Liczby zespolone WZiE, sem.I, 2008-09
mgr K.Kujawska, SNM
Zad.1 Dane są liczby x = 3 - 2i , y = 4 + 3i . Wyznaczyć / obliczyć:
1.1 Re x , Im x 1.2 Re y, Im y 1.3 x + y 1.4 y - x
x x - y Re x + i Im y
1.5 y Å" x 1.6 1.7 1.8 .
y x + y
x2
Zad.2 Znalez
ć takie liczby rzeczywiste x i y, aby zachodziła równość
2.1 (2 + 3i)x + (4 - 5i) y = 6 - 2i 2.2 (- 2 + i)x + (3 2 + 5i)y = 8i .
Zad.3 Przedstawić liczby w postaci trygonometrycznej:
3.1 -3 + 3i 3.2 4 - 4i 3.3 2 - i 2 3.4 1+ i 3
3.5 - 2 + i 6 3.6 3 - i 3.7 1- i 3 3.8 -1- i .
Zad.4 Na płaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb spełniających podane warunki:
4.1 z(i -1) = z(i +1) 4.2 z - i = 2 z + i 4.3 Re(z2 + i -1)= -2
1 1
4.4 z + i = 5 4.5 z -1 < 3 4.6 ImëÅ‚ öÅ‚ = 4.7 2 d" z d" 10 .
ìÅ‚ ÷Å‚
z 4
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad.5 Obliczyć wartość wyra\
enia (wynik przedstawić w postaci algebraicznej):
100
ëÅ‚ öÅ‚
30
(1+ i)22 3 i
ìÅ‚ ÷Å‚
5.1 (1- i)12 5.2 (2 3 - 2i) 5.3 5.4 + .
6
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
(1- i 3) íÅ‚ Å‚Å‚
Zad.6 Korzystając z definicji obliczyć pierwiastki:
6.1 5 -12i 6.2 -11+ 60i 6.3 -16 + 30i .
Zad.7 Obliczyć pierwiastki:
4 5 3
7.1 -1+ 3i 7.2 -16 7.3 32i 7.4 -1 .
Zad.8 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:
8.1 z2 - 4z +13 = 0 8.2 z2 - (1+ 3i)z - 2 + i = 0 8.3 z2 - 2iz - 2 = 0
8.4 z2 - 5iz - 6 = 0 8.5 z2 - (2 + 3i)z + 6i = 0 8.6 z4 + 5z2 + 4 = 0
8.7 (2 + i)z2 - (10z + 5i)z +12 + 6i = 0 8.8 iz2 + (2 - 4i)z - 4 + 2i = 0
8.9 z3 + iz2 + 2z + 2i = 0 8.10 z4 + 6iz2 - 8 = 0 8.11 z2 - (3 - 2i)z + (5 - 5i) = 0 .
Zad.9 Jednym z pierwiastków wielomianu W (z) = z4 + 2z3 + 9z2 + 8z + 20 jest liczba z = -1- 2i . Znalez
ć
pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
Zad.10 Dowieść, \
e dla dowolnych liczb zespolonych z i u zachodzą równości:
2 2 2 2 2 2 2
10.1 z + u + z - u = 2(z + u ) 10.2 z - u = z - 2 Re zu + u .
Zad.11 K.Jankowska, T.Jankowski  Zadania z matematyki wy\
szej , str.7-16.