Inżynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
24.10.2011
Materiały do ćwiczeń - sprawdzian I
Zakres sprawdzianu I
" Własności przekształcenia Laplace a
" Wykorzystanie przekształcenia Laplace a do rozwiązywanie równań różniczkowych
" Metody opisu układów (r-nia stanu, r-nia różniczkowe, transmitancje, schematy strukturalne)
oraz zależności pomiędzy nimi
" Tworzenie modeli obiektów elektrycznych (układy RLC), mechanicznych i cieplnych oraz wy-
znaczanie ich odpowiedzi na podstawowe pobudzenia (skok, impuls i sinus)
Przykłady
1. Korzystając z metody residuów wyznacz oryginały funkcji
(a)
4s2 + 25s + 30
F (s) =
(s + 1)(s + 2)(s + 4)
Funkcja posiada pojedyncze bieguny rzeczywiste, więc możemy przedstawić ją w postaci
A B C
F (s) = + +
s + 1 s + 2 s + 4
gdzie poszczególne współczynniki liczymy w sposób następujący
A = [(s + 1)F (s)]|s=-1 = 3
B = [(s + 2)F (s)]|s=-2 = 2
C = [(s + 4)F (s)]|s=-4 = -1
W rezultacie otrzymujemy
3 2 1
F (s) = + -
s + 1 s + 2 s + 4
Korzystając z tablic transformat wyznaczamy transformatę odwrotną powyższego wyra-
żenia

f(t) = 3e-t + 2e-2t - e4t 1(t)
Wartości residuów możemy też wyznaczyć korzystając z Matlaba
N=[42530] %wspolczynnikiwielomianulicznika
D=poly([-1-2-4])%wyznaczeniewspolczynnikowwielomianumianownika
[R,P]=residue(N,D)%wektorRzawierawartosciwspolczynnikowodpowiadajacych
%miejscomzerowymP
1
(b)
s2 + 2s + 3
F (s) =
(s + 2)3
Funkcja posiada potrójny biegun dla s = -2 więc możemy ją przedstawić w postaci
A1 A2 A3
F (s) = + +
s + 2 (s + 2)2 (s + 2)3
Wartości współczynników wyznaczymny na podstawie odpowiednich wzorów



1 d2
A1 = s2 + 2s + 3 = 1

2! ds2
s=-2



1 d
A2 = s2 + 2s + 3 = -2

1! ds
s=-2


1

A3 = s2 + 2s + 3 = 3

0!
s=-2
skąd możemy zapisać rozważaną funkcję w postaci
1 2 3
F (s) = - +
s + 2 (s + 2)2 (s + 2)3
co po skorzystaniu ze wzoru

1 tne-at
= L
(s + a)n+1 n!
w dziedzinie czasu daje

te-2t t2e-2t
f(t) = e-2t - 2 + 3 1(t)
1! 2!

3t2
f(t) = 1 - 2t + e-2t1(t)
2
(c)
s + 4
F (s) =
s2 + 4s + 5
Mianownik powyższej funkcji posiada pierwiastki zespolone sprzężone (s1 = -2 + j, s2 =
-2 - j), więc F (s) należy przedstawić w postaci
A B
F (s) = +
s + 2 - j s + 2 + j
Odpowiednie współczynniki wyznaczymy w identyczny sposób, jak w przypadku pojedyn-
czych pierwiastków rzeczywistych


s + 4 1

A = [(s + 2 - j)F (s)]|s=-2+j = = - j

s + 2 + j 2
s=-2+j

s + 4 1

B = [(s + 2 + j)F (s)]|s=-2-j = = + j

s + 2 - j 2
s=-2-j
2
Stąd rozważaną funkcję możemy przedstawić w postaci
0,5 - j 0,5 + j
F (s) = +
s + 2 - j s + 2 + j
KorzystajÄ…c z tablic transformat otrzymujemy

1 1
f(t) = - j e(-2+j)t + + j e(-2-j)t 1(t) =
2 2

1
= e-2t (ejt + e-jt) - j(ejt - e-jt) 1(t)
2
co po przekształceniach daje poszukiwaną funkcję
f(t) = e-2t [cos t + 2 sin t] 1(t)
Otrzymany wynik możemy sprawdzić korzystając z Matlaba
symss
F=(s+4)/(s^2+4*s+5)
ilaplace(F)
2. Dany jest układ dynamiczny opisany równaniem
y (t) + 4y (t) + 13y(t) = u(t)
(a) Wyznacz odpowiedz
ukÅ‚adu na pobudzenie u(t) = -4´(t) przy zaÅ‚ożeniu warunków poczÄ…t-
kowych: y(0+) = 1 i y (0+) = 0.
Przedstawiamy równanie w dziedzinie transformaty pamiętając o uwzględnieniu warunków
poczÄ…tkowych
s2Y (s) - sy(0+) - y (0+) + 4sY (s) - 4y(0+) + 13Y (s) = -4,
a następnie dokonujemy prostych przekształceń wyznaczając Y (s)
s2Y (s) - s + 4sY (s) - 4 + 13Y (s) = -4
Y (s)(s2 + 4s + 13) = s
s
Y (s) =
s2 + 4s + 13
Wyróżnik mianownika jest mniejszy od zera (" = -36) więc mianownik przedstawimy w
postaci kanonicznej a(s - p)2 + q gdzie p = -b/(2a) oraz q = -"/(4a)
s s + 2 2
Y (s) = = -
(s + 2)2 + 9 (s + 2)2 + 9 (s + 2)2 + 9
skąd, korzystając z tabel znajdujemy odwrotne transformaty obu składników otrzymując
przebieg odpowiedzi obiektu na pobudzenie u(t)
2
y(t) = (cos 3t - sin 3t)e-2t1(t)
3
3
Rysunek 1: Schemat będący rozwiązaniem zadania 2d
(b) Określ transmitancję układu
Równanie opisujące obiekt przedstawiamy w dziedzinie transformaty s2Y (s) + 4sY (s) +
13Y (s) = U(s) a następnie wyznaczamy Y (s) i dzielimy przez U(s) otrzymując transmi-
tancjÄ™
Y (s) 1
G(s) = =
U(s) s2 + 4s + 13
(c) Opisz działanie układu za pomocą równań stanu
Przepisujemy równanie w postaci
y (t) = u(t) - 4y (t) - 13y(t)
Następnie dokonujemy podstawień x1(t) = y(t), x2(t) = y (t), co pozwala nam na zapisanie
układu równań
x (t) = x2(t)
1
x (t) = -13x1(t) - 4x2(t) + u(t)
2
który możemy zapisać w postaci
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) (1)
gdzie

0 1 0
A = , B = , C = [ 1 0 ]
-13 -4 1
(d) Narysuj schemat blokowy układu za pomocą integratorów, sumatorów i bloków mnożących
Schemat blokowy powstaje bezpośrednio z modelu stanowego. Jako zmienne stanu przyj-
mujemy wyjścia integratorów. Gotowy schemat przedstawiono na rys. 1.
3. Dana jest transmitancja układu
3s - 4
G(s) =
s3 + 3s2 + 4s + 12
(a) Określ odpowiedz
impulsową układu
Odpowiedz
układu będzie odwrotną transformatą iloczynu transmitancji i transformaty
pobudzenia. Transformata Laplace a impulsu jednostkowego wynosi L{´(t)} = 1 wiÄ™c
odpowiedz
impulsowa jest odwrotnÄ… transformatÄ… transmitancji
y(t) = L-1 {G(s)L{´(t)}} = L-1{G(s)} = g(t)
4
Aby otrzymać odpowiedz
impulsową, transmitancję rozkładamy na ułamki proste
3s - 4 3s - 4
G(s) = =
s3 + 3s2 + 4s + 12 (s2 + 4)(s + 3)
A Bs + C
= + (2)
s + 3 s2 + 4
As2 + 4A + Bs2 + 3Bs + Cs + 3C = 3s - 4
Å„Å‚
ôÅ‚ A + B = 0
òÅ‚
3B + C = 3
ôÅ‚
ół
4A + 3C = -4
skąd wyznaczamy A = -1, B = 1 oraz C = 0. Transmitancja po rozłożeniu na ułamki
proste wygląda następująco
s 1
G(s) = -
s2 + 4 s + 3
skÄ…d przy pomocy tablic wyznaczamy odpowiedz
na impuls jednostkowy

y(t) = g(t) = L-1{G(s)} = cos 2t - e-3t 1(t)
Taki sam wynik osiągniemy wykonując ciąg poleceń Matlaba
symss
F=(3*s-4)/(s^3+3*s^2+4*s+12)
ilaplace(F)
(b) Przedstaw równanie różniczkowe opisujące działanie układu
Zapiszmy transmitancjÄ™ w postaci
Y (s) 3s - 4
G(s) = =
U(s) s3 + 3s2 + 4s + 12
co daje
s3Y (s) + 3s2Y (s) + 4sY (s) + 12Y (s) = -4U(s) + 3sU(s).
Dokonując odwrotnej transformaty Laplace a powyższego równania otrzymamy rozwiąza-
nie zadania
y (t) + 3y (t) + 4y (t) + 12y(t) = -4u(t) + 3u (t)
4. Dany jest system opisany równaniami stanu
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 0 1 , B = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-12 -19 -8 1
C = [ 39 26 5 ]
5
(a) Wyznacz transmitancjÄ™ tego systemu
Aby wyznaczyć transmitancję systemu skorzystamy ze wzoru
G(s) = C[sI - A]-1B
îÅ‚ Å‚Å‚-1
s -1 0
ïÅ‚ śł
[sI - A]-1 = 0 s -1 ûÅ‚
ðÅ‚
12 19 s + 8
îÅ‚ Å‚Å‚T
s2 + 8s + 19 12 12s
1
ïÅ‚ śł
= ðÅ‚ s + 8 s2 + 8s -19s - 12 ûÅ‚
det(sI - A)
1 s s2
îÅ‚ Å‚Å‚
s2 + 8s + 19 s + 8 1
1
ïÅ‚ śł
= ðÅ‚ 12 s2 + 8s s ûÅ‚
s3 + 8s2 + 19s + 12
12s -19s - 12 s2
îÅ‚ Å‚Å‚
1
1
ïÅ‚ śł
s
[sI - A]-1B = ðÅ‚ ûÅ‚
s3 + 8s2 + 19s + 12
s2
îÅ‚ Å‚Å‚
1
1
ïÅ‚ śł
C[sI - A]-1B = [ 39 26 5 ] s
ðÅ‚ ûÅ‚
s3 + 8s2 + 19s + 12
s2
skąd możemy wyznaczyć transmitancję
5s2 + 26s + 39
G(s) =
s3 + 8s2 + 19s + 12
Uwaga: Możemy zauważyć, że macierze opisujące działanie układu są w postaci kanonicz-
nej, więc transmitancję można również wyznaczyć podstawiając odpowiednie elementy
macierzy do wzoru.
Transmitancję systemu na podstawie modelu stanowego można również wyznaczyć korzy-
stajÄ…c z Matlaba
A=[010;001;-12-19-8]
B=[0;0;1]
C=[39265]
D=[0]
tf(ss(A,B,C,D))
5. Dany jest układ RC jak na rys. 2
U2(s)
(a) Wyznacz transmitancję G(s) = tego układu
U1(s)
Możemy określić bilans napięć w układzie
duc(t)
u1(t) = uc(t) + Ric(t) = uc(t) + RC
dt
6
Rysunek 2: Schemat układu do zadania 5a
Korzystając z zależności uc(t) = u1(t) - u2(t) otrzymamy
du1(t) du2(t)
u1(t) = u1(t) - u2(t) + RC - RC
dt dt
co po przekształceniach prowadzi do
du1(t) du2(t)
RC = +RC + u2(t)
dt dt
Dokonując przekształcenia Laplace a powyższego równania i dzieląc jego obie strony przez
U1(s) otrzymamy szukanÄ… transmitancjÄ™
sRC
G(s) =
1 + sRC
(b) Znajdz
odpowiedz
tego układu na sygnał u1(t) = (sin 2t)1(t) przy założeniu zerowych wa-
runków poczÄ…tkowych oraz R = 2M&! i C = 0,5µF
2
Dla warunków określonych w zadaniu RC = 1 oraz U1(s) = . Jako, że warunki
s2+4
poczÄ…tkowe sÄ… zerowe odpowiedz
układu możemy wyznaczyć z zależności
u2(t) = L-1{G(s)U1(s)}

2s
= L-1
(s + 1)(s2 + 4)

0,4 0,4s + 1,6
= L-1 - +
s + 1 s2 + 4

= 0,4 -e-t + cos 2t + 2 sin 2t 1(t)
Zadania do samodzielnego wykonania
1. Znajdz
oryginały transformat
1
(a) Y (s) =
s(s+2)(s+3)
10
(b) Y (s) =
(s+1)2(s+3)
s
(c) Y (s) =
(s+3)3
s+4
(d) Y (s) =
(s+1)3
s+3
(e) Y (s) =
(s+1)(s2+4s+7)
s+3
(f) Y (s) =
s(s2+4)
7
2. Posługując się metodą transfomacji Laplace a znajdz
rozwiązanie następujących równań róż-
niczkowych
(a) y (t) + 3y(t) = u(t)
u(t) = 5e2t
y(0+) = 4
(b) y (t) + 2y(t) = u(t)
u(t) = 3e-t
y(0+) = 1
(c) y (t) + 2y (t) + y(t) = u(t)
u(t) = 3´(t)
y(0+) = -3, y (0+) = 6
(d) y (t) + y(t) = u(t)
u(t) = sin t
y(0+) = 1
(e) y (t) - y(t) = u(t)
u(t) = te2t
y(0+) = 0
(f) y (t) + 4y(t) = u(t)
u(t) = cos t
y(0+) = 2
y (0+) = 0
(g) y (t) + 4y (t) + 4y(t) = u(t)
u(t) = 81(t)
y (0+) = -12, y(0+) = 3
(h) y (t) + 2y (t) + 5y (t) = u(t)
u(t) = 3´(t)
y (0+) = -6, y (0+) = 1, y(0+) = 4
(i) y (t) + y (t) + 9y (t) + 9y(t) = u(t)
u(t) = 3´(t)
y (0+) = 2, y (0+) = -1, y(0+) = 3
(j) y (t) + 7y (t) + 17y (t) + 15y(t) = u(t)
u(t) = 0
y (0+) = -1, y (0+) = -1, y(0+) = -19
3. Wyznacz transmitancje układów opisanych równaniami różniczkowymi oraz znajdz
ich odpo-
wiedz
impulsowÄ…
(a) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 7u(t) + 5u (t)
(b) y (t) + 5y (t) + 6y(t) = 4u(t) + u (t)
(c) y (t) + 3y (t) + 7y (t) + 5y(t) = 5u(t) + 3u (t) + u (t)
(d) y (t) + 5y (t) + 9y (t) + 5y(t) = 8u(t) + 8u (t) + 2u (t)
4. Znajdz
reprezentację w przestrzeni stanów układów opisanych transmitancjami
1
(a) G(s) =
s3+2s2+3s+1
4
(b) G(s) =
s3+3s2+2s+2
8
Rysunek 3: Schemat układu do zadania 6
Rysunek 4: Schemat układu do zadania 7
s2+2s+1
(c) G(s) =
s3+4s2+3s+2
s2+s+4
(d) G(s) =
s3+2s2+s+3
5. Znajdz
transmitancje układów opisanych równaniami stanu

1 1 0
(a) A = , B = , C = [ 1 2 ]
0 2 1

-1 0 1
(b) A = , B = , C = [ 0 1 ]
1 -3 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(c) A = 0 1 2 , B = 0 , C = [ 1 0 -1 ]
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 -1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2 1 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(d) A = 0 -4 0 , B = 0 , C = [ 1 0 1 ]
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-8 -4 -6 1
U2(s)
6. Wyznacz transmitancję G(s) = układu, którego schemat znajduje się na rys. 3
U1(s)
Rysunek 5: Rysunek do zadania 8
9
Rysunek 6: Schemat do zadania 9
L R
IR
U1
C
Rysunek 7: Schemat do zadania 15
C R
U1 L IR
Rysunek 8: Schemat do zadania 16
L
R C u2(t)
u1(t)
Rysunek 9: Schemat do zadania 17
L1 L2 iL2(t)
iL1(t)
R1 R2 u2(t)
u1(t)
Rysunek 10: Schemat do zadania 18
10
U2(s)
7. Wyznacz transmitancję G(s) = układu, którego schemat znajduje się na rys. 4. Określ
U1(s)
odpowiedz
tego układu na skok jednostkowy napięcia wejściowego, przy założeniu R = 100k&!,
C = 10µF oraz uc(0+) = 0,2V .
X(s)
8. Wyznacz transmitancję G(s) = układu przedstawionego na rysunku 5 oraz określ jego
F (s)
model w przestrzeni stanów. Na rysunku x(t) oznacza odchylenie od stanu równowagi natomiast
f(t) siłę działającą na ciało o masie m.
X2(s)
9. Wyznacz transmitancję G(s) = układu przedstawionego na rysunku 6 oraz określ jego
X1(s)
model w przestrzeni stanów. Na rysunku x1(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie
m1 natomiast x2(t) oznacza drogę pokonywaną przez wózek o masie m2. W przyjętym modelu
pominąć tarcie.
10. Wyznacz równania stanu obiektów, opisanych równaniami różniczkowymi
(a) y (t) - 3y (t) - 2y(t) = 3u(t)
(b) y (t) + y (t) - 7y (t) + 3y(t) = 4u(t)
(c) y (t) - y(t) = u(t)
11. Wyznacz równania stanu obiektów, opisanych transmitancjami
3
(a) G(s) =
s2-3s+5
1
(b) G(s) =
s3-4s2+2s+1
4
(c) G(s) =
s2+2s+1
12. Dokonaj diagonalizacji macierzy

1 2
(a) A =
2 1

-1 0
(b) A =
1 4
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0
ïÅ‚ śł
(c) A = 2 -1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
5 0 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0
ïÅ‚ śł
(d) A = 3 0 2 ûÅ‚
ðÅ‚
-12 -7 -6
13. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe
układów
1
(a) G(s) =
s4+3s3+2s2+1
1
(b) G(s) =
s4+7s2+3s+4
(c) y (t) + 2y (t) + 3y(t) = u(t)
(d) y (t) + 8y (t) + 7y (t) + 4y(t) = u(t)
14. Korzystając z integratorów, sumatorów oraz układów mnożących, narysuj schematy blokowe
układów generujących przebiegi funkcji oraz określ wartości sygnałów na wyjściach integtatorów
dla t = 0
11
(a) y(t) = e-3t1(t)
(b) y(t) = cos 2t1(t)
(c) y(t) = 2 sin 3t1(t)
(d) y(t) = 2e4t1(t)
IR(s)
15. Znajdz
transmitancję G(s) = układu przedstawionego na schemacie z rys. 7
U1(s)
IR(s)
16. Znajdz
transmitancję G(s) = układu przedstawionego na schemacie z rys. 8
U1(s)
U2(s)
17. Znajdz
transmitancję G(s) = układu przedstawionego na schemacie z rys. 9
U1(s)
18. Wyznacz model stanowy układu przedstawionego na schemacie z rys. 10
12
bn-1sn-1 + . . . + b0
G(s) =
sn + an-1sn-1 + . . . + a0
Model stanowy dla n=3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 0

ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 0 1 , B = 0 , C = b0 b1 b2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-a0 -a1 -a2 1
Odpowiedzi

1 1 1
1a. y(t) = + e-3t - e-2t 1(t)
6 3 2
5
1b. y(t) = (e-3t + (2t - 1)e-t) 1(t)
2

3
1c. y(t) = te-3t 1 - t 1(t)
2

1d. y(t) = te-t 3t + 1 1(t)
2

" " "
1 1 1
1e. y(t) = e-t + e-2 t 3 sin( 3t) - e-2 t cos( 3t) 1(t)
2 6 2

3 3 1
1f. y(t) = - cos(2 t) + sin(2 t) 1(t)
4 4 2
1 3
2a. Y (s) = + , y(t) = e2t + 3e-3t, t 0
s-2 s+3
3 2
2b. Y (s) = - , y(t) = 3e-t - 2e-2t, t 0
s+1 s+2
-3 6
2c. Y (s) = + , y(t) = -3e-t + 6te-t, t 0
s+1 (s+1)2
1,5 0,5s 0,5
2d. Y (s) = - + , y(t) = 1,5e-t - 0,5 cos t + 0,5 sin t, t 0
s+1 s2+1 s2+1
1 1 1
2e. Y (s) = - + , y(t) = et + (t - 1)e2t, t 0
s-1 s-2 (s-2)2
5 1
s s
5 1
3 3
2f. Y (s) = + , y(t) = cos 2t + cos t, t 0
s2+4 s2+1 3 3
5s+7
3a. G(s) = , y(t) = 2e-t + 3e-2t, t 0
s2+3s+2
s+4
3b. G(s) = , y(t) = 2e-2t - e-3t, t 0
s2+5s+6
s2+3s+5 1
3c. G(s) = , y(t) = [(cos 2t + 2 sin 2t)e-t + 3e-t], t 0
s3+3s2+7s+5 4
2s2+8s+8
3d. G(s) = , y(t) = (cos t + sin t)e-2t + e-t, t 0
s3+5s2+9s+5
2s-1
5a. G(s) =
s2-3s+2
2s+3
5b. G(s) =
s2+4s+3
2
5c. G(s) =
s2-1
2s
5d. G(s) =
s2+8s+12
U2(s)
1
6. G(s) = =
U1(s) R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1
1
7 G(s) = , u2(t) = (1 - 0,8e-t) 1(t)
RCs+1


0 1 0
1
8 G(s) = , A = , B = , C = 1 0
k b 1
ms2+bs+k
- -
m m m
1
15 G(s) =
s2RLC+sL+R
s2LC
16 G(s) =
s2RLC+sL+R
R
17 G(s) =
s2RLC+sL+R
îÅ‚ Å‚Å‚

diL1 (t)
1
1
-R R1
iL (t) iL (t)
L1 L1 1 1
dt L1
ðÅ‚ ûÅ‚
18 = + u1(t), u2(t) = 0 R2
diL2 (t) R1 1+R2
-R iL (t) 0 iL (t)
2 2
L2 L2
dt
13
Rysunek 11: RozwiÄ…zania do zad. 14
14
Rysunek 12: Rysunek do przykładu 1
Rysunek 13: RozwiÄ…zanie zadania 1
Inżynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
Materiały do ćwiczeń - sprawdzian II
Zakres sprawdzianu II
" Przekształcanie schematów blokowych
" Transmitancje uchybowe oraz wartości uchybów w stanie ustalonym
" Standardowe transmitancje I i II rzędu
Przykłady
Y (s)
1. Metodą przekształcania schematów blokowych określ transmitancję G(s) = dla układu
U(s)
przedstawionego na rysunku.
RozwiÄ…zanie przedstawiono na rysunku 13.
15
Rysunek 14:
2
2. W układzie sterowania pokazanym na rysunku 14 transmitancja obiektu wynosi Gp(s) =
s(s+1)
natomiast transmitancja regulatora Gc(s) = k.
(a) Wyznacz odpowiedz
układu oraz uchyb w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzenie
jest skokiem jednostkowym r(t) = 1(t). W rozwiązaniu założyć zerowe wartości zakłóceń
d1(t) oraz d2(t).
RozwiÄ…zanie Wyznaczamy odpowiednie transmitancje
Y (s) 2k
G(s) = =
U(s) s2 + s + 2k
E(s) s2 + s
Ge(s) = =
R(s) s2 + s + 2k
Znając transmitancje, szukane wartości wyznaczymy ze wzorów
1 2k
lim y(t) = lim sR(s)G(s) = s = 1
t" s0
s s2 + s + 2k
1 s2 + s
lim e(t) = lim sR(s)Ge(s) = s = 0
t" s0
s s2 + s + 2k
Wartość uchybu w stanie ustalonym możemy również obliczyć bez korzystania z transmi-
tancji Ge(s) w następujący sposób
lim e(t) = lim r(t) - lim y(t) = 1 - 1 = 0
t" t" t"
otrzymując oczywiście ten sam wynik. Jak widzimy, dla rozważanego układu regulacji,
wartość uchybu  położeniowego jest równa zero.
(b) Wyznacz uchyb w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzenie jest rampÄ… r(t) = t1(t).
W rozwiązaniu założyć zerowe wartości zakłóceń d1(t) oraz d2(t).
1 s2 + s 1
lim e(t) = lim sR(s)Ge(s) = s =
t" s0
s2 s2 + s + 2k 2k
Jak widzimy, w rozważanym przypadku nie jesteśmy w stanie osiągnąć wartości zadanej.
Wielkość uchybu  prędkościowego jest odwrotnie proporcjonalna do wzmocnienia regula-
tora.
(c) Wyznacz wartość ustaloną uchybu sterowania, będącą odpowiedzią na zakłócenie d1(t) =
1(t). Założyć r(t) = 0 oraz d2(t) = 0.
Rozwiązanie W pierwszej kolejności wyznaczymy transmitancję
E(s) 2
Gd e(s) = = -
1
D1(s) s2 + s + 2k
16
Wartość uchybu w stanie ustalonym wyznaczymy ze wzoru
1
lim e(t) = lim sD1(s)Gd e(s) = -
1
t" s0
k
Jak widzimy, w rozważanym przypadku nie jesteśmy w stanie usunąć wpływu skokowego
zakłócenia d1(t) na wartość sygnału wyjściowego w stanie ustalonym. Możemy jednak
zredukować ten wpływ zwiększając wzmocnienie k.
(d) Wyznacz wartość ustaloną uchybu sterowania, będącą odpowiedzią na zakłócenie d2(t) =
1(t). Założyć r(t) = 0 oraz d1(t) = 0.
RozwiÄ…zanie
Przypomnijmy, że uchyb jest to różnica pomiędzy wartością zadaną r(t) oraz wielkością
wyjściową y(t). Zauważmy, że w tak postawionym problemie sygnał e(t) nie jest uchybem.
W naszym przypadku uchyb bÄ™dzie wynosiÅ‚ µ(t) = r(t) - y(t) = -y(t). TransmitancjÄ™
uchybową możemy wyrazić wzorem
µ(s) 2k
Gd µ(s) = =
2
D2(s) s2 + s + 2k
Uchyb w stanie ustalonym wyniesie
1
lim µ(t) = lim s Gd µ(s) = 1
2
t" s0
s
Z powyższego rozwiązania wynika, że wartość wzmocnienia regulatora nie ma wpływu na
uchyb związany z zakłóceniami występującymi w torze pomiarowym.
K
3. Dla układu o transmitancji G(s) = , określić czas, po którym odpowiedz
skokowa osiÄ…gnie
Äs+1
r = 0.95 wartości stanu ustalonego
Rozwiązanie Przypomnijmy, że odpowiedz
skokowa rozważanego układu dana jest wzorem
-t
Ä
h(t) = K(1 - e )1(t)
W stanie ustalonym, wartość tej odpowiedzi wyniesie h(") = K. Stąd wynika równanie
-t
Ä
K(1 - e ) = rK,
którego rozwiązaniem jest
t = -Ä ln(1 - r)
<"
co po podstawieniu r = 0.95 daje odpowiedz
t 3Ä
=
1
4. Dany jest obiekt o transmitancji Gp(s) = . Obiekt ten objęto sprzężeniem zwrotnym z
10s+1
regulatorem proporcjonalnym Gc(s) = k w sposób pokazany na rysunku 14. Dobierz wartość
wzmocnienia układu tak, aby jego pasmo 3dB było cztery razy szersze niż obiektu nie objętego
sprzężeniem zwrotnym
RozwiÄ…zanie StaÅ‚a czasowa obiektu wynosi Ä = 10sek, z czego wynika, że szerokość pasma 3dB
ukÅ‚adu otwartego wynosi É3dB = 1/Ä = 0.1sek-1. Z warunków zadania wynika, że dla ukÅ‚adu

zamkniÄ™tego wartoÅ›ci te powinny wynosić É3dB = 0.4sek-1 oraz Ä = 2.5sek. Transmitancja
układu zamkniętego wyniesie
k
K
k+1
G (s) = =
10
s + 1 Ä s + 1
k+1
17
Stąd mamy równanie
10
= 2.5
k + 1
którego rozwiązaniem jest k = 3.
10
5. Dany jest układ przedstawiony na rys. 15, w którym G1(s) = , G2(s) = k2s oraz G3(s) =
s(s+2)
k1.
(a) Wyznacz wartości wzmocnień k1 oraz k2 tak, aby w przypadku odpowiedzi na skok jed-
nostkowy zapewnić maksymalne przeregulowanie na poziomie 25% (Mp = 0,2) oraz dwu-
procentowy czas ustalania t2% = 2sek
ROZWI
ZANIE
Transmitancja układu wyniesie
10k1
G(s) =
s2 + (2 + 10k2)s + 10k1
Parametry standardowej transmitancji II rzędu dla rozważanego układu wyniosą
2
Én = 10k1, 2Å›Én = 2 + 10k2
Na podstawie postawionych w zadaniu wymagań dotyczących przeregulowania możemy
wyznaczyć
- ln(Mp)
<"

Å› = = 0,4.
Ä„2 + (ln(Mp))2
NastÄ™pnie korzystamy z warunku dotyczÄ…cego czasu ustalania wyznaczajÄ…c Én
4
t2% = = 2
Å›Én
Én = 5
SkÄ…d wyznaczymy wzmocnienia k1 = 2,5 oraz k2 = 0.2.
(b) Wykreść charakterystykÄ™ amplitudowÄ… A(É) = |G(jÉ)| otrzymanego ukÅ‚adu
ROZWI
ZANIE
Aby wykreślić charakterystykę częstotliwościową należy wyznaczyć punkty charaktery-
styczne
" Wzmocnienie dla pulsacji zerowej (czyli wartość odp. skokowej w stanie ustalonym)
1
A(0) = lim s G(s) = 1
s0
s
" Pulsacja rezonansowa

Ér = Én 1 - 2Å›2 = 4,12
" Wysokość szczytu rezonansowego
1
"
Mr = = 1,36
2ś 1 - ś2
" Szerokość pasma trzydecybelowego


É3dB = Én (1 - 2Å›2) + Å›4 - 4Å›2 + 2 = 6,8
Charakterystyka amplitudowa układu została przedstawiona na rysunku 16
18
Rysunek 15: Rysunek do zadania 5
1.5
Mr
1
0.707
0.5
0
0 5 10 15 20 25 30
É3dB
Ér
Rysunek 16: Rysunek do zadania 5b
19
Rysunek 17: Rysunek do zadania 8
Zadania do samodzielnego wykonania
8
1. Pulsacja 3dB obiektu o transmitancji Gp(s) = wynosi É3dB = 4rad/sek. Wyznacz wartość
s+a
uchybu w stanie ustalonym, w przypadku, gdy pobudzeniem jest skok jednostkowy, a obiekt
objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
3
2. Ile razy zmieni się czas ustalania t5% układu o transmitancji G(s) = po objęciu go ujemnym
s+2
jednostkowym sprzężeniem zwrotnym?
k
3. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Ja-
s
kÄ… wartość powinno mieć wzmocnienie k, aby pulsacja É3dB otrzymanego ukÅ‚adu wyniosÅ‚a
0,25rad/sek?
k
4. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
s+1
Jaka powinna być wartość wzmocnienia k, aby uchyb odpowiedzi otrzymanego układu na skok
jednostkowy był mniejszy od 5%?
3
5. Układ o transmitancji G(s) = , a > 0 objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-
s+a
nym. Jaka jest wartość współczynnika a, jeśli wiadomo, że t5% czas ustalania układu wynosi
1
?
5
K
6. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
s(s+a)
-Określ, jakie powinny być wartości parametrów K i a, aby dla odpowiedzi na skok jednostkowy
5% czas regulacji wynosił tR5% = 5sek, natomiast czas narastania wynosił tn = 2sek.
-Określ wartość maksymalną odpowiedzi skokowej oraz czas wystąpienia tej wartości.
K
7. Obiekt o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
s(Äs+1)
OkreÅ›l wartoÅ›ci współczynników K i Ä aby dla odpowiedzi uzyskanego ukÅ‚adu na skok jednost-
kowy 2% czas regulacji wynosił 9sek natomiast czas narastania wynosił tn = 1, 8sek.
10
8. Na rysunku 17 przedstawiono układ regulacji, w którym Gp(s) = , G1(s) = K1 natomiast
s(s+2)
G2(s) = K2s. Wyznacz wartości wzmocnień K1 i K2 tak, aby układ spełniał następujące
wymagania: czas narastania tn = 3,6sek oraz maksymalne przeregulowanie Mp = 14%
20
Inzynieria systemów dynamicznych
Piotr Kaczmarek
Materiały do cwiczen - sprawdzian III
Zakres sprawdzianu III
" Badanie stabilności - tablica Routha
" Zależniość położenia biegunów standardowej transmitancji ukł. II rzędu od wymagań projek-
towych
" Linie pierwiastkowe
" Określanie stabilności układu zamkniętego na podstawie charakterystyk częstotliwościowych
Bodego
Przykłady
1. Stosując kryterium Routha określ liczbę pierwiastków równania M(s) = s4+3s3+2s2-2s-4 =
0 znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie
Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha


s4 1 2 -4


s3 3 -2 0


s2 b1 b2 b3


s c1 c2



1 d1
Następnie wyznaczamy wartości współczynników w kolejnych wierszach. Dla s2 otrzymujemy:


1 2

-
-2

3
8
b1 = =
3 3


1 -4

-

3 0
b2 = = -4
3
b3 = 0


s4 1 2 -4


s3 3 -2 0


s2 8 -4 0

3

s c1 c2



1 d1
Dla s otrzymujemy:


3 -2

-
8
-4

20
3
c1 = =
8
8
3
21
c2 = 0


s4 1 2 -4


s3 3 -2 0


s2 8 -4 0

3

20
s 0

8


1 d1
Oraz ostatni element

8
-4

3
-
20

0
8
d1 = = -4
20
8
co w rezultacie daje pełną tablicę Routha:


s4 1 2 -4


s3 3 -2 0


s2 8 -4 0

3

20
s 0

8


1 -4
Jak widzimy, zmiana znaku w pierwszej kolumnie występuje tylko jeden raz, z czego wynika,
że wielomian M(s) ma jeden pierwiastek w prawej półpłaszczyz
nie.
W celu sprawdzenia poprawności wyliczeń możemy znalez
ć pierwiastki wielomianu M(s) ko-
rzystajÄ…c z Matlaba:
roots([132-2-4]) %wyliczeniepierwiastkówwielomianuowspółczynnikach
%wnawiasiekwadratowym
2. Stosując kryterium Routha określ liczbę miejsc zerowych wielomianu M(s) = 6+3s+3s2+s3+s4
znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie
Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha


s4 1 3 6


s3 1 3 0


s2 b1 b2 b3


s c1 c2



1 d1
Następnie wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających drugiej potędze
s


1 3

-

1 3
b1 = = 0
1


1 6

-

1 0
b2 = = 6
1
22
b3 = 0
Zauważmy, że wartość współczynnika b1 wynosi 0, co uniemożliwia  zwykłe postępowanie. W
takim przypadku zakÅ‚adamy, że b1 = µ, gdzie µ jest liczbÄ… dodatniÄ… dążącÄ… do zera.


s4 1 3 6


s3 1 3 0


s2 µ 6 0


s c1 c2



1 d1
Pozostałe współczynniki wyznaczymy w następujący sposób


1 3

-

µ 6 -6 + 3µ -6
<"
c1 = = =
µ µ µ
c2 = 0


µ 6

-
-6 0

µ
d1 = = 6
-6
µ
Ostatecznie tablica Routha przybierze postać


s4 1 3 6


s3 1 3 0


s2 µ 6 0


s -6 0

µ


1 6
Jak widziny, w pierwszej kolumnie nastąpiły dwie zmiany znaków. Wynika z tego, że dwa
miejsca zerowe wielomianu M(s) znajdują się w prawej półpłaszczyz
nie. Sprawdzić to możemy
rozwiązując równanie M(s) = 0, dla którego otrzymamy następujące pierwiastki s1,2 <" 0.4853ą
=
j1.5510, s3,4 <" -0.9853 Ä… j1.1405.
=
3. Stosując kryterium Routha określ liczbę miejsc zerowych wielomianu M(s) = s4 + 2s3 + 3s2 +
4s + 2 znajdujących się w prawej półpłaszczyz
nie
Rozwiązanie: Wypełniamy tablicę Routha


s4 1 3 2


s3 2 4 0


s2 b1 b2 b3


s c1 c2



1 d1
Zauważmy, że elementy w wierszu odpowiadającym s3 możemy podzielić przez 2, co pozwoli
na ułatwienie obliczeń:


s4 1 3 2


s3 1 2 0


s2 b1 b2 b3


s c1 c2



1 d1
23
Wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających drugiej potędze s


1 3

-

1 2
b1 = = 1
1


1 2

-

1 0
b2 = = 2
1
b3 = 0


s4 1 3 2


s3 1 2 0


s2 1 2 0


s c1 c2



1 d1
Wyznaczamy wartości współczynników w wierszach odpowiadających pierwszej potędze s


1 2

-

1 2
c1 = = 0
1


1 0

-

1 0
c2 = = 0
1


s4 1 3 2


s3 1 2 0


s2 1 2 0


s 0 0



1 d1
Jak widać, w wierszu odpowiadającym s1 otrzymaliśmy same zera. W takim przypadku musimy
skorzystać z wielomianu pomocniczego, który powstaje ze współczynników znajdujących się w
wierszu powyżej wiersza zerowego:
P (s) = s2 + 2
Jako współczynniki wiersza s1 wstawiamy współczynniki odczytane z wielomianu będącego
pochodnÄ… wielomianu pomocniczego
dP (s)
= 2s
ds


s4 1 3 2


s3 1 2 0


s2 1 2 0


s 2 0



1 d1
24
Następnie postępujemy zgodnie ze standardową procedurą:


1 2

-

2 0
d1 = = 2
1


s4 1 3 2


s3 1 2 0


s2 1 2 0


s 2 0



1 2
Z otrzymanej tablicy Routha wynika, że w prawej półpłaszczyz
nie nie ma pierwiastków wielo-
mianu M(s). Z faktu, że w tablicy wystąpił rząd samych zer wynika, że występują pierwiastki na
osi urojonej. Z własności wielomianu pomocniczego wynika, że jego miejsca zerowe są również
miejscami zerowymi wielomianu M(s).
P (s) = s2 + 2 = 0
" "
Stąd wiemy, że liczby j 2 oraz -j 2 są pierwiastkami równania M(s) = 0.
2
4. Układ o transmitancji Gp(s) = objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-
s(s+1)(s+T )
nym. Korzystając z tablicy Routha określ jaka powinna być wartość współczynnika T aby
otrzymany układ był na granicy stabilności? Jaka wtedy będzie częstotliwość drgań na wyjściu
otrzymanego układu?
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć transmitancję otrzymanego układu:
Gp(s) 2
G(s) = =
1 + Gp(s) s3 + (T + 1)s2 + T s + 2
Stąd wielomian charakterystyczny możemy przedstawić w postaci: M(s) = s3+(T +1)s2+T s+2.
Formujemy tablicÄ™


s3 1 T

s2 T + 1 2



s b1 b2


1 c1


1 T

-
2

T + 1 2
T + T - 2
b1 = =
T + 1 T + 1
b2 = 0

1 T
s3



T + 1 2
s2

2
T +T -2
s 0

T +1


1
c1
25
Rysunek 18: Rysunek do zadania 5
Aby układ był na granicy stabilności, w tablicy Routha musi wystąpić rząd samych zer, czyli
musi być spełniony warunek: b1 = 0. Warunek ten jest spełniony dla T = 1 oraz T = -2. War-
tość T = -2 odrzucamy, gdyż dla T = -2 w wielomianie M(s) wystąpią ujemne współczynniki
co będzie oznaczało, że uzyskany układ będzie niestabilny.
Dla T = 1 tablica Routha przyjmie postać:


s3 1 1

s2 2 2



s 0 0


1 c1

StÄ…d wyznaczamy wielomian pomocniczy P (s) = 2s2 +2 i jego pochodnÄ… P (s) = 4s co pozwala
nam na ostateczne wypełnienie tablicy:


s3 1 1

s2 2 2



s 4 0


1 2
Z tablicy wynika, że dla T = 1 w prawej półpłaszczyz
nie nie będzie pierwiastków. Pulsację
drgań na wyjściu układu wyznaczymy korzystając z wielomianu pomocniczego:
P (s) = 2s2 + 2 = 0
s12 = Ä…j
rad
É = 1
sek
5. Dla jakich wartości wzmocnień k1 i k2 układ przesdtawiony na rysunku 18 będzie stabilny?
Rozwiązanie Transmitancja przedstawionego układu wynosi
k1s
G(s) =
s3 + 3s2 + (k1k2 + k1 + 2)s + k1k2
Dla mianownika transmitancji tworzymy tablicÄ™ Routha


s3 1 k1k2 + k1 + 2 0

s2 3 k1k2 0


1

s (2k1k2 + 3k1 + 6) 0
3


1 k1k2
Z tablicy wynika, że aby zapewnić stabilność układu, spełnione muszą być następujące warunki
2k1k2 + 3k1 + 6 > 0
k1k2 > 0
26
Z drugiego z waunków wynika, że k1 i k2 muszą być tych samych znaków. Pierwszy z warunków
możemy zapisać jako

3 3
k2 > - - dla k1 > 0
k1 2
3 3
k2 < - - dla k1 < 0
k1 2
6. Znajdz
obszary położeń biegunów ustandaryzowanej transmitancji układu II rzędu na płasz-
czyz
nie s, jeśli wymagania nałożone na odpowiedz
skokową są następujące: czas narastania
tn 0,3sek, maksymalne przeregulowanie Mp 10% oraz dwuprocentowy czas regulacji
t2% = 0,8sek.
ROZWI
ZANIE
Przypomnijmy, że standardowa transmitancja układu II rzędu jest następującej postaci
2
Én
G(s) =
2
s2 + 2Å›Éns + Én
Bieguny tej transmitancji możemy wyrazić wzorem

s12 = -Å›Én Ä… jÉn 1 - Å›2 = Énej arc cos -Å›
Dla warunku związanego z szybkością narastania mamy
1,8
Én = 6
tn
Zauważmy, że moduÅ‚ bieguna wynosi Én. Wynika z tego, że warunek zwiÄ…zany z szybkoÅ›ciÄ…
narastania odpowiedzi skokowej jest spełniony dla obszaru przedstawionego na rys. 20a.
Dla warunku zwiÄ…zanego z maksymalnym przeregulowaniem mamy
- ln(Mp)

Å› = 0,59
Ä„2 + (ln(Mp))2
Zauważmy, że arg s12 = arc cos -ś = Ą - arc cos ś co pozwala na określenie dozwolonego po-
łożenia biegunów ze względu na warunek związany z maksymalnym przeregulowaniem (patrz
rysunek 20b)
Z trzeciego warunku wynika, że
4
Å›Én = Ã
t2%
co pozwala na określenie dozwolonego położenia biegunów ze względu na czas ustalania (patrz
rysunek 19c)
Rozwiązaniem zadania jest część wspólna wyznaczonych obszarów (patrz rysunek 20).
N(s)
7. W układzie przedstawionym na rysunku 21 transmitancja obietu wynosi G(s) = =
D(s)
s+2
. Wyznacz położenie biegunów na płaszczyz
nie s otrzymanego układu w zależ-
(s+5)(s+1)(s-2)
ności od wielkości wzmocnienia k.
ROZWI
ZANIE
" Określamy asymptoty
Bieguny układu otwartego p1 = -5, p2 = -1, p3 = 2, zera układu otwartego z1 = -2.
Liczba asymptot ą = lp - lz = 2 gdzie lp = 3 oraz lz = 1 są odpowiednio liczbą biegunów
27
(a) (b) (c)
Im[s] Im[s] Im[s]
arccosÅ›
Én
Re[s] Re[s] Ã Re[s]
Rysunek 19: Obszary dozwolonego położenia biegunów ze względu na ograniczenia
Im[s]
Re[s]
Rysunek 20: Odpowiedz
do zadania 6
i zer transmitancji układu otwartego. Dla ą = 2, kąty asymptot z osią liczb rzeczywistych
wynoszą ą900. Punkt przecięcia asymptot z osią liczb rzeczywistych (centroid)
lp lz
pi - zi
i=1 i=1
à = = -1
lp - lz
" Wyznaczamy punkty rozejścia się lub zejścia lini pierwiastkowych (czyli miejsca, w których
równanie charakterystyczne układu ma wielokrotne pierwiastki). W tym celu korzystamy
ze wzoru
D (s)N(s) - D(s)N (s) = 0
W rozważanym przypadku
D (s)N(s) - D(s)N (s) = 3s3 + 10s2 + 16s - 4 = 0
Powyższe równanie ma jedno rozwiązanie s0 <" 0,2188. Wartość wzmocnienia, które odpo-
=
wiada punktowi s0 wyznaczymy ze wzoru
1
k0 = - = 5,1062
G(s0)
" Określamy punkty przecięcia lini pierwiastkowych z osią liczb urojonych. W tym celu
wyznaczamy równanie charakterystyczne układu zamkniętego. Transmitancja układu
zamkniętego wynosi
kG(s) k(s + 2)
Gz(s) = =
1 + kG(s) s3 + 4s2 + (k - 7)s + 2k - 10
28
Rysunek 21: Schemat do przykładu 7
Aby układ zamknięty był stabilny muszą być spełnione warunki k > 5, k > 7 (współczyn-
niki mianownika transmitancji dodatnie) oraz k > 9 (z tablicy Routha). Wynika z tego, że
układ będzie na granicy stabilności gdy k1 = 9. Wtedy mianownik Gs(s) będzie postaci
s3 + 4s2 + 2s + 8 = (s + 4)(s2 + 2)
" "
co pozwala na okreÅ›lenie punktów przeciÄ™cia osi jÉ: s1 = j 2 oraz s2 = -j 2
" Mając na uwadze powyższe rozważania oraz jeszcze kilka wskazówek
 Linie pierwiastkowe rozpoczynają się w biegunach transmitancji układu otwartego
(dla k = 0). lz linii pierwiastkowych kończy się w zerach transmitancji Gp(s) (dla
k = "), natomiast pozostałe ą linii pierwiastkowych dąży do asymptot.
 Linie pierwiastkowe pokrywajÄ… siÄ™ z osiÄ… rzeczywistÄ… na tych odcinkach, na prawo
od których suma liczby rzeczywistych biegunów i rzeczywistych zer jest nieparzysta
(wynika to z warunku fazy).
 Obraz lini pierwiastkowych jest symetryczny względem osi liczb rzeczywistych
wykreślamy linie pierwiastkowe. Gotowy obraz lini pierwiastkowych dla rozważanego przy-
kładu został pokazany na rysunku 22.
" Obraz linii pierwiastkowych możemy wykreślić w Matlabie. Kod programu dla naszego
przykładu będzie następujący:
s=tf( s );
g=(s+2)/((s+5)*(s+1)*(s-2))
rlocus(g)
1
8. Wykreśl charakterystyki Bodego oraz Nyquista dla układu o transmitancji G(s) =
s(s+Ä…)
ROZWI
ZANIE
Wyznaczamy transmitancję widmową układu
1 -jÄ…É - É2
G(jÉ) = =
jÉ(jÉ + Ä…) É2(Ä…2 + É2)
oraz jej część rzeczywistą i urojoną
1
P (É) = -
Ä…2 + É2
Ä…
Q(É) = -
É(Ä…2 + É2)
Przy przekształceniach pamiętamy że 1/j = -j oraz j2 = -1! Wyznaczamy również moduł i
fazÄ™ transmitancji widmowej

1 1
2
"
A(É) = |G(jÉ)| = P (É) + Q2(É) = =
É2
É É2 + Ä…2
ÉÄ… + 1
Ä…2
29
Root Locus
15
10
k=9
s=1,41j
5
k=5,1
s=0,22
0
p1 p2 =Ã p3
z1
k=9
-5
s=-1,41j
-10
-15
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Real Axis
Rysunek 22: Linie pierwiastkowe dla przykładu 7
Ä…
Ć(É) = arc tg - Ä„
É
3
Z faktu, że dla É > 0 P (É) < 0 oraz Q(É) < 0 wnioskujemy, że Ä„ Õ(É) < Ä„ - stÄ…d w
2
powyższym równaniu  -Ą .
Na podstawie przedstawionych wzorów określamy
1
P (0) = - , Q(0) = -"
Ä…2
P (") = 0, Q(") = 0
1 1
P (Ä…) = - , Q(Ä…) = -
2Ä…2 2Ä…2
co pozwala nam na naszkicowanie wykresu Nyquista przedstawionego na rysunku 23.
W Matlabie ch. Nyquista wykreślimy za pomocą poleceń:
s=tf( s )
G=1/(s*(s+0.5)) %zakładamy\alpha=0.5
nyquist(G)
Charakterystyki Bodego wyznaczymy logatytmując moduł transmitancji widmowej
2
É
L(É) = 20 log(A(É)) = -20 log(Ä…É) - 10 log + 1 = L1(É) + L2(É)
Ä…
Zauważmy, że pierwszy skÅ‚adnik powyższej różnicy przecina oÅ› 0dB dla É = 1/Ä… natomiast
L1(1) = -20 log(Ä…). Drugi ze skÅ‚adników natomiast wprowadza wzmocnienie 0dB dla É
Ä…, dla É = Ä… wprowadza wzmocnienie -3dB, natomiast dla É Ä… wzmocnienie drugiego
30
Imaginary Axis
Im
1/Ä…2 1/(2Ä…2)
Re
1/(2Ä…2)
Rysunek 23: Ch. Nyquista do przykładu 8
skÅ‚adnika wynosi -20 log(É/Ä…) (maleje z szybkoÅ›ciÄ… 20dB/dek). Na rys. 24 pokazana zostaÅ‚a
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa. Charakterystykę fazową kreślimy na podstawie
wzoru na Ć(É) lub sumujÄ…c przesuniÄ™cia fazowe wprowadzone przez  czÅ‚ony zwiÄ…zane z L1(É)
(-Ä„/2 dla każdego É) i z L2(É) (0 dla É Ä…, -Ä„/4 dla É = Ä… oraz -Ä„/2 dla É Ä…). Wynik
pokazany jest również na rys. 24.
W Matlabie ch. Bodego wykreślimy za pomocą poleceń:
s=tf( s )
G=1/(s*(s+0.5)) %zakładamy\alpha=0.5
bode(G)
Zadania do samodzielnego wykonania
1. KorzystajÄ…c z tablicy Routha znajdz
liczbę pierwiastków wielomianu znajdujących się w prawej
półpłaszczyz
nie
(a) M(s) = 2s4 + s3 + 3s2 + 5s + 10
(b) M(s) = s4 + s3 + 2s2 + 2s + 3
(c) M(s) = s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4
2. Korzystając z tablicy Routha określ stabilność układów na podstawie ich wielomianów charak-
terystycznych M(s). Dla układów będących na granicy stabilności podaj pulsację drgań.
(a) M(s) = s4 + 3s3 + 3s2 + 3s + 2
(b) M(s) = s4 + 3s3 + 6s2 + 12s + 8
(c) M(s) = s5 + 5s4 + 14s3 + 22s2 + 17s + 5
3. Określ liczbę pierwiastków równania s6 - 3s5 - s4 + 3s3 + 2s2 - 6s - 2 = 0 znajdujących się w
prawej półpłaszczyz
nie
31
L(É)
80 -20dB/dek
60
40
-20log(Ä…)
20
Ä… 1/Ä…
0
É
-20
-40dB/dek
-40
-60
-80
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000
Ć(É)
Ä…
0
É
-Ä„/4
-Ä„/2
-3Ä„/4
-Ä„
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000
Rysunek 24: Ch. Bodego do przykładu 8
32
1
4. Układ o transmitancji Gp(s) = objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
s(s+1)3
KorzystajÄ…c z tablicy Routha sprawdz
, czy otrzymany układ będzie stabilny.
s+1
5. Układ o transmitancji Gp(s) = objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
s3(s+2)
KorzystajÄ…c z tablicy Routha sprawdz
, czy otrzymany układ będzie stabilny.
k
6. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy
s2
otrzymany układ będzie stabilny? Określ pulsację drgań własnych otrzymanego układu.
7. Dla jakich wartości współczynnika k układ dany poniższymi równaniami stanu będzie stabilny?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 k 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
‹(t) = 3 -2 k x(t) + 0 u(t)
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 k + 1 k

y(t) = k 0 0 x(t)
k
8. Układ o transmitancji Gp(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy
s2
istnieje wartość wzmocnienia k dla której otrzymany układ będzie stabilny? Jak będą wyglądały
linie pierwiastkowe?
ks+1
9. Układ o transmitancji Gp(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
s(s+2)2
Dla jakich wartości k otrzymany układ będzie stabilny?
K
10. Układ o transmitancji Gp(s) = objęto jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrot-
s(s+1)(s+T )
nym. W układzie współrzędnych (T - oś rzędnych, K - oś odciętych) zaznacz obszar wartości
T oraz K dla których otrzymany układ będzie stabilny.
11. Wyznacz obszar na płaszczyz
nie s, w którym powinny znalez
ć się bieguny układu II rzędu aby
spełnione były poniższe wymagania
(a) " maksymalne przeregulowanie 10% Mp% < 25%
" dwuprocentowy czas regulacji t2% 4sek
(b) " czas narastania 0,2 tt 0,6
" maksymalne przeregulowanie 15% Mp% 30%
" pięcioprocentowy czas regulacji t5% 3sek
(c) " czas narastania tn 0,6
" maksymalne przeregulowanie 0,1 Mp < 0,2
" jednoprocentowy czas regulacji t5% 4,6sek
(d) " czas narastania tt 1,8
" maksymalne przeregulowanie Mp% 16%
" dwuprocentowy czas regulacji t2% 2sek
12. Znajdz
obszary położeń biegunów ustandaryzowanej transmitancji układu II rzędu na płasz-
czyz
nie s, jeżeli wymagania nałożone na odpowiedz
skokową są następujące: czas narastania
tn < 0.5[s] oraz maksymalne przeregulowanie Mp < 16.7[%].
k
13. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Dla
(s+1)(s+3)
jakich wartości k biegunami otrzymanego układu będą liczby rzeczywiste?
33
Rysunek 25: Układ ze sprzężeniem zwrotnym
K
14. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
s(s+4)
Wyznacz położenie biegunów na płaszczyz
nie s otrzymanego układu w zależności od wielkości
parametru k.
0,2(s+0,1)
15. W układzie na rysunku 25 odpowiednie transmitancje wynoszą Gp(s) = oraz
s(s+0,02)(s+2)
Gc(s) = k. Wyznacz położenie biegunów układu na płaszczyz
nie s w zależności od wielko-
ści parametru k.
k(s+2)
16. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
(s-2)(s-4)
Wyznacz wartość k, dla której linie pierwiastkowe ukÅ‚adu przetnÄ… oÅ› jÉ. Jaka bÄ™dzie wtedy
częstotliwość oscylacji układu?
k
17. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
(s+2)(s+6)
Wyznacz punkt "rozejścia się" linii pierwiastkowych otrzymanego systemu.
k
18. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
(s+2)(s+1)
Wyznacz punkt "rozejścia się" linii pierwiastkowych otrzymanego systemu oraz miejsca, w
których linie pierwiastkowe pokryją się z osią "rzeczywistą".
k(s+5)
19. Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
(s-2)(s-1)
Wyznacz wartość k, dla którego linie pierwiastkowe ukÅ‚adu przetnÄ… oÅ› jÉ. Jaka bÄ™dzie wtedy
częstotliwość oscylacji układu?
kGp(s)
20. Wyznacz położenie biegunów układu o transmitancji G(s) = w zależności od wzmoc-
1+kGp(s)
nienia k gdzie
1
(a) Gp(s) =
s(s+4)(s+8)
2(s+2)
(b) Gp(s) =
s(s+1)(s+3)(s+4)
s+4
(c) Gp(s) =
(s-1)(s+2)
s(s+2)
(d) Gp(s) =
(s+1)(s+3)(s+4)
21. Wykreśl charakterystyki Nyquista i Bodego dla układów o poniższych transmitancjach
(a) Układ całkujący
K
G(s) =
s
(b) Układ całkujący z inercją
K
G(s) =
s(Äs + 1)
(c) Układ różniczkujący
G(s) = Ks
34
(d) Układ różniczkujący z inercją
Ks
G(s) =
(Äs + 1)
(e) Regulator PI
1
G(s) = Kp +
Tis
(f) Regulator PD
G(s) = Kp + Tds
(g) Regulator PID
1
G(s) = Kp + Tds +
Tis
22. Wyznacz asymptotyczne charakterystyki amplitudowo-fazowe Bodego dla układów o transmi-
tancjach
(a)
s(0,1s + 1)(100s + 1)
G(s) =
(s + 1)2(10s + 1)
(b)
(0,1s + 1)(s + 1)
G(s) =
10s2(0.01s + 1)(100s + 1)
(c)
s + 10
G(s) =
0,1s2(s + 1)
(d)
10s3
G(s) =
(s + 1)2(s + 100)2
23. Dla układu z rysunku 25 określ zapas amplitudy i fazy. Dla jakiego k układ będzie na granicy
stabilności?
(a)
1
Gc(s) = k = 1, Gp(s) =
s(s + 10)
(b)
1
Gc(s) = k = 1, Gp(s) =
s(10s + 1)(0,1s + 1)
(c)
1
Gc(s) = k = 1, Gp(s) =
s2(s + 1)
(d)
10s + 1
Gc(s) = k = 1, Gp(s) =
s2(0.1s + 1)2
k
24. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu o transmitancji G(s) =
s(s+a)
35
0.1s
25. Transmitancja pewnego obiektu wynosi Gp(s) = . KorzystajÄ…c z charakterystyk
(s+0.1)2(s+1)
częstotliwościowych Bodego określ, czy po objęciu go jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
układ ten jest stabilny. W przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.
1
26. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu opisanego transmitancją G(s) = + K
T s
0.1s
27. W układnie przedstawionym na rys. 25 tansmitancja Gc(s) = 1, Gp(s) = . Ko-
(s+0.1)2(s+1)
rzystając z charakterystyk częstotliwościowych Bodego określ, czy układ ten jest stabilny. W
przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.
s+10
28. Obiekt o transmitancji Gp(s) = objęto jednostkowym ujemnym sprzężeniem zwrot-
100s(s+0.1)2
nym. Korzystając z charakterystyk częstotliwościowych Bodego określ, czy układ ten jest sta-
bilny. W przypadku, gdy układ jest stabilny wyznacz zapas amplitudy i fazy.
29. Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu opisanego transmitancją G(s) = As + K
36