Jeżeli , " ( ), to ą " ( ), " ( ).
Bez dowodu.
Przyk7 4.3
lad
1
Rozwina ć ( ) = w szereg wokó7
l
1-
31
1
(a) punktu = ,
0
2
"
1 1 2 1
= = = 2 2 -
1 1 1
1 - - ( - ) 1 - 2( - ) 2
2 2 2
=0
1 1
zbieżny w kole { : #" - #" < }.
2 2
(b) = -1
0
2
"
1
2 ( + )
1 2 1 2
2
= =
2 1
1 - 3 - ( + ) 3 3
1
3 2
=0
3
zbieżny w kole (-1, ).
2 2
Uwaga 4.4
Promień zbieżności szeregu jest wyznaczony przez odleg7 punktu - środka szeregu od
lość
0
najbliższego punktu nieholomorficzności.
5 Odwzorowania konforemne
5.1 Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej
Niech :=< , >�" !. Funkcje
< , >" ( ) = ( ) + ( ) " !
nazywamy funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej.
Definicja 5.1
Funkcja ( ) jest ciag7 w 0 jeśli lim ( ) = ( 0).
la
0
Definicja 5.2
Pochodna funkcji ( ) w punkcie 0 " definiujemy jako granice ilorazu różnicowego tzn.
( ) - ( 0) ( ) - ( 0) ( ) - ( 0)
2
( 0) = lim = lim + .
- 0 - 0
0 - 0
0
2 2 2
Zatem ( 0) = ( 0) + ( 0).
Definicja 5.3
Równanie postaci = + , " !, , " !, = 0, określa prosta przechodzaca przez
"
0
punkt . Kat nachylenia prostej do osi OX jest określony przez argument g7ówny liczby .
l
0
32
Definicja 5.4
Wykres funkcji ciag7 ( ) nazywamy krzywa i oznaczmy symbolem .
lej
Równanie siecznej do wykresu przechodzacej przez punkty ( 0) i ( 1) ma postać
( 1) - ( 0)
= ( 0) + , " .
-
1 0
Gdy 0, to sieczna da ży do stycznej w punkcie = ( 0). Stad równanie stycznej w tym
0
punkcie ma postać
2
= + ( 0) ,
0
2
a argument g7ówny = ( 0) jest katem nachylenia stycznej do osi Ox.
l
2
Niech �" ! obszar, : ! funkcja holomorficzna, " oraz ( ) = 0. Niech
"
0 0
1
bedzie lukiem g7
7 ladkim o równaniu ( ), " (tzn. funkcja ( ) jest funkcja klasy )
wychodzacym z punktu = ( 0). Wtedy funkcja przekszta7 luk na luk � = ( )
lca 7 7
0
o równaniu = ( ( )) = ( ) wychodzacy z punktu = ( ). Z tożsamości
0 0
( ) - ( 0) ( ( ) - ( ( 0) ( ) - ( 0)
=
- 0 ( ) - ( 0) - 0
2 2 2
dla 0 otrzymujemy ( 0) = ( ( )) ( 0), wiec styczna do � w punkcie tworzy z
0 0
osia rzeczywista kat
2 2 2 2
Ś := ( 0) = ( ( ) ( 0)) = ( ) + . (5.1)
0 0
Uwaga 5.1
2
Przy odwzorowaniu holomorficznym w otoczeniu punktu takiego, że ( ) = 0, nachylenie
"
0 0
do osi Ox każdego g7 7
ladkiego luku wychodzacego z punktu wzrasta o kat równy argu-
0
2
mentowi pochodnej ( ).
0
Gdy , wówczas stosunek odleg7 #" - #" = #" ( ) - ( )#" do odleg7 #" - #"
lości lości
0 0 0 0
2 2
da ży do #" ( )#". Granice tego stosunku czyli #" ( )#" nazywamy dylatacja odwzorowania w
0 0
punkcie .
0
Uwaga 5.2
2
Przy odwzorowaniu holomorficznym w otoczeniu punktu takiego, że ( ) = 0, każdy luk
" 7
0 0
wychodzacy z punktu wyd7 sie lub wzglednie skraca sie w pobliżu punktu w tym
luża
0 0
2
samym stosunku równym dylatacji #" ( )#".
0
33
Uwaga 5.4
2
Niech �" ! obszar, : ! funkcja holomorficzna, " oraz ( ) = 0. Niech
"
0 0
styczne do krzywych g7
ladkich , wychodzacych z punktu maja katy nachylenia równe
1 2 0
odpowiednio , . Definujemy �1 = ( ), �2 = ( ). Ponieważ jest funkcja holomor-
1 2 1 2
ficzna w , to �1 i �2 sa krzywymi g7
ladkimi. Kat nachylenia stycznej do krzywych �1, �2 w
= ( ) oznaczmy przez Ś1, Ś2. Wtedy
0 0
2 2
Ś2 - Ś1 = ( ( ) + ) - ( ( ) + ) = - . (5.2)
0 2 0 1 2 1
Definicja 5.4
Katem miedzy krzywymi g7
ladkimi i wychodzacymi z punktu nazywamy kat skierowany
1 2 0
miedzy miedzy stycznymi do krzywych i w punkcie .
1 2 0
Wniosek 5.1
2
Z Uwagi 5.4 wynika, że jeśli ( ) = 0, to odzworowanie holomorficzne zachowuje kat
"
0
miedzy krzywymi g7 lym
ladkimi w ma7 otoczeniu tego punktu tzn. kat skierowany miedzy
obrazami krzywych jest taki sam jak kat skierowany miedzy krzywymi.
5.2 Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-Riemanna
Niech ( ) = ( , ) + ( , ) bedzie funkcja holomorficzna w obszarze �" !. Rozpatrzmy
2 2
rodziny krzywych ( , ) = , ( , ) = , gdzie , oznaczaja sta7 rzeczywiste. Wez
my
le
2
punkt w którym pochodna ( ) = 0. Styczne do wykresu tych krzywych opisuja sie
"
0 0
równaniami
2 2 2 2
( , )( - ) + ( , )( - ) = 0 ( , )( - ) + ( , )( - ) = 0. (5.3)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Na mocy równań Cauchy ego-Riemanna mamy, że
2 2 2 2
( , ) ( , ) + ( , ) ( , ) = 0. (5.4)
0 0 0 0 0 0 0 0
To oznacza, że styczne sa prostopad7 Aby to zobaczyć spróbujemy rozwik7 równanie
le. lać
2 2 2
( , ) = w otoczeniu ( , ). Ponieważ ( ) = 0, to ( , ) = 0 lub ( , ) = 0.
" " "
0 0 0 0 0 0 0
2
Jeśli ( , ) = 0, to z twiedzenia o funkcjach uwik7 równanie ( , ) = opisuje
" lanych
0 0
2 2 2
fukcje uwik7 ( ) oraz ( , ) + ( , ) ( ) = 0. Stad
lana
0 0 0 0 0
2
- ( , )
0 0
2
( ) = . (5.5)
0
2
( , )
0 0
34
2
Analogicznie jeśli ( , ) = 0, to z twiedzenia o funkcjach uwik7 równanie ( , ) = 2
" lanych
0 0
2 2 2
opisuje fukcje uwik7 ( ) oraz ( , ) + ( , ) ( ) = 0. Stad
lana
0 0 0 0 0
2
- ( , )
0 0
2
( ) = . (5.6)
0
2
( , )
0 0
Z równań (5.5) i (5.6) wynika, że
2
2 2 2
( , )
- ( , ) - ( , ) ( , )
0 0
0 0 0 0 0 0
2 2
( ) ( ) = = - = -1.
0 0
2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
5.3 Odworowania konforemne
Niech �" ! zbiór otwarty, " ( ). Funkcje ( ) = ( , )+ ( , ) możemy potraktować
jako odzworowanie rzeczywiste
( , ) ( ( , ), ( , )).
W punkcie " rozpatrzmy odwzorowanie styczne
0
[" , " ] [" , " ],
" "
gdzie " = - , " = - , - = " = ( , )" + ( , )" , " = - =
0 0 0 0 0 0 0 0
" "
" "
( , )" + ( , )" . Odwzorowanie styczne do w punkcie możemy też zapisać
0 0 0 0 0
" "
w postaci zespolonej
" "
- = ( )( - ) + ( )(Ż - Ż0),
0 0 0 0
" "Ż
gdzie = ( ) = + . Jakobian tego przekszta7 wyraża sie wzorem
lcenia
0 0 0 0
2 2
"( , ) " " " " " "
= = - = - .
"( , ) " " " " " "Ż
Definicja 5.5
Odwzorowanie holomorficzne nazywamy konforemnym w punkcie , jeśli zachowuje kat
0
skierowany miedzy dowolnymi krzywymi wychodzacymi z punktu .
0
Definicja 5.6
Odwzorowanie holomorficzne, które jest różnowartościowe i konforemne w każdym punkcie
obszaru nazywamy konforemnym w .
35
Twierdzenie 5.1
Odwzorowanie holomorficzne jest konforemne w punkcie wtedy i tylko wtedy,
0
2
gdy ( ) = 0.
"
0
Dowód
Implikacja �! zosta7 już udowodniona (patrz wniosek 4.1).
la
2
�!. Przypuśćmy, że ( ) = 0. Rozpatrzmy dwa wektory " = - = 1 oraz " = - =
0 1 0 2 0
. Wektory te sa prostopad7 (" = " ). Odworowanie styczne " " w punkcie 0
le
2 1
" " " "
przyjmuje wartość " = ( ) + ( ) = 0 jeśli " = 1 oraz " = ( ) + ( ) = 0.
1 0 0 2 0 0
" " Ż " "
dla " = . Ponieważ wektory " = 1 i " = sa prostopad7 a zachowuje katy w
le,
1 2
= , zatem wektor " = 1 jet prostopad7 do wektora " . Tymczasem wektory " 2
ly
0 1 2
i " sa zerowe, zatem nie można zdefiniować kata miedzy nimi, co przeczy za7
lożeniu, że
1
jest konforemne.
Uwaga 5.5
2
Za7 "
lożenie, że ( ) = 0 jest istotne.
0
Dowód
2
Rozpatrzmy funkcje ( ) = oraz krzywa = { : = , = 0, " !+} *" {0} i =
1 2
4
{ = , " !+} *" {0}. Kat w miedzy i wynosi . Obrazem jest , zaś
0 1 2 1 1
4
2
4 2
( ) = { = = , " !+}. Zatem kat miedzy obrazami krzywych i w
2 1 2
punkcie = ( ) = 0 wynosi , czyli nie zachowuje katów w = 0.
0 0 0
2
Wniosek 5.2
Jeżeli funkcja jest różnowartościowa i holomorficzna w obszarze oraz dla każdego " ,
2
( ) = 0, to jest konforemne w .
"
0
Definicja 5.7
+
Odwzorowanie postaci ( ) = , - = 0, , , , " ! nazywamy homografia.
"
+
Przyjmujemy, że (") = (- ) = ". Odzworowanie odwrotne do ( ) jest także homo-
grafia tzn.
-
-1
( ) = .
-
Twierdzenie 5.2 (o konforemności homografii)
Homografia jest konforemnym przekszta7
lceniem ! na !.
Dowód
36
Latwo sprawdzić, że homografia jest różnowartościowa. Policzymy pochodna homografii.
7
( + ) - ( + ) -
2
( ) = = = 0 " ! - {- }.
"
( + )2 ( + )2
Zatem homografia jest konforemnna w ! - {- }. Zanim skończymy dowód podamy jeszcze
kilka definicji.
Definicja 5.8
Kat w punkcie " miedzy krzywymi i definiujemy jako kat miedzy obrazami krzywych �1
1 2
1
i �2 przy przekszta7 = w punkcie = 0.
lceniu
Pokażemy, że homografia jest konforemna w = - . Wiemy, że (- ) = ". Niech i
1
beda krzywymi przechodzacymi przez - . Wtedy ich obrazy �1 = ( ) i �2 = ( )
2 1 2
beda krzywymi przechodzacymi przez ". Kat miedzy �1 i �2 jest równy katowi miedzy
1
krzywymi �", �", które sa obrazami �1 i �2 przy odwzowowaniu = , gdy = 0. Zatem
1 2
1 +
( ) = = . Stad
( ) +
( + ) - ( + ) -
= = .
( + )2 ( + )2
2
Zatem dla = - , (- ) = 0, czyli homografia jest w tym punkcie konforemna.
"
Pozostaje sprawdzić, że homografia jest konforemna w ". Wtedy rozpatrujemy
1 +
( ) = =
+
w punkcie = 0. Stad
( + ) - ( + ) -
= = .
( + )2 ( + )2
2
Zatem dla (0) = 0 o ile = 0. Dla = 0 mamy przekszta7 liniowe ( ) = + , = 0.
" " lcenie "
1
W tym przypadku rozpatrujemy ( ) = . Wtedy = = 0 dla = 0.
"
(1/ ) ( + )2
Twierdzenie 5.3
Zbiór przekszta7 homograficznych tworzy grupe nieabelowa z dzia7 ladania przek-
lceń laniem sk7
szta7
lceń.
Definicja 5.9
Okregiem na p7 laszczyz
nie otwartej lub prosta.
laszczyz
nie domknietej ! nazywamy okrag na p7
37
Twierdzenie 5.4
Homografia przekszta7 okregi na ! na okregi na !.
lca
Dowód
Przedstawimy homografie jako superpozycje trzech przekszta7
lceń.
+ -
= = - = + = " "
3 2 1
+ ( + ) -
" : - - translacja,
1
1
" : - inwersja (szczególny przypadek homografii),
2
" : + - z7 translacji i obrotu (ewentualnie jednok7
lożenie ladności gdy " !.)
3
Translacja przekszta7 okregi na okregi i proste na proste.
lca
1
Z7 translacji i obrotu ma też taka w7
lożenie lasność.
Zosta7 do pokazania, że inwersja przekszta7 okregi na ! na okregi na !.
lo lca
Napiszemy ogólne równanie okregu:
2 2
: ( + ) + + + = 0.
1 2
Wstawimy
+ Ż - Ż
= , =
2 2
do równania okregu. Wtedy otrzymamy:
: ( Ż) + + Ż + = 0,
1 1 1
gdzie = ( - ), Ż = ( + ). Przekszta7
lceniem odwrotnym do inwersji = jest
1 2 1 2
2 2
1 1
też inwersja = . W miejsce wstawimy do równania okregu = . Stad
1 1 1 1
+ + + = 0.
Ż Ż
Mnożac stronami przez Ż dostaniemy
+ Ż + + Ż = 0.
Jest to równanie okregu.
Definicja 5.10
Dwa punkty i sa symetryczne wzgledem okregu { : #" - #" = }, jeśli
0
1. = , = , , leża na jednej pó7
" " lprostej wychodzacej z tj. ( - ) =
0 0 0 0
( - ),
0
38
2
2. #" - #"#" - #" = .
0 0
Z tej definicji wynika, że punktem symetrycznym do jest ".
0
Twiedzenie 5.5
Homografia przekszta7 punkty symetryczne wzgledem okregów na ! na punkty symetryczne
lca
wzgledem ich obrazów.
Problem 1
Mamy dane przekszta7 i obszar . Znalez
ć obraz ( ).
lcenie
Problem 2
Dane sa dwa obszary i . Znalez
ć przkszta7 konforemne z na .
lcenie
1 2 1 2
Przyk7 5.1
lad
Wyznaczyć wszystkie homografie, które przekszta7 = { : Im > 0} na kolo (0, 1).
lcaja
Wybierzmy punkt taki, że Im > 0. Punktem symetrycznym do niego wzgledem brzegu,
czyli osi OX jest punkt Ż. Szukana homografia musi przekszta7 punkt na punkt należacy
lcić
do (0, 1). Możemy przyja ć, że ( ) = 0. Wtedy homografia punkt Ż musi przekszta7 na
lcić
punkt symetryczny wzgledem 0 czyli na ". Zatem ( ) = 0, (Ż) = ". Stad możemy napisać
-
( ) = Pokażemy, że = . Ponieważ przekszta7 oś na okrag jednostkowy,
lca
-Ż
1-
to #" (1)#" = 1. Korzystajac z tego dostaniemy 1 = #" (1)#" = #" #" . Należy zauważyć, że
1-Ż
1-
- = Ż - Ż, wiec 1 - = 1 - Ż. Stad = 1 i w konsekwencji #" #" = 1, czyli = .
1-Ż
Szukane homografie maja nastepujaca postać
-
( ) = , Im > 0, " [0, 2 ).
- Ż
Twierdzenie 5.6 (Riemanna dla odwzorowań konforemnych)
Jeżeli:
2
1. i obszary jednospójne takie, że brzeg każdego z nich zawiera co najmniej 2 punkty,
2
2. " , " dowolne punkty; " [0, 2 ).
0 0
Wówczas istnieje dok7 jedno przekszta7 konforemne, które odwzorowuje obszar na
ladnie lcenie
2 2
i takie, że ( ) = , ( ) = .
0 0 0
39
6 Ca7 z funkcji zespolonej
lka
6.1 Ca7 z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej
lka
Definicja 6.1
Niech < , > �" !. Dana jest funkcja zespolona ograniczona zmiennej rzeczywistej
< , > " ( ) = ( ) + ( ) " !.
Wez
my podzia7 normalny odcinka < , > tzn. = 0 < 1 < 2 . . . = , obierzmy w
l
każdym przedziale punkt "< -1, > i utwórzmy sume ca7
lkowa
= ( )( - -1), = 1, 2, . . .
=1
Jeżeli dla każdego normalnego ciagu podzia7ów przedzia7 < , > ciag sum cześciowych ( )
l lu
jest zbieżny do tej samej granicy, niezależnej od wyboru punktów , to granice te nazywamy
ca7 funkcji zespolonej po odcinku < , > �" ! i oznaczamy
lka
( ) .
Sume ca7 można zapisać jako sumy ca7 cześci rzeczywistej i cześci urojonej
lkowa lkowe
funkcji tzn. jako
= ( )( - -1) + ( )( - -1), = 1, 2, . . . .
=1 =1
Ponieważ lim " istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja granice ciagu sum cześciowych
odpowiadajacych cześci rzeczywistej ( ) i cześci urojonej ( ), zatem
Uwaga 6.1
Funkcja ( ) = ( ) + ( ) jest ca7
lkowalna na przedziale < , > wtedy i tylko wtedy, gdy
funkcje ( ) i ( ) sa ca7
lkowalne na przedziale < , > oraz
( ) = ( ) + ( ) .
W7
lasności
1. Jeżeli funkcja ( ) jest ciag7 w przedziale domknietym (lub ogólniej: ograniczona i
la
majaca skończona ilość punktów nieciag7 to jest ca7
lości) lkowalna na przedziale < , >,
ponieważ wtedy funkcje ( ) i ( ) sa ca7
lkowalne na przedziale < , >.
40
2. Jeżeli " ( , ) to
( ) = ( ) + ( ) .
3. Jeżeli funkcja ( ) jest ca7 l lkowalna oraz
lkowalna, to jej modu7 jest funkcja ca7
( ) d" #" ( )#" .
4. Jeżeli funkcja ( ) jest ciag7 w przedziale < , >, to funkcja ( ) zdefiniowana
la
wzorem
( ) = ( ) , "< , >
2
jest funkcja pierwotna funkcji ( ) tzn. ( ) ma pochodna ( ) = ( ) określona w
ca7 przedziale < , > .
lym
5. Jeżeli funkcja ( ) jest funkcja pierwotna funkcji ( ) w przedziale < , >, to
( ) = ( ) - ( ).
Przyk7 6.1
lad
+ )
Funkcja ( ) = ( + ) ma funkcje pierwotna równa ( ( +1) + , stad
1
( + ) +1 1 ( + ) +1 +1
( + ) = = - .
( + 1) ( + 1) ( + 1)
0
0
Przyk7 6.2
lad
+
+
Funkcja ( ) = ma funkcje pierwotna równa + , stad
1+
1
1
+ 1+
1
+
= = - .
1 + 1 + 1 +
0
0
Przyk7 6.3
lad
Funkcja ( ) = ( + ), = 0 ma funkcje pierwotna równa - 1 ( + ) + .
"
41
6.2 Ca7 z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
lka
Definicja 6.2
Niech < , > �" !. Krzywa kawa7 g7 nazywamy obraz funkcji
lkami ladka
: < , >" ( ) " !,
1
jeśli ( ) jest klasy poza skończona ilościa punktów "< , >, = , , = 1, . . . .
"
Definicja 6.3
Niech dana bedzie krzywa kawa7 g7 = parametryzowana funkcja
lkami ladka
: < , >" ( ) " �" !,
gdzie = ( ), = ( ). Niech �" ! obszar, : ! funkcja zespolona ograniczona,
�" . Chcemy zdefiniować ( ) . Określamy kolejno:
- podzia7 normalny odcinka < , > tzn. = 0 < 1 < 2 . . . , = ,
l
- podzia7 luku na luki , = 1, . . . , , gdzie = ( ),
l 7 7
-1
- na każdym luku wybieramy dowolny punkt " , " = - ,
7
-1 -1
- tworzymy sume ca7 = ( )" .
lkowa =1
Jeżeli dla każdego normalnego ciagu podzia7ów przedzia7 < , > ciag sum cześciowych ( )
l lu
jest zbieżny do tej samej granicy, niezależnej od wyboru punktów , to granice te nazywamy
ca7 funkcji wzd7 luku i oznaczamy ( ) .
lka luż 7
Twierdzenie 6.1 (o zamianie ca7 z funkcji zespolonej na ca7 oznaczona)
lki lke
Jeżeli jest ciag7 na krzywej kawa7 g7 parametryzowany funkcja = ( ),
la lkami ladkiej
"< , >, to
2
( ) = ( ( )) ( ) . (6.1)
Dowód
Niech = . Najpierw zak7 ladka.
ladamy, że bedzie krzywa g7 Wtedy istnieje pochodna
2
( ) i jest funkcja ciag7a na odcinku < , >. Zatem ca7 po prawej stronie (6.1) istnieje.
l lka
Jej sumy ca7 maja postać
lkowe
2
= ( ( )) ( )( - -1), " [ -1, ], = 1, . . . , .
=1
Niech oznacza sume ca7 ca7 ( ) ,
lkowa lki
= ( )" , = ( ), := ( ) " , " = - .
-1 -1
=1
42
Rozważmy różnice - .
2
- = [ ( )" - ( ( )) ( )( - -1)]
=1
- -1
2
= ( ) - ( ) ( ) ( - -1).
- -1
=1
Niech
- -1 2
:= - ( ).
- -1
Ponieważ jest ciag7 na = , to " = sup #" ( )#". Zatem
la
2 2
#" - #" d" #" ( ) + - ( )#"#" - -1#".
=1
2
Ponieważ funkcja ( ) jest ciag7 na [ , ], to jest także jednostajnie ciag7 czyli
la la
2 2
" > 0 " > 0 " , 2 #" - 2 #" < �! #" ( ) - ( 2 )#" < .
Możemy, za7 że dokonujemy takiego podzia7 normalnego aby #" - -1#" < . Wtedy
lożyć, lu
#" #" < . Zatem
#" - #" < ( - ).
Z dowolności wynika, lim " = lim " . Zatem istnieje ca7
lka ( ) i równa sie
2
ca7 ( ( )) ( ) . Gdy jest krzywa kawa7 g7 to ca7
lce lkami ladka, lka ( ) jest suma
skończonej ilości ca7 wd7 g7
lek luż ladkich krzywych.
Wniosek 6.1
1. Jeżeli funkcje , sa ca7 luż
lkowalne wzd7 = , liczby , " !, to kombinacja liniowa
+ jest ca7 luż
lkowalna wzd7 oraz [ ( ) + ( )] = ( ) + ( )
(liniowość)
2. ( ) = - ( ) .
Dowód
Jeśli funkcja ( ), "< , > opisuje parametryzacje krzywej , to zamiana zmien-
nych : ( ) = ( + - ) wyznacza orientacje przeciwna krzywej K od punktu
1 1
B do punktu A. Wtedy
2 2
( ) = ( ( )) ( ) = - ( ( )) ( ) = - ( ) .
1 1
1
43
3. jeśli " to ( ) = ( ) + ( ) .
4. ( ) < #" ( )#"#" #" d" , gdzie = #" ( )#", = #" #"- d7 luku.
lugość 7
Dowód
2 Ś 2
( ) = ( ( )) ( ) = ( ( ))) ( ) .
dla pewnej liczby Ś " !. Ponieważ powyższa ca7 jest liczba rzeczywista nieujemna,
lka
to
- Ś 2
( ) = Re ( ( )) ( ) .
Ponieważ dla funkcji rzeczywistych #" ( ) #" d" #" ( )#" oraz #"Re #" d" #" #", zatem
2
( ) d" #" ( )#"#" ( ) #" = #" ( )#"#" #".
Przyk7 6.4
lad
2
Obliczyć Ż , gdzie = { ( ) = + , "< 0, 1 >}. Wtedy ( ) = 1 + . Zatem
1 1
Ż = ( - )(1 + ) = (1 - )(1 + ) = 1.
0 0
Przyk7 6.5
lad
Obliczyć Ż , gdzie = { ( ) = , "< 0, 1 >}, = { ( ) = 1 + , "< 0, 1 >}.
1
*" 1
1 1
1
1
2
Ż = Ż + Ż = + (1 - ) = + ( - /2) = 1 + .
0
2
*" 1 0 0
1
Przyk7 6.6 (podstawowy)
lad
Obliczyć
( - ) ,
0
gdzie " $!, = { : #" - #" = } (inny zapis okregu = { : = + , "< 0, 2 )}).
0 0
2 2
+1 ( +1)
( - ) = = .
0
0 0
Dla = -1
2
( - ) = = 2 .
0
0
44
Dla = -1
"
2
( +1) +1
+1 ( +1)2 0
( - ) = = - = 0.
0
( + 1) + 1
0
Definicja 6.4
Niech �" ! obszar, : ! funkcja zespolona. Funkcje holomorficzna : !
nazywamy funkcja pierwotna funkcji w obszarze wtedy i tylko wtedy, gdy dla " " ,
2
( ) = ( ).
Uwaga 6.2
Jeśli i sa funkcjami pierwotnymi funkcji , to - =const.
1 2 1 2
Twierdzenie 6.2 (o istnieniu funkcji pierwotnej)
Jeżeli jest ciag7 w kole = ( , ) i dla każdego trójkata " �"
la
0
( ) = 0,
""+
to funkcja ( ) = ( ) jest funkcja pierwotna funkcji w D.
0
Ważne: w powyższym twierdzeniu ca7 7
lkujemy po podcinku laczacym punkty i . W dal-
0
szych wyk7 symbol ( ) = ( ) bedzie oznaczać, że ca7 po dowolnej krzywej
ladach lkujmy
0
7
laczacej oba punkty.
Dowód
Niech bedzie dowolnym punktem z obszaru = ( , ). Definiujemy funkcje
0
( ) := ( ) ,
ca7 luż 7 le
lkujemy wzd7 odcinka laczacego i zawartego w . Niech ! bedzie tak ma7 aby
0
odcinek laczacy i + ! by7 zawarty ca7 7
7 l lkowicie w . Suma odcinków laczacych i + !,
0
+ ! i oraz i tworzy krzywa g7 poza skończona ilościa punktów. Z za7
ladka lożenia
0
wynika, że
+!
0
( ) + ( ) + ( ) = 0.
+!
0
45
Stad
+!
( + !) - ( ) = - ( ) = ( )
+!
+!
( + !) - ( ) 1
= ( )
! !
+!
+!
[ ( ) - ( )]
( + !) - ( ) 1
- ( ) = ( ) - ! ( ) = (")
! ! !
Zatem
+! +!
[ ( ) - ( )] d" #" ( ) - ( )#" #" #".
Ponieważ jest ciag7 to
la,
" > 0 " > 0 #" - #" < �! #" ( ) - ( )#" < .
Wstawiajac to oszacowanie do poprzedniej nierówności otrzymamy, że
+!
[ ( ) - ( )] d" #"!#".
Tutaj i w (*) korzystamy z za7 7 l lugość
lożenia, że punkty i + ! laczy7 odcinek (stad jego d7
jest równa !). Zatem
( + !) - ( ) #"!#"
- ( ) d" = .
! #"!#"
Przechodzac do granicy otrzymamy, że
( + !) - ( )
2
( ) = lim = ( ).
!0
!
2
Stad ( ) = ( ).
Twierdzenie 6.3 (lemat podstawowy rachunku ca7
lkowego)
�" !, -obszar, = " jest suma skończonej ilości odcinków i luków okregów, " ( Ż ).
7
Wtedy
( ) = 0.
Dowód
a) Za7
lożmy, że " �" jest trójkatem, = "" jest zorientowany dodatnio. Podzielimy
trójkat " na 4 przystajace trójkaty "(1), "(2), "(3), "(4) o brzegach zorientowanych dodatnio,
1 1 1 1
(1) (2) (3) (4)
które oznaczymy przez , , , .
1 1 1 1
46
Wtedy
( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ,
(1) (2) (3) (4)
1 1 1 1
bo ca7 wzd7 wspólnych brzegów znosza sie. Wsród trójkatów "( ), = 1, 2, 3, 4 istnieje
lki luż
1
1
"( ), 1 " {1, 2, 3, 4} taki, że
1
( ) d" 4 ( ) .
( 1)
1
1 2
Dzielac "( ) znowu na 4 przystajace trójkaty "( ), " {1, 2, 3, 4} znajdziemy wsród nich "( )
1 2 2
taki, że
( ) d" 4 ( ) .
( 1) ( 2)
1 2
Postepujac tak dalej dostaniemy ciag trójkatów "(1), "(2), "(3), "(4), " !, z których każdy
( )
1
jest 1/4 poprzedniego. Niech oznacza d7 . Wtedy = . Stad = .
lugośc
-1
2 2
"
Niech " "( ). Ponieważ " ( ), to
0
=1
( ) - ( )
0
2
" > 0 " > 0 #" - #" < �! - ( ) < ,
0 0
- 0
2
czyli ( ) = ( )+ ( )+ ( )( - ), gdzie ( ) w kole { : #" - #" < } spe7 nierówność
lnia
0 0 0 0
#" ( )#" < . W tym kole leża wszystkie trójkaty poczawszy od pewnego = . Zatem dla
e"
2
( ) = ( ) + ( )( - ) + ( - ) .
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
Dwie pierwsze ca7 po prawej stronie równe sa zeru (korzystamy z przyk7 6.6 (podsta-
lki ladu
wowy) dobierajac odpowiednio n=0 i n=1), zaś
2
( - ) d" #" #"#" - #"#" #" d" ,
0 0
( ) ( )
bo #" - #" < , a droga ca7 lugość
lkowania ma d7 . Zatem
0
2
2
( ) d" 4 ( ) d" 4 = .
( )
22
Z dowolności 0 wynika, że ( ) = 0.
47
Za7
lożmy, że jest suma boków wielokata zorientowanego dodatnio. Dzielimy wielokat
na trójkaty przekatnymi. Wtedy ca7 po brzegu wielokata jest suma ca7 wzd7 brzegów
lka lek luż
trójkatów. Zatem z poprzedniego kroku ca7 bedzie równa zeru.
lka
Ogólny przypadek. Sprowadzimy go do przypadku poprzedniego. W -tym kroku wybierzmy
na konturze punkty oraz dyski = { : #" - #" < }, = 1, . . . , dla pewnego tak
aby funkcja by7 holomorficzna na := *" , gdzie to obszar t.że " = .
la
0 0 0
=1
Tworzymy ciag sum ca7
lkowych = ( )( - ), gdzie " , " !. Wtedy
-1 -1
=1
( ) . Wybierzmy takie, że
1
( ) - < . (6.2)
2
Gdy jest dostatecznie duże, to d7 odcinków sa dowolnie ma7 i lamana � o
lugości le 7
+1
wierzcho7 w punktach , . . . , leży ca7
lkach lkowiecie w obszarze .
1
Możemy przy tym za7 że zachodzi nierówność #" ( )- ( )#" < , gdzie oznacza d7
lożyć, lugość
2
konturu tzn. = #" #". Policzymy ca7 z wzd7 lamanej � .
lke luż 7
( ) = ( )
�
-1
=1
Niech ( ) := ( ) - ( ). Wtedy z jednostajnej ciag7 wynika, że dla dużych ,
lości
#" ( )#" < .
2
Wtedy
= ( ) = [ ( ) + ] = + .
�
-1 -1 -1
=1 =1 =1
48
Zatem
( ) - d" ( ) d" #" - #" d" ,
-1
2 2
�
-1
=1 =1
bo dlugość #"� #" d" . Stad i z (6.2) otrzymamy, że
( ) - ( ) d" ( ) - + ( ) - d" .
� �
Ponieważ ( ) = 0 z poprzedniego kroku, to modu7 z ca7 ( ) jest dowolnie
l lki
�
ma7 Zatem ca7 ( ) =0.
ly. lka
Z Twierdzenia 6.2 i Twierdzenia 6.3 wynika nastepujacy wniosek.
Twierdzenie 6.4
Jeżeli " ( ), to w każdej kuli ( , ) �" funkcja ma funkcje pierwotna ( ) =
0
( ) , gdzie " ( , ), ca7 7
lkujemy po odcinku laczacym i .
0 0
0
Twierdzenie 6.5
Jeżeli " ( ) i jej pochodna " ( ), wtedy dla każdego kawa7 g7 7
lkami ladkiego luku �"
o końcach , zachodzi
1 2
( ) = ( ) - ( ).
2 1
Dowód
2
Ponieważ zak7 l
ladamy, że pochodna funkcji jest funkcja ciag7a, to możemy skorzystać z
twierdzenia o zamianie ca7 z funkcji zespolonej na ca7 oznaczona. Zatem
lki lke
( ( ))
2 2 2
( ) = ( ) = ( ( )) ( ) = = [ ( ( ))]
= ( ( )) - ( ( )) = ( ) - ( ).
2 1
Wniosk 6.2
1. Przy za7
lożeniach powyższego twierdzenia ( ) = 0, gdzie krzywa zamknieta.
2. Przy za7 lka lkowania
lożeniach powyższego twierdzenia ca7 ( ) nie zależy od drogi ca7
w obszarze .
Dowód pierwszego wniosku jest oczywisty.
Aby dowieśc drugi po7aczmy punkty , krzywymi , i obierzmy na nich zwrot od 1
l
1 2 1 2
do . Wtedy
2
0 = ( ) = ( ) + ( ) = ( ) - ( ) .
*"- - 2
1 2 1 1 2
49
Stad
( ) = ( ) .
1 2
Uwaga 6.3
Za7 holomorficzności funkcji w obszarze jest istotne.
lożenie
Przyk7 6.7
lad
1
Niech ( ) = . Jej funkcja pierwotna jest funkcja ( ) = .
Niech bedzie ograniczonym obszarem takim, że 0 " , = " . Wtedy "
/
1 1 1 1
2
( ) zaś ( ) = ( ) jest funkcja ciag7 w . Zatem ( ) = 0. Jeśli natomiast
la
1
= { : #" #" < 1}, to ( ) nie jest zdefinowana w zerze czyli " ( ), zaś ca7
/ lka
2 2
2 2
1 -
= = = 2 .
#" #"=1 0 0
7 Twierdzenia i wzory ca7
lkowe Cauchy ego
Definicja 7.1
Dwie krzywe , parametryzowane odpowiednio funkcjami
1 2
: < 0, 1 > " ( ) " : < 0, 1 > " ( ) " 2
1 1 2
o wspólnych poczatkach i końcach (0) = (0) = , (1) = (1) = nazywamy homo-
1 2 2 2
topijnie równoważnymi (homotopijnymi) w obszarze , jeśli istnieje ciag7 przekszta7
le lcenie
( , ) :< 0, 1 > � < 0, 1 > " ( , ) ( , ) "
(1) (0, ) = ( ) (1, ) = ( ), " ,
1 2
(2) ( , 0) = ( , 1) = , " .
Jeżeli krzywe i sa zamkniete, to warunek (2) w definicji homotopi zastepujemy warunk-
1 2
iem
(22 ) ( , 0) = ( , 1) = , " .
Relacja homotopijnej równoważności krzywych jest relacja równoważności. Dzieki temu
wszystkie krzywe w obszarze majace ten sam poczatek i koniec lub wszystkie krzywe
zamkniete można podzielić na klasy krzywych homotopijnych. Wśród nich ważna role odgrywa
klasa dróg homotopijnych z punktem.
Definicja 7.2
Obszar �" ! nazywamy jednospójnym, jeśli każda krzywa zamknieta �" jest homotopi-
jna z punktem. W przeciwnym przypadku mówimy, że obszar jest wielospójny.
50
Definicja 7.3
Krzywa kawa7 g7 zamknieta i bez samoprzecieć oraz zorientowana dodatnio wzgledem
lkami ladka,
obszaru, którego jest brzegiem nazywamy konturem.
Twierdzenie 7.1
Jeżeli funkcja " ( ) a krzywe kawa7 g7 , �" o wspólnych końcach sa
lkami ladkie
1 2
homotopijnie równoważne w , to
( ) = ( ) .
1 2
Bez dowodu. Wynika stad, że wartość ca7 zależy nie od krzywej ale od klasy
lki
homotopii krzywej.
Wniosek 7.1
Jeżeli funkcja " ( ) a kontury , �" sa homotopijnie równoważne w , to
1 2
( ) = ( ) .
1 2
Twierdzenie 7.2 (podstawowe twierdzenie Cauchy ego)
�" !, -obszar jednospójny, " ( ). Wtedy dla każdego konturu �"
( ) = 0.
Twierdzenie to w wynika z za7
lożenia, że obszar jest jednospójny oraz z twierdzenia 7.1.
Twiedzenie 7.3
�" !, -obszar, " ( ). Wtedy dla każdego konturu �" homotopijnego w tym
obszarze z punktem
( ) = 0.
Dowód
Ponieważ kontur jest homotopijnie równoważny punktowi należacemu do (oznaczmy ten
punkt przez ), to można zdeformowac homotopijnie do konturu leżacego w dysku
0 1
( , ) zawartym w D. Ponieważ dysk jest obszarem jednospójnym, zatem z twierdzenia 7.2
0
wynika, że ca7 po konturze zeruje sie. Z wniosku 7.1 wynika teza.
lka
1
51
Uwaga 7.1
Twierdzenie 7.3 daje sie uogólnić na przypadek gdy " ( ) i f ciag7 na Ż . Reszta za7
la lożeń
i teza pozostaja bez zmian.
Twierdzenie 7.4
Każda funkcja holomorficzna w obszarze jednospójnym ma funkcje pierwotna w tym ob-
szarze.
Dowód
Wykażemy, że w ca7 funkcji wzd7 krzywej niezamnknietej nie zależy od wyboru tej
lka luż
krzywej i jest ca7
lkowicie określona przez jej poczatek i koniec. Istotnie niech i beda
1 2
-
dwiema krzywymi leżacymi w o poczatku w i końcu . Niech oznacza krzywa
2
-
zorientowana przeciwnie do . Wtedy *" jest krzywa zamknieta. Z w7 lki
lasności ca7
2 1
2
wynika, że
( ) = ( ) - ( ) ,
-
*" 2
1 1 2
a na mocy twierdzenia 7.3 ca7 wzd7 krzywej zamknietej jest równa zero. Ustalmy teraz
lka luż
punkt " , jest dowolnym punktem z obszaru . Niech
0
( ) := ( ) ,
0
ca7 lkami ladkiej 7
lkujemy po dowolnej krzywej kawa7 g7 zawartej w , laczacej punkty i . Dalej
0
postepujemy tak jak w dowodzie twierdzenia 6.2.
Twierdzenie 7.5 (uogólnienie tw. Cauchy ego dla obszarów wielospójnych)
Domkniety obszar -spójny można przedstawić jako
-1
= ( *" ) "
0 0
=1
gdzie " = , )" = ", " �" , " = , = 0, . . . , - 1, -kontury dodatnio
"
0
zorientowane wzgledem . Jeżeli jest holomorficzna w i na jego brzegu, to
-1
( ) = ( ) .
0
=1
52
Dowód
Dowód podamy dla obszaru 2-spójnego. Podzielimy obszar na dwa obszary jednospójne
"1, "2 krzywymi , laczacymi kontury i . Niech � , oznacza brzeg obszaru " , =
7
1 2 0 1
1, 2. Jest to krzywa g7 poza skończona liczba punktów. Dla takich krzywych przenosza
ladka
sie wszystkie poznane dotychczas twiedzenia o ca7
lkowaniu. Wybieramy na � , orientacje
dodatnia wzgledem obszaru " , = 1, 2. Zatem
+ - - - + + - +
�+ = ""1 := *" *" *" , �+ = ""2 := *" *" *" .
1 01 1 11 2 2 02 2 12 1
Na mocy twierdzenia podstawowego Cauchy ego ( ) = 0, = 1, 2. Stad
�
0 = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +
+ - - -
�1 �2
01 1 11 2
( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) - ( )
+ + - + + +
02 1 12 2 0 1
i w konsekwencji
( ) = ( ) .
+ +
0 1
Twierdzenie 7.6 (o wzorze ca7
lkowym Cauchy ego)
Jeżeli funkcja jest holomorficzna wewnatrz obszaru jednospójnego i na jego brzegu " ,
który jest konturem, to " "
1 ( )
( ) = .
2 -
"
Dowód
Niech " , ( , ) = { : #" - #" < } �" .
53
 ( )
Ponieważ funkcja jest funkcja holomorficzna w obszarze : Ż " ( , ), to z uogólnienia
1
-
twierdzenia Cauchy ego dla obszarów wielospójnych otrzymamy, że
( ) ( )
= ,
- -
" "
gdzie " jest zorientowany dodatnio. Ca7 po prawej stronie można zapisać jako sume ca7
lke lek
( ) ( ) - ( )
= ( ) + . (7.1)
- - -
" " "
Z przyk7 podstawowego 6.6 wynika, że pierwsza z ca7 po prawej stronie (7.1) równa sie
ladu lek
1
( ) = ( )2 .
-
"
Należy pokazać, że druga z ca7 po prawej stronie (7.1) zeruje sie. Wybierzmy tak ma7
lek le
aby dla #" - #" = zachodzilo, że #" ( ) - ( )#" < . Wynika to z faktu, że " ( ). Zatem
2
( ) - ( ) #" ( ) - ( )#" 2
d" #" #" d" = ,
- #" - #" 2
" "
( )- ( )
gdzie #" #" = 2 . Z dowolności mamy, że = 0.
" " -
Wniosek 7.2
( )
= 2 ( ).
-
"
Wniosek 7.3
Twierdzenie 10.5 mówi, że wartości funkcji holomorficznej w dowolnym punkcie z należacym
do obszaru sa wyznaczone przez jej wartości na brzegu obszaru.
Przyk7 7.1
lad
Obliczyć
.
2
+ 1
#" #"=2
Obszar ograniczony okregiem { : #" #" = 2} zawiera dwa punkty = , = - w
1 2
których funkcja podca7 jest nieholomorficzna. Zdefiniujmy ma7 dyski
lkowa le
1 1
= { : #" - #" < }, = { : #" + #" < }.
1 2
2 2
54
Niech = " , = 1, 2, beda dodatnio zorientowanymi konturami. Korzystajac z uogólnienia
twierdzenia Cauchy ego dla obszarów wielospójnych otrzymamy, że
= + .
2 2 2
+ 1 + 1 + 1
#" #"=2
1 2
Korzystajac ze wzoru ca7
lkowego Cauchy ego otrzymamy
1 1
+ -
= = .
2 2
+ 1 - + 1 +
1 1 2 2
1 1
Należy zauważyć, że funkcja ( ) = " ( ), ( ) = " ( ), zatem
1 1 2 2
+ -
1 1
1 1
+ -
+ = 2 ( ( ) + (- )) = 2 + = 0.
1 2
- + 2 -2
1 2
Twierdzenie 7.7 (o wartości średniej funkcji holomorficznej)
Jeżeli jest funkcja holomorficzna w obszarze , " , ( , ) �" , to
2
1
( ) = ( + ) .
2
0
Dowód
Niech " , = " ( , ) = { : #" - #" = } = { : = + , " [0, 2 )} �" . Z
twierdzenia o wzorze ca7
lkowym Cauchy ego wynika, że
2 2
1 ( ) 1 ( + ) 1
( ) = = = ( + ) ,
2 - 2 2
0 0
" jest zorientowany dodatnio.
Twierdzenie 7.8 (o rozwijaniu funkcji holomorficznej w szereg Taylora)
�" !, -obszar. Jeżeli funkcja " ( ), " , ( , ) �" , to można przedstawić
0 0
w tym kole w postaci sumy szeregu potegowego
"
1 ( )
( ) = ( - ) = ,
0
2 ( - ) +1
" ( , )
0
=0
gdzie " ( , ) jest zorientowany dodatnio.
0
55
Dowód
Niech " , ( , ) = { : #" - #" < }. Z twierdzenia o wzorze ca7
lkowym Cauchy ego dla
0 0 0
" ( , ) zachodzi
0
1 ( )
( ) = . (7.2)
2 ( - )
" ( , )
0
1
Ponieważ " ( , ), to istnieje takie, że #" - #" < < = #" - #". Wyrażenie
0 0 0
-
przedstawimy jako sume szeregu potegowego o środku w punkcie , tzn.
0
"
1 1 1 1 1 - 0
= = = , (7.3)
- ( - ) - ( - ) ( - ) - 0 - 0
- 0
0 0 0
1 -
=0
- 0
który jest zbieżny jednostajnie na dysku ( , ), ponieważ modu7 wyrazów tego szeregu sa
ly
0
"
nie wieksze niż . Podstawmy rozwiniecie (7.3) do (7.2), ca7 wyraz po wyrazie
lkujac
+1
=0
(korzystamy z faktu, że szereg jest zbieżny jednostajnie) otrzymamy
" "
1 ( - ) 1 ( )
0
( ) = ( ) = ( - ) .
0
2 ( - ) +1 2 ( - ) +1
0 0
" ( , ) " ( , )
0 0
=0 =0
"
Czyli ( ) = ( - ) , gdzie
0
=0
1 ( )
= = 0, 1, 2, . . . .
2 ( - ) +1
0
" ( , )
0
Wniosek 7.4
Z twierdzenia 7.8 i wniosku 4.3 wynika, że A(D)=H(D).
Uwaga 7.2
Ponieważ wspó7
lczyniki szeregu Taylora sa wyznaczone jednoznacznie zatem
( )
( ) 1 ( )
0
= oraz = ,
! 2 ( - ) +1
0
" ( , )
0
to
! ( )
( )
( ) = .
0
2 ( - ) +1
0
" ( , )
0
56
Wynika stad nastepujace twierdzenie.
Twierdzenie 7.9 (o uogólnionym wzorze ca7
lkowym Cauchy ego)
Jeżeli funkcja jest holomorficzna wewnatrz obszaru jednospójnego i na jego brzegu " ,
" jest konturem, to dla " "
! ( )
( )
( ) = ,
2 ( - ) +1
"
gdzie = 0, 1, 2, . . . .
Uwaga 7.3
Funkcja holomorficzna w obszarze ma w tym obszarze pochodne dowolnie
wysokiego rzedu.
Wynika to z faktu, ze jest suma szeregu potegowego, a dla takich funkcji udowodniliśmy
we Wniosku 6.2 istnienie pochodnych dowolnego rzedu.
Uwaga 7.4
Jeżeli ( ) = ( , ) + ( , ) jest holomorficzna w obszarze , to funkcje i maja
pochodne czastkowe dowolnie wysokiego rzedu.
Przyk7 7.2
lad
Obliczyć
.
( - 1)3
#" #"=3
Niech := { : #" #" < 3}, = " . Funkcja ( ) = jest holomorficzna w . Skorzys-
tamy z twierdzenia o uogólnionym wzorze ca7
lkowym Cauchy ego dla i = 2. Zatem
2
2 2
= #" =1 = ( )3.
( - 1)3 2!
#" #"=3
Twierdzenie 7.10 (odwrotne do podstawowego tw. ca7
lkowego Cauchy ego)(Morery)
�" !, -obszar jednospójny. Jeżeli funkcja " ( ) i dla każdego konturu �"
( ) = 0,
to " ( ).
57
Dowód
Niech bedzie konturem zawartym w obszarze takim, że ( ) = 0. Z twierdzenia o
2
istnieniu funkcji pierwotnej wynika, że istnieje " ( ) taka, że ( ) = ( ) dla " .
Ponieważ jest holomorficzna, to z twierdzenia o uogólnionym wzorze ca7
lkowym wynika, że
2
= jest także funkcja holomorficzna w obszarze .
Szeregi Taylora funkcji elementarnych
Korzystajac z twierdzenia 7.8 możemy znalez
ć szeregi Taylora (Maclaurina) znanych funkcji.
Sa one rozszerzeniem szeregów rzeczywistych do dziedziny zespolonej.
Przyk7 7.3
lad
2 3
"
1. = 1 + + + + 3! + . . . = .
=0
1! 2! !
3 5 7 2 +1
"
2. = - + - + . . . = (-1) (2 +1)!.
=0
3! 5! 7!
2 4 6 2
"
3. = 1 - + - + . . . = (-1) (2 )!.
=0
2! 4! 6!
2
"
4. ! = .
=0
(2 )!
2 +1
"
5. ! = .
=0
(2 +1)!
6. Rozwina ć w szereg Taylora o środku w punkcie = 0 ga7a z
logarytmu.
" l
0
Wiadomo, że w obszarze jednospójnym, nie zawierajacym 0 i ", istnieje ga7a z
loga-
l
rytmu. Zatem promień ko7 o środku w punkcie w którym szereg bedzie zbieżny
la
0
musi spe7 < #" #". Policzymy pochodne ( ) = .
lniać
0
2 -1 2 2 -2 ( ) -
( ) = , ( ) = - , . . . ( ) = (-1) -1( - 1)! .
Stad
- 1 - 0 2 (-1) -1 - 0
0
= ( ) + - + . . . + + . . . ....
0
2 0
0 0
Przyjmujac = 1 i zastepujac prze 1 + otrzymamy dla wartości g7ównej logarytmu
l
0
rozwiniecie
2 3
(1 + ) = - + + . . . + (-1) -1 + . . . ....
2 3
w kole #" #" < 1.
58
8 Funkcje holomorficzne w !
Twierdzenie 8.1 (nierówność Cauchy ego)
Jeżeli " ( ( , )) oraz istnieje > 0 takie, że dla każdego " ( , ), zachodzi
0 0
#" ( )#" d" . Wtedy wspó7 lniaja
lczynniki szeregu Taylora funkcji o środku w spe7 nierówność
0
#" #" d" , = 0, 1, 2, . . .
Dowód
Niech ( , ) = { : #" - #" = }, gdzie < . Wtedy
0 0
1 ( ) 1 ( ) 1
#" #" = d" d" 2 = ,
2 ( - ) +1 2 ( - ) +1 2 +1
0 0
" ( , ) " ( , )
0 0
" ( , ) jest zorientowany dodatnio. Dla otrzymamy #" #" d" .
0
Definicja 8.1
Funkcje holomorficzna w ca7 p7 lkowita.
lej laszczyz
nie ! nazywamy funkcja ca7
Przyk7 8.1
lad
Wielomiany, , , sa funkcjami ca7
lkowitymi.
Twierdzenie 8.2 (Liouville a)
Funkcja ca7 la.
lkowita i ograniczona jest sta7
Dowód
Ponieważ jest ca7
lkowita, to " ( (0, )) dla dowolnego > 0. Zatem rozwija sie w
szereg Maclaurina w ( (0, )). Z nierówności Cauchy ego wynika, że #" #" d" w (0, )
bo jest ograniczona. Przechodzac z do nieskończoności dostaniemy, że = = . . . =
1 2
= . . . = 0 dla " " . Stad ( ) = .
0
Twierdzenie 8.3 (d Alamberta-podstawowe tw. algebry)
Każdy wielomian stopnia e" 1 w dziedzinie zespolonej ma co najmniej 1 pierwiastek.
Dowód (nie wprost)
Niech e" 1. Wtedy wielomian stopnia ma postać ( ) = + + . . . . Przypuśmy,
0 1
1
że ( ) nie ma miejsc zerowych. Zatem ( ) = jest holomorficzna w ca7 p7
lej laszczyz
nie !.
( )
Wykażemy, że jest ograniczona. Ponieważ lim " ( ) = ", to lim " ( ) = 0. Zatem
w sasiedztwie punktu = " funkcja jest ograniczona. W innych punktach p7
laszczyzny
0
funkcja przyjmuje tylko wartości skończone. Stad musi być ograniczona. Z twierdzenia
59
Liouville a wynika, że jest sta7 co jest sprzeczne z za7
la, lożeniem, że e" 1.
Wniosek 8.1 (Twierdzenie Bezout)
Każdy wielomian stopnia e" 1 ma w dziedzinie zespolonej dok7 pierwiastków.
ladnie
9 Zera funkcji holomorficznej
Definicja 9.1
Punkt nazywamy zerem funkcji holomorficznej jeśli ( ) = 0.
Definicja 9.2
Punkt nazywamy zerem k-krotnym funkcji holomorficznej jeśli
2 ( -1)
( ) = ( ), . . . , ( ) = 0, ( ) = 0.
"
Twierdzenie 9.1 (o zerach funkcji holomorficznej)
�" !, -obszar, " ( ), = ! , " . Jeśli jest zerem funkcji , to " " !
"
i otoczenie punktu takie, że ( ) = ( - ) ( ), gdzie " ( ), ( ) = 0 w pewnym
"
otoczeniu punktu .
Dowód
Ponieważ jest funkcja holomorficzna w obszarze , to istnieje otoczenie punktu takie,
"
że rozwinie sie w szereg Taylora o środku w pukcie tzn. ( ) = ( - ) dla
=0
" . Punkt jest zerem funkcji, stad ( ) = = 0. Z za7 "
lożenia, ze = wynika, że
0
nie wszyskie wspó7 " "
lczynniki moga być zerami. Zatem istnieje = 0. Rozpatrzmy = 0 z
najmniejszym indeksem . Wtedy
( ) = ( - ) + ( - ) +1 + . . . = ( - ) ( + ( - ) + . . .).
+1 +1
Ponieważ wyrażenie w nawiasie jest zbieżnym szeregiem potegowym, zatem istnieje jego suma,
która oznaczymy symbolem . Jako suma szeregu potegowego jest funkcja holomorficzna
w . Ponieważ ( ) = = 0, to jako funkcja ciag7 omija zero w pewnym otoczeniu
" la
2
�" .
Wniosek 9.1
Pukty zerowe funkcji holomorficznej sa izolowane.
Wniosek 9.2
Funkcja ca7
lkowita ma przeliczalnie wiele zer w !.
60
Uwaga 9.1
Niech " ( ), -obszar. Punkty w których funkcja holomorficzna przyjmuje z góry
zadana wartość sa izolowane, bo sa to miejsca zerowe funkcji ( ) - .
Twierdzenie 9.2 (o jednoznaczności funkcji holomorficznej)
�" !, -obszar, , " ( ). Niech bedzie podzbiorem majacym pukt skupienia
1 2
" oraz " " zachodzi ( ) = ( ). Wtedy " " zachodzi ( ) = ( ).
1 2 1 2
Dowód
Przypuśćmy, że = na . Wtedy możemy zdefiniować funkcje := - na . Jest
"
1 2 1 2
oczywiste, że " ( ) oraz " " zachodzi ( ) = 0. W zbiorze istnieje ciag majacy
punkt skupienia " . Ponieważ jest ciag7 to ( ) = lim " ( ) = 0. Czyli jest
la,
także zerem funkcji holomorficznej. Poniważ nie jest punktem odsobnionym, to musi być
sta7 Skoro ( ) = 0, to a" = 0 czyli = .
la.
1 2
Wniosek 9.3
Jeśli , " ( ) i przyjmuja jednakowe wartości na pewnym luku lub w pewnym ob-
7
1 2
szarze �" , to sa równe w ca7 obszarze .
lym
0
10 Szeregi Laurenta
Dane sa dwa szeregi postaci
" "
( - ) ( - )- . (10.1)
0 - 0
=0 =1
1
"
Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny w kole ( , ), gdzie = , drugi zaś
0
lim sup " #" #"
jest zbieżny na zewnatrz ko7 ( , ) = { " : #" - #" > }, gdzie = lim sup " #" #".
la
0 0 -
Definicja 10.1
Sume szeregów zdefiniowanych w (10.1) zapisujemy
"
( - ) (10.2)
0
=-"
i nazywamy szeregiem Laurenta o środku w .
0
61
Definicja 10.2
Powiemy, że szereg Laurenta (10.2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w
(10.1) jest zbieżny.
Uwaga 10.1
Jeżeli < , to szereg Laurenta (10.2) jest zbieżny wewnatrz pierścienia
( , , ) = { " ! : < #" #" < } (10.3)
0
"
i przedstawia w nim funkcje holomorficzna ( ). Sume szeregu ( - ) nazywamy
0
=0
"
cześcia regularna funkcji f(z), zaś sume szeregu ( - )- nazywamy cześcia g7ówna
l
- 0
=1
funkcji f(z).
Twierdzenie 10.1. (Laurenta)
Jeżeli jest funkcja holomorficzna w pierścieniu (10.3) to daje sie w nim przedstawić
szeregiem Laurenta postaci (10.2), przy czym wspó7
lczynniki wyrażaja sie wzorami
1 ( )
= , = 0, ą1, ą2, . . . (10.4)
2 ( - ) +1
0
gdzie jest dowolnym okregiem o środku w zorientowanym dodatnio i zawartym w pierścieniu
0
( , , ).
0
Dowód
Niech bedzie dowolnym punktem pierścienia ( , , ), , dwoma okregami o środku w
0 1 2
po7 l
lożonymi wewnatrz pierścienia tak aby punkt leża7 miedzy nimi, , sa zorientowane
0 1 2
2
dodatnio. Pierścień dzielimy promieniami na dwa obszary i . Za7óżmy, że " .
l
2 2
Oznaczajac brzegi obszarów i zorientowane dodatnio przez i otrzymamy, że
1 ( )
( ) = , (10.5)
2 -
1 ( )
0 = , (10.6)
2 -
2
62
gdzie (10.5) wynika z twierdzenia o wzorze ca7
lkowym Cauchy ego, zaś (10.6) wynika z podsta-
wowego twierdzenia Cauchy ego. Dodajemy stronami ca7 z (10.5) i (10.6). Ponieważ ca7
lki lki
wzd7 promieni znosza sie, zatem
luż
1 ( ) 1 ( )
( ) = - . (10.7)
2 - 2 -
2 1
Jeśli " , to #" - #" > #" - #", wobec czego nastepujaca funkcje można przedstawić jako
2 0 0
sume szeregu potegowego o środku w 0
"
1 1 1 1 ( - )
0
= = = . (10.8)
- 0
- ( - ) - ( - ) - 1 - ( - ) +1
0 0 0
- 0 =0 0
" ( - )
0
Szereg jest zbieżny dla #" - #" < #" - #" < . Analogicznie, gdy " ,
0 0 1
=0 - ) +1
(
0
to #" - #" < #" - #" wobec czego nastepujaca funkcje można przedstawić jako sume szeregu
0 0
potegowego o środku w 0
"
1 1 1 1 ( - ) -1
0
= = - = - . (10.9)
- 0
- ( - ) - ( - ) - -
( - )
1
0 0 0 0
- 0 =1
" ( - ) -1
0
Szereg jest zbieżny dla #" - #" > #" - #" > .
0 0
=1 - )
(
0
Oba te szeregi sa jednostajnie zbieżne wzgledem , wiec szeregi (10.8) i (10.9) można
wstawić do (10.6) i (10.7) a nastepnie ca7 te szeregi wyraz po wyrazie, skad otrzymamy
lkować
" "
1 ( ) 1 ( )
( ) = ( - ) + ( - )- .
0 0
2 ( - ) +1 2 ( - )- +1
0 0
2 1
=0 =1
W powyższych ca7 okregi i można zastapić dowolnym okregiem o środku w ,
lkach
1 2 0
zorientowanym dodatnio i zawartym w pierścieniu ( , , ). Zatem
0
" "
( ) = ( - ) + ( - )- ,
0 - 0
=0 =1
gdzie
1 ( )
= , = 0, ą1, ą2, . . .
2 ( - ) +1
0
Uwaga 10.2
Jeżeli funkcja jest rozwijalna w pierścieniu ( , , ) w szereg postaci
0
"
( ) = ( - ) ,
0
=-"
63
to " " $! zachodzi równość = , gdzie sa wspó7
lczynnikami zdefiniowanymi w twiedze-
niu Laurenta.
Dowód
"
( )
= ( - ) - -1.
0
( - ) +1
0
=-"
Ca7 prawa strone wyraz po wyrazie otrzymamy
lkujac
"
( )
= ( - ) - -1 = 2 ,
0
( - ) +1
� 0 �
=-"
� = { " ! : #" - #" = } �" ( , , ). Korzystamy z faktu, że
0 0
0 = ,
"
( - ) - -1 =
0
2 = .
�
Zatem
1 ( )
= = .
2 ( - ) +1
0
Uwaga 10.3 (nierówność Cauchy ego)
Niech " ( ( , 0, )). Jeżeli " > 0 takie, że " , #" - #" = < zachodzi, że #" ( )#" d" ,
0 0
to
#" #" d" , = 0, ą - 1, ą2, . . . .
Przyk7 10.1
lad
1 1
1. Rozwina ć funkcje ( ) = + w szereg Laurenta o środku w = 0,
0
-1 +2
"
1 1
= - = - #" #" < 1,
- 1 1 -
=0
" "
1 1 1 1 - (-1)
= = = #" #" < 1.
+ 2 2 [1 - (- 2)] 2 2 2 +1 2
=0 =0
Zatem dla #" #" < 1 mamy
"
(-1)
( ) = -1 +
2 +1
=0
64
1 1
2. Rozwina ć funkcje ( ) = + w szereg Laurenta o środku w = . Rozpatrujemy
0
-1 +2
pierścień o środku w = i promieniach bedacych odleg7 środka do punktów w
lościa
0
" "
których funkcja jest"
nieholomorficzna tzn. = 1 i = -2 czyli ( = 1, 2, 5) =
1 2 0
"
{ : 2 < #" - #" < 5}
"
"
1 1 1 (1 - ) 1 -
= = ( < 1 �! #" - #" > 2,
- 1 - - (1- )] ( - ) +1 -
[1
-
=0
"
"
1 1 1 1 ( - ) -
= = (-1) < 1 �! #" - #" < 5.
-
+ 2 2 + [1 + ( 2+ )] 2 + (2 + ) 2 +
=0
" " " "
Zatem w ( = 1, 2, 5) = { : 2 < #" - #" < 5} mamy
0
"
( - ) " (1 - ) -1
( ) = (-1) + .
(2 + ) =1 ( - )
=0
11 Punkty osobliwe
Definicja 11.1
Punkt w którym jest holomorficzna nazywamy punktem regularnym.
Definicja 11.2
Ż
Jeżeli funkcja nie jest holomorficzna w " ! ale jest holomorficzna w pewnym jego
0
sasiedztwie ( , ) " { } = { " ! : 0 < #" - #" < }, gdy = " lub { : #" #" > }
"
0 0 0 0
dla = ", to nazywamy punktem osobliwym izolowanym (odosobnionym) funkcji .
0 0
11.1 Punkty osobliwe izolowane
Definicja 11.3
Punkt osobliwy izolowany = nazywamy:
0
1. punktem pozornie osobliwym, jeżeli lim ( ) istnieje i jest skończona,
0
2. biegunem, jeżeli: lim ( ) = ",
0
3. punktem istotnie osobliwym, jeżeli nie istnieje lim ( ).
0
Przyk7 11.1
lad
1. Dla danej wzorem
1 -
( ) =
2
65
 = 0 jest punktem osobliwym.
0
2
2
2 ( 2) ( 2)
1 - 2 1
lim = lim = lim = .
0 2 0 2 0
4 2
2
Wynika stad, że = 0 jest punktem pozornie osobliwym.
0
2. Dla danej wzorem
( ) = ( )
1
= 0 jest punktem osobliwym. Rozpatrzmy ciagi postaci := 0 dla ".
0
2 +
Zauważmy, że ( ) = ( ), stad lim " ( ) = ( ). Zmieniajac wartości
dostaniemy, że nie istnieje granica w = 0, czyli jest punktem istotnie osobliwym.
0 0
3. Dla danej wzorem
1
( ) =
- 1
punktami osobliwymi sa = 2 , " !. Sa to bieguny ponieważ lim 2 1 = ".
-1
4. Niech
1
( ) = .
( )
1
Wtedy punkty = sa biegunami. Zaś punkt = 0 jest punktem osobliwym ale nie
0
jest izolowany.
Twiedzenie 11.1 (Riemanna)
Niech " ( ( , 0, )). Punkt osobliwy izolowany " ! jest punktem pozornie osobliwym
0 0
funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiniecie w szereg Laurenta w ( , 0, ) nie zawiera
0
cześci g7ównej tzn.
l
"
( ) = ( - ) .
0
=0
Dowód
�! Niech bedzie punktem pozornie osobliwym, wówczas istnieje skończona granica =
0
lim ( ). Zatem istnieje otoczenie ( , ) i sta7 > 0 takie, że #" ( )#" d" dla
la
0
0
" ( , ). Niech < , korzystajac z nierówności Cauchy ego otrzymamy, że #" #" d" dla
0
= 0, ą1, ą2, . . .. Jeśli < 0 to prawa strona 0 dla 0. Stad = 0 dla < 0 tzn.
cześć g7ówna szeregu Laurenta znika.
l
66
�! Ponieważ w ( , , ) funkcja ma rozwiniecie w szereg Laurenta, które nie zawiera
0
"
cześci g7ównej tzn. ( ) = ( - ) , to jest ono szeregiem Taylora w tym pierścieniu.
l
0
=0
Wiec istnieje granica lim ( ) = . Dlatego punkt jest pozornie osobliwy.
0 0
0
Uwaga 11.1
Jeżeli jest punktem pozornie osobliwym , to funkcja �( ) := ( ) dla = oraz
"
0 0
�( ) := lim ( ) jest holomorficzna w otoczeniu 0.
0
Twiedzenie 11.2
Niech " ( ( , 0, )). Punkt osobliwy izolowany jest biegunem funkcji wtedy i tylko
0 0
wtedy gdy rozwiniecie w szereg Laurenta w ( ( , 0, )) ma czesć g7ówna o skończonej
l
0
liczbie wyrazów tzn.
"
- - +1 -1
" " ! ( ) = + + . . . + + ( - ) ,
( - ) ( - ) -1 - 0 =0 0
0 0
gdzie = 0.
"
-
Dowód
�! Niech bedzie biegunem funkcji . Stad lim ( ) = ". Zatem istnieje otoczenie
0
0
1
( , ) takie, że ( ) = 0 dla " ( , ). Zdefiniujemy funkcje ( ) = w ( , ), przy
"
0 0 0
( )
czym istnieje lim ( ) = 0. Zatem jest punktem pozornie osobliwym (zerem) funkcji
0
0
. Wtedy istnieje " ! takie, że ( ) = ( - ) ( ), gdzie ( ) = 0 dla " ( , ).
"
0 0
1 1 1
( ) = = (11.1)
( ) ( - ) ( )
0
1
Funkcja ( ) = 0, stad jej odwrotność jest funkcja holomorficzna w ( , ), czyli daje
"
0
( )
"
sie zapisać jako suma szeregu Taylora ( - ) . Wstawiajac go do (11.1) otrzymamy
0
=0
" "
1
0 1 -1
( ) = ( - ) = ( - ) - = + + + +. . . .
0
( - ) =0 0 ( - ) ( - ) -1 - 0
0 0 0
=0
Tak otrzymaliśmy szereg Laurenta funkcji , którego cześć g7ówna sk7 sie ze skończonej
l lada
liczby wyrazów.
�! Niech w ( ( , 0, )) rozwija sie w szereg Laurenta postaci
0
"
- - +1 -1
( ) = + + . . . + + ( - ) .
( - ) ( - ) -1 - 0 =0 0
0 0
67
Niech ( ) := ( - ) ( ) = + ( - ) + . . . w tym otoczeniu. Stad lim ( ) =
0 - - +1 0
0
(
= 0, a nastepnie lim ( ) = lim ( - ) = ", czyli jest biegunem.
"
- 0
0 0
)
0
Uwaga 11.2
1
Punkt jest biegunem funkcji wtedy i tylko wtedy gdy = jest holomorficzna w
0
( )
pewnym otoczeniu i ( ) = 0.
0 0
Uwaga 11.3
1
Rzedem bieguna funkcji nazywamy krotność tego punktu jako zera funkcji = .
0
( )
Uwaga 11.4
Punkt jest biegunem -krotnym funkcji wtedy i tylko wtedy gdy
0
lim ( - ) -1 ( ) = " oraz lim ( - ) ( ) = ".
"
0 0
0 0
Przyk7 11.2
lad
1. ( ) = . Punkt = 0 jest biegunem trzykrotnym. Zauważmy, że
4 0
1
2
lim = lim = " � 1 = ".
4
0 0
Natomiast
3
3
lim = lim = 1.
4 3
0 0
2. ( ) =
-1
= 1 �!�! = 2 - sa to punkty osobliwe. Dla = 0
"
lim = ",
2 - 1
czyli sa to bieguny.
0 2 - 2
lim ( - 2 ) = = lim = ".
"
2 2
- 1 0
Zatem dla = 0 punkty = 2 sa biegunami jednokrotnymi. Dla = 0 mamy, że
"
0
lim 0 -1 = = lim 0 1 = 1 = 0 punkt pozornie osobliwy.
"
0
Twierdzenie 11.3
Niech " ( ( , 0, )). Punkt osobliwy izolowany jest punktem istotnie osobliwym wtedy
0 0
i tylko wtedy, gdy cześć g7ówna rozwiniecia szereg Laurenta w ( ( , , )) sk7 sie z
l lada
0
nieskończenie wielu wyrazów.
68
Dowód
Twierdzenie to jest wnioskiem z dwóch poprzednich twierdzeń. Jeśli cześć g7ówna sk7 sie
l lada
z nieskończenie wielu wyrazów, to nie może być ani punktem pozornie osobliwym, ani
0
biegunem. Jeśli jest punktem istotnie osobliwym, to cześć g7ówna nie może znikać ani też
l
0
nie może sk7 sie ze skończenie wielu wyrazów różnych od zera.
ladać
Przyk7 11.3
lad
Niech
1
( ) = .
Wiemy że dla 0 < #" #" < " funkcja wyk7
ladnicza rozwija sie w szereg Taylora o środku w
= 0.
0
"
= .
!
=0
1
Podstawmy za = . Otrzymamy
"
1 1 1
= = 1 + + + . . .
! 1! 2! 2
=0
Cześć g7ówna sk7 sie z nieskończenie wielu wyrazów, zatem = 0 jest punktem istotnie
l lada
0
osobliwym.
Niech = , -ma7 Wtedy
le.
1
1 1 1 1
( - ) )
( ) = = #" ( )#" = #" #"#" #" = .
Zauważmy, że dla takich, że > 0
1
lim = +",
0
zaś dla takich, że < 0
1
lim = 0,
0
1
czyli nie istnieje granica modu7 funkcji ( ) = gdy .
lu
0
Twierdzenie 11.4 (Casoratiego-Weierstrassa)
Jeżeli jest punktem istotnie osobliwym funkcji, to zbiór wartości funkcji w dowolnie
0
ma7 nak7 otoczeniu tego punktu jest rozmieszczony gesto w ca7 p7
lym lutym lej laszczyz
nie.
Dowód Niech ( , ) " { } bedzie nak7 otoczeniem . Gdyby zbiór wartości funkcji
lutym
0 0 0
( ( , ) " { }) nie by7 gesty w !, to wówczas istnia7 ko7 ( , ) nie zawierajace żadnej
l loby lo
0 0
69
1
wartości ( ), wiec #" ( ) - #" > dla " ( , ) " { }. Wtedy funkcja ( ) = jest
0 0
( )-
ograniczona dla " ( , ) " { }. W myśl twierdzenia Riemanna punkt by7 punktem
lby
0 0 0
pozornie osobliwym dla ( ). Zatem isnia7 granica lim ( ). Zatem by7 anality-
laby laby
0
1
czna w otoczeniu . Stad ( ) = + by7 analityczna lub mia7 biegun w wbrew
laby laby
0 0
( )
za7
lożeniu.
Twierdzenie 11.5 (wielkie twierdzenie Picarda)
Funkcja analityczna przyjmuje w dowolnie ma7 nak7 otoczeniu punktu istotnie osobli-
lym lutym
wego każda wartość z wyjatkiem co najwyżej jednej w nieskończenie wielu punktach.
Twierdzenie 11.6 (ma7 twierdzenie Picarda)
le
Funkcja ca7 lej
lkowita różna od sta7 przyjmuje każda wartość z wyjatkiem co najwyżej jednej.
Przyk7 11.4
lad
1. ( ) = omija wartość = 0. Zauważmy, że jako funkcja ca7
lkowita omija też ".
Zatem omija dwie wartości {0, "}.
2. ( ) = ( ) nie jest funkcja ca7
lkowita, bo ma bieguny w punktach = + , " $!,
2
natomiast omija dwie wartości ą .
1
3. ( ) = omija tylko jedna wartosć 0.
4. funkcja ( ) Weierstrassa zdefiniowana za pomoca szeregu
"
1 1 1
2 2
( ) = + - = + , , " $!, , " !, Im = 0,
"
2
2 2
( - )2
=1
przyjmuje każda wartość z p7
laszczyzny domknietej ! nieskończenie wiele razy. Funkcja
( ) Weierstrassa jest przyk7 funkcji meromorficznej dwuokresowej o okre-
ladem
2
sach: , .
11.2 Zachowanie sie funkcji holomorficznej w punkcie "
Niech ( ) bedzie funkcja holomorficzna w pierścieniu (0, , ") = { : < #" #" < "}
(bedacym nak7 otoczeniem nieskończoności zwanym także pierścieniem o środku w "
lutym
czyli (", 0, )), gdzie > 0. Wówczas funkcja ( 1) jest holomorficzna w otoczeniu nak7
lutym
1 1
zera tzn. (0, 0, ) = { : 0 < #" #" < }.
Definicja 11.4
Powiemy, że ( ) ma w nieskończoności:
1. punkt regularny,
70
2. biegun rzedu ,
3. punkt istotnie osobliwy,
zależnie od tego czy funkcja ( 1) ma w punkcie 0 osobliwośc usuwalna, biegun rzedu lub
lub punkt istotnie osobliwy.
W (0, , ") = { : < #" #" < "} funkcja ( ) jest suma dwóch szeregów
" "
-
( ) = + ,
=1 =0
" -
z których pierwszy jest zbieżny dla #" #" < " a drugi dla #" #" > . Szereg przedstawia
=0
"
cześć regularna funkcji zaś szereg przedstawia cześć g7ówna funkcji .
l
=1
Funkcja ( ) jest ma osobliwość pozorna w ", jeśli w (0, , ") = { : < #" #" < "} daje
sie przedstawić szeregiem postaci
"
- -1 -2
( ) = = + + + . . .
0
2
=0
zbieżnym w tym pierścieniu. Wówczas ma granice w lim " ( ) = . Granice te nazy-
0
wamy wartościa funkcji w ". Zapisujemy (") = .
0
Punkt " nazywamy zerem -krotnym danej funkcji, gdy = = . . . = = 0, lecz
0 -1 - +1
= 0.
"
-
Przyk7 11.5
lad
1. ( ) = + + . . . + , = 0, ma w nieskończoności biegum rzedu .
"
0 1
2. funkcja ( ) = ma w nieskończoności punkt istotnie osobliwy, bo cześć g7ówna
l
"
rozwiniecia = zawiera nieskończenie wiele wyrazów.
=0
!
1
1
3. Niech ( ) = . Podstawmy do wzoru na wyrażenie = . Otrzymamy
"
1 1
= = 1 + + + . . .
! 1! 2! 2
=0
Zatem = 0 jest punktem istotnie osobliwym bo cześć g7ówna sk7 sie z nieskończenie
l lada
0
wielu wyrazów. Natomiast punkt w nieskończoności jest punktem regularnym.
71
11.3 Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgledu na ich punkty
osobliwe
Klasyfikacja
1. Funkcje holomorficzne w ! (czyli majace tylko osobliwość w nieskończoności) nazywamy
funkcjami ca7 lkowitych:
lkowitymi. Klasyfikacja funkcji ca7
a) jeśli = " jest biegunem, to jest wielomianem.
b) jeśli = " jest punktem istotnie osobliwym, to nazywamy funkcja ca7
lkowita
przestepna np. , , .
2. Funkcje holomorficzna w ! poza punktami w których nie ma innych osobliwości niż
bieguny nazywamy funkcja meromorficzna np. , . Funkcje meromorficzna nazy-
wamy przestepna, jeśli nie przed7 sie na nieskończoność (tzn. nie ma w nieskończoności
luża
ani osobliwości pozornej, ani " nie jest biegunem.) Jeśli funkcja meromorficzna przestepna
ma skończenie wiele biegunów, to " jest punktem istotnie osobliwym, zaś gdy ma
nieskończenie wiele biegunów, to " nazywamy punktem skupienia biegunów (" nie
może być istotna osobliwościa bo w (", 0, ) funkcja nie jest holomorficzna w biegu-
nach należacych do tego pierścienia.)
Twierdzenie 11.7
Jeżeli funkcja meromorficzna ma w " punkt pozornie osobliwy lub biegun (czyli nie ma
Ż
w ! innych osobliwości niż bieguny) to jest funkcja wymierna.
Dowód
Ż
Ponieważ ma w ! ma bieguny, to może ich mieć tylko skończenie wiele (w przeciwnym
Ż
przypadku ze wzgledu na zwartość ! bieguny musia7 mieć punkt skupienia (a punkt
lyby
skupienia biegunów nie może być ani punktem regularnym ani biegunem, bo w nak7
lutym
otoczeniu tych punktów jest holomorficzna a w biegunach nie jest holomorficzna)). Niech
punkty , , . . . , beda biegunami , niech
1 2
- -1
( ) = + . . . = 1, . . . , , = 0
"
-
( - ) ( - )
oznacza cześć g7ówna rozwiniecia w szereg Laurenta w ( , 0, ) = { : 0 < #" - #" <
l
}. Rozpatrujemy funkcje ( ) = ( ) - ( ). Jest to funkcja holomorficzna w ! bo
=1
"
usuneliśmy wszystkie cześci g7ówne. Rozwiniecie funkcji holomorficznej ( ) w szereg
l
=0
w (0, 0, ") musi zawierać tylko skończenie wiele wyrazów, gdyż w przeciwnym przypadku
nieskończoność by7 punktem istotnie osobliwym. Stad
laby
2
(") ( ) = + . . . , = 0.
"
1 2
72
Zatem
( ) = ( ) + ( ) (11.2)
=1
jest funkcja wymierna. Zauważmy, że (*) jest czescia g7ówna bieguna funkcji w = ".
l
0
Wniosek 11.1
Wzór (11.2) przedstawia rozk7 funkcji wymiernej na cześć ca7 lamki
lad lkowita ( + ( )) oraz u7
0
proste ( ( )).
=1
12 Obliczanie ca7 za pomoca residuów
lek
Definicja 12.1
Jeżeli " ( ( , 0, )), jest dowolnym konturem zawartym w pierścieniu i zawierajacym
0
w swym wnetrzu , to liczbe
0
1
( ) (12.1)
2
nazywamy residuum funkcji w punkcie i oznaczamy ( ).
0
0
Wniosek 12.1
Jeżeli punkt jest punktem regularnym lub punktem pozornie osobliwym funkcji , to
0
( ) = 0
0
Wniosek 12.2
( ) = ,
-1
0
gdzie jest wspó7
lczynnikiem rozwniecia w szereg Laurenta w ( , 0, ).
-1 0
Dowód
Ponieważ " ( ( , 0, )), to z twierdzenia Laurenta wynika, że rozwinie sie w szereg
0
"
postaci ( - ) . Ca7
lkujemy nastepujace wyrażenie
0
=-"
"
( ) = ( - ) .
0
=-"
Ponieważ
0 = -1
"
( - ) =
0
2 = -1,
to
( ) = 2 .
-1
73
Zatem ( ) = .
-1
0
Jeżeli punkt jest biegunem -krotnym to
0
"
- - +1 -1
( ) = + + . . . + + ( - ) ,
( - ) ( - ) -1 - 0 =0 0
0 0
gdzie = 0. Wtedy residuum funkcji w punkcie liczymy ze wzoru
"
- 0
1 -1
( ) = ( - ) ( ) .
0 0
0
( - 1)! -1
W szczególności dla = 1
( ) = ( - ) ( ).
0 0
0
Przyk7 12.1
lad
1. Obliczyć , = 0 biegun dwukrotny.
0 3 0
2 2
1 ( - )2
= lim 2 = lim = lim
0
3 3 2
0 0 0
1! ( )2
- + -
( ) = lim = 0.
0
2
2. można policzyć także w inny sposób:
0 3
3 5
1 1 1 2
= - + - . . . = - + - . . . , #" #" < "
3 3 2
3! 5! 3! 5!
Ponieważ residuum jest równe wspó7
lczynnikowi , stad = 0.
-1 0 3
Uwaga 12.1
Residuum funkcji w punkcie istotnie osobliwym obliczamy rozwijajac funkcje w szereg Lau-
renta w otoczeniu nak7 tego punktu.
lutym
Przyk7 12.2
lad
1
Dla funkcji ( ) = punkt = 0 jest punktem istotnie osobliwym. Rozwijamy funkcje
0
w otoczeniu w szereg Laurenta.
0
1 1 1
= 1 - + - . . . .
2 4
2! 4!
74
Zatem = 0 = ( ).
-1 0
Twierdzenie 12.1 (Cauchy ego o residuach (1825))
Niech �" ! bedzie obszarem jednospójnym, " jest konturem. Jeżeli jest holomorficzna
w Ż poza wyjatkiem skończenie wielu punktów osobliwych izolowanych , , . . . , " , to
1 2
( ) = 2 ( ).
"
=1
Dowód
Skorzystamy z twierdzenia ca7
lkowego Cauchy ego dla obszarów wielospójnych.
W tym celu zdefinujmy dyski = { : #" - #" < }, = 1, . . . , gdzie jest tak ma7 aby
le,
ich domkniecia by7 parami roz7aczne i zawarte w . Zarówno brzeg " jak i brzegi " ori-
ly l
entujemy dodatnio wzgledem obszarów które one ograniczaja. Niech = " , wtedy
0
=1
" ( ) i z twierdzenia ca7
lkowego Cauchy ego dla obszarów wielospójnych dostaniemy
0
( ) = ( ) .
" "
=1
Ponieważ ( ) = 2 ( ) to zachodzi teza twierdzenia.
Definicja 12.2
Niech funkcja holomorficzna w (0, , ") = { : < #" #" < "} ma w nieskończoności
punkt izolowany. Wtedy residuum ( ) definiujemy jako
"
1
( ) = ( ) ,
"
2
gdzie = { : #" #" = } jest zorientowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara (czyli dodatnio
Ż
wobec nieogranoczonej sk7
ladowej ! " ).
"
Ponieważ rozwija sie w szereg Laurenta ( ) = w (0, , ") = { : < #" #" <
=-"
"}, to ca7 ten szereg wyraz po wyrazie wzd7 konturu otrzymamy, że
lkujac luż
( ) = - .
" 1
75
Minus przed wyrazem bierze sie stad, że kontur jest skierowany zgodnie z ruchem
1
wskazówek zegara.
Twierdzenie 12.2 (o pe7 sumie residuów)
lnej
Jeżeli jest holomorficzna w ! z wyjatkiem punktów , , . . . , , to
1 2
( ) + ( ) = 0.
"
=1
Dowód
Niech > 0 bedzie tak duże, że kontur = { : #" #" = } zawiera w swym wnetrzu punkty
, , . . . , . Z twierdzenia Cauchy ego o residuach mamy, że
1 2
1
( ) = ( ).
2
=1
Przy dalszym zwiekszaniu lewa calka w powyższym wzorze nie zmieni sie. Stad dla dużych
bedzie ona równa residuum ze znakiem minus bo do liczenia resuduum w nieskończoności
kontur musi być zorientowany przeciwnie. I tak udowodniliśmy, że ( ) +
=1
( ) = 0.
"
Przyk7 12.3 Obliczyć
lad
.
8
( + 1)2
#" #"=2
Funkcja podca7 ma 8 biegunów 2-krotnych. Skorzystamy z powyższego twierdzenia.
lkowa
Zatem
8
= 2 ( ) = -2 ( ).
"
8
( + 1)2
#" #"=2
=1
Aby obliczyć residuum ( ) w nieskończoności rozpatrujemy funkcje
16
1 1
= = .
( 1 + 1)2 8
( + 1)2
8
Wtedy punkt = 0 jest zerem 16-krotnym funkcji (przez co rozumiemy zero funkcji ( 1)),
0
16
stad ( 1) = ( ), ( ) jest holomorficzna. Wynika stad, że rozwiniecie (1) w szereg
"
+16
Taylora w punkcie = 0 ma postać ( 1) = . Zatem nie ma cześci g7ównej,
l
0
=0
wiec = 0 i w konsekwencji
-1
= 0.
8
( + 1)2
#" #"=2
76
12.1 Zastowanie do obliczanie ca7 rzeczywistych
lek
Wpropadzamy oznaczenia: Niech " !+, odcinek [- , ] bedzie podzbiorem osi , � =
{ : #" #" = , Im e" 0}- pó7
lokrag,
� := � *" [- , ].
Lemat 12.1 (Jordana)
Niech bedzie funkcja holomorficzna w { : Im e" 0} z wyjatkiem skończonej ilości punktów,
nieleżacych na osi oraz ( ) = max� #" ( )#" 0 dla ". Wówczas dla dowolnego
> 0
( ) 0
�
dla ".
Dowód Niech
�2 = { : = , " [0, ]}.
2
2
( ) = ( ) ( + ) . (12.2)
�2 0
Ponieważ #" #" = 1, #" #" = 1 oraz #" ( )#" d" ( ), to wstawiajac te oszacowania do (12.2)
otrzymamy
2 2 2
2
- - -
( ) d" ( ) d" ( ) d" ( ) .
�2 0 0 0
2
Ostatnia nierówność wynika z faktu, że dla " [0, ] zachodzi nierówność e" . Zatem
2
2
2 2
2
- -
( ) = ( ) - - = ( ) (1 - ) 0
2 0 2
0
bo ( ) 0. Dowód w pozosta7 ćwiartce jest analogiczny.
lej
Uwaga 12.2
M(R) może da żyć do zera tak wolno, że ( ) może nie da żyć do zera. Pomnożenie
�
funkcji podca7 przez przyspiesza zbieżność ca7
lkowej lki.
Lemat 12.2
Niech bedzie funkcja holomorficzna w { : Im e" 0} z wyjatkiem skończonej ilości punktów
, = 1, . . . , , nieleżacych na osi . Ponadto zak7
ladamy, że jest rzeczywista na osi 0
77
oraz dla #" #" e" spe7 warunek #" ( )#" d" , gdzie > 1, > 0 . Wówczas ca7 z funkcji
lnia lka
#" #"
( ) istnieje i wyraża sie wzorem
"
( ) = 2 ( ).
-"
=1
Niech := � *" [- , ] bedzie tak duży, aby wszystkie punkty , = 1, . . . , leża7
ly
wewnatrz . Z twierdzenia Cauchy ego o residuach wynika, że
( ) + ( ) = 2 ( ).
- �
=1
Stad wynika teza twierdzenia , bo
( ) d" = ,
-1
�
gdzie > 1.
Uwaga 12.3
Lematy 12.1 i 12.2 sa także prawdziwe dla dolnej pó7 laszczyzny.
lp7
Przyk7 12.4
lad
1. Obliczyć
"
, > 0, > 0.
2 2
+
-"
Jako funkcje zespolona bierzemy ( ) = , która ma bieguny w punktach ą .
2 2
+
Ponieważ do obszaru ograniczonego � należy tylko jeden biegun to z twierdzenia
Cauchy ego o liczeniu ca7 za pomoca residuów otrzymamy,
lek
= 2 2 2 .
2 2
+ +
�
Policzymy residuum w biegunie .
-
( ) = lim ( - ) = lim = ,

( - )( + ) ( + ) 2
-
czyli ( ) = 2 = .
� 2
( ) = + .
2 2 2 2
+ +
� � -
78
Dla " zachodzi, że 0 (korzystamy z lematu Jordana) oraz
2 2
+
" " "
= + .
2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + +
- -" -" -"
Tak wiec dostaniemy, że
" "
= ( ) = + .
2 2 2 2
+ +
� -" -"
Zatem
"
= .
2 2
+
-"
2. Zastosowanie twierdzenia Cauchy ego o liczeniu ca7 za pomoca residuów do ca7
lek lek
postaci
2
( , ) .
0
Wprowadzamy zmienna = , " [0, 2 ]. Wtedy
- -
+ + -1 - - -1
= = , = = ,
2 2 2 2
2
-1 -1
+ -
( , ) = ( , ) .
2 2
0 #" #"=1
Zastosujemy to do obliczenia ca7
lki
2
= = =
-1
-1 2
5 + 4 ( )
5 + 4 - #" #"=1 5 + 2 ( - ) #" #"=1 2 + 5 - 2
0 #" #"=1
2
1 2
= 2 1 = 2 lim = .
-
1 1
2
2 1
2( + 2 )( + ) 2 + 5 - 2 2( + 2 )( + ) 3
-
#" #"=1
2 2 2
3. Wykazać, że
"
= .
2
0
Niech < , = { : = , " [0, ]}, [- , - ], [ , ] odcinki zawarte w osi
OX. Tworzymy zamknieta krzywa � := � *" [- , - ] *" *" [ , ], która orientujemy
dodatnio wzgledem obszaru , który ona ogranicza.
Niech ( ) = , wtedy " ( ). Zatem z podstawowego tw. Cauchy ego
-
0 = ( ) = + + + . (12.3)
� � -
79
Dla " � mamy
( + ) - -
#" #" #" #"
= = = 0
dla ", bo > 0. Stad
0.
�
Dla " mamy
( )2 ( )3
2
1 + + + = . . .
1 - - - 1
2! 3!
= = + + + + . . . = + ( )
2! 3!
Stad
1
= + ( ) .
�
Policzymy kolejno ca7 Dla " , = , " [0, ]
lki.
1 1
= - = - .
0
Na #" ( )#" d" , zatem ( ) d" 0 dla 0. Stad
lim = - + 0 = - . (12.4)
0
Dla " i 0
- 0 "
+ �! + .
- -" 0
0 " -
Jeśli w ca7 dokonamy podstawienia = - , to otrzymamy ca7 - .
lce lke
-" 0
Tak wiec z (12.3) i (12.4) wynika, że dla " i 0
0 "
0 = 0 + + - .
-" 0
Zatem
" " " "
-
- - ( - )2
= = = 2 �! = .
2 2
0 0 0 0
80
13 Geometryczna teoria funkcji zmiennej zespolonej
Definicja 13.1
Niech " !, � jest g7 krzywa, która nie przechodzi przez punkt . Wartośc ca7
ladka lki
0 0
1
( ) := (13.1)
� 0
2 - 0
�
nazywamy indeksem punktu wzgledem krzywej �.
0
Lemat 13.1
Indeks punktu wzgledem krzywej jest liczba ca7
lkowita.
Dowód Niech ( ), " [ , ], bedzie g7 funkcja opisujaca krzywa �. Definiujemy funkcje
ladka
2
( )
!( ) = d" d" .
( ) - 0
2
( )
-!( )
Jej pochodna wynosi !2 ( ) = dla " [ , ]. Zatem pochodna funkcji [ ( ) - ]
0
( )- 0
jest równa
-!( ) 2
(-!2 ( )( ( ) - ) + ( )) =
0
2
( )
-!( ) 2
- ( ( ) - ) + ( ) = 0.
0
( ) - 0
-!( )
Stad funkcja [ ( ) - ] jest sta7 na przedziale [ , ] i i jej wartość jest równa wartości
la
0
-!( ) -!( )
w punkcie = . Uwzgledniajac !( ) = 0 otrzymamy ( ( ) - ) = ( ( ) -
0
( )- 0
!( ) !( )
) = ( ) - . Wtedy = oraz = 1 bo ( ) = ( ). Zatem !( ) jest
0 0
( )- 0
wielokrotnościa 2 z czego wynika wzór (13.1).
Definicja 13.2
Pochodna logarytmiczna funkcji meromorficznej nazywamy funkcje postaci
2
( ( ) ( )
= .
( )
Definicja 13.3
Residuum logarytmicznym funkcji meromorficznej w punkcie nazywamy residuum pochod-
0
2
( ( )) ( )
nej logarytmicznej = w punkcie .
0
( )
Lemat 13.2
Jeżeli jest -krotnym zerem funkcji , to
0
2
( )
= .
0
( )
81
Dowód
Ponieważ jest -krotnym zerem to ( ) = ( - ) ( ), gdzie " ( ( , )) oraz
0 0 0
( ) = 0 dla " ( , ). Policzymy pochodna logarytmiczna funkcji tzn.
"
0 0
2 2 2
( ) ( - ) -1 ( ) + ( - ) ( ) ( )
0 0
= = + .
( ) ( - ) ( ) - ( )
0 0
2
( )
Residuum funkcji wynosi
( )
2 2 2
( ) 1 ( ) 1 1 ( )
= = + = .
0
( ) 2 ( ) 2 - 2 ( )
0
#" - #"= #" - #"= #" - #"=
0 0 0
2 2
( ) ( )
Zauważmy, że = 0 ponieważ " ( ( , )).
0
#" - #"= ( ) ( )
0
Lemat 13.3
Jeżeli jest -krotnym biegunem funkcji , to
0
2
( )
= - .
0
( )
Dowód
1
Jeśli jest -krotnym biegunem funkcji to jest -krotnym zerem funkcji . Ponieważ
0 0
1
2
( ( ))
( ) (- ( ( )))
= - = - .
( )
Stad
2
( )
= - .
0
( )
Twierdzenie 13.1
Niech �" ! bedzie obszarem, zaś " - konturem. Jeżeli funkcja jest funkcja meromorficzna
w i nie ma ani zer ani biegunów na " , to
2
1 ( )
= - ,
2 ( )
"
gdzie oznacza sume krotności wszystkich zer w , -sume krotności wszystkich biegunów
w .
Dowód
Niech , = 1, . . . , , beda zerami funkcji zaś , = 1, . . . , , biegunami . Wtedy
2 2 2
1 ( ) ( ) ( )
= + = - .
2 ( ) ( ) ( )
"
=1 =1
82
Twierdzenie 13.2 (Zasada argumentu)
Niech �" ! bedzie obszarem, zaś " - konturem. Jeżeli funkcja jest funkcja meromorficzna
w i nie ma ani zer ani biegunów na " , to przyrost argumentu podzielony przez 2
równa sie róznicy miedzy ilościa zer a ilościa biegunów funkcji w obszarze czyli
1
"" ( ) = - .
2
Dowód
Niech ( ), "< , > bedzie g7 parametryzacja brzegu " .
ladka
2 2
1 ( ) 1 ( ( )) 1 ( ( ))
2
- = = ( ) =
2 ( ) 2 ( ( )) 2
"
1 1
= [ ( ( ( )))] = ( ( ( ( )) - ( ( ( ))) .
2 2
Ponieważ krzywa ( ) parametryzujaca " jest zamknieta, to ( ( )) = ( ( )). Stad
( ( ( )) - ( ( ( )) = #" ( ( ))#" + ( ( )) - #" ( ( ))#" - ( ( ))
"" ( ) := ( ( ( )) - ( ( ))
Stad
2
1 ( ) 1
- = = "" ( ).
2 ( ) 2
"
Uwaga 13.1
1
Wielkość "" ( ) oznacza indeks zera wzgledem krzywej �( ) = ( ( )), gdzie
2
( ) " " .
Twierdzenie 13.3 (Rouch�)
Jeżeli dwie funkcje i sa analityczne w domknieciu obszaru Ż i spe7 na brzegu "
lniaja
nierówność #" ( )#" < #" ( )#", to funkcje i + maja w obszarze taka sama ilość zer.
Dowód
Niech oznacza ilość zer z uwzglednieniem krotności funkcji + . Ponieważ obie funkcje
+
sa holomorficzne, to nie maja biegunów. Z zasady argumentu wynika, że
1 1 ( )
= "" ( ( ) + ( )) = "" ( ) 1 +
+
2 2 ( )
83
1 1 ( )
= "" ( ) + "" 1 + .
2 2 ( )
( ) ( )
1
Ponieważ < 1 oraz wektor wodzacy funkcji 1+ ( ) nie obiega zera, to "" 1 + =
( ) ( ) 2 ( )
1
0. Stad i z faktu, że "" ( ) = dostaniemy
2
= .
+
Twierdzenie 13.4 (Bezout)
Każdy wielomian stopnia ma w dziedzinie zespolonej dok7 zer.
ladnie
Dowód
Niech
-1
( ) = + + . . . + = + ( ).
-1 1 0
Niech ( ) := . Funkcja ma dok7 zer (liczymy z krotnościami). Dla dostatecznie
ladnie
dużego na okregu { : #" #" = } zachodzi #" ( )#" > #" ( )#" (bo stopień jest nie wiekszy niż
- 1). Zatem z tw. Rouch� = , stad = .
+ +
Przyk7 13.1
lad
8 3
Pokazać, że zera wielomianu ( ) = - 4 + 10 leża w pierścieniu (0, 1, 2) = { :
1 d" #" #" < 2}. Wykażemy, że w kole (0, 1) wielomian ( ) nie ma pierwiastków. Niech
8 3
( ) = 10, ( ) = - 4 . Wtedy #" ( )#" d" 1 + 4 = 5 < 10 = #" ( )#" na brzegu (0, 1).
Zatem z twierdzenia Rouch� = = = 0 czyli w (0, 1) nie ma zer. Wykażemy, że
+
8 3
w kole (0, 2) wielomian ( ) ma 8 pierwiastków. Niech ( ) = , ( ) = 10 - 4 . Wtedy
na brzegu (0, 2) mamy #" ( )#" d" 10 + 4 � 23 = 42 < 256 = 28 = #" ( )#". Zatem z twierdzenia
Rouch� = = 8 czyli w (0, 2) mamy 8 pierwiastków. Ostatecznie dostajemy, że
+
wszystkie zera wielomianu ( ) leża w (0, 2) " (0, 1).
Twierdzenie 13.5 (zasada zachowania obszaru)
Jeżeli �" ! jest obszarem oraz " ( ), = , to obraz ( ) też jest obszarem.
"
Dowód
Należy udowodnić, że ( ) jest spójny i otwarty. Ze stwierdzenia 1.1 wynika, że dla zbiorów
otwartych w ! spójność i lukowa spójność sa pojeciami równoważnymi. Najpierw udowod-
7
nimy, że ( ) jest spójny. Niech , oznaczaja dwa dowolne punkty ze zbioru ( ).
1 2
Niech , oznaczaja ich przeciwobrazy należace do . Ponieważ jest lukowo spójny, to
7
1 2
istnieje droga laczaca punkty , zawarta w . Jej obraz jest droga zawarta w ( )
7
1 2
7 7
laczaca punkty , . Zatem ( ) jest zbiorem lukowo spójnym, zatem spójnym. Udowod-
1 2
nimy, że ( ) jest otwarty. Niech " , zaś niech bedzie jego przeciwobrazem w .
0 0
84
Ponieważ jest otwarty to istnieje ( , ) �" . Zmniejszajac ewentualnie można za7
lożyć,
0
że ( , ) nie zawiera innych przeciwobrazów . Niech oznacza brzeg ( , ) tzn.
0 0 0
= { : #" - #" = }, := min " #" ( ) - #". Zauważmy, że > 0 bo w przeciwnym przy-
0 0
padku istnia7 na punkt bedacy przeciwobrazem , wbrew naszemu za7
lby lożeniu. Pokażemy,
0
że ( , ) = { : #" - #" < } �" ( ). Niech " ( , ). Definiujemy funkcje
0 0 1 0
�( ) := ( ) - 0 oraz �( ) := 0 - 1 dla " ( 0, ). Ponieważ #"�( )#" = #" 0 - 1#" <
na oraz #" �( )#" = #" ( ) - #" > na . Zatem z twiedzenia Rouch� wynika, że funkcja
0
( )- := ( )- +( - ) = �( )+ �( ) ma w ( , ) tyle samo zer ile ma ich funkcja
1 0 0 1 0
�( ) = ( ) - 0, tzn. ma co najmniej jedno zero. Zatem funkcja w ( 0, ) przyjmuje
wartość . Lecz by7 dowolnym punktem z ( , ), stad ca7 dysk zawiera sie w ( ).
l ly
1 1 0
Zatem ( ) jest otwarty.
Twierdzenie 13.6 (zasada maksimum)
Modu7 funkcji analitycznej ( ), różnej od sta7 w obszarze , nie osiaga maksimum w
l lej
żadnym punkcie wewnetrznym tego obszaru.
Dowód
1. Najpierw pokażemy, jeżeli modu7 funkcji analitycznej jest sta7 w pewnym obszarze, to
l ly
2 2 2
funkcja jest sta7 Niech #" ( )#" = #" + #" = , gdzie jest sta7a, to #" ( )#"2 = + = .
la. l
Skad po zróżniczkowaniu otrzymamy.
2 2 2 2
2 + 2 = 0, 2 + 2 = 0.
Na mocy równań Cauchy ego-Riemanna
2 2 2 2
- = 0, + = 0.
2 2 2 2 2 2 2
Rugujac otrzymamy ( + ) = = 0, wiec = 0 jeżeli = 0. Podobnie można
"
2 2 2
pokazać, że pochodne , , sa równe zeru w ca7 obszarze. Stad funkcje , sa sta7 i
lym le
dlatego też jest sta7 Jeżeli = 0, to oczywiście ( ) jest funkcja tożsamościowo równa zeru.
la.
2. Jeżeli = , to na mocy twierdzenia o zachowaniu obszaru każdy obszar jest przek-
"
szta7 na obszar. Przypuśmy, że #" #" ma lokalne maksimum w punkcie " tzn. istnieje
lcany
0
( , ) �" takie, że dla każdego " ( , ), #" ( )#" d" #" ( )#". Ponieważ ( ( , )) jest
0 0 0 0
obszarem, wiec znajdziemy punkt " ( ( , )) taki, że #" #" > #" ( )#". Ale " ( ( , ))
1 0 1 0 1 0
to istnieje " ( , ) taki, że = ( ). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
2 0 1 2
Wniosek 13.1
Jeżeli " ( ), " ( Ż ), to #" #" osiaga maksimum na brzegu D.
85
Uwaga 13.2
Dla min #" #" powyz
szy wniosek nie jest prawdziwy. Np. dla ( ) = modu7 #" #" ma minimum
l
w = 0 " (0, 1).
0
Twierdzenie 13.7 (zasada minimum)
Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze i nie zeruje sie w nim, to #" #" może osiagać
minimum lokalne wewnatrz tylko w przypadku, gdy = .
Dowód
1
Wystarczy w tym celu zastosować zasade maksimum do funkcji , która jest holomorficzna
w , bo ( ) = 0 dla " .
"
Twierdzenie 13.8 (Lemat Schwarza)
Jeżeli funkcja " ( (0, 1)), " ( (0, 1)) : (0, 1) (0, 1) oraz (0) = 0, to
" " (0, 1) #" ( )#" d" #" #".
Jeżeli równość jest osiagana choćby w jednym punkcie = 0, to ( ) = , " [0, 2 ).
"
( )
Dowód Rozpatrzmy funkcje ( ) := . Z za7
lożenia, że (0) = 0 wynika, że jest ona
holomorficzna w (0, 1). Z zasady maksimum wynika, że funkcja #" ( )#" osiaga maksimum na
brzegu (0, ), < 1. Lecz na brzegu " (0, ) mamy
1
#" ( )#" d" . (13.2)
Dla z da żacych do brzegu " (0, 1) mamy, że 1, zatem z (13.2) wynika, że #" ( )#" d" #" #"
dla " " (0, ). Ponieważ dowolny punkt z (0, 1) należy do pewnego (0, ), < 1, za-
tem nierówność #" ( )#" d" #" #" zosta7 udowodniona. Jeśli w dowolnym punkcie " (0, 1)
la
0
mamy znak równości, to #" #" osiaga w tym punkcie maksymalna wartość równa 1. Wówczas
jest funkcja stala, której modu7 jest oczywiście równy 1. Stad ( ) = i w konsekwencji
l
( ) = .
14 Przed7
lużenia analityczne
Definicja 14.1
Niech , �" ! beda obszarami, " ( ), " ( ). Za7óżmy, )" = ".
l "
1 2 1 1 2 2 1 2
Niech " = )" . Jeśli dla każdego " ", ( ) = ( ), wówczas każda z funkcji jest
1 2 1 2
przed7
lużeniem analitycznym drugiej.
86
Przyk7 14.1
lad
Dane sa trzy szeregi potegowe
" " "
1 1 + 1 -
( ) = (1 - ) , ( ) = (1 + ) , ( ) = (-1)
1 2 3
- 1 - 1
=0 =0 =0
"
zbieżne odpowiednio w dyskach (0, 1), ( , 1), (-1+ , 2). Dyski te maja cześci wspólne.
"
1 1 1
Ponadto ( ) = dla " (1, 1), ( ) = dla " ( , 1), ( ) = dla " (-1+ , 2).
1 2 3
"
1 1
( ) = = = (-1) ( - 1) .
1
1 + ( - 1)
=0
" " "
1 1 1 1 - 1 - 1
( ) = = = = (-1) = = (1+ )
2
-
+ ( - )
1 +
=0 =0 =0
"
1 1 1 1 + 1 -
( ) = = = = (-1) ,
3
+1-
- (-1 + ) + ( - 1) - 1) 1 +
- 1 - 1
(
-1
=0
czyli jest analitycznym przed7 lużeniem .
lużeniem , jest analitycznym przed7
1 2 3 2
Przed7 analityczne daje sie w naturalny sposób uogólnić na skończony ciag funkcji.
lużenie
Definicja 14.2
�" !, -obszar, = 1, . . . , , " := )" . Niech " ( ) oraz jest anality-
+1 +1
cznym przed7 lużeniem pośrednim funkcji
lużeniem . Wtedy nazywamy analitycznym przed7
.
1
Możliwe sa dwa przypadki:
1. W cześci wspólnej każdych dwóch obszarów , funkcje i sa identyczne. Wówczas
ciag funkcji , . . . , określa w obszarze *". . .*" jedna funkcje analityczna , która
1 1
w obszarze jest identyczna z funkcja .
2. W cześci wspólnej obszarów , funkcje i nie sa identyczne. Wtedy ciag funkcji
, . . . , nie określa funkcji w obszarze *" . . . *" w dotychczasowym znaczeniu.
1 1
Mówimy wtedy, że funkcje , . . . , sa ga7eziami jednej funkcji analitycznej
l
1
wieloznacznej, która w obszarze jest identyczna z .
Przyk7 14.2
lad
Niech ( ) = #" #" + , = ( ). Zdefiniujemy obszary
3 7 3 5
= { : 0 d" d" }, = { : d" d" }, = { : d" d" }.
1 2 3
4 4 2 2
87
Wtedy = w cześci wspólnej )" .
"
1 3 1 3
Definicja 14.3
Niech �" !, -obszar, " ( ). Funkcja przed7 sie przez punkt brzegowy obszaru
luża
0
jeśli istnieje funkcja holomorficzna " ( ( , )), która jest równa w pewnym obszarze
0
" = )" ( , ).
0
Jeśli w nie jest punktem przed7
lużalności, to nazywamy go punktem osobliwym , a jeśli jest
0
punktem przed7
lużalności, to nazywamy go punktem regularnym
Twierdzenie 14.1
"
Każdy szereg potegowy ( ) = ( - ) , różny od sta7 ma na okregu swego ko7
lej la
0
=0
zbieżności = { : #" - #" = } przynajmniej jeden punkt osobliwy.
0
Dowód
Gdyby każdy punkt okregu by7 regularny, to dla każdego " istnia7 szereg potegowy
l lby
zbieżny w dysku ( , ( )) równy w cześci wspólnej funkcji ( ). Cześc wspólna ko7 zbieżności
la
2 2
i dysków ( , ( )) daje wieksze ko7 zbieżności o promieniu > , gdzie jest anality-
lo
czna. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Przyk7 14.3
lad
Podamy przyk7 szeregu potegowego, dla którego każdy punkt z brzegu ko7 zbieżności jest
lad la
osobliwy.
"
2 2 4 8
( ) = = + + + + . . .
=0
2
jest zbieżny w kole #" #" < 1. Niech = , gdzie < 1, , = 1, 2, . . . ,
" " "
2 2 - 2 2 - 2 2 - 2
#" ( )#" = e" -
e" - ( + 1)
=0 = +1 =0 =0
"
2
Dla 1 mamy #" ( )#" " bo ". Wynika stad , że wszystkie punkty postaci
=0
2
= sa osobliwe, bo w punkcie regularnym istnieje granica funkcji ( ). Ponieważ takie
punkty sa geste w okregu jednostkowym, stad wszystkie punkty z okregu sa osobliwe, bo
dostatecznie ma7 otoczenie punktu regularnego sk7 sie wy7acznie z punktów regularnych.
le lada l
Pytanie
Jak zbadać czy funkcja analityczna ( ) jest przed7
lużalna poprzez brzeg swego obszaru ist-
nienia?
88
"
S7 do tego nastepujaca metoda. Niech ( ) = ( - ) , gdzie " bedzie
luży
0 0
=0
szeregiem Taylora naszej funkcji. Jest on zbieżny w kole ( , ). Niech bedzie
0
najbliższym punktem brzegowym obszaru . Obierzmy wewnatrz odcinka dowolny punkt
0
"
. Szereg Taylora w otoczeniu punktu ma postać ( ) = ( - ) , który jest
1 1 1 1
=0
zbieżny w kole ( , ). Promień jest mniejszy niż odleglość punktu od , czyli
1 1 1 0
= #" - #" = - #" - #". W cześci wspólnej oba szeregi pokrywaja sie.
1 1 0 1
Definicja 14.4
" "
Przejście od szeregu ( ) = ( - ) do szeregu ( ) = ( - ) nazywamy
0 1 1
=0 =0
"
przeprowadzeniem szeregu ( ) = ( - ) do punktu .
0 1
=0
Funkcja ( ) jest przed7
lużalna przez punkt wtedy i tylko wtedy gdy > #" #", bo na
1 1
okregu { : #" - #" = } leży tylko jeden punkt brzegowy zbioru .
1 1
Definicja 14.5
Mówimy, że szereg jest przed7 luż
lużalny wzd7 krzywej � opisanej funkcja ( ), "< , >,
jeżeli każdy punkt ( ) " � jest środkiem pewnego szeregu potegowego , "< , >, o
dodatnim promieniu zbieżności. Przy czym szeregi tej rodziny spe7 warunki:
lniaja
1. = ( ),
2. każde dwa szeregi , sa identyczne w cześci wspólnej swych kó7 zbieżności jeśli 1, 2
l
1 2
sa dostatecznie blisko.
Rodzine szeregów postaci , "< , > nazywamy lańcuchem szregów potegowych laczacych
7 7
elementy i . Szereg nazywamy przed7 luż
lużeniem szeregu wzd7 �.
Stwierdzenie 14.1
Każdy szereg potegowy wzd7 krzywej wychodzacej z jego środka ma co najwyżej jedno przed7
luż lużenie.
Dowód
Gdyby szereg , "< , > mia7 wzd7 krzywej � dwa przed7 7
l luż lużenia, to obok lańcucha
, "< , > istnia7 drugi lańcuch , "< , > o tym samym poczatku = ( ) =
lby 7
i o różnych końcacha = . Niech 0 bedzie kresem górnym takich liczb, że =
"
dla d" d" 0. Wtedy w dowolnie ma7 otoczeniu ( 0) istnia7 dwie takie wartośći i
lym lyby
2 2
takie, że = oraz = , co nie jest możliwe na mocy w7 7
" 2 lasności drugiej lańcucha.
Uwaga 14.1
Funkcje ( ) można w obszarze wytworzyć z jednego jej elementu przez przed7
lużenie
w obszarze .
89
Definicja 14.6
Funkcje " ( ) nazywamy dowolnie przed7
lużalna w jeżeli każdy jej element daje sie
przed7 analitycznie po każedej krzywej zawartej w .
lużyć
Twierdzenie 14.2 (zasada monodromii)
Funkcja analityczna dowolnie przed7
lużalna w obszarze jednospójnym jest w tym obszarze
jednoznaczna.
Powyższe twierdzenie można uogólnić.
Twierdzenie 14.3
Każdy element ( ) funkcji analitycznej dowolnie przed7
lużalnej w obszarze ma to samo
przed7 luż
lużenie wzd7 dowolnych dwóch krzywych homotopijnych wzgledem .
Uwaga 14.2
Z zasady monodromii wynika, że gdy pewien element ( ) funkcji analitycznej ( ) jest
przed7 luż lużeniu element końcowy jest różny od ( ), to
lużalny wzd7 zamknietej � i po przed7
wewnatrz � funkcja ( ) musi mieć przynajmniej jeden punkt osobliwy. Jeśli istnieje taki
punkt to nazywamy go punktem rozga7ezienia danej funkcji ( ).
l
15 Rodziny normalne funkcji
Twierdzenia 15.1 (Weierstrassa)
"
�" ! obszar, " ( ), " !. Jeżeli szereg ( ) jest zbieżny niemal jednostajnie
=1
w to:
"
1. suma ( ) = ( ) jest funkcja holomorficzna w ,
=1
2. dla " " ! szereg -tych pochodnych jest też niemal jednostajnie zbieżny w , przy
czym
"
( ) ( )
( ) = ( ).
=1
Dowód
1. Niech bedzie zwartym podzbiorem . Mozemy za7 że = ( , ). Wtedy brzeg
lożyć,
0
" jest krzywa zamknieta, która oznaczymy przez �. Ponieważ funkcje , = 1, 2, . . . sa
"
ciag7 na a szereg ( ) jest zbieżny jednostajnie na K, to suma szeregu jest funkcja
le
=1
ciag7 na . Ponadto zachodzi nastepujaca w7
la lasność:
90
"
Jeżeli szereg ( ) funkcji ciag7 na � jest zbieżny jednostajnie, to
lych
=1
"
( ) = ( ) . (15.1)
� �
=1
Niech = - = ( - ) . Ponieważ szereg jest zbieżny niemal
=1 =1
� � �
"
jednostajnie, to #" - #" < , gdy jest dostatecznie duże. Wtedy
=1
- < #" #" = #"�#".
� � �
=1
Gdy ", to 0, skad wynika (15.1).
2. Z twierdzenia podstawowego Cauchy ego wynika, że dla każdego , = 0
�
(spe7 sa za7 lka
lnione lożenia, bo " ( ( , )) oraz ( , ) jest jednospójny). Zatem ca7 po
0 0
lewej stronie (15.1) wynosi zero. Z twiedzenia Morery zaś wynika, że jest holomorficzna
na ( , ). Ponieważ zbiór możemy pokryć takimi dyskami, to " ( ) czyli zachodzi
0
w7
lasność (1) z tezy tw. Weierstrassa.
3. Zorientujemy � dodatnio wzgledem . Pomnóżmy obie strony równości
"
( ) = ( )
=1
!
przez i sca7
lkujemy po po okregu �. Wtedy otrzymamy równość
2 ( - ) +1
0
"
! ( ) ! ( )
= . (15.2)
2 ( - ) +1 2 ( - ) +1
0 0
� �
=1
( )
!
Z twierdzenia o uogólnionym wzorze ca7 =
lkowym Cauchy ego wynika, że
2 � ( - ) +1
0
( ) ( )
( ) !
( ) oraz = ( ). Zatem (15.2) oznacza, że zachodzi równośc z punktu
0
2 � ( - ) +1 0
0
(2) z tezy tw. Weierstrassa.
" ( )
4. Teraz wykażemy, że szereg pochodnych ( ) jest zbieżny niemal jednostajnie.
=1
2
Niech oznacza ko7 o środku w i promieniu = . Wtedy dla " � i " mamy,
lo
1 0 1
2
"
2
że #" - #" e" . Z za7 szereg ( ) jest zbieżny jednostajnie na zatem
lożenia
=1
+
( ) < (15.3)
= +1
91
dla = 1, 2, . . . i > ( ). Zastosujemy (15.3) do oszacowania szeregu pochodnych tzn.
+ +
! ( ) !
( ) 2
( ) = d" 4 .
2
2 ( - ) +1 2 ( ) +1
�
= +1 = +1
+ ( )
Stad modu7 #" ( )#" sa dowolnie ma7 gdy jest dostatecznie duże. Zatem szereg
ly le,
= +1
" ( )
( ) jest jednostajnie zbieżny w kole . Ponieważ dowolny zwarty podzbiór za-
1
=1
"
warty w można pokryć skończona iloscia dysków, to otrzymamy, że szereg jest
=1
zbieżny niemal jednostajnie w .
Twierdzenie 15.2 (Hurwitza)
�" ! obszar, �" zwarty, " ( ), " !. Jeżeli ciag ( ) jest zbieżny jednostajnie
na do funkcji = . Wówczas jeśli ( ) = 0, to w dowolnym kole ( , ) �"
"
0 0
wszystkie funkcje poczynajac od pewnego także zeruja sie.
Dowód
Z twierdzenia 15.1 (Weiestrassa) wynika, że funkcja jest holomorficzna w . Ponieważ zera
funkcji holomorficznej sa izolowane, zatem istnieje ko7 ( , ) �" , na którym ( ) = 0.
lo "
0
Niech = " ( , ) oraz := min " #" ( )#". Wtedy > 0. Ponieważ ciag { } "! jest
0
zbieżny jednostjnie na , wiec istnieje " ! takie, że
#" ( ) - ( )#" <
dla wszystkich " i dla > . Z twierdzenia Rouch� wynika, że dla takich funkcja
= + ( - ) ma wewnatrz tyle zer, ile ma , tzn. co najmniej jedno.
Wniosek 15.1
�" ! obszar, " ( ), " ! oraz różnowartościowe. Jeżeli ciag ( ) jest zbieżny jed-
nostajnie na dowolnym zbiorze zwartym �" , to funkcja graniczna jest różnowartościowa
lub sta7
la.
Twierdzenie 15.3 (Rungego)
�" ! obszar jednospójny, " ( ), �" zwarty. Wówczas dla dowolnej liczby > 0
istnieje wielomian taki, że
sup #" ( ) - ( )#" < .
"
Definicja 15.1
Niech 1! bedzie rodzina funkcji ciag7 w obszarze o wartościach w ! (rodzina może być
lych
nieprzeliczalna). Mówimy, że 1! jest rodzina normalna w , jeżeli z każdego ciagu ( ) "! z
92
tej rodziny można wybrać podciag niemal jednostajnie zbieżny w do funkcji skończonej lub
nieskończoności.
Definicja rodzin normalnych pochodzi od P. Montela.
Definicja 15.2
Mówimy, że funkcje z rodziny 1! sa wspólnie ograniczone w obszarze �!�!
" �" , - " ( ) > 0 " " 1! " " #" ( )#" d" ( ).
Twierdzenie 15.4
Jeżeli rodzina 1! �" ( ) jest wspólnie ograniczona w obszarze , to rodzina pochodnych tych
funkcji jest także wspólnie ograniczona.
Dowód
2
Niech = { : #" - #" < } �" = { : #" - #" < } �" . Z twierdzenia o wzorze ca7
lkowym
0 0
wynika, że dla
1 ( )
2
" " 1!, " " ( ) = ,
2 ( - )2
"
2
gdzie " jest zorientowany dodatnio. Dla " i " " mamy, że #" - #" > - oraz
2
1 ( ) 1
2 2
#" ( )#" = d" 2 = = ( ).
2 2
2 ( - )2 2 ( - )2 ( - )2
"
Z twierdzenia Borela wynika, że dowolny zbiór zwarty można pokryć skończona ilościa kó7
l
zawartych w . Niech { : = 1, . . . , } bedzie skończonym pokryciem oraz ( ) =
sup1d" d" ( ). Wtedy
2
" �" , - " " " " 1! #" ( )#" d" ( )
czyli pochodne tej rodziny sa wspólnie ograniczone.
Definicja 15.3
Rodzina funkcji 1!, określonych w jest jednakowo ciag7 jeżeli
la,
2 2 2
" > 0 " �" , - " ( , ) > 0 " " 1! " , " #" - #" < �! #" ( )- ( )#" < .
Twierdzenie 15.5
Jeżeli rodzina 1! �" ( ) jest wspólnie ograniczona, to jest ona rodzina funkcji jednakowo
ciag7
lych.
93
Dowód
Niech bedzie zwartym podzbiorem , 2 := inf "" , "" #" - #". Przez oznaczmy
-otoczenie tzn.
= { : #" - #" < }.
0
"
Wtedy �" oraz z za7
lożenia, że 1! ograniczona wynika z poprzedniego twierdzenia, że
2
" " " " 1! #" ( )#" d" .
2 2 2
Niech , " beda dowolnymi punktami takimi, że #" - #" < . Wtedy odcinek < , >
2
7
laczacy i jest zawarty w . Stad
2 2 2
#" ( ) - ( )#" = ( ) d" ( )#" - #" d" ( ) .
2
< , >
Zatem
2 2 2
" " �" , " = min , " " 1! " , " #" - #" < �! #" ( )- ( )#" <
( )
co dowodzi jednakowej ciag7 funkcji " 1!.
lości
Twierdzenie 15.6 (Montela)
Rodzina 1! �" ( ) funkcji wspólnie ograniczonych w jest rodzina normalna.
Dowód
1 Wykażemy najpierw, że jeśli ciag funkcji ( ) �" 1! jest zbieżny w każdym punkcie pewnego
zbioru zbioru �" gestego w , to jest on jednostajnie zbieżny na każdym zwartym podzbiorze
�" . Ustalmy i zbiór zwarty �" . Z poprzedniego twierdzenia wynika, że rodzina
1! jest jednakowo ciag7 Korzystajac z niej wybierzmy podzia7 obszaru na kwadraty z
la. l
2 2 2
bokami równoleg7 do osi wspó7
lymi lrzednych tak drobny, aby dla dowolnych punktów , "
należacych do jednego kwadratu i dowolnej funkcji " 1! zachodzi7 nierówność
la
2 2 2
#" ( ) - ( )#" < . (15.4)
3
Zbiór pokryty jest skończona liczba takich kwadratów { : = 1, . . . , }. Ponieważ
zbiór jest gesty w , wiec w każdym można znalez
ć " . Z za7
lożenia, że ciag ( )
jest zbieżny na wynika, że istnieje " ! takie, że dla dla , > i wszystkich ,
= 1, . . . , ,
1
#" ( ) - ( )#" < . (15.5)
3
94
Niech teraz bedzie dowolnym punktem zbioru . Istnieje " {1, . . . , }, istnieje kwadrat
taki, że " oraz istnieje punkt " taki, że dla wszystkich , > korzystajac
z (15.4) i (15.5) otrzymamy, że
#" ( ) - ( )#" d" #" ( ) - ( )#" + #" ( ) - ( )#" + #" ( ) - ( )#" < . (15.6)
A to oznacza, że ( ) jest zbieżny jednostajnie na .
2. Wykażemy teraz, że z dowolnego ciagu ( ) można wyja ć podciag zbieżny w każdym
punkcie pewnego zbioru �" gestego w . Niech bedzie zbiorem tych punktów
= + " , których obie wspó7
lrzedne sa wymierne. Oczywiście bedzie przeliczalnym i
gestym podzbiorem w . Ponieważ zbiór jest przeliczalny, to można ustawić jego elementy
w ciag , " !. Rozważmy ciag liczbowy ( ( ))- jest on ograniczony, wiec można z niego
1
wybrać podciag zbieżny ( ). Niech ( ) ozncza podciag zbieżny w punkcie . Nastepnie
1 1
1
rozpatrujemy ciag ( )) "! brany w punkcie . Ponieważ jest ograniczony, wiec można z
1 2
niego wybrać podciag zbieżny, który oznaczymy ( ). Ciag ( ) jest zbieżny w co najm-
2 2
niej w dwóch punktach , . Analogiczna konstrukcje można przed7 nieograniczenie.
lużac
1 2
Analogicznie postepujac dostaniemy podciagi:
. . .
11 12 13
. . .
21 22 23
. . .
31 32 33
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Metoda przekatniowa wybieramy podciag ( , , , . . .). Ciag ten jest zbieżny w dowol-
11 22 33
nym " , ponieważ jego wyrazy poczawszy od -tego sa wybrane z ciagu zbieżnego w
. Zatem ciag ( ) jest zbieżny na zbiorze . Korzystajac z I kroku dostajemy teze.
Twierdzenie Montela nazywane jest w literaturze zasada zwartości.
Przyk7 15.1
lad
Niech ( ) = , e" 2. Przez oznaczymy n-krotne z7
lożenie funkcji tzn. ( ) :=
( (...... ( ) . . .) = . Tworzymy przeliczalna rodzine 1! = { ( ) : " !, " (0, 1)}.
Każda funkcja " ( (0, 1)). Rodzina 1! jest ograniczona, ponieważ
" = { : #" #" d" < 1} #" ( )#" d" < 1.
Zatem ta rodzina jest normalna na mocy Twierdzenia Montela. Fatycznie ca7 ciag ( ) jest
ly
zbieżny niemal jednostajnie do funkcji ( ) a" 0 dla " (0, 1). Ale funkcja graniczna nie
należy do 1!.
95
Ż
Niech dana bedzie funkcja meromorficzna : ! !. Wtedy -ta iteracja funkcji oz-
naczamy symbolem i definiujemy jako - krotne z7 funkcji tzn. := " " . . . " .
lożenie
Definicja 15.4
Niech : ! ! bedzie funkcja meromorficzna przestepna lub wymierna stopnia ( ) e" 2.
Zbiorem Fatou funkcji nazywamy zbiór
Ż
( ) := { " ! : " - otoczenie punktu z t.że rodzina iteracji { } jest normalna}.
#"
Zbiorem Julii funkcji nazywamy zbiór
Ż
( ) := ! " ( ).
Nazwy tych zbiorów pochodza od twórców teorii zw. dynamika holomorficzna P. Fatou i G.
Julia (matematyków francuskich żyjacych w XX wieku.)
Przyk7 15.2
lad
1
1. Jeśli ( ) = , e" 2, to ( ) = { " : #" #" = 1}.
2
2. Jeśli ( ) = + , #" #" > 5, to ( ) jest zbiorem Cantora.
1
3. Dla ( ) = zbiór Julii ( ) = !, natomiast dla ( ) = , " , 0 < < zbiór
Julii jest tzw. bukietem Cantora tzn. ma lokalnie strukture produktu zbioru Cantora i
krzywej.
4. Jeśli ( ) = ( ), " !, #" #" < 1 to dla każdego " $!, ( ) )" { " ! : < Re d"
+ 1} jest zbiorem Cantora, natomiast dla ( ) = ( ) zbiór Julii jest prosta (oś
rzeczywista).
Twierdzenie 15.7 (Fatou-Julia)
Ż Ż
Jeżeli : ! ! jest funkcja wymierna stopnia ( ) e" 2, to zbiór Julii jest niepusty.
Twierdzenie 15.8 (Fatou)
Jeżeli : ! ! jest funkcja ca7
lkowita przestepna, to zbiór Julii jest niepusty.
Twierdzenie 15.9 (Baker)
Jeżeli : ! ! jest funkcja meromorficzna przestepna to zbiór Julii jest niepusty.
Uwaga 15.1 W klasie funkcji meromorficznych na ! zbiór Julii jest obiektem
cześciej wystepujacym niż np. biegun, ponieważ funkcje ca7
lkowite przestepne nie
maja biegunów, a wszystkie funkcje meromoficzne przestepne (w tym ca7
lkowite)
i wymierne, z wyjatkiem homografii i funkcji sta7 posiadaja zbiór Julii.
lych,
96